CC BY
216. Хохлов А.В. Анализ влияния объемной ползучести на кривые нагружения с постоянной скоростью и эволюцию коэффициента Пуассона в рамках линейной теории вязкоупругости // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2019. 23, № 4. 671-704 (DOI: 10.14498/vsgtul710).
17. Khokhlov А. V. Analysis of properties of ramp stress relaxation curves produced by the Rabotnov non-linear hereditary theory // Mech. Compos. Mater. 2018. 54, N 4. 473-486 (DOI:/10.1007/sll029-018-9757-l).
18. Khokhlov A. V. Properties of the set of strain diagrams produced by Rabotnov nonlinear equation for rheonomous materials // Mech. Solids. 2019. 54, N 3. 384-399 (DOI: 10.3103/S002565441902002X).
19. Хохлов А.В. Моделирование зависимости кривых ползучести при растяжении и коэффициента Пуассона реономных материалов от гидростатического давления с помощью нелинейно-наследственного соотношения Работнова // Механ. композиционных материалов и конструкций. 2018. 24, № 3. 407-436 (DOI: 10.33113/mkmk.ras. 2018.24.03.407-436.07).
20. Khokhlov А. V. Deformation and long-term strength of a thick-walled tube of physically non-linear viscoelastic material under constant pressure // Russian Metallurgy (Metally). 2020. N 10. 1079-1087 (DOI: 10.1134/ S0036029520100122).
21. Ломакин В.А., Колтунов M.A. Моделирование процесса деформации нелинейных вязкоупругих сред // Механ. полимеров. 1967. № 2. 221-227.
22. Работное Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием // Прикл. матем. и механ. 1948. 12, вып. 1. 53-62.
23. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.
24. Delin М., Rychwalski R. W., Kubat J., Kabat M.J., Bertilsson H., Klason C. Volume changes during flow of solid polymers //J. Non-Crystalline Solids. 1994. 172-174. 779-785.
25. Addiego F., Dahoun A., G'Sell C., Hiver J.M. Volume variation process of high-density polyethylene during tensile and creep tests // Oil and Gas Sci. and Technol. 2006. 61, N 6. 715-724 (DOI: 10.2516/ogst:2006009).
26. Ольховик О.E., Гольдман А.Я. Ползучесть фторопласта при совместном действии растяжения и гидростатического давления // Механ. полимеров. 1977. № 3. 434-438.
27. Khokhlov A.V. Constitutive relation for rheological processes with known loading history: creep and long-term strength curves // Mech. Solids. 2008. 43, N 2. 283-299 (DOI: 10.3103/S0025654408020155).
28. Khokhlov A.V. Fracture criteria under creep with strain history taken into account, and long-term strength modeling // Mech. Solids. 2009. 44, N 4. 596-607 (DOI: 10.3103/S0025654409040104).
Поступила в редакцию 26.09.2018
УДК 531.8
О ВЛИЯНИИ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ МОМЕНТОВ НА ДИНАМИКУ КОЛЕСНОГО АППАРАТА НА "МИКСТЕ"
А. В. Влахова1, А. П. Новодерова2
Рассматривается движение двухосного четырехколесного аппарата на "миксте" — участке опорной плоскости, содержащем области с разными коэффициентами трения, в случае, когда коэффициент трения для одного из колес ведущей оси оказывается существенно меньше коэффициента трения для остальных колес. В предположении, что колеса аппарата сохраняют сцепление с опорной плоскостью, исследуется влияние на динамику его корпуса продольных и поперечных малых деформаций колес, а также стабилизирующих моментов.
Ключевые слова: "микст", занос колесного аппарата, модель увода, стабилизирующий момент, фракционный анализ, теория сингулярных возмущений.
The dynamics of a biaxial four-wheeled vehicle is simulated when they are on "^-split
1 Влахова Анастасия Владимировна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vlakhovaQmail.ru.
2 Новодерова Анна Павловна — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: an. novoderovaQyandex. ru.
Vlakhova Anastasiya Vladimirovna — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.
Novoderova Anna Pavlovna— Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.
surface" (a section of the reference plane containing regions with different friction coefficients) in the case when the friction coefficient for one of the wheels of the driving axis turns out to be significantly less than the friction coefficient for the remaining wheels. The wheels do not lose grip with the reference plane, the model of their contact takes into account the possibility of slipping the wheels in the longitudinal and transverse directions and the effect of aligning moments.
