CC BY
14
УДК 539.371; 629.7.02
МОДЕЛЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ЗАНЕВОЛИВАНИЯ ЛЕНТЫ СПИРАЛЬНОГО ПРУЖИННОГО МЕХАНИЗМА СТЫКОВОЧНОГО АГРЕГАТА
Я.В. Рассказов
Рассмотрен вопрос расчёта формы пружинной ленты после операции упруго-пластического заневоливания, использующейся в составе пружинного механизма с нелинейной характеристикой жёсткости.
Ключевые слова: стыковочный агрегат космического аппарата, спиральная ленточная пружина, упругопластическое заневоливание.
Одной из ключевых технологий при создании пилотируемых космических комплексов является их сборка на орбите с использованием стыковочных агрегатов [1]. Последние сорок лет Россия была практически монополистом в этой области. Разработанные в это время стыковочные агрегаты устанавливались не только на отечественные, но и на американские («Space Shuttle») и европейские («ATV») космические корабли. В настоящее время ведущими национальными космическими агентствами при участии РКК «Энергия» и других компаний разработан международный стандарт стыковочных интерфейсов [2], обеспечивающий возможность сотрудничества в перспективных космических программах. Поэтому актуальной задачей является разработка проекта нового, совместимого с этим стандартом стыковочного агрегата, в котором для демпфирования кинетической энергии сближения кораблей традиционно используются механические, наиболее надежные элементы, в частности пружинные механизмы (ПМ). Для упрощения конструкции и обеспечения ее заданных свойств планируется применить спиральный ПМ с нелинейной характеристикой жесткости.
Требуемая нелинейная характеристика жесткости наиболее просто может быть обеспечена переменной шириной пружинной ленты (ПЛ). Однако в различных областях техники традиционно применяются ПМ только с постоянной шириной ленты. Во многом это объясняется их целевым назначением, а также тем, что для их расчета разработаны хорошие приближенные инженерные методики [3, 4]. Более точные компьютерные модели и алгоритмы отсутствуют из-за неразвитости и недоступности вычислительных средств в период наибольшей востребованности ПМ такого рода, а также из-за отсутствия острой практической потребности до настоящего момента.
Для расчёта деформации ПЛ переменной ширины в [5] был предложен способ ее компьютерного представления в виде цилиндрических конечных элементов. Исходные данные для такой модели включают в себя
116
начальную форму ПЛ, получаемую в результате ее упругопластического заневоливания в процессе изготовления. В [4] предложен графический способ построения такой формы, основанный на экспериментальных данных для наиболее распространённых пружинных сплавов. Аналитический способ расчета упругопластической деформации балки прямоугольного сечения на основе физических характеристик материала представлен в [6]. Но в нем предполагается, что балка изгибается чистым моментом, в то время как при заневоливании на ленту на неё действует не только момент, но и набор сил неизвестной (трение) и известной (натяжение ленты для её плотной укладки на вал) величины. В работе [7] для приближённого расчёта формы стержней при произвольном упругом изгибе вводится предположение, что осевой слой стержня, ранее полагавшийся нерастяжимым при консольном изгибе [8], на самом деле также подвержен растяжению и участвует в создании противодействующей силы. При этом нерастяжимый слой может существовать, но не совпадать с осевым. То есть стержень при наличии действующих сил изгибается относительно не своего осевого слоя, а некоторого другого нерастяжимого.
В данной работе предлагается компьютерная методика расчета формы ПЛ после заневоливания, основанная на ее представлении в виде большого числа сегментов, для каждого из которых величина радиуса остаточной деформации определяется аналитически. Показывается, что величина этого радиуса не зависит от ширины сегмента. Для расчета в декартовых координатах формы ленты в общем случае переменной ширины после ее заневоливания разработан рекуррентный численный алгоритм, основанный на использовании цилиндрических конечных элементов. Рассчитанная форма ПЛ позволит определить момент сопротивления пружинных механизмов, планирующихся к применению в перспективном стыковочном агрегате.
