CC BY
63
УДК 621.311.22:57.001.57
РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК
Э.А. Таиров1, А.А. Левин2, В.В. Запов3
Учреждение Российской академии наук Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН (ИСЭМ), 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 130.
Рассмотрено усовершенствование методики построения быстродействующих динамических моделей теплоэнергетических установок. Полученные результаты касаются корректного сведения пространственно распределенных моделей поверхностных теплообменников к моделям с сосредоточенными параметрами, особенностей применения теории гидравлических цепей к расчету потокораспределения в трактах энергоустановок и построения моделирующей программы на основе компонентного подхода. Ил. 3. Табл. 1. Библиогр. 14 назв.
Ключевые слова: быстродействующие динамические модели; пространственное усреднение; гидравлические цепи; компонентные программы.
DEVELOPMENT OF METHODS TO SIMULATE THE DYNAMICS OF HEAT POWER ENGINEERING PLANTS E.A. Tairov, A.A. Levin, V.V. Zapov
Institution of Russian Academy of Sciences Institute of Power Systems named after L.A. Melentiev SB RAS, 130, Lermontov St., Irkutsk, 664033.
The article deals with the improvement of the procedure to build quick-operating dynamic models of heat power engineering plants. The obtained results concern the correct reduction of the spatially distributed models of surface heat exchangers to the models with lumped parameters; the application features of the theory of hydraulic circuits to the calculation of flow distribution in the paths of power plants; and creating a simulation program based on the component approach.
3 figures. 1 table. 14 sources.
Key words: quick-operating dynamic models; spatial averaging; hydraulic circuits; component programs.
Математическое моделирование динамики теплоэнергетических установок и развитие его методов направлено, в первую очередь, на решение задач проектирования и настройки параметров АСУ ТП энергоблоков, оптимизации пусковых и переменных режимов их работы, обучения персонала управлению оборудованием с помощью компьютерных тренажеров. При использовании динамических моделей для решения задач в реальном масштабе времени необходимо обеспечивать быстродействие моделей без существенной потери точности вычисления нестационарных процессов.
Методические проблемы и этапы развития технологии моделирования динамики энергоустановок в реальном масштабе времени обсуждаются в [1,2]. Наиболее полное описание нестационарных процессов, например, в парогенераторе, дается в виде дифференциальных уравнений с частными производными относительно искомых температур, расходов, давлений для теплообменивающихся сред, которые дополнены замыкающими соотношениями по теплообмену, гидродинамическому сопротивлению и теплофизиче-
ским свойствам рабочих тел. Эти уравнения характеризуются существенной нелинейностью и большим изменением коэффициентов по пространственной координате. Причем, по давлению пароводяного и газовоздушного трактов установки представляют не-дектирующую систему, в которой изменения давления и расхода в промежуточных сечениях тракта находятся с учетом решения уравнений гидродинамики в граничных сечениях всего тракта.
Задача существенно упрощается при переходе к структурному моделированию, в котором теплоэнергетическая установка представлена в виде системы теплообменников и других технологических элементов, связанных между собой каналами передачи информационных параметров. В этом случае моделирование входящих в систему отдельных элементов может быть выполнено с использованием упрощенного математического описания. Другим преимуществом структурного моделирования является возможность построения вычислительных программ с использованием компонентного программирования, позволяющего редактировать и изменять описания отдельных компонент, не
1Таиров Эмир Асгадович, доктор технических наук, главный научный сотрудник, заведующий лабораторией, тел.: (3952) 429960, e-mail: tairov@isem.sei.irk.ru
Tairov Emir, Doctor of technical sciences, Chief Researcher, Head of the Laboratory, tel.: (3952) 429960, e-mail: tairov@isem.sei.irk.ru.
2Левин Анатолий Алексеевич, кандидат технических наук, научный сотрудник, тел.: (3952) 429960, e-mail: levin@isem.sei.irk.ru Levin Anatoly, Candidate of technical sciences, Research Worker, tel.: (3952) 429960, e-mail: levin@isem.sei.irk.ru.
3Запов Валерий Викторович, инженер, научный сотрудник, тел.: (3952) 429960, e-mail: btk@isem.sei.irk.ru Zapov Valery, Engineer, Research Worker, tel.: (3952) 429960, e-mail: btk@isem.sei.irk.ru.