Key words: "^-split surface", wheeled vehicle skidding, slip model, aligning moment, fractional analysis, theory of singular perturbations.
1. Постановка задачи и математическая модель. Ситуация, когда колеса ведущей оси аппарата оказываются па участках опорной плоскости с различными коэффициентами трения, для автомобиля возможна при въезде на обочину, в лужу масла и т.п. Если при этом колеса сохраняют сцепление с опорной плоскостью, она сопровождается [1, 2| возникновением быстрого переходного процесса выравнивания контактных сил на этих колесах за счет работы дифференциала. В результате аппарат получает импульс угловой скорости, оценка которого аналитически проведена в [1| без учета стабилизирующих моментов (их описание приведено ниже) и в [2| при их учете и дополнительных предположениях. В настоящей работе рассматривается последующая динамика корпуса аппарата на "миксте" и обсуждается возможность сх'о заноса.
Пренебрегая влиянием деформаций подвески на геометрию масс и динамику аппарата [1, 2|, будем считать оси вращения колес фиксированными в продольной плоскости его симметрии, углы развала и схождения колес равными нулю.
Свяжем с опорной плоскостью неподвижную систему координат Ox0y0z0, с центрами масс корпуса и колес аппарата — системы координат Cxyz и AijXijyijZij соответственно. Индекс i задает переднюю (i = 1) и заднюю (i = 2) оси вращения колес, индекс j — левую (j = 1) и правую (j = 2) стороны по ходу движения аппарата; оси Ozo, Oz, Aij zij направлены то вертикали, ось Cx — вдоль
Aijyij
но осям вращения колес (рис. 1). Положение аппарата определяется координатами X, Y точки C в системе координат Oxoyozo, углом Ф пово-
Cz
углами ©ij поворота колес вокр vr осей Aij yij. Углы поворота передних колес относительно корпуса вокруг осей Aij zij полагаются равными нулю. Считая отношение массы m колеса к массе M аппарата малым: ^ = m/M ^ 1, предположим, что
C
Рис. 1. Модель четырехколесного аппарата
Как и в [1, 2|, рассматривается модель динамики аппарата, образованная уравнениями движения точки С в проекциях на оси Сх и Су, уравнением изменения его кинетического момента относительно точки С в проекции на ось С г, уравнениями изменения кинетических моментов колес относительно осей А^у^ и кинематическими соотношениями. При записи уравнения изменения кинетического момента аппарата не учитываются проекции кинетических моментов колес; внеш-
Су
вертикальной оси С г, полагаются равными нулю:
МУх = Рцх + Р\2х + Р21х + Р22х + МУуйг - Рх, МУу = РПу + РХ2у + Р21у + Р22у - МУхй,
2
Пг = (-Рцх + Р12х - Р21х + Р22х)В + (РПу + РПу)А1 - (Р21у + Р22у)А2 + £ Мэц,
г,3 = 1 (1)
1.й^ = -Р^хК + Ь^ (г] = 1,2), X = Ух еовФ - Уу 8тф, У = Ух 8тФ + Уу еовФ, Ф = й2, 6Ц = йц.
Точкой обозначено дифференцирование по времени Т; = Мр"^ и рг — момент инерции аппарата относительно оси С г и соответствующий радиус инерции; I.. = тр^ — осевые моменты инерции передних и задних колес; р. и К — их радиусы инерции и радиус; А. — расстояния о т оси С г до
прямых ЛцЛг2\ 2Б — длины отрезков ЛцЛг2] Р^х и Р^у — проекции касательной составляющей контактной силы взаимодействия у'-го колеса с опорной плоскостью на оси Л^х^ и Л^Msij — соответствующая проекция стабилизирующего момента колеса на ось Л^Ь^ — моменты со стороны двигателя и тормозных колодок, приложенные к у'-му колесу по направлению оси Л^уСила сопротивления воздуха ¥х вычисляется по формуле ¥х = рУ%Бсх/2, где р — плотность воздуха; сх и £ — безразмерный коэффициент лобового сопротивления и характерная площадь, зависящие от формы аппарата.
