Модель функционирования нелинейного спирального пружинного механизма стыковочного агрегата Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.371; 629.7.02

МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО СПИРАЛЬНОГО ПРУЖИННОГО МЕХАНИЗМА СТЫКОВОЧНОГО

АГРЕГАТА

Я.В. Рассказов

Рассмотрены модель функционирования и расчёт нелинейной характеристики жесткости спирального пружинного механизма с лентой неубывающей ширины, использование которого планируется в составе перспективного периферийного стыковочного агрегата. Приведены результаты верификации и валидации модели.

Ключевые слова: спиральный пружинный механизм, математическое моделирование, нелинейная характеристика жёсткости.

Одной из ключевых технологий при создании крупных космических комплексов является их сборка на орбите с использованием стыковочных агрегатов [1]. Последние сорок лет Россия была практически монополистом в этой области. Разработанные стыковочные агрегаты устанавливались на отечественные, американские (Space Shuttle) и европейские (ATV) космические корабли. В настоящее время разработан Международный стандарт на системы стыковки [2], обеспечивающий возможность сотрудничества в перспективных космических программах. Поэтому актуальной задачей является разработка совместимого с этим стандартом стыковочного агрегата [3], в котором для демпфирования кинетической энергии сближения кораблей используются механические, наиболее надежные элементы, в частности пружинные механизмы (ПМ). Для упрощения конструкции и обеспечения её заданных свойств, планируется применить спиральный ПМ с нелинейной характеристикой жёсткости, методики расчета параметров которого в настоящее время отсутствуют.

Спиральный ПМ, представленный на рис.1, состоит из входного вала радиусом Rв , соосного с ним барабана радиусом Rб и пружинной ленты (ПЛ) толщины h, длины S и переменной ширины b(s), где s — расстояние от внутренней заделки ПЛ на

валу до её участка, которому соответствует указанная ширина. ПМ используется для создания момента сопротивления повороту входного вала в направлении закрутки пружинной ленты, которая сопровождается увеличением числа её витков.

В работе [4] рассматривается компьютерная методика определения формы спиральной ПЛ после операции упруго-пластического заневоливания [5]. В работе [6] рассматривается компьютерная методика расчёта деформации пружинной ленты неубывающей ширины в случае приложения к её концам заданного изгибающего момента.

В данной работе предлагается модель функционирования спирального ПМ с лентой неубывающей ширины, позволяющая численно определить его характеристику жёсткости, объединяющая в себе результаты работ [4,6]. При этом, в отличие от методики [5] и её развития [7], основанных на диаграммах изгиба, в качестве исходных данных для расчёта используются диаграммы растяжения материала пружинной ленты, которые можно получить экспериментально, используя типовое лабораторное оборудование. В работе не рассматриваются возможные межвитковые контакты, они учитываются через использование коэффициента качества (КПД спирального ПМ), определяемого экспериментально.

Предлагаемая модель функционирования позволяет проводить исследование влияния параметров ПМ на итоговую характеристику жёсткости, что позволяет существенно снизить долю экспериментальной отработки при проектировании спирального ПМ, отвечающего заданным требованиям.

Рис. 1. Спиральный пружинный механизм: 1 — неподвижный барабан; 2 — пружинная лента; 3 — входной вал

Подготовка исходных данных. Исходными данными являются упомянутые выше параметры ПМ, геометрические параметры ПЛ и физические свойства материала, из которого она изготовлена.

Геометрические параметры ленты - это толщина И, длина £ и переменная ширина Ь(ь). Ввиду того, что в модели не учитываются контакты витков ленты между собой, для корректного представления следует задавать ленту монотонно неубывающей ширины. Т.е. для любого +1 > должно выполняться условие

Ь+1 > Ьг-, где I — номер некоторого измерения ширины Ь^ ленты в её сечении, находящемся на расстоянии от заделки на валу. Если этому не следовать, то внешние, более узкие и потому податливые витки ленты, будут под воздействием момента с усилием внедряться в более широкие внутренние. А это приведет к снижению КПД пружинного механизма вплоть до возможного самоторможения. Такая ситуация была исключена из рассмотрения как неприемлемая.

Физические свойства ленты определяются диаграммой растяжения её материала, то есть зависимостью напряжения от относительного удлинения о(£) . Её

можно получить путем растяжения образца согласно [8]. Диаграмма растяжения существенно влияет на форму пружинной ленты, а, следовательно, и на характеристику жёсткости пружинного механизма, в котором эта лента используется [5]. Модуль Юнга материала Е определяется по характерной линейной области упругой деформации диаграммы растяжения: Е = (лтр /£л>пп, где (л,пп - выбираемое в конце упругого

участка напряжение в материале ленты, а £лтп - соответствующее ему относительное

упр

удлинение.

