CC BY
14
УДК 531.39; 531.66
А. А. ЗЕМСКОВ, С. А. КАШКИРОВ, В. К. МАНЖОСОВ
МОДЕЛЬ СТОЛКНОВЕНИЯ МЕХАНИЗМА ЗАХВАТА С ПРЕГРАДОЙ
Построена модель столкновения корпуса механизма захвата с объектом транспортировки, представленного в виде жёсткой преграды. Механическая система имеет несколько степеней свободы и односторонние связи. Удар считается мгновенным. Скорость после удара рассчитывается с использованием коэффициента восстановления. После удара и при восстановлении скорости возникает процесс многократных ударов. Для произвольного удара определены скорость удара, величина отскока корпуса от преграды, время между двумя последовательными ударами. Определено время переходного процесса, связанного с многократными ударами.
Ключевые слова: модель столкновения, механизм захвата, односторонние связи, удар, коэффициент восстановления, многократные удары.
Существуют технологии, когда необходимо осуществить дистанционный автоматизированный захват объекта, его перемещение в заданную точку технологического пространства, автоматизированную разгрузку и возвращение в первоначальное положение для повторения данной операции [1, 4]. Для перемещения и подъёма механизма автоматизированного захвата (без груза или с грузом) используется механизм подъёма [2, 3] с неудерживающей связью в виде стального каната между ведомым звеном механизма подъёма и механической системой, обеспечивающей захват объекта. Схема механической системы представлена на рисунке 1.
-*1
л
»г-.1
а)
□
Рис. 1. Схема механической системы: а - перемещение механизма к объекту транспортировки; б - положение механической системы в момент столкновения
Движение механической системы при перемещении механизма захвата к объекту транспортировки опишем с использованием уравнений Лагранжа 2-го рода:
'_^__+__ и < (дТ \ дТ дП
<к
--+ — _ Q2,
дх дх
(1)
др) дф дф <1 ^ дх
где Т _ (тХ2 + Jlф2) / 2 - кинетическая энергия механической системы; т - суммарная масса всех звеньев, движущихся прямолинейно вдоль оси х (т _ т2 + т3, т2 - масса механизма управления 2, т3 - масса корпуса 3); Х - скорость прямолинейно движущегося тела массой т ; Q1 _ М1 — афр -
© Земсков А. А., Кашкиров С. А., Манжосов В. К., 2017
обобщённая сила, приведённая к ведомому звену механизма 1 (барабану); М1 - приведённый момент движущих сил; р - скорость вращения ведомого звена механизма 1; р - угол поворота ведомого звена; арр - приведённый момент сил трения; Q2 = О - а3х - обобщённая сила, приложенная к корпусу 3 механизма захвата; О - сила тяжести тела массой т ; а3 х - приложенная к корпусу 3 сила трения; П - потенциальная энергия механической системы (учитываются упругие свойства троса):
П = 2с(х - рг)2, если х >рг ; П = 0, если х <рг ; где г - радиус барабана.
С учётом изложенного уравнения формулы (1) до момента контакта корпуса 3 с объектом транспортировки преобразуются к виду:
Зрр = М1 -арр + с(х-рг), если х> рг ; Зрр=М1 -ар, если х<рг ; (2)
тх = О - с(х - рг) - а2х, если х > рг ; тх = О - а3х , если х <рг . (3)
В момент столкновения корпуса 3 с объектом транспортировки (рис. 1, б) нарушается связь между корпусом 3 и корпусом 2 механизма управления. Механическая система приобретает дополнительную степень свободы, и её движение следует рассматривать как движение трёх тел: движение корпуса 3 с ударом о преграду (объект транспортировки), вращение барабана 1 и движение корпуса 2 устройства управления.
