CC BY
5
УДК 621.785
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-2-547-553
МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА МЕТРОЛОГИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ НА ОСНОВЕ АПРИОРНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ БЕЗ МЕТРОЛОГИЧЕСКИХ ОТКАЗОВ ЗА ЗАДАННОЕ ВРЕМЯ
С.В. Агишев, Е.Л. Лебедев
Изложены результаты влияния зависимостей показателя достоверности контроля и диагностирования технического состояния бортовой аппаратуры (БА) космического аппарата (КА) от метрологических характеристик средств измерений (СИ). Разработана модель, позволяющая оценивать достоверность контроля технического состояния и технического диагностирования сложных систем (СС), входящих в состав БА КА, в зависимости от параметров и характеристик СС и точности измерений параметров СС.
Ключевые слова: сложные системы, бортовая аппаратура, метрологическое обслуживание, ошибки первого и второго рода.
При разработке данной модели используется допущение о скачкообразном изменении состояния СИ. В этом случае процесс метрологического обслуживание (Моб) СИ представляет собой сменяющиеся во времени состояния СИ и его можно изобразить в виде ориентированного графа типа дерева (рис.1), каждая ветвь которого включает работоспособные S и неработоспособные S2 состояния СИ в момент окончания каждого цикла обслуживания, в которые СИ может переходить с соответствующими переходными вероятностями Pn, Pu, P^ и P22 в зависимости от состояния СИ на предшествующем
цикле обслуживания. Под циклом обслуживания T понимается промежуток времени, в течение которого СИ находится в состоянии готовности к применению по назначению и обслуживается до следующего момента готовности СИ.
Рис. 1. Ориентированный граф модели процесса МОб СИ
Идея метода заключается в представлении ориентированного графа, изображенного на рис. 1, в свернутом виде (рис. 2). На этом графе по вертикали расположены линии возможных состояний СИ, а по горизонтали - моменты окончания (Т1,Т2,...,Т1,...) соответствующих циклов обслуживания СИ. Такое представление МОб СИ позволяет определить вероятности работоспособного и неработоспособного состояний СИ в момент окончания любого I -го цикла обслуживания в виде следующих рекуррентных соотношений
РхСТ) = ад-1) ) + А(Т _!> Р1}; ад)=ад-1) Р;)+ад-1) Р2),
(1)
где /1(71) = P«
Pî (7 ) = P1(2
- р(1) ; = 2, з,... .
Рассмотрим следующую модель МОб СИ. Работоспособное и готовое к применению СИ находится на месте эксплуатации в течении детерминированного времени Тп, по истечению которого оно
подвергается поверкам, которые длятся время ¿п (среднее время поверки). Достоверность поверки коли-
чественно оценивается условными вероятностями ап , Рп, где ап - условная вероятность ложного за-бракования СИ при поверке работоспособного СИ, а Рп - условная вероятность пропуска метрологических отказов при поверке неработоспособного СИ. В процессе эксплуатации СИ в случайные моменты времени, распределенные по закону распределения (I), могут возникать метрологические отказы,
при которых неработоспособное СИ считается готовым к применению и находится в эксплуатации до очередных поверок. После проведения поверки признанное работоспособным СИ возвращается на место эксплуатации, а признанное неработоспособным СИ сдается в ремонт, который длится время ^ (среднее
время ремонта). Достоверность контроля восстановленного СИ количественно оценивается условной вероятностью |3р пропуска отказов при контроле восстановленного СИ. После ремонта снова осуществляется поверка СИ, которая длится время ^ . В случае признания СИ работоспособным оно возвращается на место эксплуатации, в противном случае снова сдается в ремонт.
Рис. 2. «Свернутый» граф модели процесса МОб СИ
Такой процесс МОб СИ можно представить в виде орграфа, изображенного на рис. 3 и имеющего шесть возможных состояний с соответствующими вероятностями переходов из одного состояния в другое: ¿1 - работоспособное СИ находится на месте эксплуатации; ¿2 - СИ имеет метрологический
отказ и находится на месте эксплуатации; ¿3 - поверка работоспособного СИ; ¿4 - поверка СИ, имеющего метрологический отказ; - ремонт работоспособного СИ; - ремонт СИ, имеющего метрологический отказ.