затрагивая при этом работу компьютерной программы в целом, а также видоизменять конфигурацию программы при внесении изменений в структуру моделируемого объекта.
Рассмотрим некоторые методические проблемы, возникающие на этом пути.
Способ усреднения в точечных моделях теплообменников. Уравнения динамики конвективного теплообменника как объекта с распределенными параметрами при прямотоке обычно записывают в следующем виде [3,4]:
К = %вЫХ + (1 - к)Ив К = И^х + (1 - к)К
(7)
дК + сдК =а ^
г^в^в ^ В ^ В г V в/ '
дт дх Ь
(1)
Рг/г + О ^Г = ~аг Т" - 0) , (2) дт дх Ь
д0
М См — = аг К (1Г-0)-а, К (0-,). (3) дт
Переход от системы уравнений (1)-(3) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений совершается путем замены производных по пространственной координате отношением разности выходных и входных параметров к полной длине теплообменника:
-Ъ —
Рв V + О, (К, . ВЫх - К,. ,х ) = а,К, (0 - ¿в) , (4)
а т
-К —
РЛ -К- + Сг (Ьг. ,ых - К. ,х ) = -а г Кг (<г - 0), (5) а т
а0
Ммсм — = агКг (£ -0) - а,К, (0-1,). (6) ат
Здесь Н, и Иг соответствуют усредненным по
длине значениям энтальпий потоков; 0 - температура металла; Vв,Vг - объемы, занимаемые жидкостью и газами; Ев, Рг - площади теплообменных поверхностей; Мм - масса металла; ав, аг - коэффициенты теплоотдачи со стороны воды и газов.
Для выражения связи усредненных по длине параметров К,, Кг, 0 с их значениями на входе и выходе
теплообменника обычно применяют статические соотношения:
0 = к 0,ых +(1 -к) 0,.,х,
где к - коэффициент усреднения, принимающий значения от 0,5 до 1 [1, 5]. Более строгий подход к выбору коэффициента усреднения к рассмотрен в [6], где предложен достаточно трудоемкий метод динамических операторов для обеспечения высокой точности расчетов в моделях с сосредоточенными параметрами.
Выделим в уравнении (4) стационарную часть и решим ее с учетом соотношений (7) относительно к. В результате получим
, Ос (1 -1 ) -а К (0 -1 )
"а К(0 -1 ) -а К (0 -1 ).
, , \ ,ых ,ых / , , \ ,х ,х /
Полученному выражению (8) можно придать другой вид. Для этого сначала находится аналитическое решение для стационарной части системы (1)-(3) относительно К, (х), Кг (х), 0(х). Затем, при допущении линейной связи между энтальпией и температурой потоков, найденные решения подставляются в (8). В результате соответствующих преобразований, получим:
1 1
к=—-К |9)
где в случае прямотока
= арНгаВНВ (ОгСГ + ОвСв ) (10)
ям ОГ сг ОВ св (а в Нв + а г Нг)
Для противоточного теплообменника знак "+" в скобках числителя (10) заменяется знаком "-".
В отличие от эвристических подходов, рассмотренный способ определения коэффициента усреднения основан на законе сохранения энергии и обеспечивает точность расчетов статических режимов. Результаты сравнительных расчетов приведены в таблице.
При проведении динамических расчетов комплекс R уточняется на каждом временном шаге с учетом изменяющихся параметров теплообмена. Пример расчета динамики энтальпии воды на выходе из теплообменника при глубоком возмущении ее расхода в сравнении с распределенной моделью представлен на рис. 1.
Значения энтальпий потоков на выходе из теплообменника
Энтальпия Расчет по системе (1)-(3) Расчет при к =0,5 по [7] Расчет при кр по (9)
Лв.вых, кДж/кг 1457 1463 1457
Лг.вых, кДж/кг 593 590 593
Рис.1. Изменение энтальпии воды на выходе из теплообменника при глубоком возмущении расхода воды на входе (от 100% до 10%):1 - расчет при кр= 0,5; 2 - расчет при кр определяемом по (9); 3 - расчет с учетом распределения параметров по длине, система (1)-(3)
Видно, что модифицированный метод усреднения параметров в модели с сосредоточенными параметрами не обладает статической погрешностью и намного точнее, чем традиционный метод усреднения в описании динамического процесса. Отметим, что рассмотренный способ усреднения параметров применим и к другим типам теплообменников. Так, например, в случае парогазового теплообменника нужно учесть более сложный вид зависимости между температурой и энтальпией пара.