Движение корпуса 3 с ударом о преграду опишем дифференциальным уравнением движения твёрдого тела под действием силы тяжести и сил трения, дополненное условиями соударения:
т3х3 +а3х3 = О3, если х3 = хс и х- > 0, то х+=- Я ■ х-, (4)
где х3- координата корпуса 3; хс - координата преграды в момент столкновения при t = ^ ; tCí - время первого удара; х3- - скорость корпуса 3 перед столкновением с преградой; х+ - скорость
корпуса 3 после столкновения с преградой; Я - коэффициент восстановления скорости при ударе. Координата х3 совпадает в этот момент с координатой преграды х3(^) = хс.
Движение корпуса 3 с ударом о преграду может быть с многократными ударами при упругом ударе и восстановлении скорости корпуса после удара. Силы трения способствуют более интенсивному гашению колебаний и более быстрому останову корпуса для обеспечения возможности последующей работы механизма захвата. Отсутствие сил трения увеличивает продолжительность процесса многократных соударений корпуса о преграду и может создать определённые проблемы для перехода к следующей фазе работы механизма захвата. Поэтому целесообразно рассмотреть более неблагоприятную модель движения корпуса при соударениях о преграду, когда отсутствуют силы трения.
В этом случае движение корпуса с ударом о преграду опишем дифференциальным уравнением движения твёрдого тела под действием силы тяжести, дополненное условиями соударения:
т3х3 = О3, если х3 = хс и х- > 0, то х+ =- Я ■ х- . (5)
Скорость корпуса 3 после удара в соответствии с условиями соударения равна
х+ = -Щ
При движении корпуса на интервале t < t < t (где tc2 - время второго столкновения корпуса с преградой) скорость ударной массы х3 и её координата х3 определяются равенствами:
х^э = х3+ (tCI) + я ^ - ^) = -Щ (tCI) + я^ - tCI), (6)
х3 = хс + х+ (tCI )(t - tCI) + я (t - tCI)2 / 2 = хс - Ях- (tCI - tCI) + я ^ - ^)2 / 2, (7)
где я - ускорение свободного падения.
Из (6) следует, что корпус при t < t < ^ начинает двигаться в обратном направлении с начальной скоростью х+ ^ ) = -Ях3(^). Однако наличие слагаемого я ^ - постепенно снижает величину этой скорость, и в момент времени t = t.1 она станет равной нулю:
0 = -Ях-(^) + я(t.l - , откуда (^ -= Ях-(^)/я. При этом корпус займёт положение, определяемое координатой х3 (^ ) :
Хз (t*i) = хс - (Щ (tCi ))2 / 2g , Ax1 = xc - X3 (t*i) = (Rx- (tei ))2 /2g = R2 (хъ (t^ ))2 / 2g ,
где Ax1 - величина отскока корпуса от преграды при первом столкновении.
Второй удар корпуса о преграду будет нанесён при t = t когда координата х3 корпуса вновь достигнет значения хс (хс - координата преграды). Время между вторым и первым ударами определится из (7) при х3 = хс:
At2,i = tC2 -tCi= 2rn-(tCi)/g . (8)
Учитывая (8) в (6), определим скорость корпуса в момент нанесения второго удара:
х— (tc2 ) = RX3-(tc1).
Скорость корпуса 3 после удара в соответствии с условиями соударения равна
хз+ (tc2) = = -R2 х-(^),
а отношение скорости х- (t ) корпуса 3 при нанесении второго удара к скорости х- (t ) при первом ударе равно
х3- (tc2) / х- (tci) = Rxз- (tci) /( х3- (tq) ) = R .
При движении корпуса на интервале t < t < t (где t - время третьего столкновения корпуса с преградой) скорость ударной массы х3 и её координата х3 определяются равенствами:
х3 = х3+ (tc2) + g (t-tc2) = -Щ (tc2) + g (t - tc2), (9)
х3 = х + х+ (tc2 )(t - tc2) + g (t - tc2)2 / 2 = х - Rxз- (tc2 )(t - tc2) + g (t - tc2)2 / 2. (10)
Из (9) следует, что корпус при t < t < t*2 вновь начинает двигаться в обратном направлении с начальной скоростью х+ (t ) = -RX-(tC2). В момент времени t = t*2 скорость корпуса станет равной нулю:
0 = -Щ(^2 ) + g(t*2 - tc2), откуда (t*2 -tc2) = R2х3 (tci) / g .
