МОДЕЛЬ ВЕТРОГЕНЕРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.311.1:621.548:551 ББК 31.62 М 74

Кашин Яков Михайлович

Кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой электротехники и электрических машин Кубанского государственного технологического университета, профессор кафедры авиационного радиоэлектронного оборудования Краснодарского высшего военного авиационного училища летчиков им. А.К. Серова, Краснодар, e-mail: jlms@mail.ru Копелевич Лев Ефимович

Доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры электротехники и электрических машин Кубанского государственного технологического университета, Краснодар, e-mail: kkllev@mail.ru Самородов Александр Валерьевич

Кандидат технических наук, доцент кафедры электротехники и электрических машин Кубанского государственного технологического университета, Краснодар, e-mail: alex.samorodoff@gmail.com Мараховский Евгений Александрович

Студент Кубанского государственного технологического университета, Краснодар, e-mail: zheka3334@mail.ru

Модель ветрогенераторной установки*

(Рецензирована)

Аннотация. Представлена разработанная авторами компьютерная модель ветроэнергетической установки с синхронным генератором с постоянными магнитами на роторе, позволяющая оценить переходные процессы в различных режимах при работе на изменяющуюся нагрузку.

Ключевые слова: генератор, статор, ротор, математическая модель, переходный процесс, преобразование энергии.

Kashin Yakov Mikhaylovich

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Head of the Department of Electrical Engineering and Electrical Machines, Kuban State University of Technology, Professor of the Department of Aviation Radioelec-tronic Equipment, A.K. Serov Krasnodar Air Force Institute for Pilots, Krasnodar, e-mail: jlms@mail.ru Kopelevich Lev Efimovich

Associate Professor, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Electrical Engineering and Electrical Machines, Kuban State University of Technology, Krasnodar, e-mail: kkllev@mail.ru

Samorodov Alekisandr Valeryevich

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Electrical Engineering and Electri-calMachines, Kuban State University of Technology, Krasnodar, e-mail: alex.samorodoff@gmail.com Marakhovsky Evgeniy Aleksandrovich

Student, Kuban State Technology University, Krasnodar, e-mail: zheka3334@mail.ru

Wind power plant model

Abstract. The article presents a computer model developed by the authors of a wind power plant with a synchronous generator with permanent magnets on a rotor, which makes it possible to evaluate transient processes in various modes when operating on a changing load.

Keywords: generator, stator, rotor, mathematical model, transient, energy conversion.

В последнее время в мире возрастает интерес к альтернативной «зеленой» энергетике. Это обусловлено рядом экономических, технических и экологических факторов. В условиях Краснодарского края и Республики Адыгея целесообразно развивать ветровую и солнечную энергетику в силу того, что эти регионы обладают существенным потенциалом ветровой и солнечной энергии. На кафедре электротехники и электрических машин давно ведется работа в данном направлении.

В [1] показано, что эффективность автономных энергосистем на базе возобновляемых источников энергии (ВИЭ) существенно возрастает, если использовать в системе два разнородных источника, например, Солнце и ветер. Авторы считают, что эффективно складывать

* Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Администрации Краснодарского края в рамках научного проекта № 19-48-230009 ра.

энергию этих источников электромеханическим способом, для чего ими были разработаны различные конструкции генераторных установок [2-12]. Эти устройства представляют собой агрегатированные электромеханические преобразователи энергии, как правило, аксиальной конструкции, в которых преобразование и суммирование энергии в несколько ступеней. Авторы назвали их многовходовыми электрическими машинами-генераторами. Так, например, установка, работающая одновременно от фотоэлектрических преобразователей и ветротур-бины, называется двухвходовая электрическая машина-генератор ДЭМ-Г [2].

Однако моделирование таких сложных электромеханических комплексов представляет собой нетривиальную задачу.

В данном исследовании была поставлена задача оценить влияние изменений нагрузки как по абсолютному значению, так и по характеру на переходный процесс в обмотках генераторной установки и, как следствие, в сети автономной энергосистемы.

Последняя ступень преобразования в таких устройствах, как правило, представляет собой трехфазный синхронный генератор, поэтому авторами сделано допущение, что для исследования характера переходных процессов всю многовходовую генераторную установку можно эквивалентировать одним синхронным генератором.

