Модель обратной связи и ее использование для описания динамики экономического развития Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Экономические циклы

УДК 336.77

МОДЕЛЬ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ДИНАМИКИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ

Л.А. ЧАЛДАЕВА, доктор экономических наук, профессор кафедры экономики организации E-mail: chaldaeva45@mail.ru Финансовый университет при Правительстве РФ

А.А. КИЛЯЧКОВ, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, менеджер отдела аудиторских услуг компании EY

E-mail: AAKil@mail.ru

В статье предложена модель, описывающая темпы роста экономического развития. Особенностью модели является наличие обратной связи (темпы роста экономического развития в последующем году являются некоторой функцией от темпов роста в предыдущем году). Данная модель позволяет качественно описать все известные циклы экономического развития (циклы Китчина и Жюгляра, ритмы Кузнеца и волны Кондратьева). Проверка модели на реальных экономических данных подтвердила ее принципиальную применимость.

Ключевые слова: цикл Китчина, цикл Жюгля-ра, ритмы Кузнеца, волны Кондратьева, динамика темпов относительного годового прироста ВВП, неподвижные точки, устойчивые точки, устойчивый цикл, диаграмма Ламерея, функция обратной связи, аппроксимирующий полином, коэффициенты аппроксимирующего полинома

В современных экономических процессах цикличность функционирования экономики приобретает устойчивый характер, что, несомненно, вызывает интерес как с точки зрения науки, так и практики. В предыдущих работах авторов [4; 7]

было показано, что экономические циклы являются следствием наличия обратной связи в экономике, т.е. выдвигалось предположение о том, что темпы роста ВВП в последующем году зависят от темпов роста ВВП в предыдущем году. В такой модели все известные экономические циклы представляют собой удвоение (бифуркация) некоторого базового цикла с периодом, равным трем годам.

Наиболее простой моделью является модель квадратичной обратной связи [4]. В данной модели величина темпов роста ВВП в (п+1) году зависит от его значения в предыдущем году, а также от двух коэффициентов, один из которых описывает способность экономики обеспечивать увеличение темпов роста, а второй ограничивает этот рост. Эта зависимость может быть описана на основе следующей формулы:

= хх\ - УХ*2„, (1)

где X * +1 — темпы роста ВВП в (п+1) году;

X *п — темпы роста ВВП в предыдущем году п; X — коэффициент, который описывает способность экономики обеспечивать увеличение темпов роста;

у — коэффициент, который ограничивает увеличение темпов роста.

Разделив слагаемые выражения (1) на N = А/у и произведя в нем замену переменных (Хп+1 = X\+1 / N; Хп = X\ / N), получаем выражение следующего вида:

Х^ = IXп (1 - Хп). (2)

Характеристическими точками функции (2) являются следующие. Экстремумы функции Хп + 1 = А/4 при Хп = S. При 1< А<3 существуют две неподвижные точки: Хп + 1 = 0 и Хп + 1 = (1—1/А), первая является неустойчивой, а вторая — устойчивой. При 3< А< 4 обе неподвижные точки Хп + 1 являются неустойчивыми, а система находится в динамическом равновесии без изменения знака функции.

Вид зависимости (2) представлен на рис. 1.

Подобная простая модель позволила:

— качественно единым образом описать циклы Китчина [8] и Жюгляра [6], ритмы Кузнеца [10] и волны Кондратьева [2; 3] как результат удвоения периода некоторого базового цикла с периодом в 3 года;

— предсказать наличие нового цикла с периодом Т = 35 ± 5 лет, который не был известен ранее, но был представлен в работе [9];

— не противоречить использованию понятий экономической теории, так как коэффициенты у и

А в уравнении (1) описывают реальное состояние экономики.

В силу того, что модель зависит от двух параметров (А и у), следует, что модель допускает утроение цикла [1]. Это обстоятельство устраняет внутреннее противоречие модели, в которой период базового цикла составляет не один год, что было бы естественно, а три года. Это также объясняет сложный частотный спектр темпов роста мирового ВВП, представленный в работе [9], который можно объяснить, опираясь на теорему А. Шарковского [5]. Согласно этой теореме, если функция имеет цикл периода, равный 3, то она имеет циклы всех периодов, что само по себе свидетельствует о сложности поведения динамической системы. Таким образом, само наличие обратной связи позволяет объяснить все классические экономические циклы, а также многие другие наблюдаемые циклические процессы [9].

Однако предложенная бифуркационная модель содержит в себе определенные недостатки. А именно, она не позволяет описать:

— отрицательные темпы экономического роста в период кризиса;

— чередование отрицательных и положительных темпов экономического роста.

