Модель системы поддержания пластового давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.542

МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖАНИЯ ПЛАСТОВОГО ДАВЛЕНИЯ

А.В. Стрекалов

Тюменский государственный нефтегазовый университет E-mail: [email protected]

Рассмотрены возможности повышения уровня контроля и управления систем поддержания пластового давления посредством создания и использования унифицированной модели. Модель позволяет контролировать произвольную гидросистему и предсказывать реакции гидравлических режимов ее элементов при внесении каких-либо технических изменений. Практическое применение предложенной модели позволило увеличить энергосбережение в гидросистемах и повысить точность соответствия технологическим режимам заводнения за счет комплексной оптимизации.

Ключевые слова:

Гидравлические, системы, нелинейные, сети, пласты. Key words:

Hydraulic, systems, nonlinear, networks, layers.

Особенный интерес для разработок в области моделирования представляют сложные системы с развитой структурой и состоящие из множества элементов, которые объединяют процессы движения жидкостей в наземных трубопроводных сетях, скважинах с фильтрационно-энергетическими процессами пластовых систем. Целевые параметры такого рода систем обычно трудно предсказуемы и сильно изменяются при изменении свойств хотя бы одного элемента системы [1].

В связи с тем, что наибольший уровень воздействия на пластовую систему и наибольшую энергоемкость имеют системы заводнения, основным аспектом практического применения описанных здесь моделей является повышение эффективности систем поддержания пластового давления (ППД) с позиции минимизации энергетических затрат и максимизации эффективности процесса нефтеизвлечения.

Большинство ограничений в известных моделях теории гидравлических цепей (ТГЦ) [1] связаны с фиктивными граничными условиями, ограничениями на вид структуры системы, требованиями к виду функций (замыкающих отношений), отсутствие взаимосвязи между гидравлическими режимами и важными техническими показателями элементов (например, взаимодействие с природными системами, перемерзание участков, аварийные режимы работы насосных агрегатов, изменение состояния обратных клапанов, переход гидравлической энергии в тепловую и т. п.).

В данной статье рассматриваются возможности повышения уровня контроля и управления систем ППД посредством создания универсальной модели, с помощью которой стало бы возможно контролировать систему и предсказывать ее поведение при внесении каких-либо изменений. Использование этой модели прежде всего, позволило бы увеличить энергосбережение систем и точность соответствия технологическим режимам заводнения за счет комплексной оптимизации.

Рассматривается ТГС с произвольной структурой [2, 3], состоящей из т узлов, из которых tузлов

являются транзитивными, п звеньев и с путей возможного перемещения текучей среды между активными узлами. Будем считать, что для каждого звена /е[/й'е] (звена I принадлежащего узлам ' и '), где ' и'е его начальный и конечный узлы, задан закон гидравлического воздействия, связывающий перепад давления Ар' (обусловленный техническими свойствами элемента ¡) на концах звена и установившийся расход д;:

ар: = £ (я,). (1)

Функции /¡(д)) - замыкающие отношения характеризуют взаимосвязь перепада давления от расхода обусловленную внутренними параметрами звена ¡. Вид/(д), например, зависит от параметров гидравлического сопротивления трубопроводной арматуры, производительности насосов ит. д.

Полный перепад давления на концах звена i будет зависеть от функции /(д) и гидростатического перепада, при условии нахождения ТГС в поле гравитации

АР, = Ар - АЪ = £ (я,) - АЪ , (2) где Агг - гидростатический перепад давления Аz¡=pg(Zjlí-Zjl)^, р - плотность текучей среды; g -ускорение свободного падения; ' и ' - высоты узлов ' и' над уровнем моря. Влияние факторов «гидростатического парадокса» во внимание не принимается.

Метод «путевой увязки» потокораспределения. Согласно данному методу для любого потокора-спределения должны выполняться следующие условия. Во-первых, в каждом транзитивном (соединенным с более, чем одним звеном) узле ' должен соблюдаться материальный баланс, отвечающий принципу неразрывности (сплошности) потока текучей среды:

Е Я, = °> 1 = (3)

где слева стоит алгебраическая сумма расходов по всем звеньям, имеющим общий (независимо от того, конечный это или начальный) транзитив-

ный узел j. Причем, если звено входит в узел, то знак перед q берется положительным, а если выходит - отрицательным. Для активных узлов уравнения материального баланса не записываются.

