CC BY
31
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 35-43 Механика
УДК 539.375
Модель трещины поперечного сдвига в теле конечных размеров &
В. В. Глаголев, М. О. Глаголева
Аннотация. Рассмотрена вариационная постановка для трещины типа моды II в теле конечных размеров. В отличие от классической модели трещины в виде математического разреза используется модель физического разреза. На продолжении физического разреза выделяется слой взаимодействия, толщина которого ограничена возможностью использования гипотезы сплошности. Распределение деформаций по толщине слоя постоянно и не зависит от геометрии границы между разрезом и слоем взаимодействия. Связь между напряжениями и деформациями определяется деформационной теорией пластичности. Задача сводится к решению системы двух вариационных уравнений относительно полей перемещений в частях тела, граничащих со слоем взаимодействия.
Ключевые слова: трещина, упругопластические деформации, характерный размер, метод конечного элемента.
Введение. Экспериментальные данные показывают, что направление развития трещины поперечного сдвига не совпадает с ее ориентацией [1-5]. Как правило, разрушение является завершающим этапом процесса деформирования, и материал проходит стадию как упругого, так и упругопластического формоизменения. Решение упругопластической задачи для тела с трещиной в рамках естественных для механики сплошной среды критериев перехода из упругого состояния в пластическое подразумевает конечность поля напряжений. Это приводит к рассмотрению новых представлений трещиноподобного дефекта. Одна из таких моделей была предложена в работах [6, 7] на основе представления трещины физическим разрезом толщиной §о, и материального слоя на его продолжении. Толщина слоя считается минимально допустимой в рамках гипотезы сплошности, и в этом случае распределение напряжений и деформаций полагается постоянным по толщине слоя. В рамках данной статьи
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (№ 467) и РФФИ (№ 13-08-00134, № 13-01-97501-р_центр_а).
предложена вариационная постановка для трещины моды II в теле конечных размеров. Приведено конечноэлементное решение задачи в рамках идеально упругопластической модели.
Постановка задачи. На рис. 1 представлено тело с трещиной в виде физического разреза толщиной до. Процесс нагружения предполагаем квазистатическим и изотермическим. Условие равновесия запишем в вариационной форме:
а ■ -дейв = J Р ■ 5шИ, (1)
51+2+3 Ь
где под номером 3 определена материальная область, лежащая на продолжении физического разреза; 1,2 — смежные с 3 области; Р — внешняя нагрузка на контуре Ь; а — тензор напряжений; е — тензор деформаций; и — поле перемещений.
Рис. 1. Тело с трещиной
В слое 3 средние напряжения, деформации и перемещения определяем через их граничные значения следующим образом [7]:
¿о/2
а (х\) = д- J а21 (Х1,Х2) =0.5 (а— + а^) , (2)
-до/2 до/2
а22 (Х1) = д" У а22 (Х1, Х2) йх2 = 0.5 (а-2 + а+2) , (3)
-до/2
¿0/2
а 11 (Х1) = д" У ац (Х1,Х2) йх2, (4)
-до/2
- (ж л (и2 (ж0 - и- (Х1А
в22 -¿о-у
(5)
-11 (*1) = 0.5( + ,
\ 9ж1 9ж1 )
дй1(ж1) и+(ж1) — и-(ж1) дХ2 ¿0 '
_ (6) ди2 (Ж1) _ 0 5? ди+ (Ж1) + ди- (ж1)\ дж1 ' \ дж1 дж1 ) '
и1 (ж1) _ 0.5 (и+ (ж1) + и- (ж^) , и2 (ж1) _ 0.5 (и+ (ж1) + и- (ж^) , (7)
где и+, и- — вектора перемещения верхней и нижней границ области 3.
Из выражений (6) приходим к представлению средней сдвиговой деформации вдоль слоя:
- < \ п^дй (ж1) дЙ1 (ж1) \
_0 / и+(ж1) - и- (ж1) + 05/ ди+ (ж1) + (8)
V ¿0 V 9ж1 9ж1 ) ) '
Напряжения по границе области 3: а+1, а- а+2, а- связаны со средними напряжениями условиями равновесия
х даи - + ^
¿о -9- _ - а+1, (9)
¿0 9ж7 _ а-2 - а+2 (10)
при условии симметрии касательных напряжений.
Принимаем, что векторы напряжений на сопряженных границах слоя 3 равны и противоположны векторам напряжений сопряженных границ тела. Кроме того, постулируется жесткое сцепление между границами областей 3 и областями 1,2.