Однако на эти вопросы можно достаточно просто ответить, если использовать зависимость X + , от X [7]:

п + 1 п л

X,

п+1

0.75 —

0.25 --

1—I—I—I п

О 0.25 0.5 0.75 1 "" 1 2 3 4 5 б 7 3 9 10 И 12

Хп - ! ~ Хп Х„ - 1 -Хп)

а б

Примечание. Точками обозначены наблюдаемые значения Хп + 1 .

Рис. 1. Вид функции Хп + 1 = А Хп (1 — Хп) при А= 3,515 (а) и отвечающая ему динамика темпов экономического роста (б)

Рис. 2. Функциях +1 = /.ХП (1 — X2) при / =3.0

Хя+1 = IX п (1 - X 2„) .

(3)

Вид функции (3) для X = 3.0 представлен на рис. 2. Отметим характеристические точки функции (3). Экстремумы функции равны: при Хп = ±1Л/3. На интервале 1 < X < 2 существуют устойчивые неподвижные точки, отличные от нуля. При изменении X на интервале 2< Х< (3>/3)/2 система находится в динамическом равновесии без изменения знака функции X . Если (3>/3)/2 < Х< 3,

то имеет место динамическое равновесие системы в области положительных и отрицательных значений X

Предложенная модель представляет качественно новое объяснение изменения знака темпов экономического роста при сохранении динамической стабильности. На диаграмме Ламерея наглядно показана эта динамика (рис. 3).

Дальнейшее тестирование достоверности модели заключается в выяснении того, какой модели обратной связи подчиняются реальные темпы роста ВВП. Для этой цели были использованы данные о макроэкономических параметрах, размещаемых на сайте Мирового банка.

Аппроксимация фактических данных за период с 1961 по 2011 г по методу наименьших квадратов полиномами различной степени свидетельствует, что достоверное совпадение наблюдается при использовании полинома третьей степени. График, описывающий темпы роста ВВП в координатах (Хп + 1; Хп) на временном интервале с 1961 по 1975 г. и аппроксимирующий многочлен на этом же временном интервале, представлен на рис. 4.

Оценка точности аппроксимации осуществлялась с помощью скорректированного коэффициента детерминации учитывающего неизбежно бо-

п и

"X =Х — X =ХХ (1-Х )

п+1 п п+1 пу п

а б

Примечание. Точками обозначены наблюдаемые значения Хп + 1 .

Рис. 3. Смена положительных и отрицательных темпов экономического роста для ^=3.0 как функции: а — их предыдущего значения X (диаграмма Ламерея); б — числа лет п

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

Я2

■ 4

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

Рис. 4. Темпы роста мирового ВВП и аппроксимирующая функция 1961-1975 гг.

лее высокую точность аппроксимации полиномом более высокой степени.

Скорректированный коэффициент детерминации вычисляется по следующей формуле :

(п -1)

где а- — дисперсия случайной величины у относительно аппроксимирующего полинома; ст2 — дисперсия случайной величины относительно среднего значения. В результате при аппроксимации фактических данных темпов экономического роста ВВП в интервале с 1961 по 1975 г значение скорректированного коэффициента детерминации оказалось равным 0,50, что указывает на весьма удовлетворительную аппроксимацию экспериментальных данных, а сама аппроксимирующая функция имеет следующий вид:

X+1 = А + А Хя + 4 + А3 Хя

(4)

Я

ай}

1 - (1 - Я2 )-

(п - к)

где Я2 — коэффициент детерминации; п — количество наблюдений; к— количество параметров аппроксимирующего полинома.

В свою очередь коэффициент детерминации вычисляется по формуле

0,6000

о.ьооо

0.4000

озооо

0,2000

одооо

0 0000

-ОДООО

4 —-

/

/

1 1 1 1 1

1111/ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

ьо-___о» м 1Л 01 го 1Л СТ1 «ч го 1Л Г». 01

Г« Г^ аз со га га га СП СП СП СП СП а о о о о

тли 01 01 01 01 01 О! СТ1 О! СТ1 СТ1 О о о о о о

с-1 «Н «Н <4 .4 гН <4 <4 гм гм (Ч (Ч (Ч (Ч

Примечание. Начало интервала аппроксимации равно 1961 г., а окончание является переменной оси абсцисс.

Рис. 5. Скорректированные коэффициенты детерминации для полиномов второй (Я2ай}), третьей (Я3ай}) и четвертой (Я4ай}) степени как функции интервала аппроксимации

где А0 = 0,1 053; А1 = -9,3306; А2=307,81;

А3 = -2784,7. (5)

Сопоставляя выражения (4) и (5) с выражениями (2) и (3), можно сделать вывод, что функция обратной связи между Хп + 1 и Хп имеет более сложный характер, чем тот, который был использован в рассмотренных ранее моделях. Однако сформулированные ранее выводы о динамической устойчивости системы, о бифуркационном удвоении периодов и другие являются справедливыми и в этом случае.