Во-вторых, сумма перепадов давления Ар/ на концах звеньев, входящих в путь r, должна быть равна сумме гидростатических перепадов давления на концах звеньев, входящих в этот путь и перепадов давления между узлом начала пути и узлом конца пути. Ими являются активные узлы, символизирующие накопители текучей среды (НТС), давление в которых задано на момент расчета. Для пути r можно записать:

ЕМ =Z fi (q) =P - Pre +ZAz, (4)

r r r

где слева стоит алгебраическая сумма перепадов давления (обусловленных техническими свойствами объектов) на концах звеньев, входящих в путь r; справа - разность давлений в активных узлах, образующих путь (Prb - давление в узле начала обхода пути, PK - давление в узле конца обхода) и сумма гидростатических перепадов давления на концах звеньев, входящих в путь. Если гидростатический перепад исключается справа, то суммирование слева берется согласно формуле (2).

Направление «обхода» пути задается выбором одного из пары активных узлов начальным, а другого конечным, т. е. как и в звеньях, но уже для цепочки от одного НТС до другого. Поскольку активные узлы отражают элемент НТС, то согласно первому свойству НТС, значения Prb и характеризующие стабилизированный потенциал текучей среды, должны быть заданы на текущий момент времени (давления в точках возможного притока/оттока - в реках, озерах, емкостях, пластах и т. д.). Введем вектор Q расходов, вектор перепадов давлений Y7, обусловленных внутренними свойствами элементов, вектор полных перепадов давлений Y,-вектор P давлений во всех узлах модели и вектор Z гидростатических перепадов давлений на концах всех звеньев, рис. 1.

J AQ = 0

Ьг = e+U'

(5)

Рис. 1. Вектора: / - номер звена; п - количество звеньев в структурной схеме; \ - номер узла; т - количество узлов в структурной схеме ТГС

Система уравнений в общем матричном виде сведется к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно вектора неизвестных расходов - О.

где А - прямоугольная матрица (тп) соединений т узлов и п звеньев, однозначно описывающая структуру системы [2]; В - прямоугольная матрица путей, где на пересечении столбца i, соответствующего звену I и строки г, соответствующей пути г, помещается элемент: 0, если звено I не соединено с узлом у; -1, если звено I исходит из узл- у; +1, если узел I является для звена I конечным; Е - вектор, составленный из разностей давлений РгЬ-Ргг между активными узлами соответствующего пути г; и -вектор гидростатических перепадов между активными узлами, образующими путь.

Автором был впервые разработан алгоритм поиска оптимальной матрицы В [3].

Из матрицы А исключаются строки, соответствующие активным узлам для обеспечения энергетического баланса гидравлических энергий (4): разность суммы гидравлических энергий в единицу времени, поступающих в активные узлы извне, и суммы гидравлических энергий в единицу времени, исходящих из активных узлов в рассматриваемой гидросистеме, должна равняться сумме гидравлических мощностей N звеньев гидросистемы

п п

=Е ар. % = Е £ )«-Аг. % •

1=\ ,=1

Единственным недостатком исходной системы уравнений (5) является необходимость поиска системы из с=п-т линейно-независимых путей. Решение системы (5) осуществляется численным методом Ньютона при нулевом начальном приближении с коррекцией приращений для определения частных производных замыкающих отношений (1) в конечном виде.

Метод «узловой увязки» потокораспределения. Основой для записи системы уравнений является материальный баланс в транзитивных узлах, выраженный через зависимости qi=Si (Ар) расхода в звене I от перепада давления на его концах. Функция 8(Ар) является обратной функции ¡(ф), т. е. для ее определения в произвольной точке - Ар0 необходимо в общем случае решить нелинейное уравнение /^)-Ар0=0 относительно неизвестного расхода q.

Выразив неизвестные расходы в (3) через функции qi=Si(Аp) и заменив Ар=рк-рк, получим уравнения для I транзитивных узлов, где в каждом уравнении суммируются Si(Аp) для звеньев, соединенных (смежных) с транзитивным узлом у.

Е - )=о ]=(б)

Причем, давления в транзитивных узлах является неизвестными, а давления в активных узлах константами или функциями от времени, которые рассчитываются в модели гидросистемы продуктивных пластов.

