CC BY
14
УДК 621.757
МОДЕЛЬ, ОПИСЫВАЮЩАЯ ДИНАМИКУ ДВИЖЕНИЯ ДЕТАЛИ ПО КООРДИНАТАМ СОВМЕЩЕНИЯ, ОТНОСИТЕЛЬНОЙ И УГЛОВОЙ АДАПТАЦИИ
ПРИ СБОРКЕ
СВ. Кузнецова, А. Л. Симаков
THE MODEL DESCRIBING DYNAMICS OF MOVEMENT OF THE DETAIL ON COORDINATES OF OVERLAPPING, THE RELATIVE AND ANGULAR ADAPTATION
IN CASE OF ASSEMBLY
S.V. Kuznetsova, A.L. Simakov
Аннотация. Разработана математическая модель системы автоматизированной сборки в виде подсистем, соответствующих этапам движения детали. Приведены допущения, учитываемые при математическом моделировании. Описана динамика движения детали по координатам совмещения, относительной и угловой адаптации. Представлены структурные схемы системы сборки с помощью передаточных функций и в виде переменных состояния. Разработанная модель может быть полезна при анализе системы автоматизированной сборки и синтезе управляющих алгоритмов.
Ключевые слова: автоматизированная сборка; математическая модель; пространство состояний; процесс совмещения; относительная и угловая адаптации положения деталей.
Abstract: The mathematical model of system of an automated assembly in the form of the subsystems corresponding to stages of movement of a detail is developed. The assumptions considered in case of mathematical simulation are given. Dynamics of movement of a detail on coordinates of overlapping, the relative and angular adaptation is described. Structural schemes of an assembly system by means of transmission functions and in the form of state variables are provided. The developed model can be useful in the analysis of system of an automated assembly and synthesis of the controlling algorithms.
Key words: automated assembly; mathematical model; state space; overlapping process; relative and angular adaptations of position of detail.
Введение
Теоретическая разработка основ сборочного процесса и практическая реализация способов и устройств автоматизированной сборки значительно выросли за последние годы. Однако невысокий уровень автоматизации сборочных операций свидетельствует о том, что в настоящее время остается еще ряд вопросов, имеющих большое научное и практическое значение для сборочного производства. К ним, в том числе, относят вопросы адаптации [1], т.е. управления ориентацией деталей с целью совмещения сопрягаемых поверхностей.
Математическое моделирование является основой системного подхода к решению сложной проблемы. Модель является не самоцелью, а только средством для её решения. Поэтому, данная работа направлена на разработку средства исследования процесса движения соединяемых деталей при сборке.
Особенно интересно математическое описание процесса с помощью метода пространства состояний [2]. Это удобно для анализа таких важных свойств системы, как управляемости и наблюдаемости [3]. Изучение данных структурных свойств необходимо для создания управляющих алгоритмов. Разработка математической модели объекта управления
- процесса движения детали по координатам совмещения и адаптации положения - является важным этапом синтеза управления процессом.
На основании вышесказанного можно заключить, что разработка математической модели, описывающей динамику движения детали по координатам совмещения и адаптации (относительной и угловой) для системы автоматизированной сборки, является актуальной задачей.
1. Допущения, учитываемые при математическом моделировании системы автоматизированной сборки
Система автоматизированной сборки включает соединяемые детали, устройство адаптации положения деталей, перемещающее устройство. Существует большое количество разновидностей адаптирующих устройств, однако их всех объединяет функция обеспечения согласования деталей. В рассматриваемой модели мы абстрагируемся от конструктивного исполнения и заменяем адаптирующее устройство упругими и диссипативными элементами. Допущения, учитываемые при математическом моделировании:
- присоединяемая деталь является подвижной, базовая деталь - неподвижной;
- собираемые детали обладают упругими и инерционными свойствами;
- геометрические характеристики деталей учитываются посредством замыкания обратных связей по координатам адаптации;
- нелинейности могут проявляться в процессе взаимодействия детали и среды в виде изменения характеристик последней (в результате контактного взаимодействия, изменения скоростного режима и др.);
- согласно принципу декомпозиции систему сборки, являющуюся сложным техническим объектом, разделим на более простые подсистемы управления координатами адаптации положения детали (линейные, угловые).
