CC BY
6
Вычислительные технологии, 2020, том 25, № 1, с. 39-48. © ИВТ СО РАН, 2020 Computational Technologies, 2020, vol. 25, no. 1, pp. 39-48. © ICT SB RAS, 2020
ISSN 1560-7534 eISSN 2313-691X
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
DOI:10.25743/ICT.2020.25.1.003
Модель вскипающей жидкости
В. С. Суров
Южно-Уральский государственный университет (НИУ), Челябинск, Россия Контактный автор: Суров Виктор С. e-mail: surovvictor@gmail.com
Поступила 28 февраля 2019 г., доработана 9 октября 2019 г., принята в печать 24 октября 2019 г.
Представлена модель вскипающей жидкости, построенная на базе ранее предложенной автором обобщенно-равновесной модели смеси. В модели учтена сжимаемость жидкой фракции. Проведен характеристический анализ уравнений модели и показана их гиперболичность. Приведены расчетные формулы узлового метода характеристик, с использованием которого рассчитано течение при распаде произвольного разрыва во вскипающей жидкости.
Ключевые слова: односкоростная многокомпонентная смесь, фазовые превращения, гиперболическая система уравнений, узловой метод характеристик.
Цитирование: Суров В.С. Модель вскипающей жидкости. Вычислительные технологии. 2020; 25(1):39-48.
Введение
Взрывное вскипание жидкости, возникающее при резком падении давления, представляет теоретический и практический интерес в связи с возрастающими требованиями к обеспечению безопасности энергетических установок. Работы по исследованию течений вскипающей жидкости описаны в [1]. В рамках различных моделей численно исследовалось явление взрывного вскипания жидкости при снижении давления [2-6].
В работе представлена модель вскипающей жидкости, построенная на базе односкоростной гиперболической двухтемпературной модели из [7], с использованием которой проведен ряд расчетов. Показано, что при включении в обобщенно-равновесную (ОР) модель смеси фазовых превращений тип системы уравнений не меняется — она остается гиперболической. А это дает возможность при интегрировании уравнений использовать хорошо зарекомендовавшие себя численные методы решения гиперболических систем. В данной работе при интегрировании уравнений модели смеси применялся узловой метод характеристик (УМХ) [8, 9]. Использование УМХ дает возможность проводить расчеты при числах Куранта, превосходящих единицу. Кроме того, отметим, что описанный в работе одномерный УМХ естественным образом обобщается на многомерный случай, если применить процедуру расщепления по пространственным направлениям [10]. В качестве уравнений состояния воды и водяного пара использовались соотношения из [11, 12].
1. Модель вскипающей жидкости
Уравнения, описывающие одномерное течение парожидкостной смеси при наличии фазовых превращений в дивергентной форме, имеют вид
dastp0st + dastp°stu
Jn
dt dx dt
dastp0stest dast(p + p0stest)u
dastp0stu + dast(p + p0stu2) _ f + T ^
+ о J +
dt
d&liq Plia dang pliq U
dt
+
dx
+
Jm
dx
daUq p°liq и daUq (p + p°liq и2)
dt
+
dx
fu + JmPliq і %liq (
dx
dO-HqPliq&liq do.Hq (p + Pliq&liq )
)U
dt
+
dx
f JmU}
fu J-m^liq ^
где Jm — интенсивность парообразования на единицу объема смеси; ек _ £к + ~и2 —
удельная полная энергия к-й фракции (к _ stfliq); £st _ £st(p,P°st) и Єця _ £ця(р,р^іЯ) — удельные внутренние энергии пара и жидкой фракции; f — плотность силы межфракционного взаимодействия [7], которая заранее неизвестна и определяется в процессе интегрирования системы (1). Заметим, что если в (1) опустить силы межфракционного взаимодействия, то система теряет свойство гиперболичности. Если просуммировать соответствующие законы сохранения по составляющим смесь фракциям, то получим законы сохранения массы, импульса и энергии для смеси в целом
dp dpu dt + dx
0,
dpu d (p + pu2)
dt
dx
0,
dpe | d(p + pe)u n
4~ ^ 0,
dt
dx
00 1 2 1/ 0 0\ где p _ astpst + aliqPiiq — плотность смеси; e _ £ + -u и є _ - (astpst£st + aliqplig£lig) —
2 p
удельные полная и внутренняя энергии смеси. Уравнения (2) в квазилинейной форме имеют вид
1 Dp du Du 1 dp De p Dp
_ _ r du Du _ „j,
p Dt + dx , Dt + pdx
D£
1 Dt - ^ ~Dt
0,
D d 9
где — _ — + u—. Соответствующие законы сохранения для пара и жидкости примут Dt dt dx
вид
Dpst + du _
Dt + Pstdx _ Jmi
Dpi
du
Dt
rq і — ____ j
+ pHq df -Jn
„о
Du + dastp _
Pst Dt + dx _ h
Du daugp
Pm ш +
dx
Dest du
pst + Q-stP dx — 9т(£ця £st)i
_ f D£nq du
_ -Л Pliq + аіСРүх _ °.