Упруго-пластическое заневоливание. Расчёт формы пружинной ленты толщиной И и длиной £ после заневоливания на валу радиусом Яв выполняется по

методике, описанной в [4]. Лента представляется в виде плоских сегментов, каждый из которых по отдельности деформируется моментом до достижения им кривизны равной радиусу опоры. Деформация слоёв сегмента ленты в зависимости от напряжения, может быть обратимой (упругой) и необратимой (пластической). После снятия нагрузки часть слоёв сегмента начинает противодействовать его полному распрямлению, поэтому существует некоторый радиус закругления, в котором влияние слоёв уравновешивается. Он называется радиусом остаточного закругления [4]. Сегменты с известным радиусом остаточного закругления интерпретируются как цилиндрические конечные элементы (КЭ). Форма точек ленты в декартовых координатах определяется по кривизне цилиндрических КЭ с использованием алгоритма её восстановления [6].

На рис.2, а представлен результат определения формы пружинной ленты из стали 40КХНМ толщиной 0.42 мм и длиной 2000 мм на валу радиусом 4 мм (цена делений сетки - 50 мм), имеющей диаграмму растяжения материала, представленную на рис.2б.

Преобразование результатов моделирования формы ленты после заневоливания в исходные данные модели угловых деформаций. Входными данными модели [6] является набор углов 3} между касательными в точках Р{ = (, у^) к поверхности ленты и осью X системы координат, находящихся на расстоянии от внутренней заделки В по ленте (см. рис.За). Этот способ описания формы был заимствован из [9].

а б

Рис. 2. Форма пружинной ленты толщиной 0.42 мм после заневоливания (а) и диаграмма растяжения её материала (б)

Ниже приведён алгоритм преобразования выходных данных модели [4] (декартовых координат точек Р^ = (х^, у^)) во входные данные модели [6]. Предполагается, что лента разбита на КЭ с хордой длиной I (см. рис.Зб). Для точки внутренней заделки ленты В = Р0 = (Х0, У0) положение касательной задаётся вектором Т

т = [ хт,ут] .

Рис. 3. Способ описания формы пружинной ленты (а) и поворот касательных при переходе к следующему сегменту ленты (б)

1. Вычисляется угол касательной к оси X в точке /д:

. Г т • X ^

Ц = агссоэ

,|т |-|Х

Т

где X = [1,0] - единичный вектор, сонаправленный оси X;

2. Определяется расстояние от внутренней заделки = I и угол касательной к оси X в точке Р1 (номер рассматриваемого КЭ / = 1):

Ц = Ц) + а1 = Ц) + 2агссоэ

т • Г1

,|т|-|г1| _

Т

где Г1 = [ Х1 - X), У1 - У0] - вектор из точки Р) в точку Р1;

3. Выполняется переход к следующему КЭ: / := / +1;

4. Вычисляется угол касательной в точке Р/, находящейся на расстоянии

Т

/ • I ( Г/ = [X/ - X—, Уг - У}-1 ] - вектор из точки Р{- в р):

Ц = Ц_1 + а = Ц- + агссоэ

с л

Г/-1 • Г/

| Г- | • | Г/ |

5. Если КЭ под номером / - последний, то завершить алгоритм, иначе перейти к п.3 алгоритма.

Таким образом, параметры КЭ ПЛ приведены в вид исходных данных модели угловых деформаций ПЛ [6]. На рис.4 представлена зависимость угла Ц между касательными к поверхности ленты, изображенной на рис.2а, и осью X от расстояния £.

Рис. 4. Зависимость угла между касательной в точках ПЛ и осью X СК от расстояния по ленте до точки внутренней заделки

Моделирование функционирования ПМ и его характеристики жёсткости.

Функционирование спирального ПМ наблюдается в виде углового перемещения точки Е, принадлежащей последнему КЭ ленты (месту её заделки на барабане) относительно центра вала. Для начала рассматривается конфигурация ПМ без барабана. На рис.5 представлены деформации пружинной ленты постоянной ширины Ь = 10 мм, свободная форма которой представлена на рис.2а. На рис.5а к концам ленты приложен момент М(1) = 0.09 Н • м, на рис. 5б - М(2)

= 0.10 Н • м. Расчёт формы ленты проводился в

соответствии с методикой [6].