При этом корпус займёт положение, определяемое координатой x3 (t„2):
Х3(t*2) = Xc -(RXз-(tc2 ))2 / 2g, AX2 = Xc - Х3(t*2) = (R2х-(tci ))2 / 2g = R4(Xз-(tcl ))2 / 2g ,
где Ax2 - величина отскока корпуса от преграды при втором столкновении.
Отношение величины отскока Ax2 корпуса при втором столкновении к величине Ax1 при первом столкновении равно
AxJ Ax = (R4( х- (tci ))2 / 2 g )/( R2( х- (tci ))2 / 2 g ) = R2.
Третий удар корпуса о преграду будет нанесён при t = t , когда координата х3 корпуса вновь достигнет значения хс ( хс - координата преграды). Время между третьим и вторым ударом определится из (i0) при х3 = хс :
At3,2 = tc3 - tc2 = 2RXз- (tc2)/ g = 2R2х3- (tci)/ g . (11)
Отношение времени At3 2 между третьим и вторым ударом к времени At21 между вторым и первым ударом определится как
At3,2 / At2,i = ( 2R2х- (tci)/ g )/( 2Щ (tci)/ g ) = R .
Учитывая (11) в (9), определим скорость корпуса в момент нанесения третьего удара:
х-3(^з ) = Щ(^2 ) = R2х- (tc1) .
При движении корпуса на интервале t^ < t < tc4 (где tc4 - время четвёртого столкновения корпуса с преградой) скорость ударной массы х3 и её координата х3 определяются равенствами:
х3 = х3+ (tc3) + g (t - tc3) = -RXз-(tcз) + g(t - tc3) , (12)
х3 = хс + х+ (tcз )(t - tcз) + я (! - ^3)2 / 2 = хс -Ях3- (tcз )(t - + я (! - !сз)2 / 2 . (13)
При ! < t < t.3 корпус вновь начинает двигаться в обратном направлении с начальной скоростью х3+ (tCз) = - Ях- (! ) . В момент времени t = !*3 скорость корпуса станет равной нулю: 0 = -Ях3- (^ ) + я(t.з - tcз), откуда (Ц - tcз) = Я3х- (^ ) / я .
При этом корпус займёт положение, определяемое координатой х3(43) :
Xз(t.з) = хс -(Ях3-(^з ))2 / 2я, Ах3 = хс - х3(!.3) = (Я3х-^ ))2 / 2я = Я6(х3-(^ ))2 / 2я,
где Ах3 - величина отскока корпуса от преграды при третьем столкновении.
Отношение величины отскока Ах3 корпуса при третьем столкновении к величине Ах1 при первом столкновении равно
Ахз/ Ах1 = (Я6( хз- (tcI ))2 / 2 я )/( Я2 (х- (tcI ))2 /2 я ) = Я4.
Удар корпуса о преграду может многократно повторяться на интервале ! < t < !1 (t1 - время завершения процесса многократных соударений и останова корпуса). Если на интервале ! <t < !1 после первого столкновения в момент tc происходит 7-й удар (7 = 2, 3, 4, ...), то
хз = -Ях3-(^7-1) + я(t- tc7), х3 = хс-Ях3-(^7-1)(^с7) + я(t-tc7)2 /2, 7 = 2, 3, ..., п.
Скорость корпуса при столкновении с преградой при t = tc 7 равна
х^з- (^) = ЯхХз- (tcм ) , 7 = 2, 3, ., п.
Анализируя ряд чисел, определяющих скорость удара корпуса по преграде, начиная со второго удара:
хз-(^) = х3-(^), х3-(^2) = Ях3-(^), х- (^з) = Я2 -¿3 (tcI), можем определить скорость нанесения удара х3 (!с 7) при 7-м столкновении:
х-^) = Я7-1 х-(^), 7 = 1, 2, 3, ..., п.