Актуальность исследования состоит в том, что подобные установки работают непосредственно на нагрузку, в то время как классические ветро- и солнечные установки работают на накопитель после выпрямления переменного тока (для ветрогенератора), а нагрузка запитывается через инвертор переменного тока. Звено постоянного тока и накопитель в подобной системе нивелируют переходные процессы, но значительно удорожают систему. Отказываясь от них мы, с одной стороны, удешевляем и упрощаем систему, с другой стороны, приходим к неизбежному увеличению влияния изменений нагрузки на генератор.

Классический метод математического моделирования электромеханических преобразователей энергии заключается в составлении дифференциальных уравнений по второму закону Кирхгофа плюс уравнения электромагнитных моментов [13]. С позиций теории обобщенного электромеханического преобразователя энергии математическая модель - это набор дифференциальных уравнений, описывающих индуктивные связи между обмотками машины и взаимодействия между токами, протекающими в этих обмотках, создающих электромагнитный момент [13]

Примером может служить моделирование двухмерной электрической машины-генератора [1].

Модель может строиться в различных системах координат. Для упрощения модели трехфазную электрическую машину преобразуют в идеализированную двухфазную машину. Это позволяет упростить модель, но при этом получаем токи, не соответствующие реальным, и их нужно переводить в трехфазную систему координат. Поэтому целесообразней строить модель в трехфазной системе координат.

Модель может строиться в осях а-^-у, привязанных к неподвижной системе координат или привязанных к одной из частей машины, например к ротору.

Так как в двухвходовой электрической машине вращаются обе ее части, то целесообразно использовать систему

Приведем ДЭМ-Г (рис. 1) к трехфазной идеализированной машине, изображенной на рисунке 1. Машина двухполюсная, с гладким воздушным зазором, параметры ее линейны, обмотка ротора вращается с угловой скоростью ср, обмотка якоря - со скоростью са в ту же сторону [1].

С осями обмоток ротора совмещаем системы координат А-В-С и осями обмоток якоря а-в-с, получаем машину в непреобразованной (естественной) системе координат. Векторы потокосцеплений и токов фаз здесь совпадают с осями обмоток.

Системы координат ротора и якоря перемещаются относительно друг друга с угловой скоростью

Аю=юа-юр=ёв/ й1, где в- угол между осями якоря и ротора.

Расписываем дифференциальные уравнения для каждой обмотки в соответствии со вторым законом Кирхгофа.

A

Рис. 1. Пространственная модель ДЭМ-Г в непреобразованной системе координат

Дифференциальные уравнения напряжений в непреобразованной системе фазных координатах модели на рисунке 1, записанные для результирующих векторов, имеют вид:

Ua _ RaIa + dЧ a / dt;

-Uaz _ Raz Iaz + dЧ аг / dt; -U p _ RPIP + d Ч p / dt,

где Ua, Ia, Up, Ip - напряжения и токи фаз якоря и ротора, соответственно;

Ra=rа =Га =Га ; Rp=Tр1=ГР=Гр\ Raz=raz =Гаг =Гаг - параметры (сопротивления) двигательной и генераторной обмоток якоря и обмотки ротора, соответственно по осям А-В-С и а-в-с; Ча, Чаг, Чр - потокосцепления фаз якоря и ротора [1].

Векторные уравнения для координатных осей, вращающихся с произвольной скоростью: a>K=d вк / dt.

С учетом, что cos9+jsin6=e]e, уравнения примут вид:

UaeJ (вк-ea) = RaIae] (вк -в) + d4 ae] (вк ) / dt; ?](вк-ва) _ R т e](вкв) + d4 e](вк-ва)/ dt-

j(вк-вр) + d ч peJ (вк)/ dt.

Продифференцировав уравнения, получаем:

Ua _ RaIa + dЧa / dt + j (< -< )Чa ;

-Ua2 _ RarIas + dЧаг / dt + j(< - < )Чa2 ;

-U _R I + dЧ /dt + j(< -< )Ч .

p PP P J \ к P ' P

Данная система уравнений представляет собой наиболее общий вид уравнений Кирхгофа для обобщенной машины. Сложность этих уравнений заключается в том, что все они содержат дополнительные члены, выражающие ЭДС вращения jaK Ча и j(<к -<р) Чр, что сильно осложняет решение системы уравнений в целом [1, 13].

Система значительно упрощается, если мы принимаем систему в координатных осях d-q-s, вращающихся синхронно с якорем, то есть <ок=юа (см. рис. 2).