После приведения (6) к более удобному для решения виду окончательно получим однородную систему нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных давлений в транзитивных узлах:

F1( Pi, Р2>"> Pi , Pm ) = 0

F, ( Pi> P2 ' **' Pi , Pm ) = 0>

Ft ( Pi, P2,.., P, , Pm ) = 0

(7)

где 11к - абсолютные отметки положения узлов начала и конца звена I относительно отсчетной плоскости. Задавшись вектором абсолютных отметок всех узлов - У=(ц1Цъ---Цр---Цт), то в матрично-векторном представлении (8) будет

Л--(Р,-)=0. (9)

Для нахождения зависимостей 8'(рк,р^щ) при формировании модели каждого звена необходимо численно решить уравнение, связывающее массовый расход в звене с давлениями на его концах. Разделим звено I на N частей. Будем нумеровать каждый участок звена индексом к, начиная от узла начала (рис. 2).

На каждом малом участке звена - Al=l/N будем полагать величины плотности и кинематической вязкости постоянными, т. е. независящими от изменения давления. Рассматривая функцию зависимости перепада давления на участке Dl звена I от мас-

сового расхода в звене М, плотности р и кинематической вязкости V на этом участке в виде функции /(Мьр,у,А1), получим следующее соотношение

^(М) = £л(М, рк V,, Л/, Л^) =

к=1

= Ро - Рм = Р]л - , (10)

где М=дрк - массовый расход в звене равный произведению объемного расхода на участке к на плотность; рк=р(рк) - средняя плотность на участке к; vk= v(pk) - средняя кинематическая

Az, = Zo Zn

где ^(РьР2,-,Р/,-,рт) функции зависимости суммы массовых или объемных расходов потоков, сходящихся в транзитивном узле } от давлений в смежных с ним узлах (в том числе и активных).

Для описания условий сжимаемости текучей среды необходимо функционально определить зависимость физических свойств среды, влияющих на распределение потоков от давления. Для этого зададимся функциями р(р) - зависимости плотности от давления и v(p) - зависимости кинематической вязкости от давления. Для воды систем ППД автором получены эмпирические зависимости

р( Р, Т) = 1000,26 - 0,009 Т1'837 -0,0002135 Р + о, 4306 р ( г) 01й46 + 1,5778 0,00138

V (Р, Т) = 0,1846 + 0,03131-Т - Р Г0,238 ,

е Т

где р - безразмерное давление равновеликое абсолютному, 1 д.е.=1 МПа; Т - температура равновеликая абсолютной, 1 д.е.=°С; р - плотность, кг/м3; V- кинематическая вязкость, мм2/с. Эмпирические константы берутся с соответствующей размерностью.

Здесь необходимы другие замыкающие отношения: функции связывающие массовый расход М, давления и отметки высот концов звеньев. Подставив данные функции в (6) получим систему из уравнений вида

I аЛР.,,ь, Ре, Ъ, ке ) = 0, (8)

PkS =

вязкость на участке к; k N

Pkg - гидростатический перепад да-

= A/Z^-Zn

/

в

ления на участке к.

Рис. 2. Схема расчета для условий сжимаемости текучей среды

Здесь —к=(рк+рк-1)/2 - среднее давление на участке к. Давления к началу следующего участка определяются последовательно, на основании замыкающих отношений (1) для несжимаемой ТС:

Рк = Рк-1- Л (ч.1к, Рк V,, Л/) + Лгк •

При решении (10) в момент нахождения входящих в (7-9) ¿¡(р^ц) величины ро, ц и рт ZN являются константами, однозначно определяющими вид зависимости от М слева. Таким образом, функцию м>(М) посредством численного решения можно обратить, т. е. решить относительно неизвестных давлений в виде функции М=$(Р/4,Р/„Ц).

Порядок расчета м (М) зависит от соотношения направления потока и ориентации звена. Так, при противоположной ориентации звена потоку последовательность расчета рк следует начинать с узла -конца звена, так как причинно-следственная связь прослеживается согласно направлению потока. Вследствие такой неоднозначности, вид функций $'(РлАЦй,Ц,,) будет несколько изменяться при последовательном приближении потокораспределе-ния в ходе численного решения (8), (9).

