CC BY
18
ЭРОЗИЯ ПОЧВ
УДК 631.4
МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТА НАНОСОВ В ПОЛИВНОЙ БОРОЗДЕ1 В.М. Гендугов, М.С. Кузнецов, Д.Р. Абдулханова
Получено новое уравнение транспорта наносов потоками в поливных бороздах. Это уравнение было верифицировано по результатам полевых исследований на орошаемых сероземах. Относительная ошибка по модулю составила 9%, коэффициент корреляции 0,92.
Ключевые слова: эрозия, полив, математическая модель.
Современные модели эрозии почв (WEPP, EUROSEM и др.) включают три принципиально важных элемента: скорость ручейковой и межручейковой эрозии, а также транспортирующую способность потока, под которой понимается наибольший возможный при данном гидравлическом режиме потока расход наносов. Последний из названных элементов моделей наименее разработан. Он рассматривается в данной статье. Известные в настоящее время уравнения транспортирующей способности потока выведены и верифицированы большей частью для потоков большой глубины — рек и каналов. Теоретическое решение вопроса о транспортирующей способности потока представляет большие трудности, что послужило причиной применения самых разнообразных, чаще всего эмпирических, формул для ее расчета, нередко дающих большие расхождения в результатах. Это формулы Е.А. Замарина [6], В.Н. Гончарова [3], И.И. Леви [10], М.А. Великанова [1], И.В. Егиазарова [5] и др. Основными аргументами в таких уравнениях являются скорость и глубина потока, критическая скорость, размер или гидравлическая крупность частиц, однако они входят в разные уравнения с сильно отличающимися показателями степени, обусловленными различиями в посылах, на которых основываются. В тех немногих опытах, которые проводились с потоками малой глубины, в качестве транспортируемого материала использовали отдельные фракции песка или их смеси. В результате U.S. Low [12] и G. Govers [11] получили эмпирические зависимости, а Г.А. Ларионов с соавт. [8, 9] — довольно сложную полуэмпирическую зависимость, но их применимость для расчета транспортирующей способности потока в отношении почв еще никем не показана.
В работе [2] авторы, опираясь на уравнения механики многофазных сред, привели уравнения движения суспензии в гидравлическом приближении, в которые введена подъемная сила смерчеподобных вихрей, отрывающая от дна и удерживающая частицы в потоке. Главной особенностью модели является сравнительно малая суммарная объемная концентрация частиц (ß) — не более 5%, позволяющая прене-
бречь влиянием почвенной фазы на движение несущей фазы (воды). В этом случае получена замкнутая система уравнений, включающая известные уравнения гидравлики, к которым еще добавлены уравнения объемной концентрации частиц радиуса г.. дрБ дрыБ
= PVR1о -pV-Lp,
dt dx
du , du 1 dP
— + u — = g srn а - - —
Ku 2 - S VVо-V- Lp),
R
(1)
(2)
щ dt
dß i = P iBViB 10 + p inVin
Mo
R
dx
- ß i
P ч
S
P V k___P_
д s
n s П
Rp
V-
R
(3)
где t — время, с; х — координата, м; S — площадь •2- R — гидравлический радиус, м;
сечения потока, м l0 — ширина потока, м; Lp — смоченный периметр русла, м; u — скорость потока, м/с; р — плотность воды, кг/м3; рч — плотность почвенных частиц; g — ускорение свободного падения, м/с2; а — угол наклона склона, град.; K — коэффициент турбулентного напряжения; р ¥д — интенсивность дождя; р Vj — интенсивность потока воды, проникающей в почву;
h
P = g J cos a(h - z)b(z)dz — гидростатическое дав-
0
ление; г — расстояние от дна, м; h — глубина потока, м; Р(. — объемная концентрация почвенных частиц радиуса r ; рiBViB — поток массы частиц г'-го сорта через свободную водную поверхность; р n Vin — поток массы частиц г'-го сорта через смоченный периметр русла; р v V0 г — поток массы частиц г'-го сорта, осаждающийся из единицы объема.
Применим теперь общие уравнения к анализу транспорта и аккумуляции наносов в поливной борозде. Ограничимся изучением стационарного процесса, когда вода фильтруется в почву (Vj ф 0), а притоки массы частиц и дождя в поток через свободную по-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 05-05-64902).
верхность равны нулю. Таким образом учитывается лишь смыв почвы в борозде.
