CC BY
7Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 4 (Мобильные роботы). С. 705-712.
Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
УДК: 531.46 М8С 2010: 70Е40
Модель трения в случае плоского эллиптического контакта тела с опорной плоскостью
М. А. Муницына
Модель Контенсу-Журавлева [1, 2] распространяется на случай плоского эллиптического контакта выпуклого тела с горизонтальной плоскостью. Строятся аппроксимации Паде выражений, определяющих силу и момент трения. Полученная модель применяется к численному исследованию динамики однородного эллипсоида вращения на горизонтальной плоскости.
Ключевые слова: сухое трение, закон Кулона
1. Модель трения
Рассмотрим задачу о взаимодействии гладкого выпуклого тела с горизонтальной плоскостью. Заменим точечный контакт тела с плоскостью пятном контакта, которое, согласно теории Герца, представляет собой эллипс с полуосями, определяемыми значениями главных кривизн тела в точке контакта и упругими свойствами материала тела [3].
Введем правый ортонормированный репер е\, вч, ез, орт е\ которого направлен вдоль скорости скольжения и точки первоначального контакта тела и плоскости, совпадающей с центром пятна контакта, а орт вз — вдоль восходящей вертикали. Рассмотрим произвольную точку пятна контакта Р с радиус-вектором р относительно центра пятна контакта. Компоненты скорости скольжения ир = И\в\ + и2в2 такой точки можно представить в виде
Ц = И — рОвш^, И2 = р^сов^,
Получено 17 мая 2012 года После доработки 24 июля 2012 года
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (10-01-00292, 11-01-00354).
Муницына Мария Александровна munitsyna@gmail.сот
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова 119991, Россия, г. Москва, Ленинские горы, д. 1
где и = \и |, р = | р|, ф — угол между вектором р И ортом е1, О — проекция угловой скорости тела на восходящую вертикаль (скорость верчения).
Будем считать, что сила трения dFp, действующая на элементарную площадку ёст пятна контакта и приложенная в точке Р, удовлетворяет закону Кулона. Тогда
(1.Рр = — кр
ир_
\ир\
где к — коэффициент трения, р — давление в точке Р. Результирующая сила трения, приложенная в центре пятна контакта, и момент трения относительно последнего определяются
как
dFp = -Ре - ^2е2.
М
I [р. dFp] = -Мез. (1.1)
Согласно теории Герца [3], закон распределения давления по пятну контакта имеет вид
3 N
р
2 пав
1
р2 ССЭ2(ф + ф) р2 8Ш2 (ф + ф)
а2
в2
(1.2)
где N — величина нормальной составляющей реакции опорной плоскости, а и в — большая и меньшая полуоси пятна контакта соответственно, ф — угол отклонения орта е1 от большей полуоси пятна контакта.
Компоненты силы и момента трения, соответствующие (1.1), имеют вид
2пг(<р)
(и — рО 8Ш ф)р
р
0 0 2пг(<р)
*2 = к
р
00
2пг(ф)
М = к р 00
л/и2 — 211 р£1ът.<р + р202
р2О СС8 ф
л/и2 — 2ир0,втф + р2П2
(рО — и 8Ш ф)р2 л/и2 — 211 р£1ът.ф + р2П2
dр с\ф.
dр dф.
dр dф.
(1.3)
(1.4)
(1.5)
где г(ф) = а/3/\/а2 8Ш2(0 + у?) + (З2 со82(ф + ф). Полученные выражения имеют вид эллии-тических интегралов. С учетом закона (1.2), они определяют зависимость силы и момента трения от величин скоростей скольжения и верчения, а также от параметра ф, определяющего ориентацию пятна контакта относительно скорости проскальзывания.
2. Аппроксимации Паде
Функции (1.3)—(1.5) являются однородными фукнциями переменных и и О. Они удовлетворяют следующим свойствам:
*1
= *0
и=0
и=0
П=0
0.
М
dFl
dU
П=0
с12М
и=о _ сйя
= 0. М
П=0
- ^ Г ¿^2
и=0 8 ск|Г2| Ь сШ
и=0 32 0 0
и=0
3 Рр 16 а[о|
¿2.
d2Fi
dQ2
1 dM
П=0
U dQ
n=o
1 F0a2 d 2F2
5 U2 3’ dQ2"
1 F0a2
n=o
5 U2
¿4-
Здесь Fo = kN, a Si (i = 1,5) — безразмерные выражения вида
¿o = j2Ii, ¿i = (/2 cos 2ф + I3 sin2 ф), S2 = sin 2ф (-2I2 + I3).