На рис.5 наглядно видно, что внешняя, свободная точка Е(к) = (хЕ), уЕ))

ПЛ (где к - порядковый номер приложенного момента) движется по некоторой траектории вокруг центра вала С = (хв, ув ) ПМ. То есть, угол поворота вала между двумя

310

£

приложенными моментами М(к) и М(к+1) является углом между двумя соответствующими векторами из центра вала в крайние точки ленты ) = [хЕ) - хв, уЕ) — ув ]Т

и .

(к+1) = [ х(к+1)

Е

Е

х

в, у(Ек+1) — ув]Т, определяющийся следующим образом:

' (к) в (к+1) ^

а к, к+1 = атсс08

ь Е '8 Е

I 8 ? )|.|. Е+1)|

(1)

Рис. 5. Изменение формы ленты без учета барабана при её нагружении моментами

М(1) = 0.09Н • м (а) и М(2) = 0.1 Н • м (б)

Для исключения ошибки в один оборот шаг увеличения момента

ДМ = М(к+1) — М(к) выбирается экспертно так, чтобы ак к+1 < 360°. Для отсутствия

необходимости определения знака $т(ак к+1) рационально выбирать ДМ так, чтобы

ак, к+1 < 90°. На рис.5 90° < ак, к+1 < 360°.

При деформации ленты изгибающим моментом во время закрутки внутренние витки приближаются к опоре и последовательно укладываются на неё. При этом для каждого I -го КЭ должно выполняться условие [6]:

я(к) >д/яВ + (I — 1) • I • Н / р,

где Я(к) - радиус I -го КЭ при его деформации к -м моментом, I - длина хорды КЭ, Н - толщина ленты.

Для учёта укладки ленты на барабан предлагается использовать следующее геометрическое условие. Если расстояние

4") ^а/сх^^а^У®^

от центра вала, обозначаемого точкой С = (хв, ув ), до точки Р^к) = (х(к), у(к)), являющейся началом I — го КЭ ленты, деформированной моментом М(к), превышает

радиус опоры Я^ =-уЯд — (Б — I • I)Н /р (где Б - длина ПЛ), то точка выходит за границы допустимой области и выполняется изменение радиуса Я(к) этого КЭ:

311

я(к ) =

Я§, если Я§ < ¿к) я(кесли Я§ > Ь(к)

В реальном ПМ лента деформируется не только чистым моментом, но и силой реакции от стенок барабана и вала (и плотно намотанной на них ленты). Но она не влияет на угол поворота входного вала, поскольку всегда направлена по нормали к поверхности и проходит через центр вала. Сила может смещать ленту в сторону и увеличивать трение, но не создаёт дополнительного момента, который изменяет число витков ленты.

Дополняя [6] представленным выше условием и методом оценки углового поворота барабана для малых приращений момента ДМ, можно получить модель спирального ПМ. Характеристика жёсткости ПМ в такой модели будет определяться следующим образом.

Поскольку угол поворота барабана ПМ при росте момента от М(к) до М(к+1)

определяется углом (1), абсолютный угол аК^ поворота вала от свободного состояния ПЛ до нагружения моментом М(К) при малых добавлениях ДМ :

„аЪя

вычисляется суммированием всех микроповоротов

К К = ХО = X агссоэ

0 о

(

(к), (к+1)

Л

|4к) I' I яЕ+1)|

На рис.ба представлен пример размещения ПЛ в барабане ПМ, а на рис.бб -характеристика его жёсткости. Радиус вала равен Яв = 4 мм , барабана Яб = 30 мм . Лента имеет толщину к = 0.42 мм, длину £ = 2000 мм, ширину Ь = 10 мм и изготовлена из стали 40КХНМ (диаграмму растяжения см. на рис. 2, б) путём заневоливания на валу радиусом 4 мм.

В характеристике вида М = /(п) на рис. 6, б не учитывается трение. В [7, 10]

для его оценки используется коэффициент качества К. Его экспериментально определяемое значение отражает величину потерь энергии на трение витков между собой и лежит в диапазоне К = 0.6...0.95 .

Рис. 6. Пример размещения ПЛ в механизме (а) и характеристика жёсткости, полученная в результате моделирования (б)

Коэффициент качества преимущественно зависит от типа заделки конца ленты на барабане и вида смазки, используемой в ПМ [7].

312

Учёт коэффициента качества в характеристике производится при взведении (закрутке) ПЛ следующим образом:

Mвзв = f (n)/ K,

а при спуске (расслаблении):

Men = f (n) • K.

