CC BY
77
УДК 551.435 (470.51) И.И. Рысин, И.И. Григорьев
МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СКОРОСТИ РОСТА ОВРАГОВ В УДМУРТИИ
Разработана математическая модель динамики скоростей оврагообразования, позволяющая прогнозировать активность овражной эрозии на ближайшие четыре года. Для анализа отобраны четыре временных ряда, отражающие среднегодовые скорости роста оврагов за период с 1978 по 2011 г. на трех ключевых участках и по всем наблюдаемым оврагам в пределах Удмуртской Республики. Сопоставление прогнозных и измеренных величин в 2012 г. показало высокую достоверность модели.
Ключевые слова: Удмуртская Республика, овражная эрозия, мониторинг, математическое моделирование, временные ряды, прогнозирование.
Овражная эрозия является одним из наиболее опасных природно-техногенных рельефообра-зующих процессов, наносящих большой ущерб земледелию и окружающему ландшафту. Для научно обоснованной борьбы с оврагами и прогнозирования их роста необходимы длительные стационарные и полустационарные наблюдения. С этой целью с 1978 г. нами проводятся регулярные мониторинговые исследования за развитием более 160 оврагов, расположенных в пределах 28 ключевых участков на территории Удмуртской Республики (УР) [1]. По происхождению все исследуемые овраги относятся к антропогенным, которые мы подразделяем на две группы: агрогенные (сельскохозяйственные) и техногенные. В каждой группе овраги различаются по стадиям развития и морфогенетическим показателям.
Для анализа отобраны четыре временных ряда среднегодовых скоростей роста оврагов по различным регионам УР за последние 34 года (с 1978 по 2011 г.). При выборе ключевых участков мы учитывали следующие особенности: а) на исследуемых оврагах не применялись противоэрозионные и другие мероприятия, препятствующие их развитию; б) более половины наблюдаемых на участках оврагов характеризуются признаками роста; в) вблизи ключевых участков должны быть гидрометеостанции, чтобы в дальнейшем определить влияние гидрометеорологических условий на рост оврагов.
Целью работы является построение математической модели динамики изменения скоростей оврагообразования, учитывающей периодическую составляющую и позволяющей прогнозировать будущие скорости роста оврагов на ближайшие четыре года. Математическое моделирование осуществлялось при активном участии д.ф.-м.н., профессора А.В. Лётчикова. Ранее для прогнозирования роста оврагов за 20-летний период (1978 - 1997 гг.) нами была разработана мультипликативная модель [2].
Исходные данные представлены в табл. 1. Графики представленных временных рядов приведены на рис. 1.
Таблица 1
Среднегодовая скорость роста оврагов (м/год)
Годы УР Б. Волково Ижевск Сарапул
1978 1,4 1,3 1,4 0,3
1979 2,8 6,6 2,8 1,4
1980 1,5 1,1 1,2 0,03
1981 1,3 2,3 0,7 0,2
1982 1,6 2,2 1,5 0,5
1983 0,5 2,3 0,3 0,6
1984 0,6 0,7 1,1 0,01
1985 1,3 2,3 0,5 0,6
1986 0,9 2,1 0,6 0,7
1987 0,6 2,5 1,2 0,8
1988 1,3 2,4 1,4 0,6
Окончание табл. 1
Годы УР Б. Волково Ижевск Сарапул
1989 1,1 2,1 1,1 0,8
1990 1,9 2,9 2,3 0,9
1991 2,3 4,8 1,9 1,1
1992 1,6 2,4 1,6 1,2
1993 1,2 2,5 1,4 0,9
1994 1,8 2,8 1,7 1
1995 1,1 1,9 0,7 0,4
1996 0,35 1,2 0,3 0,2
1997 0,75 2,2 1,1 0,6
1998 0,63 1,4 0,7 0,5
1999 0,22 0,8 0,1 0,1
2000 0,48 1,2 0,5 0,2
2001 0,69 0,5 0,2 0,2
2002 0,42 0,9 0,7 0,1
2003 0,23 0,4 0,1 0,1
2004 0,2 0,1 0,3 0,4
2005 0,16 0,1 0,3 0,1
2006 0,11 0,3 0,1 0,1
2007 0,29 0,2 0,2 0,1
2008 0,05 0,1 0,1 0,01
2009 0,16 1,53 0,1 0,11
2010 0,23 1,36 0,11 0,08
2011 0,23 0,82 0,45 0,03
7 -г-
—©—УР —В—Б.Волково О Ижевск —X—Сарапул
Рис. 1. Графики временных рядов по ключевым участкам (Б. Волково, Ижевск, Сарапул) и по всем наблюдаемым оврагам на территории республики (УР)
Первичный кросскорреляционный анализ показал сильную зависимость приведенных временных рядов, что дает основания для построения единой математической модели для всех приведенных рядов. Полученные коэффициенты корреляции Пирсона приведены в табл. 2.
108_И.И. Рысин, И.И. Григорьев_
2013. Вып. 3 БИОЛОГИЯ. НАУКИ О ЗЕМЛЕ
Таблица 2
Корреляционная матрица зависимостей временных рядов
Территории УР Б. Волково Ижевск Сарапул
УР 1,00 0,85 0,91 0,77
Б. Волково 0,85 1,00 0,81 0,85
Ижевск 0,91 0,81 1,00 0,79
Сарапул 0,77 0,85 0,79 1,00
Описание математической модели. В общем случае для каждого исходного временного ряда исследовалась последовательность положительных чисел х(^) ^ = 1, ..., 34), характеризующая среднегодовые скорости оврагообразования по территории. При анализе построенных графиков временных рядов наилучшую аппроксимацию дала экспоненциальная функция. Поэтому для дальнейшего анализа рассматривался ряд логарифмов у (7 ) = 1п ( X (7) ).
Таблица 3
Ряды логарифмов скоростей оврагообразования
Годы УР Б. Волково Ижевск Сарапул
1978 0,3365 0,2624 0,3365 -1,2040
1979 1,0296 1,8871 1,0296 0,3365
1980 0,4055 0,0953 0,1823 -3,5066
1981 0,2624 0,8329 -0,3567 -1,6094
1982 0,4700 0,7885 0,4055 -0,6931
1983 -0,6931 0,8329 -1,2040 -0,5108
1984 -0,5108 -0,3567 0,0953 -4,6052
1985 0,2624 0,8329 -0,6931 -0,5108
1986 -0,1054 0,7419 -0,5108 -0,3567
1987 -0,5108 0,9163 0,1823 -0,2231
1988 0,2624 0,8755 0,3365 -0,5108
1989 0,0953 0,7419 0,0953 -0,2231
1990 0,6419 1,0647 0,8329 -0,1054
1991 0,8329 1,5686 0,6419 0,0953
1992 0,4700 0,8755 0,4700 0,1823
1993 0,1823 0,9163 0,3365 -0,1054
1994 0,5878 1,0296 0,5306 0,0000
1995 0,0953 0,6419 -0,3567 -0,9163
1996 -1,0498 0,1823 -1,2040 -1,6094
1997 -0,2877 0,7885 0,0953 -0,5108
1998 -0,4620 0,3365 -0,3567 -0,6931
1999 -1,5141 -0,2231 -2,3026 -2,3026
2000 -0,7340 0,1823 -0,6931 -1,6094
2001 -0,3711 -0,6931 -1,6094 -1,6094
2002 -0,8675 -0,1054 -0,3567 -2,3026
2003 -1,4697 -0,9163 -2,3026 -2,3026
2004 -1,6094 -2,3026 -1,2040 -0,9163
2005 -1,8326 -2,3026 -1,2040 -2,3026
2006 -2,2073 -1,2040 -2,3026 -2,3026
2007 -1,2379 -1,6094 -1,6094 -2,3026
2008 -2,9957 -2,3026 -2,3026 -4,6052
2009 -1,8326 0,4253 -2,3026 -2,2073
2010 -1,4697 0,3075 -2,2073 -2,5257
2011 -1,4697 -0,1985 -0,7985 -3,5066
Из полученного ряда был выделен тренд
y (t) = f (t) + z (t Ь
где z(t) - остатки временного ряда после выделения тренда. В качестве универсального тренда для всех кривых была выбрана следующая функция (рис. 2):
f (t) = c0 + c1t + c2t2 + c3t5/2. (1)
Из остатков z(t) выделялась периодическая (гармоническая) составляющая g (t) периода T: z(t) = g(t) + e(t). Для выбора периода T строилась периодограмма I(T) (T = 2,... ,14) по следующему алгоритму [3. С. 132]. Вначале для каждого T находились следующие величины:
A(T) = £z(f) • cos[T], B(T) = £z(t) • sin[T].
2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
# ^ ^ # # al' oí1 # с? с!'' cí1 c?> с?1 ^ ^ >°P fP fP fP ^ ф r^ r^ rfi r^ r^ r^
-О— УР □ Б.Волково О Ижевск
Сарапул
•Тренд
Рис. 2. Графики временных рядов логарифмов и выделенного тренда Из полученных величин находилась периодограмма (рис. 3):
7 ^ ) = Ь ■ 34 ■( ^ ^) + 5 2 ^ ))•
Рис. 3. Периодограммы остатков после выделения трендов
По результатам анализа всех периодограмм в качестве основного периода выбран Т = 12. Для него построен ряд Фурье (см., например, [4]):
*<0 (2)
Таким образом, в результате комплексного анализа всех временных рядов была построена общая математическая модель динамики скоростей оврагообразования, описываемая следующим уравнением:
У <?) = I <г) + g <г) + в<г), <3)
где функции 1(1) и g(t), заданные по формулам <1) и <2), определяют детерминированную составляющую модели, в(0 является стохастической составляющей.
Выделение детерминированной составляющей проводилось методом наименьших квадратов с вычислением коэффициентов построенной модели а1,...,а6, Ь1,.,Ь5, с0,...,с3 для каждого заданного временного ряда по отдельности. Вычисленные коэффициенты детерминации и значения статистики Фишера показывают наличие линейной связи компонент-детерминированной составляющей и исследуемых временных рядов [5. С. 72]. Показатели адекватности моделей приведены в табл. 4. Графики логарифмов значений анализируемых временных рядов и выделенной детерминированной составляющей представлены на рис. 4-7.
Таблица 4
Коэффициенты детерминации и статистика Фишера
Показатели адекватности модели УР Б. Волково Ижевск Сарапул
Коэффициент детерминации R2 0,82 0,72 0,68 0,71
Статистика Фишера 6,05 3,47 2,93 3,27
После выделения детерминированной составляющей анализировалась на автокорреляцию стохастическая составляющая. Для этого строилась периодограмма остатков, высчитывались автокорреляция с лагом 1 и статистика Дарбина-Уотсона [5. С. 117]. Результаты проведенного анализа представлены на рис. 8 и в табл. 5.
Рис. 4. Графики логарифмов значений временного ряда «УР» и выделенной детерминированной
составляющей
1од(х^)) — — тк^е!
Рис. 5. Графики логарифмов значений временного ряда «Б. Волково» и выделенной детерминированной составляющей
Рис. 6. Графики логарифмов значений временного ряда «Ижевск» и выделенной детерминированной
составляющей
!од(х(Ц) -- _ model
Рис. 7. Графики логарифмов значений временного ряда «Сарапул» и выделенной детерминированной
составляющей
Для временных рядов «Ижевск» и «Сарапул» проведенный анализ показал слабую автокорреляционную зависимость остатков. Для них дальнейшее моделирование не проводилось. Для рядов УР и Б. Волково, у которых проведенный анализ не показывал отсутствие автокорреляции остатков временного ряда, была построена авторегрессионная модель первого порядка:
е(г) = d0 + d1e(г -1) + е(. (4)
Рис. 8. Периодограммы остатков после выделения трендов и гармонической компоненты
Коэффициенты автокорреляции и статистика Дарбина-Уотсона
Таблица 5
Показатели УР Б. Волково Ижевск Сарапул
Коэффициент автокорреляции АКФ(1) 0,34 0,63 -0,08 -0,08
Статистика Дарбина-Уотсона 1,25 0,74 2,06 2,12
Остатки новой модели снова анализировались на автокорреляцию остатков е. Результаты проведенного анализа представлены на рис. 9 и в табл. 6.
Рис. 9. Периодограммы остатков модели авторегрессии первого порядка
Таблица 6
Коэффициенты автокорреляции и статистика Дарбина-Уотсона остатков модели
авторегрессии первого порядка
Показатели УР Б. Волково
Коэффициент автокорреляции АКФ(1) -0,06 -0,04
Статистика Дарбина-Уотсона 1,99 1,96
Построение прогноза. Целью построения описанной динамической модели временных рядов была их экстраполяция и прогнозная оценка будущих значений на ближайшие четыре года. Для построения прогноза для рядов Ижевск и Сарапул применялась следующая формула:
X (г) = ехр {/ (г) + g (г)}, г = 35,... ,38, (5)
где функции f (г) и g (г) определены по формулам (1) и (2), коэффициенты которых были найдены при построении математической модели. Соответственно прогнозные значения временных рядов УР и Б. Волково находились по следующим формулам:
х(г) = ехр{ f (г) + g (г) + е(г)}, г = 35,.,38, где е(г) рассчитывалась по рекуррентной формуле:
е(г) = d0 + d1e(г - 1).
Полученные прогнозные значения рядов представлены в табл. 7.
Таблица 7
Прогноз среднегодовой скорости роста оврагов (м/год)
Годы УР Б. Волково Ижевск Сарапул
2012 0,232 0,834 0,255 0,029
2013 0,236 0,580 0,169 0,030
2014 0,264 1,079 0,581 0,029
2015 0,295 1,916 0,399 0,042
Во время экспедиционных полевых исследований летом 2012 г. были получены следующие средние скорости годового прироста оврагов по анализируемым ключевым участкам и в целом по территории Удмуртской Республики (табл. 8). Данные табл. 8 показывают, что почти на 100% оправдался прогноз для ключевого участка «Ижевск», очень близки прогнозные и измеренные значения скоростей для ключевого участка «Сарапул» и для всех исследуемых оврагов УР.
Таблица 8
Измеренные значения среднегодовых скоростей роста оврагов (м/год)
Год УР Б. Волково Ижевск Сарапул
2012 0,27 1,09 0,26 0,06
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рысин И.И. Овражная эрозия в Удмуртии. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1998. 274 с.
2. Летчиков А.В., Рысин И.И., Чиркова Л.С. Прогнозирование овражной эрозии во времени // Процессы и экологическая обстановка в бассейнах малых рек. Ижевск, 1999. С. 87-94.
3. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980. 536 с.
4. Кендэл М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, 1981. 191 с.
5. Прикладная статистика. Основы эконометрики: учебник для вузов: в 2 т. 2-е изд., испр. Т. 2: Айвазян С.А. Основы эконометрики. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 432 с.
Поступила в редакцию 10.05.13
I.I. Rysin, I.I. Grigoryev
Prediction model for the growth rate of ravines in Udmurtia
The article is devoted to the development of the mathematical model for the dynamics of ravines rate, which allows to predict the activity of ravine erosion in the next 4 years. For the analysis four time series reflecting the average annual growth rate of ravines between 1978 and 2011 in 3 key areas and in all observed ravines within the Udmurt Republic were selected. The comparison of the predicted and measured values in 2012 showed the high accuracy of the model.
Keywords: Udmurt Republic, ravine erosion, monitoring, mathematical modeling, time series forecasting.
Рысин Иван Иванович,
доктор географических наук, профессор
E-mail: rysin@uni.udm.ru
Григорьев Иван Иванович, старший преподаватель E-mail: ivangrig@yandex.ru
ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4)
Rysin I.I. doctor of geography, professor E-mail: rysin@uni.udm.ru
Grigoryev I.I., senior lecturer E-mail: ivangrig@yandex.ru
Udmurt State University
426034, Russia, Izhevsk, Universitetskaya st., 1/4