В процессе исследования было обнаружено, что при увеличении интервала аппроксимации с 1975 по 2011 г. скорректированный коэффициент детерминации

.......Я2асц уменьшается с 0,5 до 0,33.

Скорректированный коэффициент детерминации представлен для полиномов второй, третьей и четвертой степени (рис. 5). Так, полином третьей степени, который и был использован для аппроксимации на рис. 4 и 5, является наиболее приемлемым на всем временном интервале (хотя в начале (1975-1979 гг.) и в самом конце периода (2009-2011 гг.) использование полинома четвертой степени является более предпочтительным).

Отметим, что качественный вид аппроксимирующего полинома не изменяется (рис. 6). Значения коэффициентов аппрок-

3

симирующего полинома, изображенного на рис. 6, следующие:

А0= 0,0179;у11 = -0,3279;

А2 = 35,124; А3 = -354,13.

Если представить эти коэффициенты как функции интервала аппроксимации, то получим рис. 7, на котором эти коэффициенты представлены в приведенном виде. А именно, А{ уменьшен в 10 раз, А2 — в 100 раз (102), а А3 уменьшен в 1 000 (103) раз.

Это, с одной стороны, позволяет изобразить приведенные коэффициенты наглядно на одном графике, а с другой — учитывает влияние сомножителей различной степени X для учета того интервала изменения X, на котором они рассматриваются (~ 0,10).

Обращает на себя внимание тот факт (табл. 1), что коэффициенты аппроксимирующего полинома очень сильно коррелируют (антикоррелируют) между собой. Очевидно, это наблюдение отражает факт того, что характер обратной связи, регулирующий мировое ВВП на интервале с 1961 по 2011 г., является одним и тем же.

Отметим еще одно интересное наблюдение. Сопоставление динамики изменения объема финансовых резервов США, представленной на рис. 8, и динамики изменения коэффициентов аппроксими-

X

-0,03 -0,02 -0,^0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

.............-Э;0-2—~

.............-э;ев-

Рис. 6. Темпы роста мирового ВВП и аппроксимирующая функция 1961-2011 гг.

рующего полинома (см. рис. 7) показывает их очень сильную корреляцию.

Причем наибольшее значение коэффициента корреляции наблюдается при запаздывании отклика функции обратной связи (коэффициентов аппроксимирующего многочлена) от значения объема резервов на 4 года (табл. 2).

Возможное объяснение этого феномена заключается в том, что вывод из оборота финансовых активов снижает эффективность обратной связи

-1 -

-2

-3

Рис. 7. Приведенные коэффициенты аппроксимирующего полинома третьей степени

как механизма регулирования экономических процессов.

В дальнейшем предполагается провести исследование изменения коэффициентов аппроксимирующих полиномов для отдельных стран на малых интервалах времени для того, чтобы проследить динамику изменения функции обратной связи. Понимание вида функции обратной связи предоставит возможность предсказывать зарождающиеся тенденции в экономическом развитии страны и выявлять признаки негативных изменений, что позволит заранее предпринимать необходимые компенсирующие действия.

Таблица 1

Значения коэффициентов корреляции между различными коэффициентами аппроксимирующего полинома

Показатель А0 А А2 А3

А0 1 -0,9963 0,9913 -0,9866

-0,9963 1 -0,9985 0,9955

а2 0,9913 -0,9985 1 -0,9992

А3 -0,9866 0,9955 -0,9992 1

Таблица 2

Корреляция между общим объемом резервов США

и функцией обратной связи (коэффициентами аппроксимирующего полинома)

600Е+09

400Е+09 -

200Е+09

Список литературы

1. Арнольд В. Теория катастроф. М.: Едиториал УРСС. 2009.

2 . КондратьевН. Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения. М.: Экономика. 2002.

3. Кондратьев Н. Мировое хозяйство и его конъюнктура во время и после войны. Вологда: Областное отделение государственного издательства, 1922.

4 . Чалдаева Л.А., Килячков А.А. Унифицированный подход к описанию природы экономических циклов // Финансы и кредит. 2012. № 45. С.2-8.

5 . Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Спивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Нау-кова думка. 1989. 216 с.

6. Juglar C. Des Crises commerciales et leur retour periodique en France, en Angleterre, et aux Etats-Unis . Paris:Guillaumin. 1862.

7. Kilyachkov A., Chaldaeva L. Bifurcational Model of Economic Cycles // Economic Papers and Notes. 2013. Vol. 13. № 4. P. 13 — 20.

8 . Kitchin J. Cycles and Trends in Economic Factors // Review of Economics and Statistics. 1923. Vol. 5. № 1. P. 10 — 16.