2. Схема сил, действующих на присоединяемую деталь при взаимодействии с поверхностью базовой детали
Опишем процесс движения присоединяемой детали при взаимодействии с базовой деталью. Схема сил, действующих на присоединяемую деталь при контакте с поверхностью базовой детали, представлена на рис. 1. В начальный момент времени устройству
перемещения сообщили смещение . С помощью адаптирующего устройства оно было
преобразовано в силовое воздействие Рдв , под действием которого присоединяемая деталь
двигалась в направлении к базовой вдоль оси 2 вплоть до возникновения контакта с поверхностью.
Разберем случай, когда взаимодействие деталей происходит в точке (на рис. 1 это т. К). При контакте возникает сила реакции р, направленная по нормали к поверхности
(нормаль ориентирована в системе координат X у 2 под углами: а - к оси X , в - к оси У , У - к оси 2 ) базовой детали. В простейшем случае - это плоскость. Если плоскость не
перпендикулярна направлению оси 2, то реакция р будет иметь проекции на оси: Р, р, Р2. Составляющие силы Р послужат причиной возникновения линейных смещений по координатам X и У . При наличии плеч 1у , 1Х под действием Рдв возникают
моменты МХ ,Му, способные вызвать угловые смещения детали - (р и Ц? . Таким
образом, появляется возможность относительной адаптации положения детали по координатам X и У , а также угловой адаптации по координатам ( и Ц .
http://vestnik-nauki.ru
Рисунок 1 - Схема сил, действующих на присоединяемую деталь при контакте с
поверхностью базовой детали
Рассмотрим уравнения, описывающие процессы движения детали на различных этапах.
3. Математическая модель подсистемы движения детали по координате совмещения (q ^ 2)
Уравнение, описывающее динамику движения детали по координате 2 , имеет вид:
т2 + Ьъ 2 + С2 = Г
дв
(1)
где т - масса присоединяемой детали; Ьъ- коэффициент вязкого трения при перемещении детали по координате 2; с2 - коэффициент, описывающий приведенную жесткость взаимодействия присоединяемой и базовой деталей по координате совмещения г (см. рис. 2)
(с^ = сдг сбг , где сд2, сб2 - жесткости присоединяемой и базовой деталей соответственно,
С дг + сбг
причем до момента касания деталей съ = сд2 ); 1 дв - силовое воздействие на деталь со стороны устройства перемещения, которое может быть представлено в виде суммы упругой
- Гупр и диссипативной - Гдысс сил:
Гд = с (а - 2) + Ь (а - ъ)
дв прывУ ±з / прыв\ ±з /
прыв\1з
(2)
Тогда, уравнение движения (1) присоединяемой детали по координате 2 представим в
виде:
http://vestnik-nauki.ru
т2 + Ь2 + с 2 = с (а — 2) + Ь (а — ъ)
Ъ 2 привоз У привоз У
прив \ 1 з
(3)
где дз - задающее перемещение привода; Ьприв и сприв - коэффициенты вязкости и жесткости
соответственно для устройства перемещения
Устройство перемещения
Ф
привода) присоединяемой детали.
Базовая деталь
С
прив
Да
Сх
С ум X
С
С ум X
!ААДАг-И\ллаллал/НААЛ/\Г
Присоединяемая деталь
Адаптирующее устройство
Рисунок 2 - К описанию линейных жесткостей сборочного устройства с учетом взаимодействия присоединяемой и базовой
деталей
Преобразуем уравнение (3):
(Ь + Ь ) (с + с )
2 + V 2 прив У 2 + ^ 2 прив У 2
т
т
Ь с
прив прив
аз
(4)
т
т
Воспользуемся способом математического описания в переменных состояния динамики детали по координате 2 в соответствии с методикой [4].
Перейдем от переменной 2 к переменным состояния системы: 2 — Х1, 2 — Х2,
получим:
Л&1 2
(Ь + Ь ) (с + с ) Ь с
• 1 V 2 прив У 1 V 2 прив У 1 прив • 1 прив 1
Х2 — Х2 Х1 + и + и .
