Подъемная сила в водном потоке, размывающем почву Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 631.44

ПОДЪЕМНАЯ СИЛА В ВОДНОМ ПОТОКЕ, РАЗМЫВАЮЩЕМ ПОЧВУ1 В.М. Гендугов, Г.П. Глазунов

В рамках гидравлического подхода к описанию механизмов водной эрозии почвы предложено уравнение подъемной силы водного потока. Выведено уравнение критической скорости водного потока, при которой начинается эрозия, учитывающее межагрегатное сцепление; рекомендованы способы расчета значений его аргументов.

Ключевые слова: водная эрозия почв, модель подъемной силы.

Введение

Эрозия — главная причина деградации почвы в мировом масштабе [4]. Оценка опасности эрозии, планирование и проектирование противоэрозионных мероприятий осуществляются с использованием математических моделей, в первую очередь эмпирических, обобщающих накопленные опытные данные. Потребность в таких моделях возрастает в связи с широким распространением компьютерных методов анализа и обработки данных. В отсутствие многолетних рядов опытных данных по эрозии почвы и сопряженным метеорологическим и гидрологическим характеристикам, необходимым для построения эмпирических моделей, целесообразно обратиться к созданию и использованию теоретических моделей, которые могут быть проверены на ограниченном экспериментальном материале. В наиболее общем виде задача математического моделирования эрозии почвы может быть поставлена в рамках механики многофазных сред [9]. Однако в силу ряда причин и в первую очередь из-за отсутствия общей формулы, связывающей турбулентное напряжение с кинетическими характеристиками потока, а также в связи с необходимостью полного описания геометрии поверхности почвы, контактирующей с водой, такая задача, основанная на полных уравнениях механики многофазных сред, в настоящее время решена быть не может [12]. Таким образом, в отсутствие замкнутой системы уравнений, которая позволила бы описать движение взвесенесущего потока на склоне, единственной возможностью является использование гидравлического приближения к описанию эрозии почвы водными потоками [12]. В рамках этого приближения создана математическая модель транспорта наносов склоновыми потоками, в которой подъемная сила введена по аналогии с таковой воздушного потока [1]. Настоящая работа посвящена обоснованию подъемной силы водного потока, связанной с вихрями, имеющими вертикальную ось вращения, и раскрытию структуры формулы критической для почв скорости водного потока на примере обладающих межагрегатным сцеплением монодисперсных образцов модельных почв, размываемых потоками малой глубины, аналогичными склоновым временным водным потокам.

Следует отметить, что впервые задачу о захвате частицы из потока вихрем и тем самым задачу о механизме переноса почвенных частиц водой и ветром, теоретически решил Н.Е. Жуковский [6], а первое экспериментальное подтверждение ведущей роли вихрей в отрыве и подъеме частиц почвы ветром получили А.А. Скворцов с сотр. [10]. Однако подъемную силу потока связывали с вихрями, имеющими горизонтальную ось вращения [3, 16], что не позволило получить теоретического решения задачи об отрыве частиц, поскольку такие вихри при взаимодействии с поверхностью разрушаются. Использование при объяснении механизма подъемной силы альтернативного подхода, основанного на аналогии с подъемной силой крыла самолета, в конечном счете привело к недооценке ее вклада и переоценке роли лобовой силы, которую стали считать основной, ответственной за эрозию почвы и транспорт наносов [15]. Объясняется это тем, что указанная подъемная сила, пропорциональная разности скоростей потока у вершины и основания частицы, сразу после вовлечения последней в поток исчезает по причине обретения ею скорости самого потока. А в рамках гидравлического подхода, при котором скорость принимается постоянной по глубине, эта разница, а с ней и подъемная сила с самого начала равны нулю. Поэтому при создании теории водной эрозии почвы в рамках гидравлического приближения существует необходимость введения понятия подъемной силы, ответственной за отрыв, подъем, перенос и отложение почвенных частиц водным потоком. В настоящей работе она аналогична воздушному потоку, что не противоречит положениям гидравлической теории, поскольку вихри, имеющие вертикальную ось вращения, перемещаются со скоростью самого потока.

Теория

Рассмотрим силы, действующие на почвенную частицу, покоящуюся на ровном дне в окружении себе подобных в предельном состоянии покоя перед отрывом, в проекции на вертикальную ось. Такое приближение позволяет исключить силы, возникающие только в процессе движения частицы в потоке, а также силы, вертикальные составляющие которых

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 08-08-13724 и № 08-01-12046).