Анализируя ряд чисел, определяющих величину отскока корпуса от преграды:
Ах1 = Ах1, Ах2 = Я2 Ах , Ах3 = Я4 Ах, можем определить величину отскока Ах корпуса при -м столкновении:
Ах = Я2(7-1) Ах1, 7 = 1, 2, 3, ., п.
Время Аti 71 между двумя последовательными ударами пропорционально зависит от послеударной скорости предыдущего удара и уменьшается в геометрической прогрессии при коэффициенте восстановления скорости Я < 1:
Чм = tc7 - ^ = 2Ях- (^ )/ я = 2Я71 хз- (tcl)/ я, 7 = 2, 3, ., п. (14)
Возникает явление «дребезга». Время между ударами сокращается, координата ударной массы интенсивно стремится к хс, а предударная скорость ударной массы стремится к нулю.
Время Аt¡ 7-1 между двумя последовательными ударами образует бесконечный числовой ряд вида
да
А2,1+ А!„ + А!4,з + ... + А7,7-1+ ... = Х>7,7_1,
7=2
да
^^ = 2Яx3-(tcI)/я + 2Я2х3-(д/я + ...+ 2Я7-1х3-(!с1)/я + ... . (15)
7=2
да
При Я < 1 числовой ряд (15) сходится. Общее время А = 7-1 таких соударений при числе со-
7=2
ударений, стремящихся к бесконечности, конечно и определяется как
2Я
а! = —-- хс- (!с). (16)
я(1 - Я) ' }
Равенство (16) позволяет перейти к определению времени и1, когда завершается процесс многократных соударений и происходит останов корпуса:
2R ■ , ч и = и +-x (ис ).
1 * 8 (1 — R) 01
Время переходного процесса определится как
2R . . .
и - и =-х (ис ).
1 01 8 (1 — Я) 4
При абсолютно упругом ударе, когда Я ^ 1, время переходного процесса и1 - и стремится к бесконечности. При пластическом ударе, когда Я ^ 0 , время переходного процесса и1 - и* стремится к нулю. При упругопластическом ударе, когда 0 < Я < 1, время переходного процесса и1 - и* пропорционально предударной скорости Х— (и ) корпуса в момент первого столкновения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреев А. Ф. Грузозахватные устройства с автоматическим и дистанционным управлением. -М. : Стройиздат, 1979. - 173 с.
2. Земсков А. А. Структура и принцип работы автоматического захвата для дистанционного перемещения грузов в ампулах // Вузовская наука в современных условиях. Сб. материалов 49-й НТК Ул-ГТУ (26 января - 31 января 2015 года). Часть 1. - Ульяновск : УлГТУ, 2015. - С. 152- 55.
3. Кашкиров С. А. Изменение структуры механизма для обеспечения автоматизированного захвата груза в рабочем цикле // «Вузовская наука в современных условиях». Сб. материалов 48-й НТК УлГТУ (27 января - 01 февраля 2014 г.). Часть 1. - Ульяновск : УлГТУ, 2014. - С. 119-122.
4. Кузнецов Е. С., Никитин К. Д., Орлов А. Н. Специальные грузоподъёмные машины. В 9 кн. Кн. 2: Грузоподъёмные манипуляторы. Специальные полиспастные подвесы и траверсы. Специальные лебедки. - Красноярск : СФУ, 2011. - 280 с.
Земсков Александр Александрович, аспирант Ульяновского государственного технического университета, инженер ООО НПФ «Сосны». Имеет статьи в области анализа механизмов переменной структуры. [e-mail: [email protected]].
Кашкиров Сергей Анатольевич, заместитель начальника конструкторского отдела ООО НПФ «Сосны». Имеет статьи в области анализа механизмов переменной структуры [e-mail: [email protected]].
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, анализа и синтеза механизмов переменной структуры, моделирования процессов удара [e-mail: [email protected]].
Поступила 25.12.2017 г.