В таком случае моделирование процессов преобразования энергии ведется на естественных токах, что значительно упрощает решение [1].

-Ua2 eJ ^^) = Rr Ir eJ ^^) + d4 г eJ

-U eJ(8k~e') = R I eJ

p p p

c

B

b

Рис. 2. Пространственная модель ДЭМ-Г в преобразованной системе координат При этом система примет вид:

иа=ЯА+^ аМ1; ^ = ^; -иаг =Яаг 1аг аг/аг; ак =аа; -ир=яр1р+^ р/*+.|К -®р )¥р.

Систему координат —^ можно синхронизировать с ротором, и тогда упрощение системы будет происходить за счет исчезновения ЭДС вращения в уравнении роторной цепи ДЭМ-Г. Оси координат, вращающиеся синхронно с якорем, в данном случае несколько предпочтительнее, потому что якорь вращается с постоянной скоростью, в то время как скорость вращения ротора зависит от внешних факторов. Кроме того, в якоре размещены две трехфазные обмотки, а в роторе только одна [1].

Раскладывая результирующие векторы напряжений иа и (-ир) по осям d-q-s, синхронизированным с якорем (см. рис. 2, где а>к=аа), получаем:

ud = rdaida + d¥ t /dt;

uq = rqjl + d ¥ q/dt;

us = rX + d ¥ ;/dt;

-Ut = rX + d¥ tr /dt;

-uq яг = rqiq + d¥q /dt

-u;r = rX + d¥ Sr /dt;

-u t = « + d¥ t /dt+(®; )(¥ q - ¥ p )Л/3;

-u q = rpX + d¥ q/dt+(®; )(¥ p -¥d )Л/3;

-up = rpX + d¥ p/dt+(®;- )(¥ t- - ¥ q )/^; ^

Потокосцепления - это полное значение магнитного потока, проходящего сквозь обмотки, или как говорят, сцепляющегося с обмоткой машины. Выразив потокосцепления и произведя подстановку, получаем математическое описание взаимодействия магнитосвязан-ных катушек (обмоток) двухмерной электрической машины - генератора.

Потокосцепления (взаимодействия обмоток) определяются из пространственной модели машины в зависимости от того, под каким углом они расположены друг к другу, и как ориентированы по отношению друг к другу их полюса (согласно или встречно) [1].

d

s

q

Потокосцепления находим из рисунка 2, который собственно представляет собой пространственную модель машины. Для фазы а по оси ё:

¥ ё = л - МX (г4 +1°) + М (Iй - У21ч -11*) + М/" - М(гч + ).

а а а /2 Р Р 2 Р' I аг /2 1 аг /

Полную систему не приводим в силу ее громоздкости.

Подставив выражения потокосцеплений в предыдущую систему уравнений, получаем математическую модель электромагнитных взаимодействий в трехфазных координатах ё-^-*, вращающихся со скоростью якоря (®к=®а).

Модель электромагнитных переходных процессов будет неполной без выражений, описывающих электромеханическое преобразование энергии.

Для построения электромеханической модели запишем выражение электромагнитной энергии в воздушном зазоре ДЭМ-Г [1, 13]:

N

жэ = -2л, /=1

где /=1,2,..., N - общее число обмоток ротора и якоря ДЭМ. В соответствии с рисунком 2:

Ж = ё + ¥"гд ' гё + ¥ч г4 +

э 2 V а а а а а а аг аг аг аг

^ аг аг ^ р1р РР Р Р ''

Электромагнитный момент машины [1, 13]:

дЖэ

Мэ = р-

дв

где р - число пар полюсов.

Продифференцировав, получаем:

\(id +id )iq + (iq +iq V + i +is У)-

\\ a аг/ p \ a аг/ p У а аг / р/

мэ = 4 рм

p \ а аг / p \ а аг / p *

-ii +lq ) + iqi +iS ) + f i +ld ))

\р\а аг/ р\а аг/ р\а аг//

где М - взаимные индуктивности обмоток.

Подставляем выражения электромагнитного момента Мэ, статических и динамических моментов, ротора Мр, МРд и якоря Ма, Мад, а также моментов трения ротора Мрт и якоря Ма .

В результате получаем очень громоздкую математическую модель электромеханических переходных процессов ДЭМ-Г. Модель содержит девять уравнений электромагнитного взаимодействия обмоток машины, два уравнения движения и одно уравнение, которое связывает между собой скорости вращения ротора и якоря [1].