равны нулю. В таком случае уравнение предельного состояния равновесия перед отрывом шарообразной частицы почвы имеет вид

(1)

РЖ = Рк

где FЖ — подъемная сила, приложенная к частице со стороны потока, в проекции на вертикальную ось, ТА — результирующая сил тяжести, Тс — результирующая сил межагрегатного сцепления в проекции на вертикаль.

Подъемная сила, порождаемая смерчеподобными вихрями (с-вихри), оси вращения которых в основном параллельны линии действия силы тяжести, введена по аналогии с ветром [2] в виде

Рж = К **р и 2 пг2.

(2)

Здесь К** — коэффициент подъемной силы; рв — плотность воды, и — средняя скорость водного потока; г — эффективный радиус частицы, который предлагается определять по формуле

2

ПК./ 4п)

1/3

Г =

к=1

П £ (3^/ 4п)^3

Рк = 13пг. (Р1 - Р" ^

(3)

Рс = Щ/.

(4)

В этой формуле, имеющей сходство с формулой Лапласа для силы поверхностного натяжения [11], / названо коэффициентом поверхностного сцепления (Н/м).

Подстановка в (1) значений (2, 3, 4) и решение полученного уравнения относительно ик после деления обеих его частей на рвлг,2 дали:

и * =

4 3 -11 Р В / 1 ГР В

К **

(5)

Из (5) ясно, что критическая скорость водного потока растет и при сильном измельчении почвенных частиц (агрегатов) (гг ^ 0), и при значительном укрупнении (г ^ «>). То есть критическая скорость как функция непрерывного спектра размеров частиц почвы имеет минимум (ик ). Значение ик может быть найдено из условия равенства производной функции

нулю в точке минимума. Переопределив константы

4

уравнения (5) следующим образом: А = —

/ 3 В = , привели его к виду

Р. -1

Рв

К**И* = Аг,,

В

г,

(6)

Вычислив производную и2 по г и приравняв ее к нулю, получили:

° (7)

А - В = 0.

Из уравнения (7) найдена точка минимума, т.е. радиус г = г* тех частиц, которым соответствует наименьшая критическая скорость водного потока

ик

км'

г* = VВ =

3/

48 (Р,. - Р В )'

(8)

к=1

где Ук, — объем к-й частицы в г-й фракции; п — число частиц в г-й фракции. В частности, если почвенные частицы имеют форму сфер одинакового радиуса Яг, то этот радиус равен приведенному (Яг = г).

Определение. Скорость потока, при которой имеет место равновесие сил, действующих на частицу эффективного радиуса г,, назовем критической скоростью (и = ик) для -й фракции.

Результирующая сил тяжести введена в виде

Из (8) следует, что г* зависит только от почвенных констант. Имея г*, можно найти Ц = Ц. . Для этого

* к км

подставили (8) в (6):

К„и*2 =4В! + ^[ВА = 2уГМ = 2 Аг%. (9) Решая (9) в исходных переменных, получили

и * м =

ЬрК:^ /8 (Р -р=^ •

где р , — плотность частиц г-й фракции, g — ускорение свободного падения.

Особое место в уравнении (1) занимает результирующая сил межагрегатного сцепления частиц Тс в проекции на вертикаль, которая характеризует их сопротивление отрыву потоком. Для этого типа сцепления в рыхлых насыпных почвах отсутствуют опытные данные, поэтому сила сцепления для частицы эффективного радиуса г в окружении себе подобных определена как функция радиуса

'3рвК* (10)

Из (10) ясно, что Цкм, как и г*, зависит только от почвенных констант. В таком случае эти постоянные можно использовать в качестве обезразмеривающих в уравнении (6):

К и 2

и2 ^ к = Аг% г

и * *м г *

В

(11)

Разделив обе части полученного уравнения (11) на к** ик и проведя необходимые алгебраические преобразования, получили:

(12)

Уравнение (12) выдерживает проверку на соответствие исходным положениям, согласно которым

2

2

и* 1 +г*1

И * м . 2 . г* г _

И *

И *

= 1 при условии г 1 = г*. Действительно, при

таком условии ик = икм и левая часть (12) равна единице, а в правой часмти (12) величина в скобках оказывается равной знаменателю дроби за скобками, в результате и правая часть равна единице, что и требовалось.