S3 = (1 — j2) cos2 ф + fj2, S4 = sin2ф(1 — ¡л2),
(2.1)
(2.2)
содержащие параметр ц = в/а, который определяет степень сжатости пятна контакта к большей полуоси (0 < Ц < 1, при Ц = 1 пятно — круг), и эллиптические интегралы /1, /2 и /3, зависящие только от эксцентриситета пятна контакта х = у/1 — ¡л2 вида
2п
2п
І1
(^ \/l — X2 COS2(íp)
¡dtp, I2 =
2
cos2 p
2n
\/l — X2 COS2 Сp
dp, I
3 =
\fl — X2 COS2 ip
dp.
(2.3)
Рис. 1.
На рисунке 1 представлены зависимости от х выражений (2.3) (сплошные кривые). а также и их аппроксимаций (пунктирные кривые) вида
I1
2п
(1 — ж2)3/4 ’
І2 =
П
(1 — ж2)3/8
І3
2п
3=
(1 — ж2)1/4'
(2.4)
Учитывая значения (2.1) функций (1.3)—(1.5) при чистом верчении (и = 0) и чистом скольжении (О = 0), можно построить их аппроксимации Паде [4] первого порядка,
F1 = F0
U
U + a0a|Q|
F2 = 0, M = Mo
aQ
или второго порядка
F1 = F0
U2 + a1Ua|Q|
г, М = М0-
b0U + a|Q|: b1 UaQ + a2Q|Q|
U2 + ai Ua\Q\ + a2a2^2' b2U2 + biUa\Q\ + a2Q2:
F. Г UaQ
°U2 + аз11а\й\ + a,4Q;2Q2
(2.5)
1
1
Максимальное значение момента трения М0 и коэффициенты аппроксимаций второго порядка определяются уравнениями (2.1), аппроксимации первого порядка строятся с сохранением значений только первых производных соответствующих функций. Таким образом, учитывая аппроксимации (2.4), получим
М0 = ^:Р1/2а*Ь, 16
ао
8 р
3/4
3п ¿5
Ьо =
15п р
1/2
16 ¿3
(2.6)
аі =
3п8з ¿5
8
¿3 ¿4
80р3/4’ 02-10’ 03 - -10’ аА--^1Чдъ
Ьі = -
^¿з ¿5
15р7/4 п'
¿5 = (1 — р1/4) 008 2ф + р1/4, ¿6 = (1 — р1/4) 8ІП 2тр.
Ь2 =
¿5
р
5/4
(2.7)
Полученная модель трения не применима при одновременно малых значениях скоростей скольжения и верчения, и ее следует дополнить соответствующими зонами застоя. На рисунке 2 представлены абсолютные значения точных выражений компонент сил и момента трения (1.2),(1.3) (жирные кривые), а также их аппроксимации первого порядка (тонкие пунктирные кривые) и второго порядка (тонкие сплошные кривые) при р = 0.6, ф = п/6 в зависимости от отношения скорости скольжения к модулю скорости верчения. На рисунке 3 представлены соответствующие области застоя.
Заметим, что по характеру точности аппроксимацию Паде второго порядка компоненты силы трения *2 следует отнести к аппроксимациям первого порядка силы *1 и момента трения. Аппроксимации компоненты *2 более высокого порядка, сохраняющие свойства (2.1), можно принять в виде
^2 = — ^0
и (аП)
2п— 1 ап— 1
а
+ и 2п—1аП/п
(и2 + а3иа\0-\ + а4а202)п Соответствующие кривые при п = 4 изображены на рисунках 2 и 3 точками.
(2.8)
Положив в формулах (2.6) р = 1, ф = 0 (¿з = ¿5 = 1, ¿4 = ¿в = 0), получим коэф-
фициенты аппроксимаций Паде в случае кругового пятна контакта [2, 5]. В общем случае при р = 0 сила трения имеет составляющую, перпендикулярную скорости скольжения тела [6, 7], что является отличием от модели плоского кругового контакта тела с опорной плоскостью [2, 4, 5]. Этим же свойством обладают модели кругового сферического контакта тела с опорной плоскостью [8] и модели, учитывающие смещение центра давлений пятна контакта вдоль скорости скольжения [9].