Здесь pk _ <У.кPk — приведенная плотность к-й фракции. Учитывая равенства
d£st Dp + d£st Dp1
D£st
Dt dp Dt ' dp°st Dt
Pp°st
Dt
^Jn
£liq £st + P Dp
dest Dp\ f de
astPst PP°st Dt dp Dt
\ (dest\
) \dfPj
-і
Da
St
Dt
P0st
DPUg
Dt
^Jm + (
&st
g*tP°st dp p Dt ^ Dt
p Dp deug Dp
DPst\ Deng дєця Dp дєця DPnq
PPUq Dt
dp Dt
\ (дєнА
) \dplq)
Dt
-і
і
dp Dt dp°liq Dt
Dang Dast
Dt
Dt
1
закон сохранения энергии для смеси в целом можно переписать как где
РР 2 ^Р_
Dt С Dt
с
(■
Pliq 9Єщ ps£ Зєst
Р I ast~iT~E~0----+ aHq~o
Л ЭД, + a,iq pI, др% p"-p“ агд аР0„
)
о о 9єщ 9est
\
P I &liqPst'
9єщ dest
0 + °«p% dplq dp
dsiiq дєSt
П = J,
9є Hq
m9 Plq
dp dp[st
дє st
Pi
о
(pst - Plq)шт + (£ъ - £«)-JT
liq' dp1
st
Pst
0 9єliq 9єst 0 9є lio 9єз
aiiqPst^^~ ДДД + &stPn
dp др%
Ігч9ро,, 9p
П,
(3)
Здесь с — адиабатическая скорость звука. Таким образом, система уравнений модели жидкости при наличии фазовых превращений в квазилинейной форме принимает вид
др др ди
дг + ид—+ Рд~ = 0; dt dx dx
др др
, ди
Ж + ивХ + (,с- аХ = П'
dast dast ди
~д^ +и-^ + Kst т-dt dx dx
L
St;
ди ди 1 др dt + идх + pdx 0
дР° , и ЭД , г 9>и = г
~7Д + иЖ + Ь^ — = ist0
dt dx dx
9рщ , 9р0г ди_
+ и~ + Pliq— = 4iq0
dt
о + ^liq r\
dx dx
где
>=-■(i,-*’01)(ЙГ ’--є
£ st Пд ^
Jm 0 П
(
P = I 1 _ ^st Pst — &st ( 1 0
Pst
L
astPst
Jm ^stGst
dp
\ (дєst\
) WJ
-і
st
p°st
^ _ I P „д9є liq\ І дє liq
G“q = 1 “ - pc~w) [щ
Pi
iq
і
Iliq = — П
дєщ f дєця\
■
9P \ 9Pliq
Характеристическое уравнение системы (4), получающееся из выражения
А — и —Р 0
1
0 X — и
—рс2 Р
0 X — и
0 —Gst 0
0 —Kst 0
0 — Gliq 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
X — и 0 0
0 X — и 0
0 0 X — и
0,
где Л = dx/dt, имеет только действительные корни: Хі,2 = и ± с, Аз = Х4 = А5 = Аб = и. Характеристические соотношения вдоль характеристических направлений dx/dt = и±с системы (4) могут быть получены из уравнения
X — и —P 0 0 0
0 X — и 1 P 0 0
0 —pc2 X — и 0 0
0 —Gst 0 X — и 0
0 — Kst 0 0 X — и
0 Gliq 0 0 0
Раскрывая определитель, получим выражения
dp du
—и—-------р—
dt dt
du 1 dp
—и—*--------г
dt p dt
^ dp 2 du
П — u-f- — pc2 — dt dt
dp°t du
u — U~M — Ga M
do^gt du
Rst U -j— K. st~T7
at dt
T dPiiq ^ du
liq U dt Gliq dt
0.