Существенным недостатком моделей вида (4)-(7) является отсутствие в них транспортного запаздывания, что приводит к качественно неверному описанию динамики энтальпии теплоносителя на выходе при возмущении ее входного значения на временном интервале, соответствующем транспортному запаздыванию. Возможным подходом к решению этой проблемы является введение промежуточного преобразования входных возмущений, учитывающих эффект транспортного запаздывания. Наши исследования показали успешность такого подхода, и в работе [7] была предложена полиномиальная форма преобразования входного возмущения:
£ = К +£ (К+1 - К ){1 - [1 - (^ )2]},
п=0 Тм
Т
где к0 = квх (т - ттр - Тм); тр - транспортное запаздывание; Тм = Gмсм /(аГНГ) - инерционность теплообменника [3]; ^ = Тм / Ат; Ат - шаг интегрирования системы (4)-(6); кп = Ивх(т-ттр -пАт);
квх, к*х - действующие и преобразованное значения
энтальпии на входе.
На основе разработанного подхода вы-полнены расчеты динамики пароводяного теплообменника при ступенчатом увеличении энтальпии воды на входе при
следующих его конструктивных и режимных характеристиках: Мм=10000 кг; Рв=200 м2; Fп=220 м2; Ув=10 м3; Св=70 кг/с; Рп=0,5 МПа; ^.вх=400 кДж/кг. Результаты, полученные при использовании предложенного подхода, сравнивались с полученными при обычно применяемом методе усреднения ^=0,5) и с эталонным методом распределенных параметров. При этом для обычно применяемого подхода были выполнены расчеты с различным числом расчетных пространственных участков (л=1,2,4).
Из рис. 2 видно, что обычно применяемая модель обладает значительной погрешностью в определении значений энтальпии - максимальное значение средней квадратичной погрешности этой модели достигает 12% при любом числе расчетных участков. При увеличении числа расчетных участков происходит приближение расчетов по упрощенной модели к полученным с использованием распределенной. Однако видно, что предложенная модифицированная модель, благодаря учету эффекта транспортного запаздывания, обладает более высокой степенью точности - средняя квадратичная погрешность расчета по этой модели не превысила 0,5%.
Расчет потокораспределения. Расчет динамики тепловых процессов в энергоустановке осуществляется совместно с решением уравнений движения теплоносителей, устанавливающих связь между расходами и давлениями в рассматриваемых участках пароводяного и газовоздушного трактов. Технологическая схема энергоблока содержит сотни узловых точек и ветвей, что приводит к необходимости решения систем уравнений большой размерности. При моделировании эксплуатационных режимов обычно не рассматриваются акустические эффекты и полагают, что основные потери давления обусловлены преодолением сопротивления трения. В этом случае уравнения движения вырождаются в алгебраическую систему, и задача потокораспределения может быть успешно решена хорошо развитыми методами теории гидравлических
40 20 0 -20
-40 -60
АН, кДж/кг
Х 5 4 а)
х з * 2 /
6)
к ^ 1
, 2 , 3 4 ^--У
12
1
2
4 % мин
Рис. 2. Переходные процессы (а) при ступенчатом увеличении энтальпии на входе и среднеквадратичная погрешность (б) при расчетах по модели с сосредоточенными параметрами с коэффициентом усреднения к=0,5 и числе расчетных участков п: 1 - п=1; 2 - п=2; 3 - п=4; 4 - по модифицированной модели с п=1; 5 - по модели с распределенными параметрами (эталонной) системы (1)-(3)
цепей (ГЦ) [8]. Элементами ГЦ являются узлы, в которых происходит слияние или разделение нескольких потоков, и ветви, которыми обозначают участки между соседними узлами. Топологическая структура ГЦ, состоящая из т узлов и п ветвей, описывается матрицей соединений (инциденций) А размерностью т*п с элементами А
Л.. = У
0, если ,ет,ь у не имеет стязи с узлом г; = \ 1, если поток на ,ет,иу ,^1текает из узла г; -1, если поток на ,ет,и у ,текает , узел г.