Поскольку теория Герца определяет зависимость параметров пятна контакта от упругих свойств соприкасающихся тел, полученная модель трения применима к исследованию динамики любых выпуклых гладких тел. При этом компоненты момента и силы трения предложенной модели зависят не только от скорости скольжения и верчения тела, но и от геометрических параметров пятна контакта и его ориентации, которые в свою очередь зависят от ориентации тела в пространстве.
3. Эллипсоид вращения на горизонтальной плоскости
Применим предложенную модель трения к задаче о движении однородного эллипсоида вращения, вытянутого вдоль оси динамической симметрии, по горизонтальной упругой плоскости.
Введем подвижную систему координат СС1С2Сз, с началом в центре масс эллипсоида и осями, направленными по его главным центральным осям инерции. Пусть а и с -экваториальный и, соответственно, осевой радиусы эллипсоида. Тогда уравнение его поверхности имеет вид / (г) = (С2 + £|)/а2 + Сз/с2 = 0. Обозначим вектор восходящей вертикали 7. Тогда
где г — радиус-вектор точки касания эллипсоида с опорной плоскостью.
В подвижной системе координат теоремы об изменении количества движения и момента количества движения эллипсоида, условие постоянства вектора 7 и уравнение движения нижней точки эллипсоида вдоль вертикали имеют вид
Здесь т — масса эллипсоида, V и ш — векторы скорости центра масс и, соответственно, угловой скорости тела, д — ускорение свободного падения, N — величина нормальной составляющей реакции опорной плоскости, J = diag(Jl. Ль Лз) — центральный тензор инерции эллипсоида, е — высота нижней точки эллипсоида над плоскостью, F и М — сила и момент трения, действующие на эллипсоид со стороны опорной плоскости.
Будем считать опорную плоскость слабо деформируемой, и для значения нормальной составляющей ее реакции примем модель Герца
7 = — grad / (г)/\\grad f (г)\\,
(3.1)
шъ + [ш, шъ] = —шд'у + N7 + Р, ^ + [ш, Лш] = [г, N7 + Р]+ М, 7 + [ш, 7 ] = 0, є = (u, 7).
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
где Л — постоянная, определяемая свойствами материалов эллипсоида и плоскости. Таким образом, система (3.2)—(3.5) с учетом соотношения (3.6) является замкнутой системой дифференциальных уравнений относительно и, и, 7, е. Для численного интегрирования полученных уравнений определим зависимость силы и момента трения от указанных переменных.
В рамках предложенной модели трения, с учетом возможности отрыва эллипсоида от опорной плоскости, справедливы равенства
где е2 = [7, и]/|и|, е\ = [в2,7], а величины ¥1, ¥2 и М определяются равенствами (2.5),
(2.7), (2.8), в которых следует положить и = (и, е1) — скорость проскальзывания, О = = (и, 7) — скорость верчения.
Поскольку зависимость полуосей пятна контакта от значений главных кривизн эллипсоида в точке контакта определяется в теории Герца трансцендентным уравнением, введем гипотезу о совпадении параметров пятна контакта с параметрами сечения эллипсоида горизонтальной плоскостью, проходящей через точку г + е^ (е < 0). Тогда, считая, что размеры пятна контакта малы по сравнению с размерами эллипсоида и \J\e\/Б <С 1, получим
Здесь V = c/a > 1 — параметр, определяющий степень вытянутости эллипсоида, S =
Численные эксперименты проводились для вытянутого вдоль оси симметрии эллипсоида с параметрами т = 2 кг, а = 0.05 м, с = 0.1 м (и = 2). Коэффициент трения и параметр
представлены зависимости косинуса 73 угла нутации эллипсоида от квадрата его угловой скорости при следующих начальных условиях:
Во всех случаях ео = —0.3 • 10-4 м, ш30 = 10 с-1, ш20 = 0, 72о = 0, 72о = 0, 73о = 0.05, значение 710 определялось геометрическим интегралом, начальная скорость проскальзывания — равенством V = 0.
Численные эксперименты показывают, что если эллипсоид, ось симметрии которого почти горизонтальна, закрутить с достаточно большой угловой скоростью вокруг почти вертикальной оси (начальные условия (а)), то угловая скорость эллипсоида сначала увеличивается, а ось его симметрии поднимается до тех пор, пока не начинаются квазипрецесси-онные движения тела, на которых его центр масс неподвижен, а ось симметрии медленно опускается к горизонтали; затем эллипсоид замедленно вращается вокруг вертикально расположенного экваториального диаметра до полной остановки.