Ограничимся рассмотрением заднеприводных аппаратов
ЬУ = 0, Ь2] = Ь,
Ь
Уравнения системы двигатель трансмиссия имеют следующий вид [1 4|:
JÜ = M(Ü,ri) --L, n
n
Q = -(Q21 + Q22).
(2)
-Wo)R
Здесь О — угловая скорость выходного вала двигателя; 3 — момент инерции этой системы, приведенный к выходному валу; п — передаточное число трансмиссии от выходного вала двигателя к выходным осям дифференциала; М(О, п) — эффективный момент двигателя; п — параметр, характеризующий подачу топлива (приведенное положение педали газа). Качественный вид графиков зависимости М(О, п) от О при различных значениях п (п* < По < П1 < П2 < •••) Для автомобиля показан на рис. 2.
Рис. 2. Зависимость эффективного момента дви- Последнее уравнение (2) позволяет исклю-
О21
при различных значениях параметра п О22, О. Явное выражение для Ь можно найти [1,
2|, если продифференцировать обе части этого уравнения по времени, подставить полученное выражение в первое уравнение (2) и учесть уравнения изменения переменных О2j из (1):
L
1
2 J — + п—
n I2
nJ
М(й,Г]) + --R(P21x + Р22х) 2 I2
n
Q = -(Q21 + Q22).
Для описания контакта у-го колеса аппарата с опорной плоскостью используется [5] модифицированная модель увода, которая учитывает как поперечную, так и продольную малые деформации колеса, приводящие к его микропроскальзыванню [1, 2, 4 10] и возникновению момента трения верчения, в данном случае вызванного неравномерностью распределения касательных напряжений в области контакта из-за малой поперечной деформации колеса. В теории движения автомобиля этот момент называется стабилизирующим моментом [4, 5, 8 10]. Выражения для касательных составляющих контактных сил и стабилизирующих моментов имеют вид
Píjx - l^'íjx-^íj'Pi^íj) '
Pijy = -KijyNifpieijMSij = -KijzrNijxdeijy|),
-v
-г]
-г]у |
U
г]х
U
г]у
-ijx
"г] y
(3)
> £г] = \ £ijx + 4y (i,j = 1> 2)
Здесь кг]х и кг]у — коэффициенты кулонова трения скольжения в продольном и поперечном направлении плоскости симметрии ij-ro колеса (по осям ЛцХц и Лцугj); k^z — коэффициент момента трения верчения колеса вокруг вертикальной оси Aív Хг^, r — характерный размер области контакта колес с опорной плоскостью (она считается симметричной относительно плоскостей AívXívZív и Aívyгjz^)', Nív — нормальные peaкции; £ívx ш Gív^j — относительные проскальзывания колес в продольном и поперечном направлении; Uívx и Uív^j — проекции скорости центра области контакта (далее для краткости — точки контакта) ij-ro колеса с опорной плоскостью Oxoyo та оси AívXív и Aívyгj соответственно, вычисляемые по формулам
Uijx = Vx + (-ljBQz - Q jR, Uijy = Vy - (-1)%Qz. (4)
Далее примем Kijx = Kjy = Kj, £1 = r/R ^ 1.
Будем аппроксимировать характеристику p(£j) кусочно-линейной функцией fl, 2, 4-7]
p = £j/е при £j < £; p = 1 при £j ^ £, 0 < £ ^ 1, (5)
а характеристику стабилизирующего момента — кусочно-линейной функцией [5]
X = при \eijy\ <£т; X = ПРИ £т ^ \£ijy\ <£', X = 0 при \eijy\ ^ е. (6)
£m £ £m
Для автомобильных колес £ ~ 10-1; значенпя Kjz и £m в зависимости от типа шин могут почти не
зависеть от нагрузки или изменяться существенно [8, 10]. Интервал
£j < £ (7)
характеризует движение колес аппарата без потери сцепления с опорной плоскостью, т.е. с микропроскальзываниями, но без скольжения, отвечающего условию £j ^ £.
Предположим [1, 2], что до попадания на "микст" аппарат двигался равномерно (со скоростью Vx = V0 = const), прямолинейно, без потери сцепления колес с опорной плоскостью, и будем считать, что в ходе этого стационарного движения нормальные реакции принимают постоянные значения Nj = Ni = MgA2/2(Al + A2), N2j = N2 = MgA\/2(A\ + A2), отвечающие "велосипедной" модели аппарата [4, 7], в рамках которой передние колеса заменяются одним эквивалентным передним колесом, задние колеса — одним задним колесом и отсутствуют наклоны корпуса. (В [2] в предположении Ai ~ A2 рассматривался случай равенства всех нормальных реакций.) Предположение о постоянстве нормальных реакций оправдано [11, 12] для аппаратов с достаточно низким расположением центра масс и центра парусности (точки приложения аэродинамической силы). Значения переменных и параметра п = По, отвечающих этому движению, определяются из равенств [1, 2]
Kj = K0j Kjz = Kz0 j Vy = Qz = Ujy = °j
£ijy = 0j Pijy = 0j Pljx = 0j Uljx = 0j V0 = QlRj
Qi = Qij, P2jx = L/Rj Msij =0 (ijj = 1, 2),
D _ Fx(Vo) _ U2jx _ £Fx(Vo) _ Vo (8)
Лу«-—2—, 2'
П=пП2 = П о, М(П0,г]) = ^FX(V0)R (j = 1,2).
На рис. 2 значение по отвечает ветви семейства графиков M(Q, ц), через точку (Qo,
Fx (Vo)R/n).
2. Динамика корпуса аппарата на "миксте". В момент времени, который принимается за начальный для этапа движения на "миксте", коэффициенты кулонова трения скольжения K22 и соответствующего стабилизирующего момента K22z правого заднего (ведущего) колеса мгновенно изменяют свое значение с к0 и kz0 на km < к0 и kzm < kz0. Для остальных колес, отвечающих i = 1, j = 1,2 и i = 2 j = 1) как п ранее на этапе стационарного движения, Kj = ко, Kjz = Kzo- При этом стационарное, установившееся движение аппарата нарушается и в системе возникает динамический процесс, обусловленный различиями величин касательных составляющих контактных сил на его задних колесах. Предположим, что все колеса продолжают сохранять сцепление с опорной плоскостью, т.е. условие (7) в начальный момент времени, сводящееся [2] к неравенству Fx(Vo)/2 < кмN2, остается справедливым (протекание этих процессов подробно обсуждается в [1, 2]).
Ограничимся случаем, когда поперечная и угловая скорости корпуса аппарата малы и изменяются в диапазонах
|VyMQz|(Ai + A2) < £Vx- (9)
В силу малости значений £ и ß переменные системы развиваются в сильно разнесенных временных масштабах. Их оценками служат: Ti = VXt /g — определяемое из первого уравнения системы (1)
Vx
величин порядка своего характерного значения Ух^ под действием контактных сил порядка его веса; Т2 = еУх^ /д — определяемое из второго и третьего уравнений системы (1) с учетом (4) и (9) характерное время изменения поперечной и угловой скоростей корпуса аппарата Уу и 0Х, а также поперечных скоростей и^у точек контакта колес с опорной плоскостью; Тз = /д — определяемая из четырех последних динамических уравнений системы (1) постоянная времени изменения угловых скоростей осевого вращения колес; Т4 = /д — определяемая с учетом (7) постоян-
ная времени изменения продольных скоростей и^х точек контакта колес с опорной плоскостью; Т5 = .]/К^, Кв = (дМ/д0)^ — определяемое из (2) характерное время изменения угловой скорости выходного вала двигателя (правая часть выражения для Кв задает характерный коэффициент наклона касательной к характеристике двигателя М(0,п))-Далее будем рассматривать случай
0 < у < £ ~ £т ~ £1 < 1, (10)
когда Т4 ^ Тз ^ Т2 ^ Т1, а также аппараты и условия движения, для которых Т4 ~ Т5 [1]. Характерное время реакции водителя (системы управления) считается существенно превосходящим Т4. Для типичных значений параметров легкового автомобиля у ~ ю-2- 10-3, тогда при движении со скоростями Ух ~ 10 м/с имеем Т1 ~ 1с, Т2 ~ 10-^ с, Т3 ~ ю-2- 10-^ с, Т4 ~ ю-3- 10-4 с. Таким образом, динамический процесс выравнивания контактных сил на колесах ведущей оси аппарата в первую очередь затрагивает продольные скорости точек контакта колес с опорной плоскостью, а также угловую скорость выходного вала двигателя, изменяющиеся на тех же характерных временах Т ~ Т4 ~ Т5 [2]. Переменные, изменяющиеся на существенно больших временах, можно считать [1, 2, 7, 13, 14] постоянными, равными своим начальным значениям, отвечающим стационарному движению (8), в частности ^22у = 0 О22 = О2, Nlj = N1, N2^ = N2• Тем самым в момент попадания правого заднего колеса на скользкий участок выражениями для проекций касательной составляющей контактной силы и для микропроскальзывания на этом колесе служат
£22х и22х £^х(Ус) Р22х = -КМ^г-, Р22у = 0, &22х = = — 7;-ГГ" = £М, £22у = 0,
£ 0.2К 2км N2
откуда в силу (8) следует, что продольная составляющая П22х скорости точки контакта правого заднего колеса мгновенно изменяет значение с и22х0 на и22хм, где
и22хо = £0 и22хм = £М °2Р. (11)
Рассмотрим у, £, £1 и £т в качестве малых параметров, которые будут устремлены к нулю.