На рис.7 приведён пример характеристики жёсткости спирального ПМ, коэффициент качества которого K = 0.8 . Взведение ПМ показано штрих-пунктирной линией, а спуск - штриховой. Коэффициент качества конкретной конструкции ПМ уточняется в процессе его отработки.

качества

Верификация модели спирального ПМ. Верификация модели спирального ПМ проводилась для частного случая ПМ, а именно пружинного двигателя (ПД), широко применяемого в механизмах часового типа. Для таких двигателей известны хорошо отработанные инженерные методики синтеза их параметров по заданной характеристике жёсткости (например, [5, 7, 10] и др.), поэтому можно косвенно подтвердить работоспособность модели.

В процессе верификации проводился синтез параметров ПД по заданной характеристике жёсткости [5], затем по рассчитанным параметрам ПД выполнялось моделирование спирального ПМ по описанной в настоящей работе методике и сравнение заданной в исходных данных характеристики с модельной.

Исходные данные для расчёта пружинного двигателя и синтезированные по [5] параметры приведены в таблице.

П гараметры пружинного двигателя

№ Обозначение Наименование параметра Значение

Исходные данные

1 M mm Минимальный рабочий момент, кгс-мм 380

2 M max Максимальный рабочий момент, кгс-мм 670

3 b Ширина пружинной ленты, мм 70.5

4 n раб Рабочий ход пружинного механизма, об 9.52

Синтезированные параметры пружинного двигателя

5 S Общая длина пружинной ленты, мм 2480

6 h Толщина пружинной ленты, мм 0.45

7 nl Число холостых оборотов пружинного механизма, об 1.3

8 RБ Внутренний радиус барабана, мм 29

9 Rb Радиус вала, мм 8.5

На рис.8 представлено сравнение заданных параметров характеристики жесткости (штриховая линия) и полученных в результате моделирования ПМ с синтезированными по типовой методике параметрами (сплошная линия).

Средняя ошибка данной моделированной характеристики жёсткости относительно заданной составляет 4% со стандартным отклонением не более 3.1%.

Рис. 8. Моделированная и заданная характеристики жёсткости ПД

Валидация модели спирального ПМ с лентой неубывающей ширины. Ва-

лидация производилась с использованием пружинной ленты из стали 60С2а толщиной к = 0.35мм в следующем порядке:

1. По имеющейся матчасти (лента длиной £ = 2200мм и шириной Ь = 84мм),

а также по справочным свойствам материала ленты (относительное удлинение до разрыва 8 = 7%) определялись радиус вала Яв = 8 мм и радиус барабана для заневолива-

ния Язан = 19 мм. Радиус вала выбирался таким образом, чтобы запас по растяжению слоёв ленты был не менее 3. Величина радиуса барабана для заневоливания выбиралась

из условия Язан > д/ЯВ + £' к / Р = 17.59 мм . Последнее значение соответствует радиусу бобины из ленты, плотно намотанной на вал.

2. Лента обрезалась гильотинными ножницами для придания ей трапециевидной формы (см. рис.9). Ширина в начале ленты Ьн = 9мм выбрана для надёжного закрепления ленты на валу. Длина трапециевидного участка 5 = 520 определялась экс-пертно, исходя из требований к характеристике жёсткости перспективного стыковочного механизма. Также на этом этапе вырезались образцы для определения характеристики жёсткости материала ленты размерами 200х20мм (согласно [8]).

Рис.9. Эскиз ленты неубывающей ширины с трапециевидным

участком в её начале

3. Определялась диаграмма растяжения (приведена на рис.10) материала ленты на испытательной машине w+b walter+bai ЬУБ-100кК.

314

Рис. 10. Диаграмма растяжения материала экспериментальной пружинной ленты

4. Лента заневоливалась в течение двух недель в приспособлении, схема которого представлена на рис. 11.

Рис. 11. Принципиальная схема приспособления для заневоливания 1 — пружинная лента; 2 — щель; 3 — вал; 4 — рукоятка; 5 — корпус;

6 — основание; 7 — конец ленты; 8 — подшипники

Внутренний, узкий конец ленты 1 заводился в щель 2 и закреплялся на валу 3. Вращением рукоятки 4 лента 1 втягивалась в щель 2, а связанный с основанием 6 корпус 5, действуя на край ленты, обеспечивал её деформацию чистым моментом. Трение ленты 1 о край корпуса 5 в области щели 2 пренебрежимо мало, поскольку уменьшалось смазкой ленты маслом. Радиус внутренней поверхности корпуса 5 выбирался равным радиусу бобины плотно намотанной на вал ленты, поэтому после намотки она заняла весь доступный объём корпуса, плотно обвивая вал 3.

