Модель спуска твёрдого тела на упругой подвеске Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 531.39; 531.66

А. А. ЗЕМСКОВ, С. А. КАШКИРОВ, В. К. МАНЖОСОВ МОДЕЛЬ СПУСКА ТВЁРДОГО ТЕЛА НА УПРУГОЙ ПОДВЕСКЕ

Построена модель спуска твёрдого тела на упругой подвеске. Упругая связь твёрдого тела с механизмом спуска существует только при растяжении. Скорость привода изменяется по экспоненциальному закону. Рассмотрен предельный случай, когда переносная скорость в начале движения не равна нулю. Получены решения уравнений движения. Определены условия, при которых не происходит разрыва упругой связи твёрдого тела с механизмом спуска.

Ключевые слова: спуск твёрдого тела, упругая подвеска, уравнения движения, односторонняя связь, разрыв связи

Механизмы автоматизированного захвата твёрдых тел занимают важное место в технологических процессах транспортировки объектов [1]. В работах[2, 3] рассмотрены механические системы переменной структуры, предназначенные для дистанционного автоматизированного захвата твёрдого тела и последующего его подъёма. В работе [4] анализируется процесс столкновения механизма захвата с объектом транспортировки, где одним из основных параметров динамического процесса является скорость столкновения. Однако для её определения необходимо располагать данными о динамике процесса спуска механизма захвата к объекту транспортировки.

Для спуска механизма автоматизированного захвата используется механизм лебёдки с неудержи-вающей связью в виде стального каната между ведомым звеном механизма спуска и механизмом автоматизированного захвата массой т. Схема механической системы, обеспечивающий спуск груза массой т, представлена на рисунке 1.

.X

/

1^0— —

/

б)

Рис. 1. Схема механической системы: а - положение механической системы при t = 0; б - положение механической системы при спуске груза

© Земсков А. А., Кашкиров С. А., Манжосов В. К., 2019

На рисунке 1, а представлено положение механической системы при t = 0 (где t - время). Начальная координата груза при t = 0 равна x|í=0 = х0 , скорость груза при t = 0 равна x| t=0 = 0 . В этот момент начинается спуск груза, который обеспечивается перемещением xe поперечного сечения троса со скоростью xe(t) (рис. 1, б). Переносная скорость xe(t) с помощью системы управления приводом изменяется от нуля до Xe по экспоненциальному закону: xe (t) = xe (1 — e~at) .

Здесь а - параметр, определяющий интенсивность изменения переносной скорости хе (t). Если а ^ 0 , то интенсивность изменения переносной скорости уменьшается. Если а ^сю, то изменение переносной скорости от нуля до xe происходит практически мгновенно. Это существенно динамический процесс, требующий специального анализа.

Итак, полагаем, что переносная скорость при t = 0 равна xe и остаётся постоянной. Соответственно, координата xe определяется как xe = xet.

Движение груза массой m опишем дифференциальным уравнением вида

mx = mg - c(x-Xe), x|í=0 = x0 , x| í=0 = 0, если (x - Xe) > 0, Xe = Xet, (1) X = g , если (x - xe) < 0, где X - ускорение груза; mg - сила тяжести груза; g - ускорение свободного падения; c(x - xe) - упругая сила троса; с - жёсткость троса; xe - перемещение поперечного сечения троса; x - перемещение груза.

Уравнение (1) представим как

mx = mg - ex + cXet, X = g - к2 x + к2 Xet, где к2 = c / m - отношение жёсткости троса к массе груза. При t = 0 упругая сила троса равна силе тяжести груза mg : cx0 = mg , Преобразуем уравнение (2):

x + к2 (x - g / к2 ) = к2xet, x|t=0 = х0 , xx | í=0 = 0

Введём новую переменную xr:

xr = x - g / к2, x = xr + g / к2, Учитывая равенства (4) в уравнении (3), получим xr + к2 xr = к2 xet

Решением (5) является

x = C cos ^ + C sin ^ + x t

r 1 2 e

x0 = mg / c = g / к2

xx = x„

xr L=0 = x0 - g / к = 0,

x = X,

xr\t=0 = 0.

X = -кС, sin к + кС cos fe + X ,

r 1 2 e '

где С1 и C2 - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий x\t=0 = 0.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Xr t=0 = 0:

Cj = 0:

С2 = - Xe / к .

Учитываем значения С1и С2 в решениях (6):

xr =—(к - sin к), хг = Xe (1 - cos fe). к

Для перехода к значениям x и X, воспользуемся равенствами (4) в уравнениях (8):

х = -

Упругая сила троса

^УЛ =

g

X к

1 + (Ы - sin Ы)

, X к ,, . , N 1 + (kt - sin ht)

X = хе (1 - cos fe).