Расчёт радиуса остаточного закругления произвольного сегмента ПЛ после заневоливания. Согласно [4] упругопластическое зане-воливание ПЛ прямоугольного сечения толщиной Ид и длиной £ представляет собой плотную намотку ленты на вал радиусом Я^, равным радиусу рабочего вала ПМ, и последующую выдержку в таком состоянии в течение некоторого времени (рис.1). После снятия удерживающих оправок ПЛ принимает характерную форму спиральной пружины.
При заневоливании изначально прямой ПЛ, в которой отсутствуют внутренние напряжения, каждый её малый сегмент постоянной ширины Ь и деформированный до радиуса его заневоливания Я создаёт момент реакции М (Я), обусловленный сопротивлением деформированных на относительную величину е(И) слоёв, где И - расстояние от нерастяжимого слоя до рассматриваемого (рис. 2, а). После снятия оправки этот момент будет стремиться вернуть сегмент или в исходное состояние (если он деформи-
ровался упруго), или в состояние, в котором у него останется некоторый радиус остаточного закругления Яо (рис. 2, б), при котором суммарный момент в сегменте будет равен нулю.
Рис. 1. Форма пружинной ленты длинной Б в процессе заневоливания
Рис.2. Деформация произвольного сегмента ПЛпри заневоливании (а)
и его остаточная деформация (б):
1 - нерастяжимый слой; 2 - растягивающая часть ленты;
3 - сжимающаяся часть ленты
Момент М, создаваемый сегментом, и радиус остаточного закругления Яо определяются следующим образом.
1. Рассчитывается относительная деформация е(И, Я) = И / Я [9] внутри сегмента при условии, что в ленте имеется нерастяжимый, но изгибаемый слой. Для предотвращения разрушения ПЛ относительная деформация слоёв е ПЛ не должна превышать 8- относительного удлинения при разрыве.
2. Определяются напряжения в сегменте а(И, Я) = а(е(И, Я)) на основе использования диаграммы растяжения/сжатия материала ленты <г(е), полученной экспериментально или из справочных данных.
3. Определяется значение интегрального момента M(R) сопротивления, создаваемого деформированным сегментом:
hi
M(R) = js(h, R) • b • dh • h + js(h, R) • b • dh • h, (1)
0 0 где h i-толщина растягивающейся части ленты (находящейся выше нерастяжимой линии), h2 - толщина сжимающейся части ленты (находящейся ниже нерастяжимой линии); hj = h i+ h2 (рис. 2, a). Для вычисления значения интеграла (1) используется компьютерная программа.
В отличие от описанных в [6, 10] моделей распределения напряжений в ПЛ в данной работе допускается, что hi Ф h2 и вводится параметр p = hi/ hj, который используется для корректировки формы ПЛ при её расчёте для лучшего совпадения с реальными образцами.
4. Определяется радиус остаточного закругления Ro из приведенного в [11] соотношения для упругого изгиба
__1_ = M (R)
R R0 = H '
где H = E • J - жесткость ПЛ на изгиб; E — модуль Юнга; J - осевой момент инерции сечения сегмента
J = bh\ /12. (2)
В итоге радиус остаточного закругления сегмента R0
R0 =-RH-. (3)
0 H - M (R)R
Из последней формулы можно сделать следующие выводы.
1. Если H = M(R)R, то R0 ® ¥, то есть лента деформирована упруго и после снятия нагрузки возвращается в исходное состояние.
2. Учитывая, что ширина отдельного сегмента b = const, в формуле (1) этот параметр можно вынести в виде общего множителя:
h h2 Л
j"s(h, R) • dh • h + js(h, R) • dh • h , а ис-V0 0 ) пользуя формулу (2), допустимо представить жесткость на изгиб H в виде
H = b • CH,
где Ch = E • h3jj /12.