Для систем ППД учет теплового обмена важен, вследствие необходимости учета изменения свойств текучей среды и выявления возможных фактов перемерзания участков ТГС.

Допустим, что для каждого звена известно распределение температуры окружающей среды подлине звена I, описываемое функциональной зависимостью Н (I). Такие зависимости могут быть представлены в произвольном виде: алгебраиче-

ски, табулированного множества [Нк,1к], в виде констант, интерполяционной зависимостью эмпирических данных и т. д. Предполагается, что теплопередача между текучей средой в звене и окружающей это звено средой происходит под действием перепада температуры потока и окружающей среды и может быть описана для каждого участка А/ звена, исходя из его морфологических свойств (например, площади поверхности контакта сред - у), свойств материала (например, коэффициент теплопередачи - у), свойств текучей среды и перепада температуры между потоком и окружающей средой - А/ в виде функций 0(М,А/,у, у,А/).

Также предполагается, что нагрев потока обусловлен переходом части гидравлической энергии потока в тепловую («термогидравлический» переход) вследствие гидравлического сопротивления, а также, вследствие кинетического воздействия активных элементов насосов на поток. Для трубопроводной арматуры, термогидравлический переход энергии будет описываться, исходя из потерь гидравлической энергии в звене на участке А/ для несжимаемой жидкости в единицу времени, как

(М,, А1) = , А1 Р

М

Р

Вт.

Для участка к длиной А/ звена изменение температуры будет складываться из двух составляющих: рост температуры вследствие гидротермического перехода АТ^и рост или падение температуры вследствие передачи тепла между потоком и окружающей средой АТ ктм.

АТ (& А) = & (М п А1) =

'к МС

[1 -ОД]£ \Мр, А1

М

Р

МС

М

[1 -ОД] £ , А1

где С - удельная теплоемкость текучей среды, Дж/(кг.К).

Изменение температуры вследствие теплопередачи с окружающей средой на участке к длиной А/ звена

(т,А1)

/- АТ

МС

где А1к=Тк-Щ/к) -

разность температур потока и окружающей среды в звене на участке к. Таким образом, для нахождения температуры потока на участке к звена , необходимо суммировать все приращения температуры на участ-

к

ках с от 1 до к: Т = Т +Е(АТ(8'А') + АТ<т'А/)),

С—1

причем, если полагать постоянство вязкости и плотности на участке, то величина АТ^М по звену изменяться не будет. Здесь Т - температура в узле (он может быть начальным или конечным для звена), в котором поток входит в звено. Для определения температуры на выходе из звена:

Т — Т +У (АТ(8-А') +АТ(т

']е ']Ь ¿—I У 'к 'к '

к—1

Для трубопроводов без учета гидротермического перехода в зависимости от температуры потока предыдущего участка к

уу М,С-

= ТМ + Т - ТМ )е

где ТМ - температура окружающей среды звена I на участке к; у - коэффициент теплопередачи, Вт/(м2К); у=пАШ - поверхность контакта потока и внешней среды для труб круглого сечения, м2.

Таким образом, после замены ТМ на Н(А/к), окончательно получим формулу для определения температуры потока в звене - круглому трубопроводу для несжимаемой жидкости на участке к относительно участка к-1:

Т — и, (А/к)+[Т - и (А1к)]е~МСГ +

[1 -ОД] £ \Мр-, А/

РСУ N

где О(о) - функция, описывающая долю рассеиваемой части гидравлической энергии, которая не переходит в тепловую, в зависимости от скорости потока о.

Для расчета комплексного потокораспределе-ния при неизотермическом течении сжимаемой или несжимаемой жидкости необходимо совместить потоко- и теплораспределение в системе. Для этого описанные выше зависимости для каждого звена I интегрируются в функции АТ=Ъ (М ьТк0), описывающие перепад температуры АТ потока между температурой на входе - Т^и выходе из звена. Например, для трубопровода этой функцией будет

Ъ (М, ]) —

- А/куЛ

И,' (А/к) + [Т. - И, (А/к

—I

+

1

МС„

(

1 -о

К у

(11)

Причем здесь при к=0 Т=Тк, т. е. температура на входе в звено.

Во избежание возникновения ситуации бесконечного АТ при М =0, будем полагать, что при нулевом массовом расходе распределение температуры потока по длине звена будет эквивалентно распределению температуры внешней среды, т. е. согласно Н (/ ).