(5)
т
т
т
т
Управлением по координате 2 является м1 = дз - задающее перемещение.
Представим уравнения (5) в векторно-матричной форме:
i1 = A xX + Blul y1 = Cli1 + D{u
1' x (to ) = xo ;
1
= _x2 _ , A1 =
0 1
(cz + Cnpue ) (bz + Крив )
m
m
B =
Co=[1 0]' D = [o].
m
c b (b + b )
прие прие У z прие'
m
m
(6)
b
прие
где Ao - матрица подсистемы q ^ z размерностью 2 х 2; Bo - матрица управления 2 х 1; Co
- матрица выхода 1 х 2; D1 - матрица прямой связи, является нулевой; x1 = .
dt
4. Математическая модель подсистемы движения детали по координате относительной адаптации ( z ^ x )
Уравнение движения детали по координате x, имеет вид:
mx + bx i + cxx = Fx' (7)
где m - масса присоединяемой детали, bx - коэффициент вязкого трения при перемещении детали по координате x; cx - коэффициент, описывающий приведенную жесткость взаимодействия присоединяемой детали и установочного модуля по координате
cg • c
^ / лч / gx ум x
относительной адаптации x (см. рис. 2) (cx =-, где cdx, c6z - жесткости
c + c
dx ум x
перемещаемой детали и установочного модуля (адаптирующего устройства) соответственно); Fx - проекция силы реакции Fk на ось x, которая может быть выражена: F
Fx = Fk • cosa = —— • cosa . cos y
Взаимодействие деталей представляет собой соударение в точке контакта. Поскольку изменение количества движения детали равно импульсу силы Fz, действующей на неё в течение промежутка времени At, то можно записать: m(vH - vK ) = Apz = FzAt, при этом
mz
v = z' v = z = 0 . Следовательно, F = — . Поскольку устройство оказывает воздействие
At
на перемещаемую деталь в течение всего процесса адаптации положения, то точное значение длительности промежутка времени At нельзя определить заранее.
Теперь перейдем к переменным состояния для подсистемы z ^ x, обозначив
= 2 • = 2 : Jx — , x — x^2 :
http://vestnik-nauki.ru
Х2 = Х2
А
т
Е*.
т
008 а . 2 -и
А/•008 у
(8)
Управлением по координате Х является и = 2 .
Представим уравнения (8) в векторно-матричной форме согласно [4]:
X =
Хл
Хгу
А
Х — А_2 Х ' + В2и
у2 = С2 Х2 + Б2и2
В2 =
0 1
с Ь
X X
т т
Х '(О
008а А •008^ ЬХ • 008а
Хп
т•А/ •008/
С2 =[1 0], А =[о].
(9)
где А2 - матрица системы 2 ^ Х размерностью 2 х 2; В2 - матрица управления 2 х 1; С2 -
матрица выхода 1 х 2; В2 - матрица прямой связи, является нулевой; Х
дх &
По аналогии с анализом системы 2 ^ Х могут быть записаны уравнения в векторно-матричной форме для координаты относительной адаптации у ^подсистема 2 ^ у ):
X4 =
Х
Х
■ А4 х + В4и
у4 = С4 х 4 + Б4и " 0
А =
0 1
с Ь
У __у
т т
В4 =
Х (О = Х0 .
008 в А/ •008у Ьу • 008в
т •А/ •008у
, С4 =[1 0], Д =[0].
(10)
где и = 2 ; у = х4 ; у = х2,; Ьу - коэффициент вязкого трения при перемещении детали по координате у ; с у - коэффициент, описывающий приведенную линейную жесткость при
взаимодействии присоединяемой детали и адаптирующего модуля при движении по координате относительной адаптации у .
5. Математическая модель подсистемы движения детали по координате угловой адаптации ( 2 ^р)
Уравнение, описывающее динамику вращательного движения (поведение координаты угловой адаптации р во времени) присоединяемой детали вокруг оси х при контакте с базовой, имеет вид:
+ Ьр(Р + ср( = Мх , (11)
где - момент инерции детали относительно оси х; Ър - коэффициент вязкого трения при
движении детали по координате р; ср - коэффициент, описывающий угловую жесткость
при повороте детали относительно точки контакта К под действием момента силы Мх = ¥де • 1у (см. рис. 3); 1у - плечо силы Гдв = ^ при вращении детали вокруг оси х.