Матрица А используется для краткой записи материального баланса в цепи в форме первого закона Кирхгофа:
АО = О , (11)
где О=О(О19О2Оп)- вектор расходов на ветвях; 0=0 Q2,..., ) - вектор внешних притоков
массы. Здесь матрица А получена из А путем вычеркивания линейно зависимой строки, обычно соответствующей узлу с заданным давлением.
Вводятся также следующие величины: Р=Р (Р,Р2,...,Рт) - вектор давлений в узлах; У=У
((У, У2,..., Ут ) - вектор перепадов давления на ветвях; Б=Б(51,S2,...,5п) - вектор сопротивлений на
ветвях; Н=Н(Н1,Н2,...,Нп) - вектор действующих
напоров на ветвях (для пассивных ветвей Н=0).
Применение второго закона Кирхгофа о равенстве нулю суммы перепадов давления для всех линейно независимых контуров цепи дает следующее уравнение:
АТ Р = У , (12)
где А - транспонированная матрица А .
Замыкающими соотношениями для уравнений (11),(12) являются зависимости потерь давления У от расходов О на ветвях. Применительно к отдельной ветви стандартная запись замыкающей зависимости имеет следующий вид:
У + Ну = Бу\Оу\Оу =
= Р (V) - Ру (V) + НV = = Sv|Gv|Gv
(13)
здесь индексами ¡(V) и ¡(V) обозначены входной и выходной узлы ветви V.
Однако такая постановка задачи не позволяет охватить ряд важных особенностей потока масс в системе элементов энергоустановки. Так, падение давления на различных участках пароводяных трактов котлов и турбин подчиняется законам движения среды, где наряду с соотношениями вида (13) присутствуют нелинейные по давлению зависимости.
Например, расчет перепада давления при расширении пара в отсеке турбины ведется с использованием уравнения Флюгеля-Стодолы:
Р - р+1 + ^¿+1 -= (р2 - р2 )Т / то2
Ч-'г.О ¿+1,0 / ¿'110^¿+1,0
(14)
где /, /+1 - индексы параметров на входе и выходе /'-го отсека, 0 - признак номинального режима, Т - температура пара.
Более сложной зависимостью определяется расход через регулировочные клапаны турбины [9]:
Окл -
2к
1 -е„
к +1
-0.09Р2 +
+1.09Р+1 Р - Р+1
0.5 ,
(15)
где огл -
к
Ркр Г 2к ^ к+1 вкр - —- - I-I ; Р - живое
кр Р | к +11 сечение клапана; ц - коэффициент расхода пара; Р, Т - давление и температура пара перед регулировочными клапанами; Ркр - критическое давление;
Р+1 - давление в объеме за регулировочными клапанами перед первым рядом сопел; к - показатель адиабаты; Я - газовая постоянная.
В расчете падения давления на участках с двухфазным теплоносителем необходимо учитывать влияние структуры потока и паросодержания на гидравлическое сопротивление:
р+1 - Р -х 200 [1+ху (1)],
2^/р Р
(16)
где А - коэффициент трения; р', р' - плотности воды
и пара на линии насыщения; х - расходное массовое паросодержание; 1 - площадь сечения потока; д - ускорение силы тяжести; у - у(Р, О, х) - коэффициент, учитывающий влияние структуры потока. Зависимость у( Р, О, х) в форме номограмм приведена в нормативном методе гидравлического расчета котло-агрегатов [10]. Для проведения расчетов более удобны аналитические аппроксимации этих номограмм, приведенные в [11].
Другое отличие от стандартной задачи обусловлено присутствием в технологическом тракте объемных теплообменников - деаэратора, барабана циркуляционного контура, конденсатора, регенеративных подогревателей низкого и высокого давления. Поведение параметров в объемных аппаратах определяется сложными тепло- и массообменными процессами
в них и составляет самостоятельную задачу. Из ее решения находятся и значения давлений на каждом временном расчетном шаге, которые относительно задачи потокораспределения цепи выступают в качестве внешних условий. Таким образом, давление оказывается заданным на некотором множестве произвольно расположенных узлов рассматриваемой многоконтурной ГЦ.