Перейдем от исходного набора переменных системы (1)-(7) к набору, включающему быстрые переменные "первой очереди" и^х:
МУх = Рь МУу = Р2, 1г йг = Рз,
Р1 = Р11х + Р12х + Р21х + Р22х — Рх, Р2 = Р11у + Р12у + Р21у + Р22у — МУх ,
2
Рз = (-Р11х + Р12х - Р21х + Р22х)В + (Рцу + Р12у)А - (Р21у + Р22у)А + ^ М^ ,
г,3 = 1
Р4 = -Р11х, Р5 = -Р12х, Р6 = -Р21х + Р, р7 = -Р22х + Р, и проведем нормализацию [7, 13]: запишем полученную систему в новой системе размерностей
Т — Ух — Ух*^х, Уу — Уу*'Уу, — , Рхг^ — Uxij*uxij •>
— Uyij*uyij, Рху — Рх^*Рху, Руу — Pyij*Pyij, Nj — Nj*nj (i, ^ — 1 2)7
Мзу = Мв^^шя^, Р = Р*1, М(0, п) = М*ш(ш, п),
° = °*Ш, Рх = Рх*1х, Рк = Рк*1к (к = 1, ■ ■ ■ , 7)
за единицы которой выбраны характерные значения ее переменных на временах Т ~ Т2 изменения переменных Уу и Ох, определяющих поперечную и угловую динамику корпуса аппарата. Выберем их следующим образом:
Уу* = (Л1 + Л2)Ог* = и^х* = и^у* = еУх*, О* = МдК/Кр = Ух*/Я,
Рг,х* = Р^у* = = Рх* = Мд, Мз^* = Мдг, Ь* = М* = МдЕ, (12)
Р1* = Р2* = Мд, Рз* = Мд(Л1 + Л2), Р4* = Рб* = Рб* = = МдЕ,
ограничившись при этом характеристиками двигателя, для которых К и ~ МдЕ? / ^д(А\ + Л2), т.е. ~
Результатом служит сингулярно возмущенная по малому параметру ц система тихоновского вида [7, 13, 14], динамические уравнения которой имеют вид
Уу = /2, ^ = ¿/з,
гх
Ци'Пх = IJ.fl ~ /3 - Тз/4, ^и'пх = + 2 ~~
гх г1 гх г1
Ц.и'21х = ^/1 - /з - Тз/б, = + г/з - Т2/7,
¡1 = Р11х + Р12х + Р21х + Р22х - 1х (Ух), 12 = Р11у + Р12у + Р21у + Р22у - еУх,
2
¡3 = (—Р11х + Р12х - Р21х + Р22х)Ь + (Р11у + Р12у )й1 - (Р21у + Р22у )й2 + ^1С ^ тз^,
^=1
/4 = -РИж, /б = /б = -Р21Ж + I, /7 = -Р22Ж + I, 1х(Ух) =
Л1 Л2 Б Е
а1 = 1-л-> а2 = 1-Г~ ! " =
Л1 + Л2' Л1 + Л2' Л1 + Л2' Л1 + Л2'
Рх Р1 р2 .2 3
= -:-:—, «1 = —, 12 = —, 1% = —,
Д' Д' 3 /2'
п1тх п1ту Р^х = -К0П1--. -, Р1уу = -Ко П\-
Ух + (-1)jеЪшх - еп^х' ^ Ух + (-1)-7'еЪшх - епПх '
У'21х п21у Р21х = ~К0П2-Г-> Р21у = ~К0П2-Г->
Ух - еЪшх - еп21х Ух - еЪшх - еп21х
п22х п22у
Р22х = ~ИМП2-;-г-> Р22у = ~ИМП2-;-г->
Ух + еЪшх - еп22х Ух + еЪшг - еп22х
твц = -ИхоПхС,——щп^у) при \е^у\ < ет, Wlj
Ш.21 = -ЫЪС^&Ыу) ПРИ |£21у|<ет> Ш21
те22 = -^хМП2(^^-Щ11{£22у) При \е22у\ < £т, (13)
Ш22
тзц = - Л зёп(£1,у) при ет < |£уу| < е>
V \ Wlj )
ты = (^ - Л 8ец(е21у) прн < |£21у| < е>
V \ Ш21 /
Ш.22 = ~~~~ТЬ2 (^У-Л 5т{е22у) ПРН < |,22,| < £> Ь' \ Ш22 /
I =
V
1
+ ш3
ГП(Ш, Г]) + -Ц(р21х + Р22х)
n
w = -(w2l + W22),
, f £Uijy a2 ai
oJij =vx + (-1 )Jebwz - euijx, eijy = ——, щ = —, n2 = —
Шц 2 2
Uijy = vy - (-iycLiU)z (i,j = 1,2), ( = —, v = —— = 1-7•
£ £ £m 1 —, V = - = 1 - -.
£m £ S
Штрихом обозначены производные по безразмерному времени t.