Построение модели возможно лишь после конкретизации членов р Уф, У0, Уп. Локальная скорость фильтрации воды Уф во многом зависит от степени водонасыщенности и проницаемости почвы и других параметров, распределенных по длине борозды. В частности, на рис. 1 показано, как скорость фильтрации распределяется по длине борозды [4]. В целях упрощения модели эта функция заменяется кусочно-постоянной так, чтобы на каждом участке постоянная скорость фильтрации была средней на участке. В работе [7] интенсивность смыва почвы определена формулой, полученной в согласии с п-теоре-мой теории размерностей и по аналогии с процессом равновесного испарения Клайперона—Клаузиуса
[ (У2
ртУт = крив0 ехр -а - 1
и
где В0 = р Уи
при u > Vp, (4)
Vp — размывающая скорость, т напряжение; a=const.
параметр массобмена при u = Vp;
Kpu2 — касательное
Уф, м/с 0,00014 0,00012 0,00010 0,00008 0,00006 0,00004 0,00002 о
-1
- \ 2
ч л
Е4^ -□ —i—о—1-0
10 20 30 40 50 60 х, м
Рис. 1. Зависимость скорости фильтрации от расстояния до головной части борозды: 1 — экспериментальные данные, 2 — кусочно-постоянная аппроксимация экспериментальных данных
Наконец, скорость осаждения У0 г частиц радиуса г была получена из условия безинерционного движения частицы поперек потока под действием подъемной силы смерчеподобных вихрей, силы тяжести и силы Стокса. В данной работе У0 / определена в пренебрежении подъемной силой и имеет вид
Voi = K *
2
u Гl
1 -
3/2
здесь K* = const; v — кинематическая вязкость воды.
Перейдем теперь к исследованию транспорта наносов в борозде с учетом фильтрации воды, сохранив все высказанные предположения.
В этом случае движение суспензии описывается системой стационарных уравнений (1)—(3) в крупномасштабном приближении для борозды прямоугольного сечения, когда глубина потока много меньше ширины борозды:
d
dx
uh — V
(5)
hg sin a - Ku2 + VfoU = 0,
dx - h V 0/ +11 /Рх
Vr
-
+
р. V
Утг in
hp ч
(6) (7)
Из уравнения (5) следует, что расход потока воды на единицу ширины борозды является функцией х
uh — u0 h0 - V- x
(8)
и исчезает на расстоянии
x —
здесь u0 h0 — , Q0 — начальный расход воды в l o
u o ho . Vr .
поливную борозду; 10 — ширина потока.
Умножим теперь уравнение (6) на скорость (и) и приведем к виду
'2 » иг, Пъ — Ул.. I у мм а
(9)
3 - V-u - (uoho - V-х)g sin a = °
к к
При и > 0 кубическое уравнение (9) имеет единственный корень. Данный вывод сделан на том основании, что это уравнение имеет только одну знакопеременность. Решение (9), определяемое по формуле Кардано, в общем виде имеет сложный вид и не представляет практического интереса, поэтому его решение находится приближенно из уравнения
3 = (uo ho - V-х)g sin a u — K
(10)
которое получено из (9) в пренебрежении слагаемым V- u 2
K
по сравнению с другими членами.
Из (10) следует, что
! I • \1/3 uo ho g sin a I
u —
K
1 -
V- х
u o ho
1/3
(11)
Выпишем (7) с учетом (8) и вида формулы скорости осаждения частиц без учета действия подъемной силы с-вихря:
К П0 — УФ .) / -„2
dx
— -в i
2 Г1_ 9 v
Р ч -1
g + VC
1 -
Р
Р ч
+
Р inVin
(12)
где рпУп определена по формуле (4), которая с учетом (11) является функцией х.
Решение (12) ищется методом вариации постоянных и, к сожалению, не может быть найдено в элементарных функциях. Чтобы все же оценить динамику транспорта наносов в борозде, заметим, что при боль-
ших скоростях в формуле (4) exp
-a
V2
р
^1. Поэтому
решение определяется простой формулой
р СУС = В (0)Ке ари = В* ри, (13)
которой мы и воспользуемся далее.
Подставим (11) в (13), а затем эту функцию подставим в уравнение (12). Далее обезразмерим уравнение
(12), вводя переменную % =
u0 h0
. В результате диф-
ференциальное уравнение (12) запишется так:
(1 -1) = -РiЛ + D (1 -1)1/3;
(14)
здесь A =
D =
2 т(
9v Vr
Ф
Р ч - 1 + 1 --Р-
Р Р ч
Р V
Ф
Uo ho g sin a
K
1/3
B*
Р ч - 1 + 1 --Р-
, Р Р ч ,2
закону Дарси в поле тяготения, т.е. V- = £
т<
dPi
dy
= etA - Dey/3.