(u ± c)(dp ± pcdu) = ±ndt,
(6)
справедливые на характеристических направлениях Л = и ± с. Вдоль траекторной характеристики Л = и выполняются равенства
dp
dp
dp
dp = с2dp+ndt, dp°st = Gst—+Istdt, dast = Kst —+Lstdt, dp°Uq = GHq —+IHqdt, (7
P
P
P
которые непосредственно следуют из системы (4).
Поскольку рассматривались относительно небольшие давления (до 10 атм), в качестве уравнений состояния воды и водяного пара использовались упрощенные соотношения из [11]:
Cliq = CliqO + Cv,nq Т + Sl, р = S2 + piiq RTuq S3.
Здесь
Si
А
dpiiqoS
exp d
(d / — (А —К (A I5
У \PhqoJ J РһдО^ \PhqO J
PliqoC - К
S2 = A () exp(d 1 — (V К (? \PliqoJ у \PliqO J J \PliqO/
( fk. \
У PliqO J
S3 = a^°l + (1 — a(U)) exp
0 \ i.7'
liq ^
+ a(li exp
(Р0Л 35
+ a(2 exp
(SO-
A = 0.6726 ■ 109 Па, d = 11.55, К = 1.15 ■ 109 Па, 4 = 0.3333, £ = 0.85, pUq0 = 998.23 кг/м3 єіідо = 1.2381 ■ 106 Дж/кг, cv>uq = 4.15 ■ 103 Дж/(кг ■ К), а(0) = 2.95, р(0) = 0.5273рНдо а(1) = 2.408, р(1) = 1.0904piiqo, а(2) = 12.151, р(2) = 1.3927рНдо, R = 461.7 Дж/(кг ■ К);
A = Cv,stTst + Д, р = Rp^ (9)
где cv,st = 1.43 ■ 103 Дж/(кг ■ К), Д = 1.93 ■ 106 Дж/кг.
В [12] применялись более простые уравнения состояния для воды и водяного пара:
&Uq
(Р + РРіід)(1 — PL Ьіід)
PUq Ыд — 1)
+ Qliq, Тцд
Cst
Р
р%Ы — 1)
+ яst, Z
(Р + Pliq)(1 — РІд Ьіід)
Cv,liqPliq (/yiiq — 1)
P
st
Cv,stP°st(Sst — 1)
Рис. 1. Зависимости скоростей звука от объемной доли пара: cnb — сплошная кривая, cs — штриховая, cw — штрихпунктирная
Fig. 1. The dependence of the speed of sound on the volume fraction of steam: cnb — solid curve, cs — dashed, cw — dash-dotted
где Tliq = 1.19, Pliq = 7.028 ■ 10s Па, bhq = 6.61 ■ 10 4 м3/кг, qHq = -1.177788 ■ 106 Дж/кг, buq = 6.61 ■ 10-4 м3/кг, cv,uq = 4.15 ■ 103 Дж/(кг ■ К), pst = 1.47, qst = 2.077616 ■ 106 Дж/кг, cv,st = 0.955 ■ 103 Дж/(кг ■ К).
На рис. 1 приведены зависимости cnb(&st) и cs(ast) для пароводяной смеси при нормальных условиях, рассчитанные по формуле (3) с использованием уравнений состояния (8), (9) и (10) соответственно, а также кривая cw(&st), вычисленная с помощью формулы Вуда [13]
1 &st + &liq
PCW Pstfit PliqCuq
где cst
IstP
A 'СИа
lliq ІР + Pliq ) Plq (1 - Plq) .
Из представленных данных видно, что ско-
рости звука в смеси, рассчитанные с использованием уравнений состояния (8)—(10), оказываются близкими между собой, но несколько меньшими, чем дает формула Вуда. Заметим, однако, что при решении задач с фазовыми превращениями необходимо применять уравнения состояния (8), (9) вместо (10), поскольку они дают значительную погрешность при вычислении удельной внутренней энергии жидкой фракции. В случае применения (10) приходится искусственно завышать удельную теплоемкость жидкости.