Согласно (10) имеем ( ~ 1. Далее рассматриваются значения v ~ £ ^ 1 ми v < 1, т.е. £i/v ~ 1 или £i/v ~ £.
С учетом (12) нормализованные аналоги начальных условий для переменных Vx, Vy, Qz, Unx, Ui2xi U2ix в момент попадания аппарата на "микст", которые равны своим значениям на этапе стационарного движения (8), и нормализованные аналоги начальных значений переменных U2ix и U22x, совпадающих со значениями U2ixo и U22xM из (11), принимают вид
Vx (0) = vo, vo = Vo/Vx*, Vy (0) = 0, uz (0) = 0, Uiix(0) = Ui2x(0) = 0, U2ix (0) = £0Ш2/£, U22x(0) = £M Ш2/£, Ш2 = ^2R/Vx
где Vo, и Vx* были определены при записи (8) и (12).
Проводя вырождение системы (13), (14) по малому параметру ß и считая параметры £, £i и £m конечными, получим систему уравнений
v'x = £fi, Vy = f2, üjz = 4/3,
2z (15)
n
Pijx = o, p2jx = l = —m(u), Tj) {j = 1,2),
отвечающую (l)-(7), если пренебречь быстрыми переходными процессами изменения продольных скоростей Uijx точек контакта колес с опорной плоскостью и vгловой скорости Q выходного вала двигателя, по завершении которых контактные силы на колесах ведущей оси уравновешиваются дифференциалом, несмотря на различие коэффициентов трения [2]. Составляющими решения вырожденной системы (15) служат vy = 0 и uz = 0, т.е. она не позволяет судить о поперечной и угловой динамике корпуса аппарата.
Описать динамику корпуса можно при помощи метода построения внепогранслойной модели первого приближения [7], основанного на использовании асимптотического разложения А.Б. Васильевой [14] для решения системы (13), но не требующего привлечения итерационных процедур. Можно показать, что эта модель, позволяющая уточнить вырожденную систему членами порядка ß, отличается от (15) поправкой к начальному условию по переменной ш^, которая имеет порядок O(ß) и определяет выражение для импульса угловой скорости, получаемого корпусом аппарата по завершении быстрых переходных процессов. Рассогласование между решениями исходной системы (13) и внепогранслойной модели первого приближения имеет порядок O(ß2) на конечном интервале времени t ~ 1, для быстрых переменных Ujx (i,j = 1, 2) и ш эта оценка верна вне пограничного слоя малой при ß ^ 0 ширины O(-ß ln ß). Тем самым, в отличие от (15), где wz(0) = 0, для внепогранслойной модели первого приближения wz (0, ß) = O(ß), т.е. решение последней по переменным vy и wz отлично от нуля. В силу слабой связанности первого уравнения с остальными внепогранслойная модель первого приближения позволяет получить грубое описание этих переменных, изменяющихся на интервале времени t ~ 1 (T ~ T2), независимо от переменной vx, изменяющейся на интервале t ~ 1/£ (T ~ Ti).