Pi = C
1 -
V- x
Uo ho
D
13 - a
1 -
V- x
Uo ho
1/3
. (15)
Константу интегрирования С0 найдем из условия, что при х = 0, = — исходная концентрация частиц в воде
С„ = Рю + ((— А
Подставим (16) в (15), тогда
Г-. "
(16)
Pi = Pio D
1-
uo h
ono
1/ - A
73 A
1 -
V- x
uo ho
1/3
1 -
V- x
uo ho
нулю при х = 0 и X =
*o"o VA
Поэтому вi имеет мак-dp i
симум, который определяется из условия
Обозначим г = 1 -
V-
dx
= o.
uo h
тогда при Р(0 =0 имеем
o"o
Pi =
D
V - A)
(zA -Z1/3).
(18)
„ ёв у- ёв ~
При этом =--^—. Отсюда следует, что
ёх и0п0 dz
ёв ёв с-
производные -ёХ и обращаются в ноль одновременно в точке экстремума. Вычислим точку экстремума:
Наличие ограничений модели и погрешности опытных данных вынуждают ввести в формулу для А корректирующий коэффициент у и записать А в виде
А = у
Здесь учтено, что безразмерный комплекс
dz
отсюда или
dP = л
D
К - A
Z A-1 -1 D z1-1 = o z 3 (( - az
a-3 = X
z 3A'
(19)
1 -
3A
uo ho
V
V-
определяет скорость фильтрации, подчиняющуюся
, где
При этом максимальная концентрация определяется из уравнения (18) при ъ, соответствующем (19), т.е.
Z = const.
Введем новую переменную y = ln(1 — £), тогда (14) примет вид
Р n =
D
A - 1/
3 A
1 3 Л-1 1
3 Л 3 Л
3 A-1
3D
1
Решим это уравнение методом вариации постоянных. После выполнения стандартных операций получим:
3A -1
3A
3 Л-1
1 -
3A
A
1
3A
3 Л-1
Таким образом, получили:
Pin =
D
1
3A
3 Л-1
здесь A = у
Р ч -1 + 1 - -Р-
, Р Р ч
D=
Р
Р V
-
uo ho g sin a
K
1/3
B.
Итак, полученная модель транспорта наносов в поливной борозде (17) имеет вид
В /-А т1/3)
Pi =
V - A)
(zA -z1/3),
(20)
(17) где г = 1 -
V- x uo ho
, х — расстояние от головного створа
где А > 1/3.
Нетрудно видеть, что при рю = 0 функция равна и А
борозды, м.
Верификация полученного уравнения проводилась по данным опытов при поливе по бороздам, приведенным в работе [4] для трех борозд (№ 1 — уклон 0,04, расход 0,3 л/с; № 2 — уклон 0,06, расход 0,1 л/с; № 3 — уклон 0,06, расход 0,2 л/с). В расчетах не рассмотрен вариант опыта № 2 с уклоном 0,06 и расходом воды 0,1 л/с, так как в этом случае числа Рейнольдса соответствуют переходному режиму
Р
течения, в то время как модель построена в гидравлическом приближении, т.е. для существенно турбу-лизованного потока. При расчетах средняя скорость фильтрации в начале борозды (до первого учетного створа) вдвое превышала среднюю скорость фильтрации по длине борозды от второго до последнего учетного створа.
При обработке результатов экспериментов при поливе по бороздам [4] было получено удовлетворительное соответствие расчетных и эксперименталь-
ных значений мутности потока при у = 4,83. Размер частиц г подбирался таким образом, чтобы значения скорости фильтрации воды в почву соответствовали приведенным в работе [4] данным по скорости впитывания воды в почву при поливе по бороздам в рамках того же эксперимента. Полученные значения радиуса частиц изменяются от 0,06 до 0,08 мм. Результаты расчета по формуле (20) приведены в таблице и на графике (рис. 2). Относительная ошибка по модулю составила 9%, коэффициент корреляции 0,92.