При увеличении начальной угловой скорости (начальные условия (Ь)) ось симметрии эллипсоида поднимается до вертикали, и некоторое время эллипсоид замедленно вращается вокруг нее; затем происходит резкий переход к прецессионному движению, и далее движение аналогично предыдущему случаю.
cos ф
(3.8)
а у/ sin2 в + г/2 cos2 в — высота центра масс эллипсоида над опорной плоскостью.
модели Герца были приняты следующими: к = 0.1, Л = 107 кг/(с2-м1/2). На рисунке 4
(a) W10 = 65 c 1, (b) W10 = 77 c 1, (с) шю = 90 c 1, (d) шю = 115 с 1.
Рис. 4.
При начальной угловой скорости (начальные условия (с)) поведение эллипсоида аналогично предыдущему случаю с тем только отличием, что увеличивается длительность вертикальных вращений и уменьшается угловая скорость перехода на прецессию. При дальнейшем увеличении начальной угловой скорости эллипсоида (например, начальные условия (й)) характер его движения и угловая скорость перехода на прецессию не меняются. Однако на первом интервале движения наблюдается серия ударов об опорную плоскость.
На рисунке 5 представлены зависимости от времени косинуса угла нутации эллипсоида. модулей силы и момента трения, большей полуоси пятна контакта, отношения меньшей полуоси пятна контакта к большей и отношение силы реакции опорной плоскости к весу эллипсоида при движении с начальными условиями (с). В ходе эксперимента компонента силы трения, перпендикулярная скорости проскальзывания, принимала отличные от нуля значения только во время переходных процессов, а ее максимальное значение имело порядок 10-5 по сравнению с максимальным значением модуля силы трения.
М
к
-Г"
V
N
тд
1
0
и:
ь
Рис. 5.
і
і
і
Заметим, что численная реализация модели трения для эллиптического контакта соприкасающихся тел проведена также в работе [7]. В отличие от [7], построенные в данной работе аппроксимации силы и момента трения, а также гипотеза о совпадении формы пятна контакта с сечением движущегося тела позволяют избавиться от вычисления эллиптических интегралов при численном моделировании, что упрощает алгоритм интегрирования и увеличивает скорость вычислений. Кроме того, в данном эксперименте при движении тела меняются как размеры, так и форма пятна контакта.
Список литературы
[1] Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка // Проблемы гироскопии: Сб. научн. ст. / Г. Циглер (ред.). М.: Мир, 1967. С. 60-77.
[2] Журавлёв В. Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ, 1998, т. 62, №5, с. 762-767.
[3] Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1980. 513 с.
[4] Журавлёв В. Ф., Кириенков А. А. О разложениях Паде в задаче о двумерном кулоновском трении // МТТ, 2005, №2, с. 3-14.
[5] Журавлёв В. Ф. Закономерности трения при комбинации скольжения и верчения // МТТ, 2003, №4, с. 81-88.
[6] Kireenkov A. A. About the motion of the symmetric rigid solid alone the plane // Proc. of the 8th Conf. on Dynamical Systems: Theory and Applications (December 12-15, 2005, LodZ, Poland): Vol. 1 / J. Awrejcewicz (Ed.). Lodz: Left Grupa, 2005. P. 95-102.
[7] Косенко И. И., Александров Е. Б. Реализация модели Контенсу-Эрисмана касательных сил в контактной задаче Герца // Нелинейная динамика, 2009, т. 5, №4, с. 499-517.
[8] Карапетян А. В. Двухпараметрическая модель трения и ее свойства // ПММ, 2009, т. 73, №5, с. 515-519.
[9] Кириенков А. А. Трехмерные модели трения // Вестн. Нижегородск. ун-та им. Н. Н. Лобачевского, 2011, №4(2), с. 174-176.
The friction model in the case of a planar elliptic contact of a body with the supporting surface
Mariya A. Munitsyna
M. V. Lomonosov Moscow State University Leninskie gory 1, Moscow, 119991, Russia munitsyna@gmail.com
The Contensou-Zhuravlev model [1, 2] is extended to include the case of planar elliptic contact of a convex body with a horizontal plane. The Pade approximations of expressions for determining the friction force and friction torque are constructed. The resulting model is applied to the numerical investigation of the dynamics of a homogeneous ellipsoid of revolution on a horizontal plane.
MSC 2010: 70F40
Keywords: dry friction, Coulomb law Received May 17, 2012, accepted July 24, 2012
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2012, vol. 8, no. 4, pp. 705-712 (Russian)