£=0
vx = vo, vy = Piiy + Pi2y + P2iy + P22y,
(piiy + Pi2y)ai - (P2iy + P22y)a2 + £ic(msii + msi2 + ms2i + ms22)-
i2
(16)
Как указывалось выше, при исследовании системы (16) начальные условия по переменной уу полагаются равными нулю, по переменной ^ — малыми, отличными от нуля.
Перейдем к изучению системы (16) для случаев пренебрежимо малых и конечных по отношению к £ значений параметров кzм( и к^гмБудем далее рассматривать такие аппараты и условия
движения, для которых выполнены неравенства
Ко Кхо .о (Кхо + Кхм , Кхо\ . , , 2кхо ^ П2 е1
-> -, а \а2 — гг >--1--с,с ■ тах(а1, оы, - < — = — <2, £ = —.
Км Кхм V Ко + Км Ко ) Кхо + Кхм П1 й2 V
2.1. Стабилизирующие моменты для всех колес не учитываются. При моделировании движения колесных аппаратов стабилизирующими моментами часто пренебрегают, поскольку они существенно меньше моментов касательных составляющих контактных сил относительно центра масс корпуса аппарата. В рамках рассматриваемой постановки задачи это означает, что кхо, кхм — 0, и
е1 с
ся пренебрежимо малыми. На выбранном уровне точности изменение переменных Уу и из (16) описывается линейной системой с постоянными коэффициентами
, 2КоП1 (Ко + Км )П2, ,
V =--(ьу + агШх)--(ьу - а2шх),
Щ , (17)
.2 , 2КоП1й1 (Ко + Км)П2й2 , .
гхшх =--{УУ + Н--{УУ - «2^).
х х Уо Уо
Ее положение равновесия Уу = 0 = 0 отвечает отсутствию заноса корпуса аппарата. Устойчивость этого положения удобнее исследовать, перейдя от переменных Уу, к переменным
П1у = nljy = Уу + <ЦШг, П2у = п2jy = Уу - й2Шг • (18)
п1у = 0 п2у = 0
' 2Коп1 , 2,2 , (ко + Км)п2 , -2ч
У\у =--+ гх)и1у Н--^-(«1^2 - 1>г)и2у,
Уо2х Уо2х (19)
' 2коп1 , (ко + Км)п2 , 2 , 2
и2у = -—{0,1(12 ~ 1х)и1у--^-(а2 + гх)и2у,
уогх уогх
соответствующее условиям непроскальзывания колес аппарата в поперечном направлении, на фазовой плоскости щу, п,2у (уу, имеет тип "устойчивый узел". Тем самым в рассматриваемом случае поперечная и угловая скорости корпуса аппарата при Ь — то стремятся к нулевым значениям и его занос, спровоцированный импульсом (0,^) угловой скорости корпуса, уменьшается со временем.
2.2. Движение аппарата при учете стабилизирующих моментов. Для |е^-у| < ет (г, у = 1, 2), когда в соответствии с (6) значения переменных отвечают возрастающему линейному участку характеристики х(\е^у|), изменение переменных уу и с погрешностью 0(е1) описывается уравнениями (17). Таким образом, здесь занос аппарата уменьшается, а стабилизирующие моменты слабо влияют на этот процесс.