При подстановке этих значений в (3) параметр b сокращается и
R0 = RCh . (4)
0 Ch - fM (R)R
119
M(R) = b • fM (R), где fM (R) =
Отсюда следует, что для ПЛ прямоугольного сечения радиус остаточного закругления Яо не зависит от ширины сегмента Ь .
Компьютерный расчёт декартовых координат формы пружинной ленты послё её заневоливания. В процессе реального упру-гопластического заневоливания каждый сегмент ленты имеет собственный радиус заневоливания, поскольку к моменту его укладки на вал уже произошла намотка всего предыдущего участка, что увеличило радиус опоры, поэтому следует учитывать, что согласно [5] радиус бобины Я( я), состоящей из вала радиуса Яв и плотно намотанной на него ленты толщиной Ид длиной я,
где 0 < я < Б (Б - длина ПЛ).
Если полагать, что каждый 1-й сегмент ленты отстоит на расстоянии от внутренней заделки ПЛ, то подстановкой этого значения в формулу (4) в виде Я = Я(яг-) определяется его радиус остаточного закругления
Для определения формы ПЛ предлагается выполнить преобразование сегментов ПЛ в цилиндрические КЭ, представленные в работе [4].
Цилиндрический КЭ представляет собой сегмент тонкостенного цилиндра среднего радиуса Яо 1, высотой Ь и толщиной стенки И. Совокупность КЭ образует деформируемую ПЛ.
Каждый 1-й элемент определяется следующими параметрами (рис. 3):
1) координатами Р{ = (х^, у) или радиус-вектором гр ^ его левого,
жестко заделанного конца в декартовой системе ХОУ, используемой для описания деформаций всей пружинной ленты;
2) радиусом остаточного закругления Яо 1 характеризующим кривизну сегмента тонкостенного цилиндра с единичным вектором е ;
3) углом ^ между осью X и единичным вектором е^ 1 касательной к окружности среднего сечения цилиндра в точке Р1 = (х^, у^);
4) длиной АI хорды цилиндрического сегмента, определяющей точность конечно-элементного представления ПЛ;
5) высотой Ь^ цилиндра, симметричного относительно его средней
Я(яг) Сн
Сн - /м (Я(яг ))Я(яг)
линии;
6) толщиной к стенки цилиндра КЭ (на рисунке параметр не показан);
7) угловой жесткостью КЭ Н/ = Е • J/ где Е - модуль Юнга; J/ -осевой момент инерции, Ji = Ь/к /12.
Точка Ся / является проекцией оси цилиндра на плоскость ХОТ .
Рис. 3. Цилиндрический конечный элемент (а) и его поперечное сечение (б)
Для расчета формы спиральной кривой ПЛ в декартовых координатах ХОУ реализуется следующий алгоритм (см. рис. 4) (Ро = (0,0) и тЗо = 0 полагаются для размещения начала ПЛ в центре оси координат, но допустимо выбирать начальные условия исходя из удобства представления ПЛ).
1. Для очередного /-го КЭ выбирается точка р на спиральной кривой ПЛ, определяемая радиус-вектором гр /.
2. Вычисляется радиус-вектор точки /: гея / = гр / + Я/ еп /.
3. Определяются радиус-векторы гсд и г с,2 точек с и С2 пересечения окружности радиуса Я/ с центром Ся / и окружности радиуса АI с центром р/ .
4. Определяется радиус-вектор исходной точки р/+1 следующего, (/+1)-го КЭ: если гс 1 • ег / > 0, то гр /+1 = гс 1, в противном случае
ГР,/+1 = г с,2 .
5. Определяется единичный вектор е+1 = [ еП1+1, еуп1+1]Т отрезка р+1СЯ,/.
6. Из условия е(, I+1 • еп, I+1 = 0 или ;+1еП, г+1 + +1еп, 7+1 = 0 опре" деляется единичный вектор г+1 = [ е* 1+1, еу 1+1]Т касательной к линии пружинной ленты в исходной точке р+1 следующего (г+1)-го КЭ: так как еП г+1, еП г+1 известны, то с учетом направления осей X и У е* 1+1 = еуп 1+1
и е1 г+1 ="< г+1);
7. Выбирается следующий (г+1)-й КЭ и выполняется переход на
п. 1.
