МОДЕЛЬ ЖИВУЧЕСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННО-ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ СЕТЬЮ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.7

МОДЕЛЬ ЖИВУЧЕСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННО-ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ СЕТЬЮ

С. А. Багрецов, Р.В. Пузынин, А.С. Лаута, А.Ю. Талденко

Рассмотрены возможные варианты моделей системы управления информационно-телекоммуникационной сети в условиях воздействия злоумышленника. Обоснован показатель эффективности системы управления - вероятность безошибочного и своевременного принятия решения во времени, а также описана процедура проверки адекватности разработанных моделей.

Ключевые слова: система управления, информационно-телекоммуникационная сеть, информационный обмен, модель, живучесть.

Внешняя среда функционирования информационно-телекоммуникационной сети (ИТКС), в настоящее время характеризуется высокой степенью нестабильности и неопределенности. Для того чтобы устойчиво функционировать ИТКС должна быть способна своевременно реагировать на любые воздействия со стороны злоумышленника и безболезненно к ним приспосабливаться.

Это определяет необходимость глубоких преобразований в системе управления ИТКС как в целом, так и отдельных ведомствах.

Гибкость в управлении, умение быстро реагировать на изменения в условиях воздействия злоумышленника не исключает "рациональность" управления. Но повышение самостоятельности ИТКС в современных условиях при этом усиливает и ответственность за эффективное использование имеющегося ее потенциала, что требует изменения содержания существующих функций, появления новых. Для обоснования новых требований, предъявляемых к системе управления ИТКС в условиях воздействия злоумышленника первоначально необходимо рассмотреть ее модель. Однако, прежде чем приступить к рассмотрению математических моделей системы управления, необходимо рассмотреть имеющиеся подходы к моделированию живучести технических систем [4, 5].

Общий подход к построению математических моделей живучести любой технической системы может быть изложен следующим образом.

Из всех состояний, в которых может находиться система, выделяют множество таких состояний Х= (х), которые различаются между собой с точки зрения живучести. Множество X называют фазовым пространством системы. В фазовом пространстве выделяется такое подмножество Хотк^Х, что система считается неработоспособной, когда ее состояние

^Хотк.

Система в течение времени меняет свое состояние, поэтому эволюция системы во времени представляет собой некую траекторию в фазовом пространстве - x(t). Следующим шагом построения математической модели живучести является определение случайного процесса в зависимости от

140

конкретных условий постановки задачи. Определяется математическая модель отказов в условиях воздействия злоумышленника и восстановления системы.

Следующим этапом является выбор различных числовых характеристик живучести системы. Такой выбор зависит от конкретных условий и назначения системы. В самом общем плане характеристики живучести рассматривают как математическое ожидание от некоторого функционала Ф, определенного на траекториях процесса х(1). Функционал Ф определен, если каждой траектории х(1) ставится в соответствие некоторое число Ф(х(0). Показатель живучести ф определяется как математическое ожидание от этого функционала, т.е.

ф = Е [Ф(х(1))].

Такой подход фактически означает, что каждой траектории процесса х(1) приписывается некоторый вес, а затем за показатель живучести принимается среднее значение этого веса.

В случае применения описанного общего подхода к описанию систем управления существенные трудности возникают уже в самом начале.

Для структур СУ практически невозможно указать небольшое число признаков, по которым можно точно определить состояние системы с точки зрения качества управления. Кроме того, на состояние системы оказывает влияние большое число случайных внешних воздействующих факторов, учесть которые тоже не представляется возможным. Поэтому не удается определить строгим образом фазовое пространство системы.