1
Рп (Зр_
Рис. 3. Орграф состояний процесса МОб СИ
Для применения разработанного метода на основе графа, изображенного на рис. 3, представим МОб СИ на первых двух циклах обслуживания в виде сменяющихся во времени возможных состояний СИ с соответствующими переходными вероятностями (рис. 4, рис. 5). Используя граф, изображенный на рис. 4, нетрудно определить вероятности возможных состояний СИ в различные моменты времени (?7Ъ...ХД Они равны:
Рз(1п)=рда - я о;)]=1 - Тп); РДО=рт, (тп)=рм (тп);
адо = (1 - Оп)^) = 1 - (ТЛО - «и) - ап ; РЛ^) = РпДС^) = Рп^м (Т.) ;
Р5(?21) = апРз(*л) =«п - (Тп)ап; Р6(?21) = (1 -Рп)Р4('ц) = (1 -Рп)^М (Тп); (2)
Р^зО = Р^) = 1 -(Тп)(1 -«п)-ап; адо = РЛ^) = Рп(Тп); РЙО = Р(^) + (1 -Рр)Рб(^21) = «п -(Тп)[ап -(1 -рр)(1 -Рп)];
РЛ^) = РрР(^) = Рр(1 - Рп)^м (Тп);
адо = (1 -Оп)Рз(?з1) + адо = 1 - (Тп)(1 -Оп)[ап +Рп +Рп(1 -Рп)]-«п; ^(¿41) = Р^зО + РпРЛ^) = Рп^м (Тп)[1 + Рр(1 - Рп)]; Р5(?41) = «п Рз(/з1) = «п - (Тп)[ап - (1 - Рр)(1 - Рп)];
Р (¿41) = (1 - Рп)Р4(¿з1) = Рр(1 - Рп)2(Тп);
2 .
Р1(?51> = Р(^) = 1 - (Тп)(1 -ап)[ап +Рп +Рр(1 -Рп)] -«п
Р2(¿51) = ЗДх) = Рп(Тп)[1 + Рр(1 - Рп)] ;
Рз$1) = Р(^) + Р (¿41 )(1 - Рр) = «п - (^Ж -- (1 -Рр)(1 -Рп)[«п +Рр(1 -Рп)]}; ^(¿51) = РрР>(¿41) = Р2(1 - Рп)2Цм (Тп);
Р(^) = Р1('51> + (1 -«п) РЙО = 1 - (Тп)(1 -ап){ап(ап +Рп) +
4
+ Рп +Рр(1 -Рп)[Рр(1 -Рп) + Рп +«п)]} -«п ^(¿61) = Р^) + Рп^(¿51) = Рп(Тп)[1 + Рр(1 -Рп)(1 + Рр -РрРп)];
Р5&1) = «п Рз(?51) = «п -« ¥м (^Ж - (1 -Рр)(1 -Рп)[«п +Рр(1 -Рп)]}; Рб(¿61) = (1 - РпР ¿51) = Рр(1 - Рп)3(Тп) .
¿21 = Тп +4 ! ?з! = Тп + К + ¿р '¿41 = Тп + 2/Л + V.¿51 = Тп + 2п + 2^61 = Т + з^ +
1-Й ЦИКЛ
Рис. 4. Преобразованный орграф состояний процесса МОб СИ на 1-м цикле обслуживания
Так как значения вероятностей «п, Рп и Р малы [1] и на практике не превышают значений
(0,1 - 0,2), то значения вероятностей Р5( ¿61) и Р6( ¿61) близки к нулю и можно пренебречь. Тогда
име-
ем:
(3)
ОД) = Рх(?б1>; Р2(Т1) = Р2(?61>.