Рис. 4. Последовательное определение декартовых координат точек пружинной ленты при заданном моменте
Результаты компьютерного моделирования упруго-пластического заневоливания. Для верификации представленной модели проводились заневоливание образцов пружинной ленты, изготовленной из различных материалов, и сравнение результатов с расчетом. При этом при отсутствии точной диаграммы растяжения а(е) предполагалось, что линейно растущее в зависимости от деформации напряжение а в материале стержня ограничено напряжением текучести ао 2, по достижению которого волокна деформируются пластически.
На рис. 5 изображен образец ПЛ толщиной 0,35 мм, длиной 100 мм, выполненный из пружинной стали 60С2А с пределом текучести а0 2 = 1360 МПа, модулем Юнга Е = 210 ГПа и заневоленный на валу ра-
122
диусом Яв = 16,25 мм. При подстановке всех значений в (4) определено Яо = 71 мм . Реальная деформация ПЛ также имеет радиус остаточного закругления, равный 71 мм.
« = 71 мм
( м I Щ
ч А' о - 71, АМ
/
/
/ ч
......+• • ■
а б
Рис. 5. ПЛ из стали 60С2А, размещенная на чертеже и освещённая точечным светильником (а), и компьютерная модель (б): 1 - место расположения точечного светильника; 2 - тень ПЛ
На рис.6 изображен образец ПЛ толщиной 1.5 мм, длиной 1200 мм, выполненный из алюминиевого сплава типа АМг6 с пределом текучести сто 2 = 340МПа, модулем Юнга Е = 71 ГПа и заневоленный на валу радиусом Яв = 23.5 мм. Остаточный радиус закругления первого витка и число витков совпадают для реального образца и компьютерной модели.
а б
Рис. 6. ПЛ из сплава АМг6 (а) и её компьютерная модель (б)
123
На рис.7 изображен образец ПЛ толщиной 0.42 мм, длиной 1400 мм, выполненный из неизвестного сплава (предположительно 40КХНМ) с пределом текучести Од 2 = 1800 МПа, модулем Юнга Е = 210ГПа и зане-воленный на валу радиусом Яв = 4.5 мм. Исходя из резкого изменения кривизны на концах ленты, полагается, что технология, по которой изготовлена данная лента, включает отжиг её концов, поэтому на этих участках предел текучести выбирался О к = О) 2 /3. Так как технология изготовления достоверно неизвестна, не удалось добиться хорошего совпадения формы образца и компьютерной модели, однако число витков образца и модели совпадает. Кроме того, компьютерная модель ПЛ имеет характерную форму спиральной пружины.
а б
Рис. 7. ПЛ, изготовленная по неизвестной технологии предположительно из сплава 40КХНМ (а) и её компьютерная
модель (б)
Сравнение образцов ПЛ с их компьютерными моделями показало достаточно большую точность разработанной методики даже при упрощенной диаграмме растяжения материала ПЛ.
Вывод. Разработана методика расчёта формы спиральной ПЛ в декартовых координатах после ее упругопластического заневоливания. Приведены результаты ее верификации для ряда образцов из различных материалов. В дальнейшем верификация будет проведена для пружинной ленты, предназначенной для использования в пружинном механизме амортизатора стыковочного агрегата. Рассчитанная по данной методике форма ПЛ позволит определить зависимость момента сопротивления пружинного механизма от угла закрутки его вала. Эта характеристика является ключевой при проектировании стыковочного агрегата и при моделировании динамики стыковки космических аппаратов.
124
Список литературы
1. Сыромятников В.С. Стыковочные устройства космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1984. 216 с.