Можно предложить другой концептуальный подход к построению математической модели структуры системы управления. Несмотря на то, что она имеет абстрактный характер, она имеет то преимущество, что для ее описания требуется всего лишь один интегральный числовой показатель - вероятность принятия безошибочного и своевременного решения. Кроме того, интегральная вероятность решения поставленных задач рассматривается в этой модели в качестве критерия эффективности. Этот критерий отвечает целевым установкам структуры. При этом в качестве критерия оптимизации рассматривается векторный критерий в факторном пространстве - эффективность-стоимость. В этой модели можно положить, что система имеет два абстрактных состояния: состояние, когда принимается правильное и своевременное решение, и состояние, когда решение принимается или ошибочное, или несвоевременное [3, 6].

В каждый момент времени 1 система может находиться в одном состоянии с вероятностью р(1) и с вероятностью (1 - р(1)) в другом состоянии. Хочется подчеркнуть, что не требуется формального описания признаков состояния, так как, если принято, например, ошибочное решение, то можно считать, что система находилась в «плохом» состоянии от начала решения до принятия решения.

Таким образом, эволюция системы во времени представляет собой некую кривую в фазовом пространстве - отрезке [0, 1]. Эта кривая - вероятность безошибочного и своевременного принятия решения во времени (рис. 1). Будем называть функцию Р(1) - функцией живучести системы.

1

Рис. 1. График зависимости вероятности безошибочного и своевременного принятия решения от времени

Не будем пока останавливаться на математической модели процесса, и рассмотрим, какие функционалы на его траекториях можно определить.

1 Т

Функционал Ф1 (Р(/),Т) =—|Р(/)& определяет среднюю вероятность

Т о

правильного решения на интервале [0, Т].

Показатель живучести ф = Е^^х^), Т)] определяет математическое ожидание вероятности правильного решения.

1Т

Функционал Ф2 (Р(/),Т) =—|(Р(/)-с)+ &, где функция х+ = тах(х, 0),

Т о

0 < с < 1, определяет долю времени, проведенную процессом выше уровня с, а ф = Е [Ф2(х(0, Т)] определяет математическое ожидание этой доли времени.

Функционал, сопоставляющий кривой х^) ее длину на фиксированном интервале [0, Т], может служить мерой неустойчивости системы управления: чем больше переходов между уровнями, тем менее устойчива система управления.

Таким образом, математическая модель структуры системы управления с точки зрения живучести определяется функцией Р(1) - вероятностью безошибочного и своевременного решения задач управления в момент времени I. Выбор зависимости Р^) определяет эволюцию систем управления во времени.

Основная часть. Учитывая, что система управления ИТКС представляет собой совокупность элементов, связанных постоянной связью, имеющих общую цель и построенную таким образом, что все элементы содействуют достижению целей системы.

Для достижения цели система управления должна иметь набор элементов. Сами по себе элементы являются системами следующего уровня и характеризуются определенными свойствами. Поэтому первый шаг проектирования системы реализуется не путем проектирования элементов системы, а путем подбора элементов необходимого качества и в определенных количественных отношениях. Второй шаг проектирования формирует расположение элементов системы, определяя собственно ее структуру.

Для синтеза структуры системы управления необходимо оценить вероятность безошибочного и своевременного решения задачи каждым элементом (узлом связи (УС)) ИТКС Р(1). Задачи, возникающие в системах управления, имеют сложный характер и трудно поддаются разделению на ряд меньших типовых задач, решение которых может дать информацию для оценки свойств элемента ИТКС (УС).

Поэтому одним из подходов к оценке величины Р(1) является предположение о прямой зависимости между Р(1) и уровнем информационного обмена (служебной информации) (ИО) на УС.

Можно считать, что УС проходит ряд промежуточных состояний а(10), а(11), ... , а(1к), каждое из которых характеризуется определенным уровнем Р(10), Р(11), ..., Р(1к). Переход из состояния а; в а1+1 совершается после передачи через УС определенного количества информации причем уровень ИО есть функция

Р(1т) = ^ (р(ф).

Уровень ИО может быть описан вектором

Р(1) = (тх(1),...,г (1)),

где г1, г2, ... , гп - компоненты вектора, каждая их которых выражает свойство УС в момент времени 1.