Математическая модель при всех ее достоинствах обладает рядом существенных недостатков:

- при составлении модели используется ряд допущений, которые уменьшают точность модели;

- составление и решение подобных моделей требует значительной математической подготовки;

- необходимо точно понимать, что модель составлена правильно и корректно отражает реальную машину.

На последнем пункте остановимся подробнее. Оценка корректности составленной модели, так называемая проверка на адекватность, представляет собой сложную задачу. Абсолютно объективным подтверждением адекватности модели служит сравнение результатов расчета по ней с экспериментальными результатами, полученными на реальной машине. Для этого требуется изготовить реальную машину, и, как правило, не одну, а несколько с разными параметрами, испытать ее на стенде, где требуется снять переходные процессы - задача сама по себе нетривиальная.

Однако большинство инженеров зачастую не имеют достаточной математической подготовки и тем более возможности изготавливать и испытывать ряд экспериментальных образцов машин.

На помощь инженерам-электромеханикам приходят средства автоматизации и математического моделирования.

Для моделирования синхронных генераторов в системе автономного электроснабжения на базе ветроэнергетической установки мы воспользовались хорошо зарекомендовавшим себя во всем мире пакетом прикладных программ "Simulink" - Simulation and Model-Based Design - MATLAB.

Моделируем работу ветроэнергетической установки в условиях постоянной скорости ветра, изменяющейся скорости ветра, изменяющегося уровня нагрузки и изменяющегося характера нагрузки.

Расчетная схема моделирования работы синхронного генератора с постоянными магнитами на роторе в составе ветроэнергетической установки при постоянной скорости ветра и различных значениях нагрузки изображена на рисунке 3. Здесь энергию ветра моделируем в виде асинхронного двигателя, задавая его мощность.

pcwerçûi

Tlirce-Pfiasip РговгагштиЫо stallage S&uiee

Afiynefuonftjfi M.cf- г il SI Urils

«Saar sfieeif (winja

■щаспотввмм икци Ts irm)>

^Ssacor currant s ivVi-

«SEato г eueren!

Bua Sefeclc*

< s;a[D r CLpröfi! ü_t (Al»

□

□

Scope

Scope 2

If-S*

jundl ^

Three-Phase Parallel RLC Brandi

<S1a(or current Isa (A)>

< Stator current »_b {A)>

< SlaEor Current iS_C (A)>

< Roto* speed wm <rad/s) >

<Beetiomagneiic torque Te (N*m)>

□

□

Scopei

I. a <

Рис. 3. Схема анализа работы синхронного генератора с постоянными магнитами в составе ветроэнергетической установки

Описание блоков расчетной схемы приведено в таблице 1.

Описание блоков расчетной схемы

Таблица 1

Название блока Назначение блока

Ground «Земля»

Three-Phase Programmable Voltage Source Предназначен для задания параметров трехфазной электрической сети

Asynchronous Machine SI Units Предназначен для задания параметров асинхронной машины в режимах двигателя и генератора в системе СИ. В данной схеме представляет собой асинхронный двигатель

Bus Selector Предназначен для разложения входного сигнала на его отдельные составляющие

Scope Осциллограф

Permanent Magnet Synchronous Machine Предназначен для задания параметров синхронной машины с постоянными магнитами в режимах двигателя и генератора в системе СИ. В данной схеме представляет собой синхронный генератор с постоянными магнитами

Current Measurement Амперметр

Voltage Measurement Вольтметр

Three-Phase Parallel RLC Branch Реализует трехфазную параллельную КЬС ветвь

Результаты моделирования приведены на рисунке 4.

<ajaie:iBfciai|.;Tt'jrff;>

11 11

iliiiiiiA/vvw

,—; j

l! I il

Л Л

J] 1

:: is 1

1

1

]

lecTcmacr ei t icrgiie Те iH4i>

а) б)

Рис. 4. Детализация переходного процесса в момент пуска (а) и момент скачкообразного изменения (б):

скорость и электромагнитный момент синхронного генератора с постоянными магнитами при переходных процессах, изменение нагрузки с R на КЬ (50%/50%).