м

В силу непрерывности функции (5) и наличия у нее минимума при г1 = г* для любого г1 < г* всегда найдется г2 > г* такое, что для них выполняется = ик2. Записав уравнение (6) для г1, затем для г2 и вычтя первое из второго, получили разность, которая по условию равна нулю:

Лг2 + — - Лгл - — = 0.

2 г2 г1

После преобразования найдено:

С учетом (8) получено:

(13)

Если экспериментами охвачен диапазон размеров, включающий г», г1 и г2 такие, что г1 < г* < г2, а ик1 = Ц,2, то по (13) находится г*, а по (8) и /

4

/=-4г*2 я (р I - р"

(14)

и *

и2 г

К I

Сг2 - г1

/ = ЛР в г2 г1 —-1

где

С =

и К

г2 - Сг1

(16)

и К

найти в работе [13], где на основе визуализации потока выявлена роль «когерентных структур» в форме конусообразных вихрей с вершиной у дна не только в отрыве частиц от дна, но и в их подъеме в поток. Количественное подтверждение получено путем анализа экспериментальных данных по критическим скоростям потока для насыпных монодисперсных образцов кварцевых шариков и песка, почерпнутых из надежных литературных источников [5, 14, 15].

Материалы по критическим скоростям (табл. 1), в которых диапазон размеров использованных в опытах частиц включал г*, о чем свидетельствует наличие минимума на графике экспериментальной зависимости критической скорости от размера частиц (рис. 1), анализировали в первую очередь.

Таблица 1

Критические скорости водного потока для однородных стеклянных шариков, измеренные в гидролотке при глубине потока 2 см (по материалам [14])

Затем по найденному / и экспериментальным критическим скоростям для монофракций находится К** из (6):

К ** = + . (15)

Г1 ик, эксп. ик, по (5) Ошибка

мкм кг/м3 м/с м/с м/с %

45 2460 0,27 0,25 -0,02 9

168 2460 0,15 0,18 0,03 20

175 2460 0,20 0,19 -0,01 8

1000 2460 0,39 0,34 -0,05 12

1500 2460 0,40 0,42 0,02 5

Если критические скорости Цк. экспериментально определены только для ^ > г* или ^ < г*, то задача нахождения К** и / сводится к решению систем из двух уравнений (5) с двумя неизвестными, для которых значения неизвестных г1 и г2 с соответствующими ик и ик2 берутся из массива экспериментальных данных. Из практических соображений удобнее решать систему этих уравнений в переопределенном виде (6). В предположении, что К** и / — константы данной почвы, решение найдено в виде:

Анализ данных табл. 1 начинается с выявления минимума на эмпирической зависимости критической скорости от размера частиц и «парных» частиц г1 и г2, для которых выполняются ик1 = ик2 и г1 < г* < г2 с целью нахождения г* по (13).

Из графика (рис. 1) ясно, что минимум имеется, а экспериментальной пары, точно соответствующей указанному требованию, нет, поэтому будем искать г2, парную для первой точки (г1 = 45 мкм, ищ = 0,27 м/с), такую, что ик2 = 0,27 м/с. Методом линейной интер-

0,5

Подстановка / из (16) в (15) и (8) дает соответственно К** и г*; подстановка К** и / из (16) в (10) дает ик .

км

Таким образом, знание критических скоростей для образцов двух монофракций почвы позволяет вычислить аргументы уравнения критической скорости для любых ее монофракций, а вместе с ними и такие константы почвы, как минимальная критическая скорость и радиус частиц, которым соответствует минимальная критическая скорость.

Экспериментальное обоснование модели

Качественное подтверждение справедливости предположения о механизме подъемной силы можно

0,4

о о о.

о ^

о

0,3

о.

0,2

0,1

4 / •

\ * /

ик » - г*

0,001

Радиус частиц, м

0,002

Рис. 1. Зависимость критической скорости водного потока от радиуса стеклянных шариков, по материалам [14]: точки — эксперимент, линия — по уравнению (5) с параметрами из табл. 4

2

поляции между двумя ближайшим подходящими точками, в данном случае между г3 = 175 мкм (ей соответствует ик = 0,20 м/с) и г4 = 1000 мкм (ей соответствует ик = 0,39 м/с), найдено г2 = 482 мкм. Подставив найденные значения г1 и г2 в (13), получили г* = 147 мкм (табл. 4). Подставив г* в (14), нашли / = 0,000415 Н/м (табл. 4). Подставив это значение в (15) для всех образцов, получили К** = 0,167 как среднее по ним (табл. 4). Это позволило по (10) рассчитать ик = 0,18 м/с. Имея значения всех аргументов, построили аналитическую кривую по (6) (рис. 1) и нормировали экспериментальные данные для нанесения их на обобщенный график (рис. 2). Аналогично обработали данные по критическим скоростям для песка (табл. 2).