Подставим выражения (2), (3), (9), (10) в (1), рассматривая граничные напряжения слоя в качестве внешней нагрузки для тел 1 и 2. При отсутствии внешних нагрузок по торцам слоя решение задачи о равновесии тела с трещиной сводится к совместному решению двух вариационных уравнений [7]: для тела 1
/ а ■ ■дейв + / а22ди+( + / а21ди+( + / а225и+М + / а21ди+61+
51 11 11 12 12
+до(/0.5ап ддШ+ 61 + 0.5 [ а21 61)+
.] ОХ1 .] дХ1
11 11
+о(/0.5а11 ддХт16,1 + 0.5 У а21 д^= { Р+ ■ 5исИ,
(11)
12
12
ь1
и тела 2
/ а ■ ■дейв — / а22ди-— J а215и-(И — J а225и-(И — / а21ди-61+
52 11 11 12 12
* * [ дди- „ ^ /■ дди- „. +5о(0.5 М + 0.5 61) +
11 11
+до(0.^У ап ддХЩ1- Я + 0.5 У а21 дд^ = У Р- ■ 5Ш,
12 12 ¿2
(12)
где 11, 12 — границы тел 3 и 4; Ь1, Ь2 — границы приложения внешней нагрузки для тел 1 и 2.
Отметим, что формулировка (11), (12) дана без ограничения на условия нагружения и форму тела.
Рис. 2. Итерационная последовательность метода «упругих решений»
Для решения уравнений (11) и (12) необходимо замкнуть модель конкретными определяющими соотношениями, связывающими напряжения с деформациями. В рамках данной статьи будем использовать деформационную теорию [8]. В соответствии с этой теорией связь между напряжениями и деформациями на стадии активного деформирования представляется в следующем виде:
ал = 2П еЛ
(13)
{а) = 3Кв. (14)
Здесь Gc = T/y — секущий модуль сдвига; T = ^ aj aj — интенсивность напряжений; y = 2^J£ij£ij — интенсивность деформаций;
{a) = (gii+032+о-зз) — гидростатическое напряжение; в = (£11 +£|2+езз) — относительное изменение объема; K = const — коэффициент объемного расширения. Свойства материала характеризуются универсальной зависимостью T = T (y) — «единой кривой». На стадии упругого деформирования, когда 0 ^ y ^ Yk, секущий модуль является постоянным модулем сдвига Gc = G = const.
Предполагаем, что на стадии пластического деформирования упрочнение отсутствует и выполняется условие Мизеса: T = Tk = const. Таким образом, «единая кривая» представляется в виде, показанном на рис. 2.
При решении упругопластической задачи будем использовать метод «упругих решений» [8]. В этом случае для областей, где из упругого решения получено T > Tk, задается итерационная последовательность для параметра Gi в связи (13) по схеме, показанной на рис. 2 штриховой линией. При этом коэффициент K в (14) считается неизменным. Итерационный процесс выполняется, пока для напряжений не будет выполнено равенство: Ti = Tk с заданной степенью точности.
При моделировании трещины поперечного сдвига в областях 1 и 2 вне слоя взаимодействия должна наблюдаться симметрия по напряжениям ai2 и антисимметрия по напряжениям ац, а22. Для реализации данного состояния приложим к точкам B и B' равные по модулю и противоположно направленные горизонтальные силы. При этом грани AF и A'F' закреплены от вертикальных перемещений. Для образца на рис. 1 имеем следующие граничные условия:
Fi = F; F2 = 0 для точки B; Fi = —F; F2 =0 для точки B'; u1 = 0; a21 = 0 для грани AF; u1 = 0; a21 = 0 для грани A'F'; вся остальная поверхность тела свободна от напряжений. Геометрические характеристики образца брались следующими: AF = 0.2м, AB = 0.05м, BC = = а = 0.02м.
С учетом граничных условий вариационные уравнения (11), (12) примут следующий вид: для тела 1
/ а ■ ■дейв + / а22ди+ М + / а21 ди+ М + / а22ди+ М + / а21 ди+ (1+
51
+до0.5а 11 + 0.51
11 11
+до0.5а 11 дддХ;!^ + 0.5 J а21 д^ (1) = ,
11
+ 0.5 / а21
дди+ „ч
^ХТ 61)+
дди+
(15)
и тела 2
/ а ■ ■дейв — / а22ди2 — / а21 ди- {а — / а22ди2 — / а21 ди- (1+
52 11 11 12 12
+до (0.5 / а и 61 + 0.5 / а 21^
дХ1
/дои
ац-^1 61 + 0.5
.5
а 21
дХ1
дди2-
дХ1
(16)
61) = —Гди-.