5. После заневоливания производилось измерение характеристики жёсткости ленты в приспособлении, схема которого представлена на рис.12. Радиус барабана был выбран Я б = 25 мм. Регистрация показаний динамометра 8 производилась при ступенчатом вращении ручки 4 с шагом 45±5° сначала в направлении взведения пружинного механизма до упора, а затем без снятия нагрузки в направлении его спуска.

6. Выполнялось моделирование характеристики жёсткости ПМ и сравнение результатов эксперимента и моделирования.

На рис.13 представлена измеренная характеристика жёсткости (сплошная линия) и среднее значение момента между взведением и спуском (штриховая линия).

Средний коэффициент качества экспериментального ПМ составляет К = 0.88.

На рис.14 представлено сравнение среднего измеренного момента (штриховая линия) и результатов моделирования (сплошная линия для среднего момента и штрих-пунктирная - для моментов с учётом коэффициента качества ПМ К = 0.88 ).

10.

5 ....../... п

^ Пт =^1 1 X

НИ

И/ I1- "Г.....:-'Т \ \ ,х

а

и

Рис. 12. Схема экспериментальной установки: 1 — основание; 2 — барабан; 3 — вал; 4 — ручка; 5, 6 — подшипники; 7 — заделка ленты на валу; 8 — динамометр; 9 — ПЛ, 10 — рычаг измерения силы; 11 — противовес

Рис. 13. Измеренная характеристика жёсткости спирального ПМ

Рис.14. Сравнение моделированной и измеренной характеристик жёсткости спирального ПМ с лентой с трапециевидным участком

Средняя ошибка моделированной характеристики жёсткости относительно средней измеренной составляет 4.8% со стандартным отклонением не более 11.8%. Величина дисперсии связана, в основном, с неравномерностью взведения и спуска механизма вручную, неравномерностью межвиткового трения и прочими физическими факторами.

Вывод. Разработана модель функционирования спирального ПМ с лентой переменной ширины, позволяющая определить его характеристику жёсткости. Исходными данными являются геометрические параметры ПМ и ПЛ, а также физические свойства материала ПЛ (диаграмма растяжения). Проведена верификация и валидация. Модель может быть использована при проектировании устройств поглощения энергии перспективных стыковочных агрегатов.

Список литературы

1. Сыромятников В.С. Стыковочные устройства космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1984. 216 с.

2. International Docking System Standard (IDSS) Interface Definition Document (IDD). [Электронный ресурс] URL: http://internationaldockingstandard.com (дата обращения: 10.10.2018).

3. Яскевич А.В., Павлов В.Н., Чернышев И.Е., Рассказов Я.В., Земцов Г.А., Карпенко А.А. Периферийный стыковочный механизм // Заявка на патент РФ №2017119305 от 01.06.2017.

4. Рассказов Я.В. Модель упруго-пластического заневоливания ленты спирального пружинного механизма стыковочного агрегата // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2017. Вып. 6. С. 116-126.

5. Гевондян Т.А. Пружинные двигатели. М.: Государственное издательство оборонной промышленности, 1956. 368 с.

6. Рассказов Я.В., Яскевич А.В. Использование цилиндрических конечных элементов в модели угловых деформаций спиральной пружинной ленты амортизатора стыковочного механизма // Космическая техника и технологии, 2018. №1. С. 102-108.

7. Пономарёв С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. М.: Машиностроение, 1980. 327 с.

8. ГОСТ 11701-84. Металлы. Методы испытаний на растяжение тонких листов

и лент.

9. Попов Е.П. Теория и расчёт гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986.

297 с.

10. Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя. М.: Машиностроение, 2001. Т. 2.

Рассказов Ярослав Владимирович, инженер-программист,

yaroslav.rasskazov@rsce.ru, Россия, Королёв, ПАО «Ракетно-космическая корпорация «Энергия»

THE FUNCTION MODEL OF DOCKING UNIT NONLINEAR SPIRAL SPRING MECHANISM

Ya.V. Rasskazov

The function model and calculation of non-linear stiffness behavior of a spiral spring mechanism with a tape of non-decreasing width are considered. The spring mechanism is planned to use as part of a perspective peripheral docking unit. The results of verification and validation of the model are given.

Key words: spiral spring mechanism, mathematical modeling, nonlinear stiffness characteristic.

Rasskazov Yaroslav Vladimirovich, software designer, yaroslav. rasskazov@rsce. ru, Russia, Korolev, Energia RSC