Используя граф, изображенный на рис. 5, аналогичным образом для второго цикла обслуживания полу
чим следующие выражения:
Р^) = (1 -а3п)[1 -(ОВД) + (1 -ап)(1 -Рп)(1 -Рр) х х [1 + ап + Рр(1 - Рп)][Р1(Т1)(Тп) + Р2(Т1)], Р (Т ) = Рп{1 + Р р(1 -Рп)[1 + Рр(1 -Рп)]}[ Р(Р) Я (Тп) + р) (Т)]
(4)
^ = Т + Гп ! ^32 = Тп + *п + \ 1^42 = Тп + % + *р ^2 = Т + 24 + 2^р|?62 = Т + 37д + 2^
2-й цикл
Лис. 5. Преобразованный орграф состояний процесса МОб СИ на 2-м цикле обслуживания
Тогда, используя выражения (1) и (4) для I -го цикла обслуживания СИ получим следующие выражения для определения вероятностей работоспособного и неработоспособного состояний СИ:
Р (Т) = (1 - аЗп)[1 - К (Тп )]Р(Т-1) + (1 - ап)(1 - Рп)(1 - Рр) х
х [1 + ап + Рр(1 - Рп)][Р1 (Т_1)(Тп) + Р2 (Т_1)], Р2Т) = Рп{1 + Рр(1 -Рп)[1 + Рр(1 -Рп)]}[Р1(Т-Ж (Т.) + Р2(Т1 _1)].
(5)
Так как сумма вероятностей нахождения СИ в состояниях ¿1, ¿2, ¿5, в момент времени ?б1 равна единице (указанные состояния составляют полную группу событий), то погрешность 81 вычисления вероятностей Р(Т^) и Р2(Т]), обусловленная введением допущения (3), может быть оценена формулой
81 = 1 - Р1Т1) - Р2(Т1). (6)
Аналогично для / -го цикла обслуживания погрешность вычисления вероятностей Р(Т) и
Р2(Т ) равна
8 г = 1 - Р(Т) - Р2(Т ).
(7)
Учитывая то обстоятельство, что на практике 3гп + 2гр << Тп, вероятность Рм (г) функционирования СИ без метрологических отказов за заданное время г можно определить рекуррентно с помощью следующих выражений:
1) г е ^ Тп) Рм (г) = 1 - (г);
2) г е^да Рм (г) = ад)[1 - я (г - О;
3) г е + 1)Тп) Рм (г) = Р^Т, )[1 - (г - /О;
(8)
Р(Т) = (1 -ап)[1 - К ЮШТ_1) + (1 -ап)(1 -Рп)(1 -Рр) х
гм
х [1 + ап + Рр(1 - Рп)][РХ(Т_1)(Тп) + Р>(Т-1)],
Р1(Т1) = 1 - (Тп)(1 - ад){ад(ад + Рп) + Рп + Рр(1 - Рп) х [Рр(1 - Рп) + Рп + ап]} - а"3, Р^) = Рп(Тп)[1 + Рр(1 - Рп)(1 + Рр - РрРп)] ,
где г - число циклов МОб СИ, начиная с начала эксплуатации СИ, до рассматриваемого момента времени г .
При этом условные вероятности «ложного» и «необнаруженного» отказов вычисляются по формулам [2,3,4]
|ф у( У )
ап =■
-А
-Лк - у да
|ф8(ф?8+ |ф8(8)^8
-да Ак-У
йу
(9)
|ф у( У)йУ
-А
Рп =
Ак - у да Ак - у
|ф у( У ) |ф8(8)й8йУ + |ф у( У ) |ф8(8)й8йу
-да -Ак-у А -Ак-У
(10)
-А
|ф у( У )йУ + |ф у( У )йУ
где А - предельно допустимая погрешность СИ; Ак - контрольный допуск на погрешность СИ; фу (У), ф8(8) - плотности вероятностей значений погрешности СИ и погрешности поверки СИ образцовым СИ.
Согласно проведенным исследованиям [2]:
т ( п1 \
Ра =
1 -П (1 -а X )
я=1
П (1 - Рм/)+11 -П (1 хм>>
г=1
I=1V у=1
(11)
п-п1
хП (1 -а х )Рм, П (1 - Рм, );
х=1 /=1
г Ф1
П [ Р(П х )(1 - а х) + Р( П )Р х ] - ПР(П х )(1 - а, Щ (1 - Рм,)
+
РР ='
. х=1
х=1
г=1
1 -П Р(П)
,=1
т п1
п-п1
+ I] П[Р(«у)(1 - а(м)) + Р(П; )Р;м)]П [Р(Пх)(1 - ах)
I =1 [ у=1 х=1
1 -П Р(п,)
г=1
п1
п-п1
Р(Пх )Р х ]-П Р(П у )(1 -а(м ))П [Р(п х )(1 -ах )\РМ, П (1 - Рм,)
у=1
х=1
г=1 г Ф1
(12)
1 -П Р(п)
г=1
где а(м) - условная вероятность «ложного» отказа СС по г -му параметру, контролируемого СИ, которое имеет метрологический отказ; Р(м) - условная вероятность «необнаруженного» отказа СС по г -му параметру, контролируемого СИ, которое имеет метрологический отказ.