2. International Docking System Standard (IDSS) Interface Definition Document (IDD), 2017.
3. Пономарёв С. Д., Андреева Л.Е.. Расчет упругих элементов машин и приборов. М.: Машиностроение, 1980.327 с.
4. Гевондян Т. А. Пружинные двигатели. М.: Государственное издательство оборонной промышленности, 1956. 368 с.
5. Рассказов Я.В., Яскевич А.В. Цилиндрические конечные элементы для расчёта деформации пружинной ленты // Сборник трудов IV Региональной научно-технической конференции "Высокие критические электро-и нанотехнологии". Тула: Изд-во ТулГУ, 2016. С. 113-116.
6. Валиуллин А.Х. Чистый упругопластический изгиб балки // Вестник Казанского технологического университета, 2013. №21. Т. 16. С. 221 - 224.
7. Артюхин Ю.П. Приближённый аналитический способ исследования деформации пространственных криволинейных стержней // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2012. Т.154. К. 3. С. 97-111.
8. Попов Е.П. Теория и расчёт гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986. 297 с.
9. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1966. 512 с.
10. Ачеркан Н.С. Справочник машиностроителя. М.: Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы, 1955. С. 648-650.
11. Быков В. А. О сопротивлении пластически обжатых пружин // Вопросы проектирования, изготовления и службы пружин. М.: Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы, 1956. 268 с.
Рассказов Ярослав Владимирович, инженер-программист, yaros-lav.rasskazov@rsce.ru, Россия, Королёв, ПАО «РКК «Энергия»
THE MODEL OF ELASTIC-PLASTIC DEFORMA TION OF THE SPIRAL SPRING MECHANISM TAPE OF DOCKING UNIT
Y.V. Rasskazov
The problem of calculating the shape of a spring tape after the operation of elastic-plastic deformation, used in the spring mechanism with a nonlinear stiffness characteristic, is considered.
Key words: space docking mechanism, spiral spring tape, elastic-plastic deformation.
Яasskazov Yaroslav Vladmirovich, software designer, yaroslav. rasskazov@rsce. т, Яussia, Korolev, PJSC «ЯSC«Energia»
УДК 539.3
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ «ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ» В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ
НАГРУЖЕНИИ
В.В. Фирсанов
В рамках уточненной теории рассматривается осесимметричная цилиндрическая оболочка для двух вариантов аппроксимации перемещений полиномами по нормальной координате. Степень полиномов на один-два порядка выше по сравнению с принятыми в классической теории Кирхгофа-Лява. Уравнения состояния оболочки представляются в виде трехмерных уравнений упругости. Приводятся основные уравнения в перемещениях и краевые условия, полученные в результате минимизации энергетического функционала Лагранжа. Даны аналитические решения краевых задач для вариантов уточненной теории. Установлено существенное влияние краевых эффектов типа «погранслой» на напряженное состояние оболочки. Дается сравнение результатов расчета напряженного состояния оболочки по классической и уточненной теориям.
Ключевые слова: замкнутая цилиндрическая оболочка, два варианта уточненной теории расчета, аппроксимирующие полиномы, вариационный принцип Лагранжа, краевые условия, преобразование Лапласа, напряженно-деформированное состояние «погранслой», локальная нагрузка, характеристическое уравнение, поперечные нормальные напряжения.
Построение уточненных теорий и методов определения НДС пластинок и оболочек позволит решить проблему расчета на прочность таких авиационных конструкций, как силовые корпуса летательных аппаратов, различные переходные зоны и соединения, а также элементов конструкций в различных отраслях машиностроения и в строительном деле.
Учет трёхмерности НДС в элементах конструкций в сочетании с методами механики разрушения дает возможность оценить трещиностой-кость в наиболее нагруженных зонах, более обоснованно выбрать тип конструкционного материала и рациональным образом распределить его вблизи концентраторов напряжений. Результаты расчета общего, местного НДС пластинок и оболочек могут быть использованы при обосновании режимов лабораторных испытаний на действие статических нагрузок, вибраций и ударов.