Рассмотрим случай ет ^ |е^у | < е (г, у = 1,2), когда значения переменных соответствуют убывающему линейному участку характеристики х(|е^у|) После перехода к переменным Щу, щу по формулам (18) система (16) принимает вид
, 2коп^ 2 , -2ч , (ко + Км)п2, -2ч
и1у =--Г72~(а1 + гг)и1у + -—2-(а1а2 - Ч)и2у +
£а1 с
Н--Т \2Kzonii\uiy\ - -г^шлу) + (кг0 + кгМ) п2{\и2у\ - vosgnг¿2y)] ,
Уог2 (20) , 2коп1 .2\ (Ко + Км)п2, 2 , -2\ и2У =-—{(11(12 - гг)и\у--^-(а2 + гг)и2у —
Уог2 Уог
х
- [2кг0П1{\и1у\ - -г^шлу) + (Кхо + кгМ) п2{\и2у\ - г^гш22/)] •
уо г2
Для V ~ 1 имеем £ ~ е1, т.е. влияние стабилизирующих моментов на динамику аппарата мало, и с погрешностью О(е) вместо (20) можно рассматривать систему (19); для V ~ е имеем £ ~ 1 и можно ожидать, что стабилизирующие моменты внесут более существенный вклад в динамику аппарата по сравнению с предыдущими случаями. Перейдем к рассмотрению последнего случая.
Прямые u1y = 0 и u2y = 0 (vy = —а1wz и vy = a2wz) разбивают фазовую плоскость u1y, u2y (vy, wz) на четыре области знакопостоянства выражений (18), в каждой из которых (20) является линейной неоднородной системой с постоянными коэффициентами, а ее траектории демонстрируют схожее поведение. Например, в первом квадранте uiy > 0 u2y > 0, положение равновесия S(u1y,u0y) этой системы асимптотически устойчиво и лежит за его пределами (во втором или третьем квадранте), фазовые траектории стремятся к нему из любой точки первого квадранта и тем самым покидают его, при этом поперечная и угловая скорости корпуса аппарата vy и wz не стремятся к нулевым значениям, как это было при исследовании системы (17). Фазовые траектории с начальными условиями в остальных квадрантах ведут себя аналогично: положение равновесия соответствующих (20) систем отлично от начала координат, асимптотически устойчиво и лежит за пределами исследуемого квадранта. Тем самым здесь переменные vy и wz, несмотря на малые начальные значения wz(0, ß),
S
аппарата не может быть прекращен без привлечения дополнительных управляющих устройств, например системы управления его передними колесами.
Работа поддержана Фондом развития теоретической физики и математики "БАЗИС", грант № 19^8-2-29-1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новожилов И.В., Павлов И. С., Фрольцов В. А. О поведении автомобиля на "миксте" // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2001. № 3. 61-67.
2. Влахова A.B., Новодерова А.П. Занос колесного аппарата на "миксте" // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2020. № 5. 38-50.
3. Хачатуров A.A., Афанасьев В.Л., Васильев В. С. и др. Динамика системы дорога — шина — автомобиль — водитель. М.: Машиностроение, 1976.
4. Павлов И. С. Математическое моделирование пространственного движения автомобиля: Канд. дис. М., 1998.
5. Кручинин П.А., Ласкин A.A. Стационарные режимы движения статически неустойчивого робота с двумя соосными деформируемыми колесами // Фунд. и прикл. матем. 2018. 22, вып. 2. 181-193.
6. Новожилов И.В., Кручинин П.А., Магомедов М.Х. Контактные силы взаимодействия колеса с опорной поверхностью // Сб. научно-методических статей. Вып. 23. М.: Изд-во МГУ, 2000. 86-95.
7. Влахова A.B. Математические модели движения колесных аппаратов. М.; Ижевск: AHO "Ижевский институт компьютерных исследований", 2014.
8. Литвинов A.C. Управляемость и устойчивость автомобиля. М.: Машиностроение, 1971.
9. Pacejka H.B. Tyre and Vehicle Dynamics. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2006.
10. Sharp R.S., Bettella M. On the construction of a general numerical tyre shear force model from limited data // Proc. Inst. Mech. Eng. Pt. D: J. Automobile Eng. 2003. 217, N 3. 165-172.
11. Иванов А.П. Основы теории систем с трением. М.; Ижевск: Ин-т космич. исслед., НИЦ "РХД", 2011.
12. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Изд. 3-е. М.; Ижевск: Ин-т космич. исслед., НИЦ "РХД", 2001.
13. Влахова A.B., Мартыненко Ю.Г., Новожилов И.В. Колебания и фракционный анализ. М.; Ижевск: AHO "Ижевский институт компьютерных исследований", 2020.
14. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
Поступила в редакцию 01.05.2020