Результаты определения величины мутности потока по длине поливной борозды
Уклон Номер наблюдения q, кг/м3 г, м иэ, м/с х, м Уф, м/с Сэ, кг/м3 Ср, кг/м3 Относительная ошибка, % Коэффициент корреляции
1 0,00008 0,48 20 5,05 -10-5 9,6 10,27 -6,94 0,962
0,40 40 2,52 -10-5 21,46 20,53 4,32
0,45 60 2,52 -10-5 21,58 21,49 0,41
0,50 80 2,52 -10-5 18,8 20,51 -9,11
0,48 100 2,52 -10-5 16,2 18,65 -15,14
2 0,00008 0,41 20 5,05 -10-5 6,52 7,91 -21,24 0,990
0,42 40 2,52 -10-5 15,36 15,81 -2,93
0,04 0,0003 0,45 60 2,52 -10-5 16,54 16,54 0,01
0,49 80 2,52 -10-5 16,5 15,78 4,38
0,50 100 2,52 -10-5 15 14,34 4,42
3 0,00006 0,42 20 2,84-10-5 7,46 6,31 15,44 0,640
0,39 40 1,42-10-5 15,2 12,62 17,00
0,40 60 1,42-10-5 13,7 15,14 -10,51
0,50 80 1,42-10-5 9,92 16,28 -64,09
0,50 100 1,42-10-5 16,8 16,55 1,49
1 0,00008 0,48 15 5,05-10-5 68 41,55 38,90 0,810
0,59 30 2,52-10-5 74,5 83,10 -11,54
0,54 45 2,52-10-5 90,5 90,23 0,30
9,22
0,00007 0,43 15 3,8710-5 24 34,50 -43,77 0,992
2 0,50 30 1,93-10-5 59,6 69,01 -15,79
0,50 45 1,93-10-5 77 78,16 -1,50
0,43 60 1,93-10-5 80 79,82 0,22
0,00008 0,33 15 5,05-10-5 15,2 13,35 12,14 0,995
0,06 3 0,0002 0,46 30 2,52-10-5 26,5 26,71 -0,79
0,51 45 2,52-10-5 28,18 28,03 0,55
0,50 60 2,52-10-5 25,7 26,81 -4,31
0,00008 0,33 15 5,05-10-5 7,36 8,08 -9,85 1,000
4 0,50 30 2,52-10-5 16 16,17 -1,06
0,60 45 2,52-10-5 17 16,96 0,24
0,50 60 2,52-10-5 16 16,22 -1,36
0,00007 0,43 15 3,8710-5 7,18 8,18 -13,89 0,996
5 0,49 30 1,93-10-5 15,2 16,35 -7,59
0,59 45 1,93-10-5 18,52 18,47 0,28
0,49 60 1,93-10-5 18,8 18,82 -0,08
С, кг/м3 25 г
О 50 100 150 200 250 х, м
Рис. 2. Мутность в потоке в зависимости от длины борозды при уклоне 0,04 и расходе воды 0,3 л/с: 1, 2, 3 — номера наблюдений; линии — расчетные данные, значки — экспериментальные
данные
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Великанов М.А. Русловой процесс (основы теории). М., 1958
2. Гендугов В.М., Кузнецов М.С., Абдулханова Д.Р., Ларионов Г .А. Модель транспорта наносов склоновыми потоками // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 17. Почвоведение. 2007. № 1.
3. Гончаров В.Н. Основы динамики русловых потоков. Л., 1954.
4. Григорьев В.Я., Краснов С.Ф., Кузнецов М.С. и др. Прогнозирование и предупреждение эрозии почв при орошении. М., 1992.
5. Егиазаров И.В. Влияние широкой смеси наносов и самоотмостки русла на движение и расход наносов // Изв. АН АрмССР. Сер. техн. наук. 1964. Т. 17, № 2.
6. Замарин Е.А. Транспортирующая способность и допускаемые скорости течения в каналах. Изд. 2. М.; Л., 1951.
Сведения об авторах
7. Кузнецов М.С., Гендугов В.М. Новый подход к оценке эродирующего действия потока на почву // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 17. Почвоведение. 1997. № 2.
8. Ларионов Г.А, Бушуева О.Г., Добровольская Н.Г. и др. Разработка гидрофизической модели транспорта наносов для мелководных потоков // Эрозия почв и русловые процессы. Вып. 13. М., 2001.
9. Ларионов Г.А, Добровольская Н.Г., Кирюхина З.П. и др. Эродирующая и транспортирующая способность мелководных потоков // Эрозия почв и русловые процессы. Вып. 12. М., 2000.
10. Леви И.И. Динамика русловых потоков. М.; Л., 1957.
11. ОоивгБ G. Evaluation of transporting capacity formulae for overland flow // Overland flow. Hydraulics and erosion mechanics / Ed. by J. Parsons, D. Abrahams. L., 1992.
12. Low U.S. Effect of sediment density on bed-toad transport // J. hydraulic engineers. 1989. Vol. 115.
Поступила в редакцию 08.05.08
Гендугов В.М., канд. физ.-мат. наук, кафедра волновой и газовой динамики механико-математического ф-та. Кузнецов М.С., докт. биол. наук, кафедра эрозии почв. Абдулханова Д.Р., соискатель, мл. науч. сотр., кафедра эрозии почв.
MODEL OF TRANSPORT OF SEDIMENTS IN IRRIGATE FURROW
V.M. Gendugov, M.S. Kuznetsov, D.R Abdulkhanova
The new equation of transport of sediments by flows in irrigation furrows was obtained. This equation was verified by results of field tests on irrigating sierozem.
Key words: erosion of soils, irrigation, model.