Таблица 2

Критические скорости водного потока для модельных поверхностей

из монофракций биогенного песка (фрагменты ракушек СвгазЮйвгта вйы1в), измеренные в гидролотке при глубине потока 15-18 см (по материалам [15])

П Р/ ик, эксп. ик, по (5) Ошибка

мкм кг/м3 м/с м/с м/с %

165 2800 0,224 0,231 0,007 3

195 2800 0,203 0,229 0,026 13

230 2800 0,224 0,231 0,007 3

275 2800 0,249 0,236 -0,013 5

325 2800 0,264 0,244 -0,020 7

390 2800 0,281 0,256 -0,025 9

раясь на представление о постоянстве коэффициента подъемной силы, вычисления свели к применению уравнения (16) ко всем возможным парным сочетаниям экспериментальных данных и последующему усреднению полученных результатов (табл. 4). Получив таким способом значения всех необходимых аргументов, вычислили критические скорости и их ошибки (табл. 2, 3), а экспериментальные данные нормировали и нанесли на общий график (рис. 2).

Таблица 3

Критические скорости водного потока для модельных поверхностей из монофракций кварцевого песка, измеренные в гидролотке при глубине потока 8-13 см (по материалам Крамбина и Слосса [5])

П Р/ Ц,, эксп. Цс, по (5) Ошибка

мкм кг/м3 м/с м/с м/с %

50 2600 0,24 0,25 0,01 4

500 2600 0,21 0,24 0,03 14

650 2600 0,29 0,27 -0,02 8

1000 2600 0,37 0,33 -0,04 12

Таблица 4

Параметры уравнения критической скорости и характерный радиус частиц, имеющих минимальную критическую скорость

Убедившись в справедливости теории применительно к стеклянным шарикам (табл. 1), перешли к дальнейшему ее обоснованию на основе анализа материалов табл. 3, отличающихся тем, что диапазон размеров использованных в опытах частиц не включал г*. Анализ заключается в решении систем из двух уравнений, составляемых путем перебора всех сочетаний экспериментальных данных парами. Опи-

Образец г*, мкм, по (13) /, Н/м, по (14) К**, по (15) и^ м/с по (11)

Стеклянные шарики [14] 147 0,000415 0,167 0,18

Биогенный песок [15] 195 0,000893 0,108 0,23

Кварцевый песок [5] 170 0,000582 0,203 0,19

Рис. 2. Зависимость критической скорости водного потока от радиуса частиц в безразмерных координатах: 1 — стеклянные шарики, 2 — песок кварцевый, 3 — песок биогенный, 4 — по уравнению (12)

Теоретическое обоснование приемлемости уравнения, по структуре совпадающего с уравнением (4) для межагрегатного сцепления насыпных монодисперсных образцов почвы в проекции на вертикаль, содержится в работе [8], в которой предпринят переход от описания межмолекулярных сил к силам межагрегатного сцепления на макроуровне. Подобное простейшее выражение для межагрегатного сцепления в функции размера частиц встречается и в других работах [7]. Различие между ними сводится к количественному выражению и физическому смыслу констант, а также к рекомендованным методам определения. В нашем случае выбрана формула (4), аналогичная формуле Лапласа для поверхностного натяжения, а коэффициент поверхностного сцепления рекомендовано определять по формуле (14) на основе экспериментального определения критических скоростей водного потока, по крайней мере для двух монодисперсных образцов одной почвы, различающихся размером частиц г.

Обсуждение результатов

Ошибка расчета критической скорости по выведенному уравнению (5) не превышает ошибок расчета по известным уравнениям и в среднем составляет 9%. Таким образом, достоверность результатов расчета

по модели подтверждается имеющимся экспериментальным материалом. Тем самым подтверждается приемлемость предложенной теории подъемной силы и межагрегатного сцепления.