2. Методика численных расчетов и результаты вычислений
Для численного интегрирования уравнений (4) применялся УМХ. При его использовании достаточно определить значения искомых величин в узле (х^,tn+1) по известным значениям этих величин в узлах, находящихся на n-м временном слое. Применялась следующая итерационная процедура. Полагалось, что на “нулевой” итерации (и = 0) значения искомых переменных в точке (xk,tn+1) совпадают с их значениями в точке (хи,tn), при этом характеристические направления dx/dt = u,dx/dt = и ± с аппроксимируются выражениями
%к — xvc = uv At, Хк — xvL = (uv + cv )At, Xk — xvR = (uv — cv )At,
где At = tn+1 — tn. Точки пересечения полученных характеристических направлений с прямой t = tn (рис. 2) определяются соотношениями
xvL = Хк — (uv + cv )At, xvc = Xk — uv At, xvR = Xk — (uv — cv )At. (11)
Параметры (p,u,p, p°st,ast, p\q)(1) в найденных точках (xG,xG,Xr)(0 находятся интерполяцией по их известным значениям в узлах (хк-1 ,Хк ,Хк+1). Перепишем соотношения (6), (7) в конечно-разностном виде:
pv+1(xk,tn+i) — pv(xL,tn) + (pc)vL (uv+1(xk,tn+i) — uv(xL,tn)) = (—At,
\u + c) L
pv+1(xk,tn+i) — pv(xc,tn) — (c2)vc (Pv+l(xk,tn+i) — pv(xc,tn)) = WcAt,
(p°sty+1 (xk,tn+1) — (р%У (xC ,tn) — (— (pU+1(Xk ,tn+i) — pV (XG ,tn)) = (Ist)Vc At,
VP J c
аиУ+1 (xk ,tn+i) — avst (xc ,tn) — f(pv+1(xk ,tn+i) — pv (xc ,tn)) = (Lst)vc At,
V P J c
P J c
Gliq
{pUq У+1 (xk ,tn+1) — (рщ У (XC ,tn) — ( —) (pV+1 (
VP / c
УдУ (xC ,tn) — ( — ) (PU+1 (Xk ,tn+1) — PU (XC ,tn)) = (Ilig Yc At,
P J C
pv+1(xk,tn+i) — pv(xR,tn) — (pc)R {uv+1(xk,tn+i) — uv(xR,tn)) =
П
и — c
At.
12)
R
Решая систему (12) при v = 0 относительно переменных (р,и,р, p°st,ast, p®iq)(1), найдем уточненные значения искомых функций в точке (хк ,tn+1). Затем по этим данным из выражений (11) вычисляются новые координаты (xG,Xc,Xr)(1), которые, в свою очередь,
Рис. 2. Расчетная схема для УМХ Fig. 2. The computational scheme for UMKh
используются для определения (p,U,p, p®t,ast, Рщ)(2) из (12), где необходимо положить V =1. Описанный итерационный процесс продолжается вплоть до сходимости.
При постановке граничных условий также используется характеристический подход. Например, если на левой границе известна зависимость давления от времени Р(xi,t), то остальные переменные определяются из соотношений
Р(xi,tn+i) - pu(xR,tn) - (pc)VR (uu+1(x 1 ,tn+i) - uu(xR,tn))
(—)
\u - С/
V
At,
R
p (xi,tn+i) - pu (xc ,tn) - (c2)c (pu+l(xi,tn+i) - pv (xc ,tn)) = Щ At
'G„
st)c А^1
(p°t)^+i (Xi,tn+\) - {р%У (Xc,tn) - ^ (pv+l(Xi,tn+i) - pv(xc,tn)) = (Ist)
avs+l(xi,tn+i) - avst(xc ,tn) - f(pu+i(xi,tn+i) - pv (xc ,tn)) = (Lst)vc At,
V P J c
tn+i) - (p°nq У (XC ,tn) - (—) (pV+i(Xi,tn+i) - pV (xc ,tn)) = (IUq )VC At.
VP J c
yj+i (xi , bn+i
a
St
Рис. 3. Зависимости параметров при распаде произвольного разрыва к моменту времени t = 0.5 с: сплошные кривые — без учета фазового превращения (ft = 0), штриховые и штрих-пунктирные — при его наличии для ft = 0.02 и 0.04
Fig. 3. The dependences of the parameters in the breaking of an arbitrary shock at specific time t = 0.5 с: solid curves — excluding phase transformation (ft = 0), dashed and dashed-dotted lines, with phase transformation, for ft = 0.02 and 0.04
Для иллюстрации применения описанного выше численного метода рассмотрена задача Римана при следующих значениях параметров на момент времени t = 0: “слева” от диафрагмы (х < 50 м) — рь = 0.7 МПа, иь = 0, (ast)l = 0.15, (Тщ)l = 440 K;
“справа” от нее (х > 50 м) — грь = 0.3 МПа, иь = 0, (ast)b = 0.3, (Тцд)l = 408.8 K.