- cXet, если (x - xe) > 0, если (x - xe) < 0.

(7)

(8)

(9)

Так как eg / к2 = mg, то

Ру» =

тё

0.

1 -

х к .

8Ш к

. если (х - хе) > 0.

(10)

если (х - хе) < 0.

Отношение упругой силы Р к силе тяжести груза тё определится как

Р

р __

уп

тё

( х к Л

1--— 8Ш Ы

\ ё

0.

если (х - хе) > 0.

если (х - хе) < 0.

Аргумент тригонометрических функций к можно связать с периодом Т колебаний груза:

^ 2ж , 2жИ „ t „ ~

Т =—, Ш =-= 2^— = 2М .

к 2л Т

где t = t / Т - отношение текущего времени t к периоду?7 колебаний груза.

Учитывая (12), формулу (11) можно представить в виде

^ хк . „ 1 —— 81п2я*

(11)

(12)

Р

Р = уа

уп

тё

0.

если (х - хе) > 0. если (х - хе) < 0.

(13)

Определим параметры механической системы. когда трос будет работать только на растяжение. Это обеспечивается. если

1 -—81п2я* > 0. ^8ш2л! < 1.

ё ё

Максимальное значение $,1п2ж1 = 1 будет при t = л / 4. т. е. на четверти периода колебаний. Следовательно. трос работает только на растяжение. если переносная скорость хе удовлетворяет неравенству:

х- к ё

(14)

^ < 1. х < ё. ё к

На рисунке 2 представлены диаграммы изменения относительной упругой силы Р за период колебаний. когда соотношение параметров хек / ё ^ 1.

2

я 1,75

Я

и

&

£1.25

1

0.75 0.5 0,25

/ ^—^

//

X 1у

\ \\ 2уу

\ Аъ

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Относительное время

Рис. 2. Диаграммы изменения упругой силы троса за период колебаний: 1 - при хек / ё = 0.5; 2 - при хек / ё = 0.8; 3 - при хек / ё = 1.0

Увеличение переносной скорости хе при соблюдении неравенства (14) приводит к увеличению амплитуды колебаний, которая равна хек / g . В предельном случае при хк / g = 1,0 максимальное значение упругой силы троса в два раза превышает силу тяжести груза.

Если переносная скорость хе > g / k , то уже на первой четверти периода колебаний возникает разрыв связи, и расчёт движения груза осуществляется без учёта упругой силы троса. Время разрыва связи Гс определим из равенства:

X к Р 1 ст

1 ——$т2л1; = 0, $т2л1: =, I =—агс8т^_. (15)

С 7 С • 7 7 С 1

р хек 2п хек

При ? = координата груза, его скорость и перемещение поперечного сечения троса хе равны

x к

1 + (2ntc - sin2^?c)

И^ к2

С момента времени t > tc движение груза описывается уравнением

I X g

= xe(1 -cos2^ic), xe t=tc = Xetc = -earcsin —. (16)

к x к

+ xe (t - tc). (17)

х = + р ((- О /2, х = хх 11=с + р ^ - О, хе = хе Неудерживающая связь сохранится до момента времени 1к, пока разница координат х - хе < 0 . Время 1к перехода к новому состоянию определим из уравнения

(g/ 2)(tk - tc)2 - xe (tk - te) + (x

) = 0.

Так как разница координат x

= 0, то

(tk - tc) - 2xe / g = 0, (tk - tc) = 2x^e / g .

Координата и скорость груза в момент восстановления связи (t = tk ) будут равны

t=tt = x\t=tc + g (tk - tc)2/2, xx| t=tt = t=tc + g (tk - tc) = xe (1 - c0s2^fc ) + 2xe .

Восстановление связи (при t = tk ) происходит с ударом, так как x| t> xe.

Движение груза описывается дифференциальным уравнением (3) при новых начальных условиях:

x + k2 (x - g / k2 ) = k2xe (t - tk), x| t=k = x| t _ic + g (tk - tc)2/2, x\t__4 = x\+ g (tk - tc). (18)

Вновь возникает движение груза с упругой связью и последующим её разрывом. Такой «рваный» характер движения явно нежелателен для спуска груза и его требуется исключить. Здесь остаётся целесообразным подбор параметров механической системы, обеспечивающей либо выполнение условия xek / g < 1, либо управление переносным движением.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андреев А. Ф. Грузозахватные устройства с автоматическим и дистанционным управлением. - Москва : Стройиздат, 1979. - 173 с.