Особенностью развиваемой теории является то, что в рамках ее предположений установлено существование минимума критической скорости водного потока в функции радиуса частиц модельной почвы, что соответствует экспериментальным данным, и впервые найдено уравнение для радиуса частиц, которым соответствует минимальная критическая скорость. Использование этих величин в качестве обезразмеривающих параметров позволило обобщить экспериментальные данные, полученные с использованием разных критериев критической скорости для довольно сильно различающихся между собой объектов (рис. 2), что также свидетельствует в пользу адекватности теории.

Точность расчета по любой модели, в том числе и по (5), определяется степенью соответствия эмпирических коэффициентов результатам измерения. В данном случае возможности снижения степени

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гендугов В.М., Кузнецов М.С., Абдулханова Д.Р., Ларионов Г.А. Модель транспорта наносов склоновыми потоками // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 17. Почвоведение. 2007. № 1.

2. Глазунов Г.П., Гендугов В.М. О подъемной силе ветра, переносящего почвенные частицы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 17. Почвоведение. 2000. № 3.

3. Гончаров В.Н. Основы динамики русловых процессов. Л., 1954.

4. Добровольский Г.В. Тихий кризис планеты // Вестн. РАН. 1997. Т. 67, № 4.

5. Дюнин А.К. Механика метелей. Новосибирск, 1963.

6. Жуковский Н.Е. О снежных заносах и заилении рек // Н.К.З. Опытно-мелиоративная часть. Вып. 30. М., 1923.

7. Мирцхулава Ц.Е. Размыв русел и методика оценки их устойчивости. М., 1967.

8. Нерпин С.В., Чудновский А.Ф. Физика почвы. М., 1967.

9. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М., 1978.

варьирования коэффициентов связаны с повышением степени соответствия расчетных значений размера и плотности частиц истинным, а также с выработкой унифицированного критерия критической скорости, что должно быть темой специального исследования.

Заключение

В рамках гидравлического подхода к описанию механизмов водной эрозии почвы предложены и обоснованы трактовка и уравнение подъемной силы водного потока. Выведено уравнение критической скорости водного потока, при которой начинается эрозия, учитывающее межагрегатное сцепление; рекомендованы способы расчета значений его аргументов. Обосновано существование минимума критической скорости потока в функции размера почвенных частиц; найдены размер частиц, для которых критическая скорость наименьшая для данной почвы, и значение этой скорости. Выведено уравнение критической скорости в безразмерном виде.

10. Скворцов А.А., Красницкий Г.А., Сараев А.С. О теплообмене и влагообмене над водными поверхностями // Тр. Ср.-Азиат. гос. ун-та. Ташкент, 1929.

11. Шеин Е.В., Гончаров В.М. Агрофизика. Ростов-на-Дону, 2006.

12. Эглит М.Э. Неустановившиеся движения в руслах и на склонах. М., 1986.

13. Kaftori D, Hetsroni G, Banerjee S. Particle behaviour in the turbulent boundary layer. I. Motion, deposition, and entrainment. // J. Fluid Mech. 1995. Vol. 7, N 5.

14. Paphitis D, Collins M.B, Nash L.A., Wallbridge S. Settling velocities and entrainment thresholds of biogenic sands (shell fragments) under unidirectional flow // Sedimentology. 2002. Vol. 49.

15. Pilotti M, Menduni G Beginning of sediment transport of incoherent grains in shallow shear flows // J. hydraulic research. 2001. Vol. 39, N 2.

16. Sutherland A.J. Entrainment of fine sediments by turbulent flows W. M. Keck Laboratory of Hydraulics and Water Resources Division of Engineering and Applied Science California Institute of Technology Pasadena. California Report No. KH-R-13, June 1966.

Сведения об авторах Поступила в редакцию 10.01.08

Гендугов В.М., канд. физ.-мат. наук, кафедра волновой и газовой динамики механико-математического ф-та. Глазунов Г.П., докт. биол. наук, кафедра земельных ресурсов и оценки почв.

LIFTING FORCE IN WATER FLOW ERODING SOIL

V.M. Gendugov, G.P. Glazunov

In the frame of the hydraulics theory the mechanism and the equation of lifting force are suggested and substantiated. With the use of the lifting force the following equations are deduced and checked against experimental data: a threshold water velocity for loose particles with minor interparticle cohesion, the minimal threshold water velocity as a function of particles' size, a non-dimensional threshold water velocity.

Key words: water erosion, soil, model of lifting force.