Температура насыщения определялась из выражения
Т*
In (р/р*) ’
где р* = 20.2 ■ 109 Па, Т* = 4200 K, Т** = 31 K. Интенсивность фазового перехода вода—пар находилась из соотношения
Jm &liqft (P)) .
В расчетах полагалось, что фазовый переход в процессе кипения происходит в условиях перегретого состояния, когда температура жидкости превышает температуру насыщения: Тцд — Тn (р) > АТ, где АТ — перегрев жидкости. В момент времени t = 0 диафрагма мгновенно удалялась, при этом реализовался режим течения с ударной волной, движущейся вправо, и волной разрежения, перемещающейся влево.
На рис. 3 представлены данные численных расчетов течения, полученные к моменту времени t = 0.5 с, выполненные как при учете парообразования (ft = 0.02 , 0.04; At =1 K), так и при его отсутствии (ft = 0). Расчеты выполнены на сетке из 1000 узлов. Как видно из представленных рисунков, интенсивное парообразование происходит в области жидкости, расположенной слева от контактной границы, где температура жидкости превышает температуру насыщения. Учет фазового превращения приводит к значительному росту концентрации пара в волне разгрузки, а также к небольшому увеличению как скорости движения смеси, так и давления. Концентрация паровой фракции за фронтом ударного скачка уменьшается. Отметим также, что температура жидкой фракции Тщ в рассматриваемом временном интервале практически не меняется, поскольку не учитывался межфракционный теплообмен.
Таким образом, представлена модель вскипающей жидкости, базирующаяся на обобщенно-равновесной модели смеси, в которой учтен фазовый переход из жидкой фракции в паровую. Показана гиперболичность уравнений модели. Получено аналитическое выражение для скорости перемещения малых возмущений во вскипающей жидкости. Описан метод интегрирования уравнений модели, основанный на методе характеристик, с использованием которого выполнен расчет задачи Римана во вскипающей жидкости.
TN (р) = Т**
Список литературы
[1] Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука; 1987: 360.
[2] Гофман Г.В., Крошилин А.Е., Нигматулин Б.И. Нестационарное волновое истечение вскипающей жидкости из сосудов. Теплофизика высоких температур. 1981; 19(6):1240-1250.
[3] Downar-Zapolski P., Bilicky Z., Bolle L., Franco J. The non-equilibrium relaxation model for one-dimensional liquid flow. Intern. J. Multiphase Flow. 1996; 22(3):473-483.
[4] Алексеев М.В., Лежнин С.И., Прибатурин Н.А., Сорокин А.Л. Генерация ударно-волновых и вихревых структур при истечении струи вскипающей во-ды.Теплофизика и аэромеханика. 2014; 21(6):795-798.
[5] Болотнова Р.Х., Бузина В.А., Галимзянов М.Н., Шагапов В.Ш. Гидродинамические особенности процессов истечения вскипающей жидкости. Теплофизика и аэромеханика. 2012; 19(6):719-730.
[6] Болотнова Р.Х., Бузина В.А. Пространственное моделирование нестационарной стадии истечения вскипающей жидкости из камер высокого давления. Вычислительная механика сплошных сред. 2014; 7(4):343-352.
[7] Суров В.С. Односкоростная модель гетерогенной среды с гиперболичным адиабатическим ядром. Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2008; 48(6):1111—1125.
[8] Суров В.С. Об одном варианте метода характеристик для расчета течений односкоростной многокомпонентной смеси. Инженерно-физический журнал. 2010; 83(2):345—350.
[9] Суров В.С., Березанский И.В. К расчету течений односкоростной вязкой теплопроводной смеси узловым методом характеристик. Вычисл. технологии. 2014; 19(4):107—116.
[10] Суров В.С. Гетерогенные среды. Гиперболические модели и методы расчета. Матер. XXI Междунар. конф. по вычисл. механике и современным прикладным программным системам. М.: Изд-во МАИ, 2019:350—352.
[11] Нигматулин Р.И., Болотнова Р.Х. Широкодиапазонное уравнение состояния воды и пара. Упрощенная форма. Теплофизика высоких температур. 2011; 49(2):310—313.
[12] Saurel R., Boivin P., Lemetayer O. A general formulation for cavitating, boiling and evaporating flows. Computers and Fluids. 2016; (128):53.
[13] Wallis G.B. One-dimensional two-phase flow. New York: McGraw-Hill; 1969: 408.