2. Земсков А. А. Структура и принцип работы автоматического захвата для дистанционного перемещения грузов в ампулах // Вузовская наука в современных условиях: Сб. материалов 49-й НТК УлГТУ (26 января-31 января 2015 г.). Часть 1. - Ульяновск : УлГТУ, 2015. - С. 152-155.

3. Кашкиров С. А. Изменение структуры механизма для обеспечения автоматизированного захвата груза в рабочем цикле // Сб. материалов 48-й НТК УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (27 января - 01 февраля 2014 г.). Часть 1. - Ульяновск : УлГТУ, 2014. - С. 119-122.

4. Земсков А. А., Кашкиров С. А., Манжосов В. К. Модель столкновения механизма захвата с преградой // Вестник УлГТУ. - 2017. - №4. - С. 28-32.

REFERENCES

1. Andreev A. F. Gruzozahvatnye ustrojstva s avtomaticheskim i distancionnym upravleniem [Load-handling devices with automatic and remote control]. Moscow, Stroyizdat, 1979, 173 p.

2. Zemskov A. A. Struktura i princip raboty avtomaticheskogo zahvata dlya distancionnogo peremeshcheniya gruzov v ampulah [Structure and principle of operation of automatic capture for remote movement of cargoes in ampoules] // Vuzovskaya nauka v sovremennyh usloviyah. Sb. materialov 49-j NTK

UlGTU (26 yanvarya - 31 yanvarya 2015 g.). CHast' 1 [high School science in modern conditions: Collection of materials of the 49th STC UlSTU (January 26-January 31, 2015). Part 1]. Ulyanovsk, UlSTU, 2015, pp.152-155.

3. Kashkirov S. A. Izmenenie struktury mekhanizma dlya obespecheniya avtomatizirovannogo zahvata gruza v rabochem cikle [Changes in the structure of the mechanism for maintenance of the automated pay-load per operating cycle] // Sbornik materialov 48-j NTK UlGTU «Vuzovskaya nauka v sovremennyh usloviyah» (27yanvarya - 01 fevralya 2014 g). CHast' 1 [Proc. materials of the 48th STC UlSTU "science in modern conditions" (27 January - 01 February 2014). Part 1]. Ulyanovsk, UlSTU, 2014, pp. 119-122.

4. Zemskov A. A., Kashkirov S. A., Manzhosov V. K. Model' stolknoveniya mekhanizma zahvata s pregradoj [Collision of the gripper with a barrier] // Vestnik UlGTU [Bulletin of UlSTU], 2017, no 4, pp. 28-32.

Земское Александр Александрович, аспирант Ульяновского государственного технического университета, инженер ООО НПФ «Сосны». Имеет статьи в области анализа механизмов переменной структуры. E-mail:[email protected].

Кашкиров Сергей Анатольевич, заместитель начальника конструкторского отдела ООО НПФ «Сосны». Имеет статьи в области анализа механизмов переменной структуры. E-mail: [email protected].

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство »Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, анализа и синтеза механизмов переменной структуры, моделирования процессовydapa.E-mail:[email protected].

Поступила 01.07.2019 г.

УДК 531.1; 531.8

В. К. МАНЖОСОВ, А. А. САМСОНОВ

ДИНАМИКА ПРОЦЕССА КРУЧЕНИЯ НЕПОДВИЖНОГО СТЕРЖНЯ С УЧЁТОМ И БЕЗ УЧЁТА РАСПРЕДЕЛЁННОЙ МАССЫ

Рассмотрена модель движения механической системы в виде диска и однородного стержня, закреплённого в жёсткое основание. До начала движения реакция внешней связи закручивает диск и стержень. При разрыве внешней связи начинается движение поперечных сечений стержня. Рассмотрена волновая модель движения. Для решения волнового уравнения используется метод бегущих волн. Угловая скорость, угловое ускорение и относительный угол закручивания поперечных сечений стержня определяются с использованием функций прямых и обратных волн. Рассмотрена модель движения механической системы без учёта распределённой массы стержня. Преобразования решений уравнений движения позволяют представить их в форме, удобной для сравнения.

Ключевые слова: динамика, кручение стержня, волновое уравнение, метод бегущих волн, волна деформации, скорость поперечных сечений стержня, деформация в поперечных сечениях стержня.

При анализе крутильных колебаний в механической системе, содержащей стержень, встаёт вопрос о модели описания процесса движения. Желание более качественно описать этот процесс приводит к

© Манжосов В. К., Самсонов А. А., 2019