Решение задачи. Для решения вариационных уравнений (15), (16) с определяющими соотношениями (13), (14) использовался метод конечного элемента с линейным распределением поля перемещений. Механические свойства материала брались следующими: О = 8.75 ■ 10^Па, К = 1.17 х х 1011 Па, Тк = 6 ■ 108Па.
На рис. 3 показано развитие пластической зоны в концевой зоне трещины для плоского деформированного состояния.
Рост модуля момента пары сил приводит к росту пластической зоны вдоль слоя. Зона пластичности на рис. 3,а соответствует началу пластического деформирования в слое при значении параметра Г = Г, а зона на рис. 3,б — Г1 = 1.6Г.
Рис. 3. Развитие пластической зоны при плоской деформации
На рис. 4, 5 приведены значения среднего напряжения а 12 для слоя 3 в концевой зоне трещины при зонах пластичности, показанных на рис. 3.
Рис. 4. Распределение напряжений в слое для области пластичности, приведенной на рис. 3,а
Рассматривая в качестве начала разрушения критерий Кулона, получаем, что в зоне пластического деформирования максимальное главное напряжение остается постоянной величиной, поэтому разрушение не должно зарождаться в слое. Однако если рассмотреть прилегающий к слою элемент 1 на рис. 3 и проследить в этом элементе рост максимального главного напряжения, то оказывается, что при пластической зоне рис. 3,а максимальное главное напряжение в элементе 1 вне слоя в полтора раза меньше максимального главного напряжения в слое. Для пластической зоны рис. 3,б максимальное главное напряжение в элементе 1 в полтора раза больше максимального главного напряжения в слое. Таким образом, разрушение должно происходить в нижней части конструкции рис. 1,а при смене знака пары сил в верхней части, что соответствует результатам эксперимента работы [3]. Несмотря на наличие области пластического деформирования, разрушение будет инициироваться в части конструкции, деформируемой упруго.
В силу того, что основной вклад в напряженное состояние концевой области трещины моды II определяют касательные напряжения, то
результат для плоского напряженного состояния практически повторяет рассмотренный выше.
Список литературы
1. Thouless M.D, Hutchinson J.W., Liniger E.G. Plane-strain, buckling-driven delamination of thin films: model experiments and mode-II fracture // Acta metal. Mater. 1992, 40(10).P. 2639-2649.
2. Yang Q.D., Thouless M.D., Ward S.M. Elastic-plastic mode-II fracture of adhesive joints // International journal of solids and structures. 2001. (38). P. 3251-3262.
3. Samudrala O., Huang Y., Rosakis A.J. Subsonic and intersonic mode II crack propagation with a rate-dependent cohesive zone // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2002. № 50. P. 1231-1268.
4. Покровский В., Сидяченко В., Ежов В. Расчётно-экспериментальное исследование вязкости разрушения теплоустойчивых реакторных сталей с учётом различных мод предварительного термомеханического нагружения // Вестник ТНТУ. 2011. Спецвыпуск. Ч. 1. С. 66-73.
5. Sue H.J., Jones R.E., Garcia-Meitin E.I. Fracture behavior of model toughened composites under Mode I and Mode II delaminations // Journal of materials science. 1993. (28). P. 6381-6391.
6. Глаголев В.В., Маркин А.А. Нахождение предела упругого деформирования в концевой области физического разреза при произвольном нагружении его берегов // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 5. С. 174-183.
7. Glagolev V.V., Markin A.A. Stress-Strain State in Elastic Body with Physical Cut // World Journal of Mechanics. Vol. 3. No. 7. 2013. P. 299-306.
8. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 376 с.
Глаголев Вадим Вадимович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Глаголева Марина Олеговна ([email protected]), к.ф.-м н., доцент, кафедра математики, Филиал военной академии ракетных войск стратегического назначения имени Петра Великого, Серпухов.
Model of mode II crack in the body of finite size V.V. Glagolev, M.O. Glagoleva
Abstract. The variational formulation for the crack type II fashion in the body of finite size. As opposed to mathematical cut model the distance between the edges of the cut is assumed finite. Interaction layer is on the continuation
of physical cut, the thickness of which is limited to the hypothesis of continuum mechanics. The distribution and deformation in the interaction layer thickness is constant and does not depend on the physical cut geometry. Relation between stress and strain is defined deformation theory of plasticity. The problem is reduced to solving a system of two variational equations for the displacement fields in parts of the body adjacent to an interaction layer.
Keywords: crack, elastoplastic strain, characteristic size, finite element method.
Glagolev Vadim ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modelling, Tula State University.
Glagoleva Marina ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, lecturer, department of mathematics, The branch of the military Academy of strategic missile troops named after Peter the Great.
Поступила 03.11.2014