551
да
X
P = [1 - (1 -аи)m ](1 - Pm ) + PM [1" (1 "«nM}) m ];
P =
1 - 2m (2-«n-ßn)
(1 - Pm ) + P
M
1
1 -—(2 - a„)-ßnM))
(13)
(14)
где «Пм ) - условная вероятность «ложного» отказа прибора при диагностировании СС с помощью СИ,
имеющего метрологический отказ; РПм ) - условная вероятность «необнаруженного» отказа прибора при диагностировании СС с помощью СИ, имеющего метрологический отказ.
Pel =
pkii =
1 -П (1 -«n)
i=1
l
(1 - Pm ) + PM
1-П (1 -«(M))
i=1
1-П [ p(n )(1 -«i)+p( n )(1 -ßi)]
i=1
(1 - Pm ) +
(15)
(16)
+ P
M
1-
П [ P(«i )(1 - «(M)) + P( П )(1 -ß(M))]
i =1
Заключение. Таким образом, полученные соотношения (8) - (10) позволяют установить зависимость показателя метрологической надежности СИ в виде вероятности функционирования СИ без метрологических отказов за заданное время от характеристик СИ и параметров системы МОб СИ, что может быть использовано при решении задач анализа и синтеза системы МОб СИ для определения показателей достоверности измерительного контроля и диагностирования сложных систем с учетом метрологической надежности СИ путем подстановки значений в формулы (11), (12), (13), (14), (15), (16).
Список литературы
1. Метрологическое обеспечение и эксплуатация измерительной техники. / Г.П. Богданов, В.А. Кузнецов, М.А. Лотонов и др.: под ред. В.А. Кузнецова. М.: Радио и связь, 1990. 240 с.
2. Гнедов Г.М. Контроль аппаратуры передачи данных. М.: Энергия, 1975. 125 с.
3. Дунаев Б.Б. Точность измерений при контроле качества. Киев: Техника, 1981. 152 с.
4. Рабинович, С. Г. Погрешности измерений. Л.: Энергия, 1978. 262 с.
5. Агишев С.В., Лебедев Е.Л., Калинин А.А. Оценивание вероятностных характеристик измерительного контроля и технического диагностирования сложных систем // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. Вып. 9. С. 392-400.
Агишев Сергей Валинурович, адъюнкт, rainsoul77@gmail. com, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,
Лебедев Евгений Леонидович, д-р техн. наук, профессор, начальник кафедры, zlebedev@yandex.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского
A MODEL OF THE PROCESS OF METROLOGICAL MAINTENANCE OF MEASURING INSTR UMENTS BASED ON THE A PRIORI PROBABILITY OF THE FUNCTIONING OF MEASURING INSTRUMENTS WITHOUT METROLOGICAL FAILURES FOR A GIVEN TIME
S.V. Agishev, E.L. Lebedev
The results of the influence of the dependences of the reliability indicator for monitoring and diagnosing the technical condition of the onboard equipment (BA) of the spacecraft (SC) on the metrological characteristics of measuring instruments (SI) are presented. A model has been developed that allows assessing the reliability of monitoring the technical condition and technical diagnostics of complex systems (SS) that are part of the BA SPACECRAFT, depending on the parameters and characteristics SS and the accuracy of measurements of SS parameters.
Key words: complex systems, on-board equipment, metrological maintenance, errors of the first and second kind.
Agishev Sergey Valinurovich, adjunct, rainsoul77@gmail.com, Russia, Saint-Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky,
Lebedev Evgeny Leonidovich, doctor of technical sciences, professor, head of the department, zlebedev@yandex.ru, Russia, Saint-Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky
