МОДЕЛЬ ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАНОСА ЧЕТЫРЕХКОЛЕСНОГО АППАРАТА С ПРОБУКСОВЫВАЮЩИМИ КОЛЕСАМИ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

40

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №3

Механика

УДК 531.8

МОДЕЛЬ ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАНОСА ЧЕТЫРЕХКОЛЕСНОГО АППАРАТА С ПРОБУКСОВЫВАЮЩИМИ КОЛЕСАМИ

А. В. Влахова1, А. П. Новодерова2

С использованием "велосипедной" модели изучается динамика двухосного четырехколесного аппарата на начальном этапе заноса, развивающегося в результате пробуксовки колес ведущей оси. Для описания взаимодействия колес с опорной плоскостью используются модель трения Кулона, модель бокового увода и неголономная модель. Построена модель переменной структуры, описывающая этапы движения аппарата. Для исследования применяются асимптотические методы и метод фазовой плоскости.

Ключевые слова: занос колесного аппарата, модель бокового увода, неголономная модель, велосипедная модель, пробуксовка колеса, фракционный анализ, теория сингулярных возмущений.

Using the "bicycle" model, the dynamics of a biaxial four-wheeled vehicle is studied at the initial stage of skidding, which develops as a result of slipping of the driving axis wheels. To describe the interaction of wheels with the reference plane, the Coulomb friction model, the lateral slip model and the nonholonomic model are used. The construction of a model of the variable structure describing the stages of movement of the vehicle is carried out. Asymptotic methods and the phase plane method are used for the study.

Key words: wheeled vehicle skidding, lateral slip model, nonholonomic model, bicycle model, wheel slip, fractional analysis, theory of singular perturbations.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-3-6

1. Введение. Одним из важнейших требований, предъявляемых к современным колесным аппаратам (автомобилям, роботам и т.д.), служит безопасность их движения. Для ее обеспечения необходимо, во-первых, обсуждение динамических свойств аппаратов в различных условиях и, во-вторых, создание систем безопасности, ориентированных на аппараты разного назначения.

В настоящей работе модель динамики аппарата с сильным разнесением постоянных времени изменения переменных исследуется при помощи методов фракционного анализа и теории сингулярных возмущений (методами разделения движений) [1-3], которые позволяют строить приближенные модели невысокого порядка для изучения данных переменных порознь. Это дает возможность использовать аналитические подходы к исследованию движения колесных аппаратов и построению необходимых законов управления.

В работе продолжается изучение динамики колесного аппарата [4] в ситуациях, когда заблокированные или пробуксовывающие колеса ведущей оси теряют сцепление с опорной плоскостью, т.е. скользят по ней; колеса другой оси либо скользят в продольном и поперечном направлениях к их плоскостям симметрии, либо не проскальзывают. Здесь с использованием аналогичных методов построенная в [4] модель переменной структуры дополняется новыми моделями.

2. Постановка задачи и математическая модель. Рассмотрим движение двухосного четырехколесного аппарата в случае, когда ведущие колеса начинают пробуксовывать, в результате чего вместе с колесами другой оси теряют сцепление с опорной плоскостью в продольном направлении. Смещения колес в поперечном направлении остаются малыми. Такая ситуация возможна, например, при выезде аппарата на участок с мягким покрытием: размякший снег, влажный песок,

1 Влахова Анастасия Владимировна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Vlakhova Anastasiya Vladimirovna — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.

2 Новодерова Анна Павловна — канд. физ.-мат. наук, ст. преп. каф. высшей математики ИКБ РТУ МИРЭА, e-mail: [email protected].

Novoderova Anna Pavlovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Lecturer, MIREA — Russian Technological University, Higher Mathematics Department.

© Влахова А. В., Новодерова А. П., 2024 © Vlakhova A.V., Novoderova A. P., 2024

(cc)

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №3

41

глина [5]. Для исследования дальнейшего движения аппарата в работе изучаются следующие модели взаимодействия колес с опорной плоскостью:

1) модель трения Кулона для скольжения колес в продольном направлении;

2) модель увода, которая описывает малую деформируемость колес в поперечном направлении [6, 7];

3) неголономная модель, в рамках которой запрещается проскальзывание колес в поперечном направлении [1, 2, 4].

В рамках рассматриваемой постановки задачи будем изучать начальную стадию заноса — после завершения быстрого процесса пробуксовки колес, когда поперечная и угловая скорости корпуса аппарата принимают малые значения. Для такого движения можно не учитывать различие сил взаимодействия колес одной оси аппарата с опорной плоскостью и использовать "велосипедную" модель [1, 4, 6, 8-10], т.е. заменить два передних колеса одним эквивалентным передним колесом, два задних — одним задним и пренебречь боковыми наклонами корпуса.

Свяжем [1, 4, 8] с опорной плоскостью неподвижную систему координат Oxoyozo, а с корпусом аппарата, его первым передним и вторым задним колесами свяжем системы координат Cxyz, Aixiyizi и A2x2y2z2 соответственно. Оси Ozo, Cz, AiZi и A2z2 направлены по вертикали, оси Cx, Aixi и A2X2 — вдоль продольных осей симметрии корпуса и колес (см. рисунок). Положение аппарата определяется декартовыми координатами X, Y точки C в системе координат Oxoyozo, углом Ф поворота его корпуса вокруг оси Cz (углом курса), углами ©i и ©2 поворота переднего и заднего колес вокруг осей Aiyi и A2y2 их вращения и углом А поворота переднего колеса относительно корпуса вокруг оси Ai zi . Считая отношение массы колеса к массе аппарата малым, предположим, что центр масс аппарата совпадает с точкой C. Велосипедная модель аппарата

Модель динамики аппарата образована уравнениями движения точки C в проекциях на оси Cx и Cy, уравнением изменения его кинетического момента относительно точки C в проекции на ось Cz, уравнениями изменения кинетических моментов колес относительно осей Ajyj и кинематическими соотношениями. При записи уравнения изменения кинетического момента аппарата не учитываются проекции кинетических моментов колес; внешние возмущающие силы и моменты, действующие на аппарат, а также моменты трения верчения в областях контакта колес с опорной плоскостью полагаются равными нулю:

MVx = Pxi cos А - Pyi sin А + Px2 + MVyQz, MVy = Pxi sin А + Pyi cos А + Py2 - MVxQz,

Ni + N2 - Mg = 0, -ANi + BN2 - (Pxi cos А - Pyi sin А + Px2)H = 0 IzQz = (Pxi sin А + Pyi cos А^ - Py2B, IiQ i = -PxiR + Li, I2Q 2 = -Px2R + L2, Izi(Q A + Q z ) = Мд,

X = Vx cos Ф - Vy sinФ, Y = Vx sinФ + Vy cos Ф, Ф = Qz, ©i = Qi, ©2 = Q2, А = QA.

Точкой обозначено дифференцирование по времени T; М — масса аппарата; Iz — его момент инерции относительно оси Cz; Ii = mp2 (i = 1, 2) и Izi = mp2^ — осевые моменты инерции колес и момент инерции переднего колеса относительно оси Aizi; m и pi, pzi — масса колеса и соответствующие радиусы инерции; R — радиус колес; A и B — продольные расстояния от точки C до осей Aiyi и A2y2; H — высота точки C над опорной плоскостью Oxoyo; Pxi, Pyi и Ni (i = 1, 2) — проекции касательной и нормальной составляющих контактных сил взаимодействия i-го колеса с опорной плоскостью на оси Ai xi, Ai yi и Aízí трехгранника Aixiyizi; Li — момент со стороны двигателя и тормозных колодок, приложенный к i-му колесу по направлению оси Aiyi; Мд — момент рулевого привода, приложенный к переднему колесу по направлению оси Ai zi; g — ускорение свободного падения. При выбранном направлении движения далее будем полагать Vx(0) > 0.

Для упрощения дальнейшего исследования рассмотрим свободное движение непробуксовываю-щего 1-го колеса: L¡ = 0 и ограничимся случаем "закрепленного рулевого управления" [10]: А = const.

(1)

Из третьего и четвертого уравнений (1) следуют выражения, связывающие нормальные реакции с касательными составляющими контактных сил:

MgB - (Px1 cos А - Pyi sin А + Px2)H Лт.

= —-^-аТВ - ' = ' (2)

Будем рассматривать значения

Ni > 0 (i = 1, 2), (3)

отвечающие движению аппарата без отрыва колес от опорной плоскости.

Выражения для продольной и поперечной касательных составляющих контактных сил взаимодействия i-го колеса с опорной плоскостью в рамках модели трения Кулона и модели увода имеют вид

Рхг = -KXiNiSgnUxi, Руг = -nyiNi Щ- (г = 1, 2). (4)

Здесь Kxi и Kyi — коэффициенты кулонова трения скольжения в продольном и поперечном направлениях плоскости симметрии i-го колеса (по осям AiXi и Aiyi); Uxi и Uyi — проекции скорости точки контакта i-го колеса с опорной плоскостью Oxoyo на оси AiXi и Aiyi соответственно, вычисляемые по формулам:

Ux1 = Vx cos А + (Vy + Qz A) sin А - Q1E, Ux2 = Vx - Q2R,

(5)

Uy1 = - Vx sin А + (Vy + QzA) cos А, Uy2 = Vy - QzB.

Величина £ характеризует малость смещений колес в поперечном направлении.

Пробуксовка j-го колеса (j = l) происходит в результате подачи разгонного момента Lj > 0, превосходящего максимальное значение момента продольной составляющей контактной силы: Lj > KNjR. Это приводит к разгону колеса с проскальзыванием до угловой скорости пробуксовки Q0 = const, определяемой характеристиками двигателя аппарата. Для пробуксовывающего j-го колеса будем принимать Uxj < 0 и соответственно Pxj > 0.

Ограничимся следующими значениями параметров и диапазонами изменения переменных системы:

m/M = у < 1, |Vy| — |(A + B) < Vx|А|, |А| — £, 0 < £ < 1. (6)

Из первого неравенства в формуле (6) в силу конечности радиусов инерции колес и корпуса вытекают неравенства Ii, Iz1 ^ Iz.

Далее примем Kxi = Kyi = к и будем рассматривать уравнения системы (1)-(5) после линеаризации по малым Vy, Qz и А.

Ввиду малости параметров у и £ составляющие движения рассматриваемой системы развиваются в сильно разнесенных временных масштабах. Их оценками служат

= Т2 = е^, T3=fx^, Ti > Т2 > Т3,

g g g

где Ti — постоянная времени изменения продольной (путевой) скорости корпуса аппарата Vx под действием сил порядка его веса (Vx* — характерное значение Vx); T2 — постоянная времени изменения поперечной и угловой скоростей корпуса аппарата Vy и Qz, а также поперечных скоростей Uyi точек контакта колес с опорной плоскостью; T3 — постоянная времени изменения угловой скорости Qi вращения непробуксовывающего колеса вокруг оси Aiyi, а также продольной скорости Uxi точки контакта этого колеса с опорной плоскостью.

3. Пробуксовка передних колес: колеса аппарата скользят в продольном направлении и движутся без проскальзывания в поперечном направлении. Будем описывать контакт колес с опорной плоскостью моделью трения Кулона в продольном направлении и него-лономной моделью в поперечном направлении. При построении неголономной модели движения аппарата используется методика составления уравнений Лагранжа с множителями [11]. Уравнения связей, запрещающих поперечные проскальзывания колес, имеют вид Uyi = 0, Uy2 = 0.

Уравнения движения велосипедной модели аппарата с пробуксовывающим передним (j = 1,

l = 2) колесом без учета в их правых частях малых слагаемых O(p) запишутся следующим образом:

MVX = Px1 + Px2, JjQ 2 = -Px2R,

X = Vx cos Ф - Vy sin Ф, Y = Vx sin Ф + Vy cos Ф,

Ф = Q, © 2 = ^2, (7)

MoB - (Px1 + Px2)H

A + B

Uxi = Vx — QiR < 0, Ux2 = Vx — Q2R

Переменные Vy и Qz определяются из уравнений связей, которые с учетом (5) принимают вид

VxBA ^ Vx А V,, = —-, Ü, = —-—. (8)

v А + В А + В У>

Из второго равенства (8) следует равенство

sgn А = sgn Qz,

отвечающее "повороту руля (передних колес) в сторону, противоположную заносу задней оси".

Выражения для реакций связей на том же уровне точности записываются в форме

^ A/z — MA2 — 2MAB „ Л /z + MB2 B

Pv 1 = Px lA—-—---+ Px2 A—-ГТ7 + --MVxnz,

y MM+B)2 MM + B)2 A + B ' /Q4

/ _ MAB A (9) Pv2 = ~{Px 1 + Px2)A^—--ТГ + --MVXÜZ.

y¿ V XI-г X2, M(A + B)2 A + B

Согласно (3), первому неравенству в (6) и выражению для Px2 из (7) знак правой части уравнения

1 fí2

= тт СР*1 + Вх2) +-2 Рх2,

M mp2

совпадающий со знаком второго слагаемого, противоположен знаку Ux2. Следовательно, для любых начальных значений получаем | Ux21 ^ 0, т.е. на малых временах T ~ T3 заднее колесо входит в режим непроскальзывания в продольном направлении. Медленные по отношению к Ux2 переменные Vx и Vy, Qz, динамика которых определяется временами T ~ Ti и T ~ T2, успевают измениться незначительно. Дальнейшая динамика аппарата рассматривается в следующем пункте.

4. Передние пробуксовывающие колеса аппарата скользят в продольном направлении и движутся без проскальзывания в поперечном направлении. Задние колеса движутся без проскальзывания в продольном и поперечном направлениях. Будем описывать контакт переднего колеса велосипедной модели с опорной плоскостью моделью трения Кулона в продольном направлении и неголономной моделью в поперечном направлении, контакт заднего колеса — неголономной моделью в продольном и поперечном направлениях. Соответствующие уравнения связей, запрещающих проскальзывания колес, имеют вид Ux2 = 0, Uyi = 0, Uy2 = 0.

Уравнения движения велосипедной модели аппарата с пробуксовывающим передним колесом (j = 1, l = 2) без учета в их правых частях малых слагаемых O(p) имеют вид

MVx = Px1,

РХ1 = кМъ N1= MJjB . N2 = Mg-Nu (10)

A + B + kH

Uxi = Vx — QiR.

Переменные Vy и Qz определяются из уравнений (8), переменная Q2 с учетом (5) находится из уравнения Q2 = Vx/R.

Выражения для реакций связей на том же уровне точности записываются в форме

Px2 = 0,

^ л /z — MA2 — 2MAB B „ „ Л /z — MAB A

PV1 = Px 1A —----гт5--h -:-MVxnz, Pv2 = -PxiA ;--ТГ + --MVXQZ.

v M(A + В)2 A + B ' v M(A + В)2 A + В

В силу (3) постоянная правая часть первого уравнения системы (10) положительна, следовательно, аппарат движется равноускоренно, продольная скорость Vx его корпуса возрастает вплоть до значения VX = и не зависит от угла А поворота передних колес:

Vx = Vx(0)+ л КдВ--Т. (12)

w А + В + кН v '

При А = 0 рассматриваемая модель пригодна на начальном этапе изменения переменной VX, поскольку в соответствии с (8) ее увеличение приводит к возрастанию переменных |VyI, |^z| и возможному сходу системы со связей, запрещающих проскальзывание колес аппарата в поперечном направлении.

При А = 0 из (8) получаем Qz = 0, Vy = 0: движение аппарата становится прямолинейным и его занос отсутствует.

Обосновать реализацию связей Uyi = 0 (i = 1,2) для рассматриваемых в работе движений аппарата можно при помощи предельного перехода е ^ 0 в модели, для которой колеса скользят в продольном направлении и испытывают малые деформации в поперечном направлении. Возникающие при этом контактные силы определяются выражениями (4). Исследование соответствующей системы уравнений при помощи асимптотических методов [1-3] показывает, что, как и в п. 3, сначала аппарат на временах T ~ T3 входит в режим непроскальзывания задних колес в продольном направлении: |Ux2| ^ 0 (здесь медленные для этого процесса переменные VX, Vy, Qz, Uyi (i = 1, 2) близки к своим начальным значениям) и далее на временах T ~ T2 — в режим непроскальзывания колес в поперечном направлении: |Uyi | ^ 0. Изменение переменных Uyi на этом уровне приближения описывается системой

• ^±{МА2+ IZ) тт t KN2(MAB-IZ) ТТ

eVoMIz Uyl+ eV0MIz Uy2>

• kni(mab - Iz) , kn2(mb2 + Iz) (

u*~—eVoMTz—Uyl + —eVoMTz—u*>

где V0 = VX (0). Выражения для нормальных реакций Ni совпадают с третьим и четвертым выражениями (10). Положение равновесия Uyi = 0, Uy2 = 0 системы (13) на фазовой плоскости Uyi, Uy2 (Vy, Qz) имеет тип "устойчивый узел".

5. Пробуксовка задних колес: колеса аппарата скользят в продольном направлении и движутся без проскальзывания в поперечном направлении. Аналогами уравнений (7) для движения велосипедной модели аппарата с пробуксовывающим задним (j = 2, l = 1) колесом без учета в их правых частях малых слагаемых O(^) служат

MVx = Pxl + Px2, ДП i = -PxiR, X = Vx cos Ф - Vy sin Ф, Y = Vx sin Ф + Vy cos Ф, Ü = Qz, 61 = П1,

MgB - (Px1 + Px2)H Pxl = -KNlSgnUxl, Px2 = kN2, N1 = —Z-x2! , AT2 = Mg-N1,

Uxi = Vx — QiR, Ux2 = Vx — < 0.

Переменные Vy и Qz определяются из уравнений (8), выражения для реакций связей на том же уровне точности имеют вид (9).

Как и при исследовании задачи о пробуксовке передних колес аппарата в п. 3, нетрудно показать, что на малых временах T ~ T3 непробуксовывающее переднее колесо велосипедной модели входит в режим непроскальзывания в продольном направлении. Перейдем к изучению дальнейшего движения аппарата.

6. Задние пробуксовывающие колеса аппарата скользят в продольном направлении и движутся без проскальзывания в поперечном направлении. Передние колеса движутся без проскальзывания в продольном и поперечном направлениях. Будем описывать контакт заднего колеса велосипедной модели с опорной плоскостью моделью трения Кулона в продольном направлении и неголономной моделью в поперечном направлении, контакт переднего колеса — неголономной моделью в продольном и поперечном направлениях. Уравнения связей, запрещающих проскальзывания колес, имеют вид Uxi = 0, Uyi = 0, Uy2 = 0.

Уравнения движения велосипедной модели аппарата с пробуксовывающим задним колесом =2, I = 1) без учета в их правых частях слагаемых О(р) получаются по аналогии с (10):

М14 = Рх2,

РХ2 = кМ2, М2 = МодА п. М1=Мд-М2, (14)

А + В — кн

иж2 = ус — о2д.

Переменные Уу и определяются из уравнений (8), переменная с учетом (5) находится из уравнения = УС/Л.

Аналогами выражений (11) для реакций связей служат

Рх1 = 0,

Ру 1 = Рх2А МБ + В МУхПг, Ру2 = -Рж2Д ~ + „ А МУхПг. у М(А + В)2 А + В ' у М(А + В)2 А + В

Первое уравнение системы (14) описывает равноускоренное движение аппарата вплоть до значения УС =

= +аЛА-кН Т <15>

Как и ранее, при А = 0 происходит развитие заноса аппарата и возможен сход системы со связей иуг = 0 (г = 1, 2); при А = 0 занос отсутствует.

Реализация связей, запрещающих проскальзывание колес аппарата в поперечном направлении (для А = 0 на малых временах Т ~ Т2 + Т3), обосновывается по аналогии с п. 4. Изменение переменных иуг в рамках модели увода (4) описывается системой (13), имеющей положение равновесия иу1 = 0, иу2 = 0 на фазовой плоскости [7у1, иу2 (Уу, ) типа "устойчивый узел"; выражения для нормальных реакций N совпадают с третьим и четвертым выражениями (14).

Сравнение выражений (12) и (15) показывает, что при выполнении условия А > В — кН изменение переменной УС при пробуксовке заднего колеса происходит быстрее, чем при пробуксовке переднего колеса.

В обоих случаях движения аппарата, рассмотренных в пп. 4 и 6, при существенном возрастании переменных Уу и Г^ от моделей с условиями непроскальзывания колес в поперечном направлении следует переходить к модели трения Кулона для скольжения колес в поперечном направлении, которая была рассмотрена в работе [4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Влахова А.В. Математические модели движения колесных аппаратов. М.; Ижевск: АНО "Ижевский институт компьютерных исследований", 2014.

2. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1995.

3. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

4. Влахова А.В., Новодерова А.П. Моделирование заноса аппарата с повернутыми передними колесами // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2019. № 1. 23-49.

5. Вольская Н.С. Разработка методов расчета опорно-тяговых характеристик колесных машин по заданным дорожно-грунтовым условиям в районах эксплуатации: Докт. дис. М., 2008.

6. Pacejka H.B. Tyre and Vehicle Dynamics. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2006.

7. Новожилов И.В., Кручинин П.А., Магомедов М.Х. Контактные силы взаимодействия колеса с опорной поверхностью // Сб. научно-метод. статей. Вып. 23. М.: Изд-во МГУ, 2000. 86-95.

8. Влахова А.В., Новожилов И.В. О заносе колесного экипажа при "блокировке" и "пробуксовке" одного из колес // Фунд. и прикл. матем. 2005. 11, вып. 7. 11-20.

9. Влахова А.В., Новожилов И.В., Смирнов И.А. Математическое моделирование заноса автомобиля // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 6. 44-50.

10. Литвинов А.С. Управляемость и устойчивость автомобиля. М.: Машиностроение, 1971.

11. Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. Теоретическая механика. М.: Академия, 2010.

Поступила в редакцию 15.12.2023