Степень ИО определяется проверкой степени готовности 5 элемента УС ИТКС к передаче ¿-го пакета информации (Х) с требуемой достоверностью (Х), т.е.

к

х , х ■

1 к

Р = 7 25(х, х\), 0 £ 5 £ 1.

к 1=1

При обеспечении ИО с требуемой достоверностью, который можно представить в виде дискретных приблизительно равных порций, степень безошибочности работы УС можно определить как отношение числа успешно переданных пакетов информации (в том числе служебных) т к общему их числу И:

Р=т

N '

Для определения вероятности безошибочной работы системы управления можно применить формулу

Р = 1 . (1)

п 7=1 П

Как видно, рассмотренные методы позволяют в любой момент времени получить статистические оценки уровня работы СУ ИТКС и ее элементов. Эти оценки можно принять в качестве приближенного значения вероятности безошибочного и своевременного решения задачи СУ.

Системы управления ИТКС могут рассматриваться как живучие и неживучие.

Живучесть СУ понимают как свойство выполнять заданные функции, сохраняя значения основных показателей в заданных пределах в течение определенного времени или циклов управления в условиях воздействия злоумышленника.

Основными функциями СУ являются выработка и принятие удовлетворительных (эффективных) решений в течение всего периода существования системы.

Качество принимаемых решений характеризуется безошибочностью и своевременностью решения, поэтому основной показатель живучести СУ - вероятность принятия безошибочного и своевременного решения.

Свойство СУ принимать качественные решения зависит от уровня ее обученности, которыйможет меняться со временем. Естественно, что поэтому вероятность безошибочного и своевременного принятия решения является функцией времени. Обозначим эту функцию Р(г).

Поэтому представляется естественным для описания и исследования живучести СУ применить модели, с помощью которых моделируется процесс обучения. Приведем известные математические модели обучения:

у = Ъ - а е - сх, у=ь (1 - е-ах), Ъ е Ах

У = ' У=е"'Р+(' - е"")Ъ,

где у - сила обученности СУ; Ъ - верхний предел обученности СУ; А, а, с -константы, определяемые экспериментально; р - начальная вероятность некоторой реакции; х - число циклов обучения СУ.

Модифицируем данные модели, учитывая наше предположение, что степень обученности СУ определяет вероятность безошибочного и своевременного решения поставленной ей задачи. Замены очевидны: Ь — 1, у — Р(г), х — г. Тогда получим всего две математические модели:

Р(0 = 1- ае~сс 1 (2)

Р>(0 =

еАг

с + еА

причем можно считать 0 < а < 1, с > 1, а А > 0. Применим функцию живучести [3]

к ^

е г ,г > 0, 0, г < 0

где к - масштабный коэффициент, подбираемый из требования адекватности модели, т - значение, характеризующее индивидуальные свойства СУ в условиях воздействия злоумышленника.

В работе [1] получена логистическая кривая для функции живучести СУ

Р

тах г > 0

Р4(г) = < 1 + ае-

0 , г < 0

где Ртах - максимальная живучесть СУ в определенных условиях, а > 0, Ъ > 0 - параметры формы кривой, значения которых могут быть получены из начальных условий: Р4(0), Р'4(0), а именно:

144

ЗД) =

Pmax

1 + a

откуда a=

P

P4(0)

- 1.

Дифференцируя функцию P4(t), получим

P'M) =

P ■ abe

max UUG

(1 + ae-bt )2

(1 + a)2 , откуда b = --— ■ P4 (0).

P ■ a

max

Таким образом, экспериментальную проверку получили указанные модели живучести СУ. Анализ указанных моделей показал следующее.

1. Функция живучести р (t) = 1 - ae-ct при t > 0 является известной кривой показательного распределения при a = 1. При 0 < a < 1 функция имеет разрыв в нуле, причем значение P(0)=1 - a равно живучести СУ в момент времени t = 0. Это монотонно возрастающая функция и lim P(t) = 1. Множитель c в показателе экспоненты определяет скорость

обучения СУ. График функции P1(t) приведен на рис. 2.