Анализу возникающих в связи с приведенными выше особенностями пароводяного тракта математических проблем и путям их преодоления посвящена работа [12], где представлена модификация метода узловых давлений. Дальнейшее развитие этого подхода заключается в использовании метода двойных итераций, что позволяет избавиться от проблем аппроксимации производных нелинейных а, в случае описания свойств двухфазного потока и неявных, выражений (14)-(16). Расчет внешнего цикла итераций осуществляется для уменьшения невязки отклонений давлений и расходов в ГЦ, а внутреннего цикла для определения замыкающих соотношений Э(Р,0,х).
Компонентное программирование. При моделировании сложных технических систем, к которым относятся и теплоэнергетические установки, структура модели образует устойчивую конфигурацию. Например, модель котельной установки содержит несколько типов теплообменников, включенных последовательно и образующих тракт движения теплоносителя. Связи между моделями теплообменников фиксированы и устойчивы в пределах одного типа моделируемой установки. Изменение числа моделей теплообменников, их типов и последовательности включения может произойти только при смене типа моделируемой установки или при изменении ее модели. Если же модели теплообменников подвергаются доработке, уточнению или другим изменениям, не затрагивающим их сути, то структура модели установки остается неизменной.
Таким образом, существует возможность отделения структуры системы от ее функциональности, другими словами, возможность разделения формы и содержания. Наиболее подходящему выбору инструментального средства конструирования вычислительной программы естественным образом соответствует концепция компонентного программирования. В [13] компонент определяется как единица программного кода, выполняющая четко поставленную задачу, функционирующая в разных контекстах и взаимодействующая с ними посредством хорошо определенного интерфейса. Внутреннее устройство компонента не конкретизируется, и одним из следствий этого является то, что компонент может включать другие компоненты, т.е. иметь сложную структуру с произвольным уровнем вложенности.
Представленный в [14] пример разработки компонентов на языке С++ отличается использованием одинакового интерфейса у всех компонентов, независимо от числа входов и выходов и типа сигнала, а также асинхронного механизма взаимодействия компонентов. Этот механизм позволяет производить распределение задач по независимым исполнителям с после-
х
Рис. 3. Фрагмент структурной схемы взаимодействия компонентов в модели энергоустановки: 1 - компонент расчета динамики рекуперативного теплообменника; 2 - компонент расчета теплообмена в топочном пространстве; 3 - компонент расчета потокораспределения; СДАУ- система дифференциально-алгебраических уравнений. Индексы: п - номер расчетного временного шага;
т - теплоноситель; г - газы
дующим формированием общего результата на завершающем этапе.
На рис. 3 представлен фрагмент структурной схемы математической модели котельного агрегата с использованием следующих базовых компонентов: расчет динамики рекуперативного теплообменника, расчет потокораспределения в ГЦ, расчет теплообмена в топочном пространстве. Значения параметров пере-
даются в каждый компонент из результатов (выходов) аналогичных компонентов поверхностных теплообменников, соединенных пароводяным и газовоздушным трактами согласно схеме соединения оборудования.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-08-00201).
Библиографический список
1. Рубашкин А.С., Вербицкий В.Л., Рубашкин В.А. Методы моделирования технологических процессов, происходящих в энергетическом оборудовании // Теплоэнергетика. 2003. №8. С. 44-48.
2. Рубашкин А.С., Рубашкин В.А. Развитие технологии моделирования динамических процессов на тепловых электростанциях // Теплоэнергетика. 2004. №10. С.40-43.
3. Серов Е.П., Корольков Б.П. Динамика парогенераторов. М.: Энергия, 1981.
4. Вульман Ф.А., Хорьков Н.С. Тепловые расчеты на ЭВМ теплоэнергетических установок. М.: Энергия, 1975.
5. Перельман А.С., Хорьков Н.С., Корольков Б.П. О построении динамической модели прямоточного котла сверхкритического давления // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1972. №6. С. 112-118.
6. Плютинский В.И., Серепенков И.Н. Модифицированный метод сосредоточенных емкостей для описания динамики
тепловых процессов // Теплоэнергетика. 1995. №10. С. 2329.
7. Левин А.А., Таиров Э.А. Описание динамики теплообмен-ных элементов на основе модифицированного метода сосредоточенных параметров // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках. М.: ИД МЭИ, 2007. С.146-149.
8. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей. М.: Наука, 1985.
9. Иванов В.А. Режимы мощных паротурбинных установок. М.: Энергия, 1971.