устройства с учетом взаимодействия присоединяемой и базовой
деталей
3 3
Теперь, перейдя к переменным состояния р = х1, р = х2 системы 2 ^ р можно записать:
Хл — Х-\
Х—
J
Р Х2
(12)
Ср х3
Jx Jx
и
Управлением по координате р является и = г .
Представим уравнения (12) в векторно-матричной форме для подсистемы 2 ^ р:
X =
х — А3 х + В3и . у3 = С3 х3 + В3и3
А
0
1
Jx
х (?0) = х0
т • 1,
Вз =
Jx М
Ър • т • 1у
Jx2 М
, Сз =[1 0], Д =[0].
(13)
р
р
http://vestnik-nauki.ru
где А3 - матрица системы 2 ^ р размерностью 2 х 2; В3 - матрица управления 2 х 1; С3 -
матрица выхода 1 х 2; А - матрица прямой связи, является нулевой; х =
Сх3 сИ
По аналогии с (13) для подсистемы 2 ^ у могут быть также записаны уравнения в векторно-матричной форме. Координата у характеризует поворот детали при контакте в точке К относительно оси у в процессе угловой адаптации.
х = А5 х + В5и' у5 = С5 х5 + Вьи
X
А5 =
0 1
с ь
у у
3У 3У.
5 х (о ) = х0
т ■ /
В5 =
3у -М
Ьу' т ■ 1х
3у2 ■м
С5 =[1 0], А =[о].
(14)
6. Математическая модель системы автоматизированной сборки
На основании разработанных математических моделей подсистем движения присоединяемой детали по координатам совмещения, относительной и угловой адаптации, были получены модели системы автоматизированной сборки, изображенные на рис. 4 и рис. 5.
Структурная схема системы, составленная на основе классического аппарата передаточных функций, приведена на рис. 4. В модели возможно учесть нелинейный характер изменения упругих и диссипативных свойств элементов системы, определяемый этапом взаимодействия деталей в процессе сборки. Такая схема удобна для имитационного моделирования процессов изменения координат адаптации и совмещения присоединяемой детали относительно базовой при сборке. Также модель может быть полезна при анализе системы автоматизированной сборки - например, оценке влияния параметров системы или начальных условий на точность, быстродействие, устойчивость.
Однако, другое представление системы автоматизированной сборки в переменных состояния (рис. 5), предпочтительнее. Метод пространства состояний [2], являясь современным математическим аппаратом описания динамических систем, удобен не только для анализа, но и синтеза систем. Модель (рис. 5) позволяет проанализировать управляемость системы (т.е. возможность автоматического режима [5]), синтезировать управление модальным методом для обеспечения требуемых характеристик процесса сборки.
Подсистема
Рисунок 4 - Математическая модель системы автоматизированной сборки, описывающая динамику движения детали по координатам
совмещения, относительной и угловой адаптации положения
http://vestnik-nauki.ru
Ч'С)
подсистема движения совмещения С]1 ^ Z
Di
Bi
X'(t) X'(t)
Ai
Ci
Z(t)
___________________j
подсистема угловой адаптации Z —► (p
D3
X (t) xJ(t)
Вз + Г Сз
J
-Аз
—0
(p(t)
______j
подсистема относительной адаптации Z —* X
Ö2
B2
X"(t) X"(t)
A2
C2
+
m
подсистема относительной адаптации Z —> у
D4
B4
">* » Сл
г 1 +
A4 —
y(t)
HS^—-
подсистема угловой адаптации Z —► lf/
Ds
B5
X'(t) xJ(t)
Аз
C5
—<g>
Щ)
Рисунок 5 - Математическая модель системы автоматизированной сборки в переменных состояния
Заключение
В статье дано описание математической модели системы автоматизированной сборки в виде подсистем, соответствующих этапам движения детали по координатам совмещения, относительной и угловой адаптации. Получены структурные схемы системы сборки с помощью передаточных функций и в виде переменных состояния. Предложенные модели могут быть полезны при исследованиях с помощью имитационного моделирования процессов изменения координат адаптации и совмещения присоединяемой детали относительно базовой при сборке. С их использованием можно проводить оценку влияния параметров системы или начальных условий на точность, быстродействие, устойчивость, управляемость, наблюдаемость. Перспективным направлением использования разработанной модели в переменных состояния может являться синтез системы, обеспечивающей требуемые характеристики процесса сборки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Симаков А. Л. Обоснование методов и средств адаптации соединяемых деталей на базе принципов автоматического управления и выявленных взаимосвязей при автоматизированной сборке: дисс....докт. техн. наук. Ковров, 2003. 373 с.
2. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления: перевод с англ. Москва, Наука, 1970. 620 с. [Derusso, P. M., R. J. Roy, and С. М. Close, State Variables for Engineers. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1965].
3. Кузнецова С.В., Симаков А.Л. Анализ условий управляемости для систем автоматизированной сборки // Сборка в машиностроении, приборостроении, 2016. №3. С. 715.
4. Ким Д.П. Теория автоматического управления: в 2-х т. М.: Физматлит, 2007. Т.2.
440 с.
5. Кузнецова С. В., Симаков А. Л. Обеспечение необходимых условий автоматизированной сборки средствами адаптации // Современные технологии сборки: материалы IV международного научно-технического семинара. Москва: МГИУ, 2015. С. 145- 153.
REFERENCES
1. Simakov A.L. Obosnovanie metodov i sredstv adaptatsii soedinyaemykh detaley na base principov automaticheskogo upravleniya i viyavlennykh vzaimosvyazei pri avtomatizirovannoi sborke. Diss. dokt. tehn. nauk [Reasons for methods and means of adaptation of the connected details on the basis of the principles of automatic control and the revealed correlations in case of an automated assembly: diss. dr. tech. sci. ]. Kovrov, 2003. 373 p.
2. Derusso, P. M., R. J. Roy, and С. М. Close, State Variables for Engineers. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1965 (Russ. ed.: Derusso, P.M., Roy R. J., Close С. М. Prostranstvo sostoyanii v teoriiypravleniya. Moscow, Nauka Publ., 1970. 620 p.
3. Kuznetsova S.V., Simakov A.L. Analyz uslovii upravlyaemosty dlya system avtomatizirovannoi [Analysis of conditions of controllability for the systems of an automated assembly] Sborka v mashinostroenii, priborostroenii, 2016. №3. pp. 7-15.
4. Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya: v 2-kh t. [Theory of automatic control: in 2 vol.] Moscow: Fizmatlit Publ., 1992. V.2. 440 p.
5. Kuznetsova S.V., Simakov A.L. Obespechenie neobkhodimikhyslovii avtomatizirovannoi sborki sredstvami adaptatcii [Support of necessary conditions of an automated assembly with means of adaptation] Sovremennie tekhnologii sborki: materiali IV mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskogo seminara. Moscow: МСТИ Publ., 2015. pp. 145-153.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Кузнецова Светлана Владимировна Ковровская государственная технологическая академия им. В. А. Дегтярева г. Ковров, Россия, кандидат технических наук, доцент кафедры приборостроения. E-mail: [email protected]
Kuznetsova Svetlana Vladimirovna Kovrov State Technological Academy after V.A. Degtyarev, Kovrov, Russia, candidate of technical Sciences, associate professor, department of instrument engineering E-mail: [email protected]
Симаков Александр Леонидович Ковровская государственная технологическая академия им. В. А. Дегтярева, г. Ковров, Россия, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой приборостроения. E-mail: [email protected]
Simakov Aleksandr Leonidovich Kovrov State Technological Academy after V.A. Degtyarev, Kovrov, Russia, doctor of technical sciences, professor, department of instrument engineering E-mail: [email protected]
Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 601910, г. Ковров, ул. Маяковского, 19, КГТА им. В. А. Дегтярева, каб. 331л. Симаков А.Л.
8(49232)3-20-99