P(t) 0.5

0

0

0 1 2 3 4

0 г 4

Рис.2. График живучести СУР^) (а = 0,8, с = 1)

Существенным является поведение функции в нуле и на бесконечности. При малых значениях показателя степени, когда \ct\v1, для функции Р^) имеет место приближенное равенство

Р1 ($ )»(1 - а) + а ■ с ■ t, поэтому множитель (ас) определяет скорость роста функции в нуле. На бесконечности функция имеет асимптоту у = 1. График функции - выпуклый вверх на интервале (0, 4), т.к. вторая производная Р"^)=-ас2е-с< 0при всех t > 0.

2. Функция живучести

е А

р^ ) =—, t > 0

с + сеА 145

после преобразований приводится к виду

P2(t) = 1

1 + ce

At

t > 0

и поэтому, по сути, она является функцией Р4(г), если положить Рп выражении для Р4(г).

3. Функция живучести

= 1 в

P3(f) =

, t

e ' 1 , t > 0, 0 , t < 0

имеет первую производную

( а ^

т)

а

а

■ e

t2

и вторую производную

а

P(t) =

ае

а - 2

при t > 0,

V г у

где введено обозначение а = кц.

Отсюда следует, что функция Р3(г) монотонно возрастает на интервале (0, 4).

Если вторую производную приравнять к нулю, то получим точку перегиба графика функции

а

1 = — 2 '

или г = .

Поэтому функция P3(t) выпукла вниз на интервале (0, ^J и выпукла

(а ^

вверх на интервале I —, « I.

Поведение функции P3(t) вблизи нуля можно охарактеризовать так: функция возрастает медленнее любой степенной функции вида tn. Действительно, для любого n

lim t-n ■ exp{- a /1}= 0. t ®0+

Это легко показать, последовательно применяя (n + 1) раз правило Лопиталя:

- - un n! lim t n ■ exp{-at} = lime au ■ un = lim-= lim-:—=0

t ®0+ /П u®¥ u®¥ eau u an ■ eau

Асимптотическое поведение функции P3(t) на бесконечности получим разложением экспоненты в ряд Тейлора в окрестности нуля:

г

t

t

e

t

т)

а

= е t = 1 -- + О

а t

при t — 4.

Поэтому при больших значениях t имеем приближенное равенство

Р

1 - а

г

График функции, приведенный на рис. 3, иллюстрирует особенности функции Р^): медленный рост в нуле и гиперболическое приближение к асимптоте на бесконечности.

1

2

I

1

р(г) 0.5

4 t

Рис. 3. График живучести СУРз($ (а= 1) 4. Функция живучести СУ

Р^)

1

1 + се

- At

t > 0

имеет следующие свойства.

а) Р4 (0) - 1

1 + с

б) Нш Р4(г) = Нш

í -

се

1

,-А1

=1;

в) р;^ )=•

t1 + се

At

>0,t> 0.

2

( -А' 1 + се

поэтому Р4(0 монотонно возрастает;

г) найдем вторую производную функции Р^):

, с/ (се-А -1) Р4() = сА е —-^

(1 + се-^

и приравняем ее к нулю РДО = 0.

Получим се- А=1, или t = 1п с

А

0

0

0

1

2

3

4

0

г

Таким образом, точка г = г < 0 л(г) = 0).

1п Су

- есть точка перегиба, если с > 1 (при

График функции Р4(г) выпуклый вниз на интервале I 0,

1п С

и вы-

пуклый вверх на интервале

1п С

д) Асимптотическое поведение функции Р4(г) на бесконечности получим из разложения

Р<(г) =

1

1 + се'

-Лг

= (1 + се-Лг )-1 = 1

■се"Лг +

О (е 2А) при г®¥.