Качественный анализ показывает, что переходный процесс является более глубоким при изменении характера нагрузки, нежели при сбросе-набросе нагрузки при неизменном ее характере, что, несомненно, указывает на то, что при проектировании подобных систем необходимо учитывать эти факторы.

С помощью данной модели был выполнен анализ влияния ряда факторов на работу ветроэнергетической установки в различных режимах.

Вывод

Разработанная модель ветроэнергетической установки позволяет оценить ряд факторов, влияющих на работу системы.

Перечислим их:

1. Характер переходного процесса более глубокий и выраженный при изменении характера нагрузки, нежели чем при изменении величины нагрузки;

2. Переходный процесс при резком изменении скорости ветра в синхронном генераторе с постоянными магнитами на роторе явно выражен;

3. Влияние на ветроагрегат также более выражено при изменении характера нагрузки, нежели чем при изменении величины нагрузки;

4. ЭДС синхронного генератора не изменяется при изменениях нагрузки;

5. При аварийных режимах возникают сильные пульсации скорости и электромагнитного момента;

6. Аварийные режимы напрямую влияют на ветроагрегат.

Примечания:

1. Самородов А.В. Разработка системы автономного электроснабжения на базе двухмерной электрической машины: дис. ... канд. техн. наук. Краснодар,

References:

1. Samorodov A.V. Development of an autonomous power supply system based on a two-dimensional electric machine: Diss. for the Cand. of Techn. Sci-

2002. 149 с.

2. Двухмерная электрическая машина: патент на изобретение RU 2332775 C1, 27.08.2008. Заявка № 2006143133/09 от 05.12.2006 / Б.Х. Гайтов, А.В. Самородов, Т.Б. Гайтова, Л.Е. Копелевич. URL: https://yandex.ru/patents/doc/RU2332775C1_20080827

3. Управляемая двухмерная электрическая машина: патент на изобретение RUS 2349016, 2007 /

Б.Х. Гайтов, А.В. Самородов, Т.Б. Гайтова, Л.Е. Ко-пелевич. URL:

https://yandex.ru/patents/doc/RU2349016C2_20090310

4. Ветро-солнечный генератор для систем автономного электроснабжения / Б.Х. Гайтов, Я.М. Кашин, Л.Е. Копелевич, А.В. Самородов, А.Я. Кашин,

A.О. Схашок, В.А. Ким // Электричество. 2018. № 1. С. 19-27.

5. Самородов А.В., Кашин Я.М., Копелевич Л.Е. Электромеханические преобразователи для энергосистем на базе возобновляемых источников энергии // Международный научно-исследовательский журнал. 2017. № 11-4 (65). С. 70-72.

6. Ветро-солнечный генератор / Б.Х. Гайтов, Я.М. Кашин, Л.Е. Копелевич, А.В. Самородов,

B. А. Ким, А.О. Схашок, А.Я. Кашин // Энергосбережение и водоподготовка. 2017. № 6 (110). С. 2530.

7. Кашин Я.М., Кашин А.Я., Князев А.С. Трехвходовая аксиальная генераторная установка: патент на изобретение RU 2589730 C1, 10.07.2016. Заявка № 2015131666/07 от 29.07.2015. URL: https://yandex.ru/patents/doc/RU2589730C1_20160710

8. Синхронизированная аксиальная двухвходовая генераторная установка: патент на изобретение RU 2647708 C1, 19.03.2018. Заявка № 2017113229 от 17.04.2017 / Я.М. Кашин, А.Я. Кашин, Л.Е. Копелевич, А.В. Самородов, М.С. Христофоров. URL: https://yandex.ru/patents/doc/RU2647708C1_20180319

9. Создание перспективных систем автономного энергоснабжения объектов на базе принципиально новых электромеханических преобразователей энергии повышенной надежности: отчет о НИР № 13-08-96515/14 (РФФИ и Администрация Краснодарского края) / Б.Х. Гайтов, Я.М. Кашин,

Л.Е. Копелевич, Н.В. Ладенко, Р.А. Пахомов, А. В. Самородов. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23538461

10. Аксиальный бесконтактный двигатель-генератор: патент на изобретение RU 2529210 C1, 27.09.2014. Заявка № 2013144515/07 от 03.10.2013 / Б.Х. Гайтов, Я.М. Кашин, А.С. Князев, А.Я. Кашин,

С.А. Пудов. URL:

https://yandex.ru/patents/doc/RU2529210C1_20140927

11. Кашин Я.М., Кашин А.Я., Князев А.С. Радиально-аксиальная двухвходовая бесконтактная электрическая машина-генератор: патент на изобретение RU 2585222 C1, 27.05.2016. Заявка № 2015103506/07 от 17.04.2017. URL:

https://yandex.ru/patents/doc/RU2585222C1_20160527

12. Включение двухмерных машин на общую нагрузку / Б.Х. Гайтов, Я.М. Кашин, Н.В. Ладенко, А.В. Самородов // Энергосбережение и водоподготовка. 2014. № 1 (87). С. 71-73.

13. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин: учеб. для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. Москва: Высш. шк, 2001. 248 с.

ences degree. Krasnodar, 2002. 149 p.

2. Two-dimensional electric machine: patent for invention RU 2332775 C1, 27.08.2008. Application No. 2006143133/09 dated 05.12.2006 / B.Kh. Gaytov, A.V. Samorodov, T.B. Gaytova, L.E. Kopelevich. URL:

https://yandex.ru/patents/doc/RU2332775C1_20080827

3. Controlled two-dimensional electric machine: patent for invention RUS 2349016, 2007 / B.Kh. Gaytov,

A.V. Samorodov, T.B. Gaytova, L.E. Kopelevich. URL:

https://yandex.ru/patents/doc/RU2349016C2_20090310

4. Wind-solar generator for autonomous power supply systems / B.Kh. Gaytov, Ya.M. Kashin, L.E. Kopelevich, A.V. Samorodov, A.Ya. Kashin, A.O. Skhashok, V.A. Kim // Electricity. 2018. No. 1. P. 1927.

5. Samorodov A.V., Kashin Ya.M., Kopelevich L.E. Electromechanical converters for energy systems based on renewable energy sources // International Scientific Research Journal. 2017. No. 11-4 (65). P. 70-72.

6. Wind-solar generator / B.Kh. Gaytov, Ya.M. Kashin, L.E. Kopelevich, A.V. Samorodov, V.A. Kim, A.O. Skhashok, A.Ya. Kashin // Energy Saving and Water Treatment. 2017. No. 6 (110). P. 25-30.

7. Kashin Ya.M., Kashin A.Ya., Knyazev A.S. Three-input axial generator plant: patent for invention RU 2589730 C1, 10.07.2016. Application No. 2015131666/07 dated 29.07.2015. URL:

https://yandex.ru/patents/doc/RU2589730C1_20160710

8. Three-input axial generator plant: patent for invention RU 2647708 C1, 19.03.2018. Application No. 2017113229 dated 17.04.2017 / Ya.M. Kashin,

A.Ya. Kashin, L.E. Kopelevich, A.V. Samorodov, M.S. Khristoforov. URL:

https://yandex.ru/patents/doc/RU2647708C1_20180319

9. Creation of perspective systems of autonomous power supply of objects on the basis of fundamentally new electromechanical energy converters of increased reliability: research report No. 13-08-96515/14 (RFFI and Administration of the Krasnodar territory) /

B.Kh. Gaytov, Ya.M. Kashin, L.E. Kopelevich, N.V. Ladenko, R.A. Pakhomov, A.V. Samorodov. URL: https://www.elibrary.ru/item. asp?id=23538461

10. Axial contact-free engine-generator: patent for invention RU 2529210 C1, 27.09.2014. Application No. 2013144515/07 dated 03.10.2013 / B.Kh. Gaytov, Ya.M. Kashin, A.S. Knyazev, A.Ya. Kashin,

S.A. Pudov. URL:

https://yandex.ru/patents/doc/RU2529210C1_20140927

11. Kashin Ya.M., Kashin A.ya., Knyazev A.S. Radialaxial two-input non-contact electric machine-generator: patent for invention RU 2585222 C1, 27.05.2016. Application No. 2015103506/07 dated 17.04.2017. URL:

https://yandex.ru/patents/doc/RU2585222C1_20160527

12. The inclusion of two-dimensional cars in the total onload / B.Kh. Gaytov, Ya.M. Kashin, N.V. Ladenko, A.V. Samorodov // Energy Saving and Water Treatment. 2014. No. 1 (87). P. 71-73.

13 Kopylov I.P. Mathematical modeling of electrical machines: a textbook for higher schools. 3rd ed., rev. and add. M.: Vysshaya Shkola, 2001. 248 p.