Вычислительные технологии, 2020, том 25, № 1, с. 39—48. © ИВТ СО РАН, 2020 ISSN 1560-7534
Computational Technologies, 2020, vol. 25, no. 1, pp. 39—48. © ICT SB RAS, 2020 elSSN 2313-691X
MATHEMATICAL MODELLING
DOI:10.25743/ICT.2020.25.1.003
Boiling liquid model
Surov Victor S.
South Ural State University (NRU), Chelyabinsk, 454080, Russia Corresponding author: Surov Victor S., e-mail: surovvictor@gmail.com
Received February 28, 2019, revised October 9, 2019, accepted October 24, 2019
Abstract
A model of a boiling liquid is presented, built on the basis of a one-speed two-temperature mixture model previously proposed by the author, in which the forces of interfractional interaction are taken into account. The liquid fraction was considered compressible. A characteristic analysis of the equations of the model is carried out and their hyperbolicity is shown. Relations for characteristic directions and differential relations along these lines are written. An analytical formula for calculating the speed of sound in a boiling liquid is obtained. It is noted that the speed of sound in a liquid when taking into account phase transformations is somewhat lower than is predicted by the Wood formula. The calculation formulas of the iterative algorithm of the nodal method of characteristics are presented, which implies that the flow is calculated during the decay of an arbitrary rupture in a boiling liquid. In the calculations, it was assumed that the phase transition during the boiling process occurs under conditions of an overheated state, when the temperature of
the liquid exceeds the saturation temperature. It is shown that taking phase transformation into account leads to a significant increase in the vapor concentration in the unloading wave, as well as to a small increase in both the speed of the mixture and pressure. The concentration of the vapor fraction behind the shock front decreases.
Keywords: single-speed multicomponent mixture, phase transformations, hyperbolic system of equations, nodal method of characteristics.
Citation: Surov V.S. Boiling liquid model. Computational Technologies. 2020; 25(1):39-48. (In Russ.)
References
1. Nigmatulin R.I. Dinamika mnogofaznykh sred [Dynamics of multiphase media]. Moscow: Nauka; 1987: 360. (In Russ.)
2. Gofman G.V., Kroshilin A.E., Nigmatulin B.I. Nonsteady wave emission of effervescing liquid from vessels. High Temperature. 1981; 19(6):897-905.
3. Downar-Zapolski P., Bilicky Z., Bolle L., Franco J. The non-equilibrium relaxation model for onedimensional liquid flow. Intern. J. Multiphase Flow. 1996; 22(3):473-483.
4. Alekseev M.V., Lezhnin S.I., Pribaturin N.A., Sorokin A.L. Generation of shockwave and vortex structures at the outflow of a boiling water jet. Thermophysics and Aeromechanics. 2014; 21(6): 763-766.
5. Bolotnova R.Kh., Buzina V.A., Galimzyanov M.N., Shagapov V.Sh. Hydrodynamic features of processes for boiling fluid flow. Thermophysics and Aeromechanics. 2012; 19(6):719-730. (In Russ.)
6. Bolotnova R.Kh., Buzina V.A. Spatial modeling of the nonstationary processes of boiling liquid outflows from high pressure vessels. Computational Continuum Mechanics. 2014; 7(4):343-352. (In Russ.)
7. Surov V.S. One-velocity model of a heterogeneous medium with a hyperbolic adiabatic kernel. Com-put. Mathematics and Math. Physics. 2008; 48(6):1048-1062.
8. Surov V.S. On a variant of the method of characteristics for calculating one-velocity flows of a multicomponent mixture. J. of Engineering Physics and Thermophysics. 2010; 83(2): 366-372.
9. Surov V.S., Berezansky I.V. The calculation of the flow of single-speed viscous and heat mixture by using the nodular method of characteristics. Comput. Technologies. 2014; 19(4): 107-116. (In Russ.)
10. Surov V.S. Heterogeneous medium. Hyperbolic models and calculation methods. Proc. of the XXI Intern. Conf. on Comput. Mechanics and Modern Applied Software Systems. Moscow: MAI; 2019:350-352. (In Russ.)
11. Nigmatulin R.I., Bolotnova R.Kh. Wide-range equation of state of water and steam: simplified form. High Temperature. 2011; 49(2):303-306.
12. Saurel R., Boivin P., Lemetayer O. A general formulation for cavitating, boiling and evaporating flows. Computers and Fluids. 2016; (128):53.
13. Wallis G.B. One-dimensional two-phase flow. New York: McGraw-Hill; 1969: 408.