Поэтому при больших значениях г имеем приближенное равенство Р4 (г)»1 - се"Л. График функции Р4(г) показан на рис. 4.

Заключение. Проведем сравнительный анализ моделей живучести

СУ.

1. Вторая модель живучести СУ Р2(г) предполагает, что в начальный момент времени вероятность безошибочного и своевременного решения задач равна нулю. Следовательно, можно считать, что функция живучести Р2(г) моделирует деятельность СУ в незнакомой ситуации, либо моделирует деятельность необученной СУ. Такая модель может использоваться, например, для изучения динамики управления ИТКС: с течением времени под воздействием злоумышленника в ИТКС выбывают УС, и после некоторой реорганизации ИТКС их функции вынуждены решать другие УС.

оо

1

1

р(г) 0.5

0 0 - -►

0 12 3 4

0 г 4 г

Рис. 4. График живучести СУР^) (с = 5, а = 1)

Первая и четвертая функции могут иметь в нулевой момент времени ненулевое значение. Это свойство отражает естественное предположение о том, что задачи СУ распределены таким образом, что выполняемые ею функции соответствуют уровню обученности. Поэтому в начальный момент времени существует положительная вероятность безошибочного и своевременного решения задач управления.

Следовательно, эти модели могут применяться для описания функционирования ИТКС с системами управления, функционирующими по прямому предназначению в начальный период, когда структура системы, во-первых, адекватна структуре задач управления, и, во-вторых, не претерпела существенные изменения под воздействием противника.

2. Следующим существенным моментом при выборе модели СУ является характер изменения ей функций живучести в начальный период времени. Для первой модели имеем почти линейный рост функции для малых времен t. Для второй модели живучести функция P2(t), как указывалось ранее, практически не растет до некоторого времени. Следовательно, эту функцию можно применять, например, для моделирования такой деятельности СУ, когда требуется определенный период адаптации, после которого возможно принятие решений нужного качества. Для четвертой модели характерен плавный рост функции P4(t) на начальном участке графика до точки перегиба. Это свойство должно быть у тех моделей, которые учитывают уровень обученности СУ, прежде чем произойдут существенные видимые изменения в ее деятельности.

3 Все функции живучести являются монотонно возрастающими на интервале времени от нуля до бесконечности. Формально все они также удовлетворяют свойствам функции распределения, т.е. выполнены условия:

1) 0< P(t) <1,

2) P(t) не убывающая функция t, непрерывная справа,

3) lim P(t) = 0, lim P(t) = 1.

Итак, в зависимости от особенностей функционирования СУ ИТКС можно выбирать ту или иную функцию живучести. Параметры модели должны определяться заранее, так, чтобы модель адекватно описывала деятельность СУ данного класса по решению задач в определенных условиях воздействия злоумышленника.

Таким образом, имеются несколько частных математических моделей, каждую из которых можно принять в качестве основной для моделирования живучести СУ. Параметры модели подбираются на этапе оценивания характеристик СУ. Для повышения достоверности моделей целесообразно использовать различные экспертизы и методы обработки экспертной информации. Если модели не адекватно описывают живучесть СУ в любой момент времени, рекомендуется применять более сложные аддитивные модели.

Под эффективностью структуры СУ следует понимать способность этих систем вырабатывать и реализовывать безошибочные и своевременные решения в течение всего периода функционирования - живучесть системы.

Математическая модель структуры СУ с точки зрения живучести определяется функцией P(t) - вероятностью безошибочного и своевременного решения задач управления в момент времени t. Выбор зависимости P(t) определяет эволюцию СУ во времени.

Список литературы

1. Андреев Г.И., Семанин А.А. Обобщенная задача оценки эффективности плановых решений // НММ. 2ЦНИИ МО, 1995. 457с.

2. Подход к оценке зон регулируемого равновесия в инфотелеком-муникационной сети / О.С. Лаута, Н.Б. Ачкасов, С.А. Багрецов, М.А. Ко-цыняк // Электросвязь, 2019. № 10. С. 21-25.