10. Гидравлический расчет котельных агрегатов. Нормативный метод. М.: Энергия, 1978.
11. Петерсон Д.Ф., Саминская Л.В., Хабенский В.Б. К разработке метода гидравлического расчета прямоточного котла докритического давления на ЭЦВМ // Труды ЦКТИ. Вып. 98. 1969. С. 60-70.
12. Таиров Э.А., Чистяков В.Ф., Караулова И.В. Применение сетевой модели к расчету потокораспределения в трактах энергоустановок // Известия РАН. Энергетика. 2003. №3. С. 105-113.
13. Керниган Б., Пайк Р. Практика программирования; пер. с англ. М.: ИД «Вильямс», 2004.
14. Таиров Э.А., Запов В.В. Организация взаимодействия компонентов в моделирующей программе динамики энергоблоков ТЭС на основе механизма асинхронных сообщений // Научно-технические ведомости. 2008. №1. С.49-53.
УДК 621.43.001.5
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК САМООЧИЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ
Ю.Д .Шевцов1, С.А. Кобзева2, Р.А. Дьяченко3, Н.Д. Чигликова4
Кубанский государственный технологический университет, 350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2.
Предложена схема самоочищающейся системы смазки, полученная в результате синтеза существующих систем, параметры основного потока которой независимы (инвариантны) от параметров работы регенерирующего устройства. Получена схема замещения и математическая модель предложенной системы. Для определения возможных границ применения данной системы в системах смазки двигателей резервных ДЭС, получения различных соотношений гидравлических параметров ее элементов при различной степени загрязнения фильтров и величины подачи регенерирующего устройства, исследованы статические и динамические характеристики системы. Представлены результаты исследования ее динамических характеристик, которые оценивают поведение системы при переходных режимах работы, а также влияние изменения динамических составляющих гидравлических сопротивлений фильтров на процесс их загрязнения и регенерации. Ил. 3.
Ключевые слова: система смазки; самоочищающиеся системы; поток.
STUDY OF THE DYNAMIC CHARACTERISTICS OF A SELF-CLEANING SYSTEM Yu.D. Shevtsov, S.A. Kobzeva, R.A. Dyachenko, N.D. Chiglikova
Kuban State Technological University, 2, Moskovskaya St., Krasnodar, 350072.
The article proposes a circuit of a self-cleaning lubrication system, whose parameters of the basic flow are independent (invariant) from the working parameters of the regenerating device, that results from the synthesis of the existing systems. The authors obtained an equivalent circuit and a mathematical model of the proposed system. They studied static and dynamic characteristics of the system in order to determine its possible application limits in the engine lubrication systems of backup diesel electric power stations and obtain various ratios of hydraulic parameters of its elements with different degrees of filter pollution and the amount of advance of the regenerating device. The article presents the study results of its dynamic characteristics, which evaluate the system behavior under transient operation modes, as well as the impact of changes in the dynamic components of the filter hydraulic resistances on the process of their contamination and regeneration. 3 figures.
Key words: lubrication system; self-cleaning systems; flow.
В настоящее время актуальной является задача увеличения ресурса необслуживаемой работы двигателей дизельных электростанций, что позволит эффективно организовать их эксплуатацию и ремонт. Один из способов решения этой задачи - использование в качестве полнопоточного масляного фильтра самоочищающихся систем. Предложена схема само-
очищающейся системы смазки, полученная в результате синтеза существующих систем, параметры основного потока которой независимы (инвариантны) от параметров работы регенерирующего устройства (рис.1).
Она представляет собой систему, состоящую из двух параллельных ветвей, содержащих по два по-
1Шевцов Юрий Дмитриевич, профессор кафедры информатики, тел. (928) 0385870. Shevtsov Yury, Professor of the Department of Computer Science, tel. (928) 0385870.
2Кобзева Светлана Александровна, кандидат технических наук, доцент кафедры материаловедения и автосервиса, тел.: (861) 2558516.
Kobzeva Svetlana, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Material Science and Maintenance, tel.: (861) 2558516.
3Дьяченко Роман Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры информатики, тел.: (928) 4220661. Dyachenko Roman, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Computer Science, tel.: (928) 4220661.
4Чигликова Надежда Дмитриевна, кандидат технических наук, доцент кафедры информатики.
Chiglikova Nadezhda, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Computer Science.