Запаздывание отклика (лет) Л Л1/10 A2/100 A3/1000

7 -0,84 0,85 -0,86 0,86

6 -0,87 0,88 -0,88 0,89

4 -0,89 0,89 -0,90 0,90

3 -0,89 0,89 -0,89 0,89

2 -0,78 0,78 -0,78 0,79

1 -0,68 0,68 -0,69 0,70

0 -0,65 0,66 -0,68 0,69

-1 -0,66 0,66 -0,67 0,69

-2 -0,43 0,48 -0,52 0,54

000E+00

1961 1966 1971 1976 1981 1986 1991 1996 2001 2006

Рис. 8. Изменение объема резервов США, долл. США

2011

9 . Korotayev A., Tsirel S. A Spectral Analysis of World GDP Dynamics: Kondratieff Waves, Kuznets Swings, Juglar and Kitchin Cycles in Global Economic Development and the 2008-2009 Economic Crisis // Structure and Dynamics. 2010. Vol. 4. № 1. P. 3-57. URL: http://www.escholarship.org/uc/item/ 9jv108xp#page-8 .

10 . Kuznets S. Secular Movements in Production and Prices . Their Nature and their Bearing upon Cyclical Fluctuations, Houghton Mifflin. Boston, 1930.

Finance and credit Economic cycles

ISSN 2311-8709 (Online) ISSN 2071-4688 (Print)

A FEEDBACK MODEL AND ITS USE TO DESCRIBE THE DYNAMICS OF ECONOMIC DEVELOPMENT

Larisa A. CHALDAEVA, Anatolii A. KILYACHKOV

Abstract

The article proposes a model describing the growth of economic development. The feature of the model is the existence of feedback (growth rates of economic development in the next year are a function of the growth rates in the previous year). This model allows to qualitatively describe all known economic development cycles (Kitchin and Juglar cycles, Kuznets swing and Kondratiev waves). The model validation on real economic data confirmed its principled applicability

Keywords: Kitchin cycle, Juglar cycle, Kuznets swing, Kondratiev waves, dynamics, rates, relative annual growth, gross domestic product, fixed point, equilibrium point, limit cycle, Lamerey chart, feedback function, approximating polynomial, coefficients

References

1. Arnold V. Teoriya katastrof [Theory of Accident Causes]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2009.

2. Kondratiev N.D. Bol'shie tsikly kon"yunktury i teoriya predvideniya [The Major Cycles of the Conjuncture and the Theory of Prevision]. Moscow, Ekonomika Publ., 2002.

3. Kondratiev N.D. Mirovoe khozyaistvo i ego kon "yunktury vo vremya i posle voiny [The World Economy and its Conjunctures During and After the War]. Vologda, Oblastnoe otdelenie gosudarstvennogo izdatel'stva Publ., 1922.

4. Chaldaeva L.A., Kilyachkov A.A. Unifitsirov-annyi podkhod k opisaniyu prirody ekonomicheskikh tsiklov [A unified approach to the description of the business cycles nature]. Finansy i kredit — Finance and credit, 2012, no. 45, pp. 2-8.

5. Sharkovskii A.N., Kolyada S.F., Spivak A.G., Fedorenko V.V. Dinamika odnomernykh otobrazhenii [Dynamics of one-dimensional maps]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1989, 216 p.

6. Juglar C. Des Crises Commerciales et Leur Retour Periodique en France, en Angleterre, et aux Etats-Unis. Paris, Guillaumin Publ., 1862.

7. Kilyachkov A., Chaldaeva L. Bifurcational Model of Economic Cycles. Economic Papers and Notes, 2013, Vol. 13, no. 4, pp. 13-20.

8. Kitchin J. Cycles and Trends in Economic Factors . Review of Economics and Statistics, 1923, Vol. 5, no. 1, pp. 10-16.

9. Korotayev A., Tsirel S. A Spectral Analysis of World GDP Dynamics: Kondratieff Waves, Kuznets Swings, Juglar and Kitchin Cycles in Global Economic Development and the 2008-2009 Economic Crisis . Structure and Dynamics, 2010, Vol. 4, no. 1, pp. 3-57. Available at: http://www.escholarship.org/ uc/item/9jv108xp#page-8.

10. Kuznets S. Secular Movements in Production and Prices . Their Nature and Their Bearing upon Cyclical Fluctuations. Boston, Houghton Mifflin, 1930.

Larisa A. CHALDAEVA

Financial University

under Government of Russian Federation, Moscow, Russian Federation chaldaeva45@mail . ru Anatolii A. KILYACHKOV Department of Audit Services, EY Company, Moscow, Russian Federation AAKil@mail.ru