3. Зиггель А., Вольф Дж. Модели группового поведения в системе человек-машина. М.: Мир, 1973. 261 с.

4. Распределение средств защиты информационно-телекоммуникационной сети в условиях воздействия таргетированных кибернетических атак / М.А. Коцыняк, О.С. Лаута, Д.А. Иванов, О.Л. Спи-цын // Информационные технологии и системы: управление, экономика, транспорт, право. 2019. № 2 (34). С. 19-22.

5. Подход к оценке качества элементов информационно-телекоммуникационной сети в условиях целевых компьютерных атак / М.А. Коцыняк, О.С. Лаута, Д.А. Иванов, О.Л. Спицын // Информационные технологии и системы: управление, экономика, транспорт, право. 2019. № 2 (34). С. 23-25.

6. Kotenko I., Saenko I., Lauta O. Analytical modeling and assessment of cyber resilience on the base of stochastic networks conversion // Proceedings of 2018 10th International Workshop on Resilient Networks Design and Modeling, RNDM 2018 10. 2018. P. 8489830.

Багрецов Сергей Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, старший научный сотрудник, sergeihagrecov a hk.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,

Пузынин Роман Валерьевич, соискатель, koc-1943@mail.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С.М. Буденного,

Лаута Александр Сергеевич, соискатель, alexander lautaa,mail.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С. М. Буденного,

Талденко Андрей Юрьевич, начальник отделения лаборатории, chenmlamail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С.М. Буденного

SURVIVABILITY MODEL OF INFORMATION AND TELECOMMUNICATIONS NETWORK

MANAGEMENT SYSTEM

S. A. Bagrecov, R V. Puzynin, A. S. Lauta, A. U. Taldenko

The article considers possible models of the information and telecommunications network management system under the influence of an attacker. The efficiency indicator of the management system - the probability of error-free and timely decision- making in time-is justified, and the procedure for checking the adequacy of the developed models is described.

150

Key words: control system, information and telecommunication network, information exchange, model, survivability.

Bagretsov Sergey Alekseevich, doctor of technical sciences, professor, senior researcher, sergeibagrecovabk.ru, Russia, Saint Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky,

Puzynin Roman Valerievich, applicant, koc-1943@mail. ru, Russia, Saint Petersburg, Military Academy of Communications named after Marshal of the Soviet Union S.M. Budyon-ny,

Lauta Aleksandr Sergeevich, applicant, alexander_lauta@,mail. ru, Russia, Saint Petersburg, Military Academy of Communications named after Marshal of the Soviet Union S.M. Budyonny,

Taldenko Andrey Urievich, head of the laboratory department, chenmlamail. ru, Russian Federation, Saint Petersburg, Military Academy of Communications named after Marshal of the Soviet Union S.M. Budyonny

УДК 004.94; 533.6

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ АЭРОДИНАМИКИ РАЙОНА

О. А. Савкова

Рассматривается проблема обтекающих здания воздушных потоков и их влияние на другие сооружения в комплексе застройки, а также такие параметры, как давление, создаваемое на постройки, скорость потоков ветра и др.

Ключевые слова: математическое моделирование, градостроительство, архитектура, потоки ветра.

При комплексной застройке особое внимание следует уделять на стоящие поблизости зданиям. В этом поможет компьютерное моделирование (в АпБуБ), являющееся достойной альтернативой лабораторным модельным испытаниям.

Далее будут рассмотрены воздушные потоки, оказывающие воздействие на несколько стоящих рядом зданий, расположение которых приведено на рис. 1. Скорость ветра постоянна по всей области входа и равна 20 м/с. В качестве материала переноса выступает воздух при постоянной температуре 25°.

В исследовании определялись давления, оказываемые на здания (рис. 2) и скорости ветра (рис. 2, 3).