Рассмотрим задачу термораспределения при текущем найденном потокораспределении. Допустим, по-ле решения (11) имеем распределение давлений Р и массовых расходов М для всех узлов и звеньев модели. Также заданы граничные условия термораспределения: температуры в активных узлах, в которых происходит приток (при данном потокораспределении) в гидросистему. На основа-

к—1

нии зависимостей (11) для каждого звена i возможно рассчитать распределение температуры во всей системе.

Для этого вводятся функции температуры tj (TbT2,...,7j,...,Tm), определяющие на основании (11) всех звеньев, зависимость температуры в узле j от температуры во всех узлах.

Tj (Tk1ej 2ej ,■■■,Tknej ) _

IMe I [TkMe, Tk)]

ke j

Ilm,.

ke j

где kej - индексы узлов инцидентных узлуj, из которых в узел j есть приток; iek - индексы звеньев соединяющих узлы k и узел j; n - количество узлов инцидентных узлу j, из которых в узел j есть приток.

Причем задающими температуру в узле j считаются узлы, смежные с ним, из которых в узел j имеет место приток.

Для нахождения температур Tj в узлах предлагается система нелинейных алгебраических уравнений, решаемая методом простой итерации:

T1 (Tklel, Tk2e1, ■■■' Tknel ) _

II M ek ek (M ek ' Tt)] + *Si _ _

1tMeek + X

kel

Tm (Tklem ,Tk2em '■■■' Tknem ) _

LiMek |[Tk +eisk (Mek , \ )] + X, Sm

_kem_

ltMeek + Xm

kem

Для использования комплексной модели системы ППД необходимо объединение граничных условий модели ТГС и модели ГПП. С этой целью для модели ТГС удобно в наиболее простой схеме рассматривать давление в активных узлах в виде зависимости от времени - P(t), которая будет об-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей. -М.: Наука, 1985. - 276 с.

2. Стрекалов А.В. Системный анализ и моделирование гидросистем поддержания пластового давления. - Тюмень: ИФ «Слово», 2002. - 324 с.

3. Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового

уславливаться моделью ГПП, для которой в качестве граничного условия удобно задать зависимостью Q(t) приемистости от времени для каждого звена - скважины.

Необходимо также учитывать динамику прово-димостей или замыкающих отношений f(q) для призабойных зон пласта нагнетательных скважин. Следует полагать, что проницаемость призабойных зон также должна описываться зависимостью k(t), которая будет рассчитываться в модели ГПП на каждом шаге времени.

При пересчете комплексного потокораспреде-ления - КПР во времени будем иметь динамику термогидравлического состояния ТГС в виде комплексных функции KnP(t), зависящих, как от внутренних свойств ТГС так и от состояния ГПП.

Отличием предлагаемой модели от известных аналогов является полноценный учет потоко- и те-плораспределения в гидросистемах произвольного вида, т. е. структуры и характеристик элементов, описываемых в виде функций полных гидравлических характеристик. В известных моделях не учитывается двусторонняя взаимосвязь физических свойств жидкости с теплораспределением. Т. е. изменяемая температура потока по длине звеньев меняет плотность и вязкость среды и наобороть изменение вязкости и плотности изменяет характеристики теплопередачи и температуру. Также вследствие перехода части гидравлической энергии в тепловую происходит дополнительный нагрев среды, который в свою очередь ведет к изменению ее вязкости и плотности, что далее приводит к изменению режима течения и потерь давления на трение.

Математическое описание данной модели, позволяет сократить размерность основной системы уравнений в два раза, что позволяет решить ее с большей точностью, скоростью и надежностью сходимости численного метода.

В работе [2] детально отражена разработанная автором модель ГПП с учетом условий динамической взаимосвязи с рассмотренными здесь моделями ТГС.

Разработанные автором модели были реализованы в виде программного комплекса Hydra' Sym [4], который внедрен наряде нефтегазодобывающих предприятий Западной Сибири.

давления. - Тюмень: ОАО Тюменский дом печати, 2007. -664 с.

4. Стрекалов А.В. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2002611864. Комплекс универсального моделирования технических гидравлических систем поддержания пластового давления (Hydra'Sym). 2002.

Поступила 27.05.2010 г.