Модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности с переменной премией за риск Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 1 (17) 2010

О. Е. Цацура

Модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности с переменной премией за риск

Применение метода ОАРУГ-в-среднем (GARCH-in-mean model) при исследовании модели для доходности позволяет учитывать переменную дисперсию, что дает возможность описывать премию за риск во временных рядах финансовых данных. В статье предложена некоторая модификация этой модели, обеспечивающая более гибкий способ описания премии за риск. Представлены спецификация модели, критерии для проверки гипотез и конкретное приложение к биржевым индексам нескольких азиатских торговых площадок. Полученные результаты свидетельствуют о том, что предложенная модель может быть предпочтительнее обычной ОАРУГ-в-среднем.

Ключевые слова: нелинейная ОАРУГ, волатильность, премия за риск, переменные параметры.

1.Введение

С того времени, как Энглом [Engle (1982)] была предложена модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (АРУГ, ARCH), моделирование риска, присущего финансовым активам, получило значительное развитие. И хотя для модели АРУГ было предложено множество различных способов параметризации (обзор см., например, в [Bollerslev (2008)]), наибольшее внимание уделялось моделированию волатильности, а не связи между риском и доходностью, описываемой моделью АРУГ-в-среднем Энгла — Лиллиена — Робин-са [Engle, Lilien et. al. (1987)]. В связи с этим одной из характерных проблем может являться небольшое число способов параметризации уравнения условного математического ожидания. В [Karanasos, Kim (2000)] авторы рассматривают данную проблему, но особое внимание сосредотачивают на части уравнения условного математического ожидания, не содержащей условную дисперсию. Мы предлагаем более гибкую параметризацию распространенного способа включения волатильности в уравнение условного математического ожидания, позволив коэффициенту при волатильности быть переменным. Для этого используем вариант нелинейной регрессионной модели, предложенной Бэконом и Уотсом [Bacon, Watts (1971)]. Этот подход, в частности, успешно применяется для моделирования волатильности [Frances, van Dijk (2003)], [Hagerud (1996)], при совместном моделировании доходности и волатильности [Lundbergh, Terasvirta (1998)], а также в рамках многомерных моделей условной дисперсии [Silvennoinen, Terasvirta (2008)]. По имеющейся у нас информации, попыток моделирования связи ожидаемой доходности и риска финансовых активов при помощи этого аппарата до сих пор не предпринималось. Настоящая статья призвана частично восполнить существующий пробел.

2. Спецификация модели и проверка гипотез

Согласно [Engle, Lilien et. al. (1987)], под премией за риск актива следует понимать любое изменение в ожидаемой доходности актива, по мере того как актив становится более

№ 1 (17) 2010

или менее рискованным. Если мерой риска актива является лишь его волатильность (измеренная стандартным отклонением Ы/ его доходности), то связь между ожидаемой доходностью и риском может быть описана с помощью модели ОАРУГ-в-среднем.

Спецификация этой модели задается двумя частями — спецификациями уравнения условного математического ожидания (т. е. ожидаемой доходности) (1а) и уравнения условной дисперсии (1б):

у +д (Ь) + ^, (1а)

3

а с

Ь = П ^....., .....^), (1б)

где ^ — часть уравнения условного математического ожидания, не зависящая от условной дисперсии { (например, это может быть авторегрессионная составляющая); д ф) — непрерывная функция произвольного вида; ^ = Ь^; {<У — последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с Е[й,,] = 0 и Э ,] = 1. Запись /(•) в (1б) означает, что условная дисперсия может задаваться зависимостью достаточно общего вида; далее мы полагаем, что Ь следует ОАРУГ (р, ,). Параметры р, , обозначают соответственно порядок лага случайного возмущения £ и лага условной дисперсии Ь

I и принимают целые положительные значения.

Выбор вида g(hf) предоставлен исследователю, поскольку экономическая теория не сообщает конкретного вида зависимости между риском и ожидаемой доходностью [Nelson (1991)]. Наиболее распространенный способ: g (h f) = 6h f,/2. В этом случае премия за риск 5 пропорциональна текущей волатильности. Заметим, что из прикладного смысла модели Ц (1а) — (1б) следует, что предполагаемое значение б неотрицательно (чем более рискован § актив, тем больше премия за риск).

Ц Мы предлагаем более гибкую параметризацию, предположив, что параметр б являет-с ся переменным и принимает значения из отрезка [б0, б0]; далее мы условимся называть

Ф с

15 состояния, при которых параметр б принимает значения на краях отрезка, режимами. !■ При этом б = б0 соответствует первому режиму, а б = б0 — второму режиму. Переход меж-| ду режимами осуществляется при помощи так называемой переходной функции F (zf), которая является непрерывной и такой, что 0 < F (zf) < 1; в качестве аргумента этой функции используется некоторая количественная переменная zt [Lutkepohl, Kratzig (2004)]. Тогда g (hf) примет вид:

д (Ь) = б°(1-Г (г г ))Ь/ +6° Г (^ )Ь/. (2)

¡^ Теперь запишем уравнение условного математического ожидания, условившись, что | М, = ах{:

9 у = ах( +б°(1 - Г(г ))Ь/ +6°Г(г )Ь/ + ^. (3)

Такая спецификация уравнения условной средней состоит из двух частей — линейной регрессионной ах{ и нелинейной дфг) с переменной премией за риск. Линейную регрессионную часть составляют вектор-строка параметров а размерности (М х 1) и вектор-столбец предопределенных переменных х{ размерности (1 х М), который может включать лагиро-ванные значения переменных у и Нелинейная часть задается параметрами 6° и 6°, соответ-

46

/

(17) 2010

с

ствующими двум различным режимам, а характер перехода между режимами управляется |

с =Т

переходной функцией F(zf) с переменной z . Как правило, рассматривают две возможные переходные функции: логистическую и экспоненциальную [Frances, van Dijk (2003)], [Lutkepohl, Kratzig (2004)]. Логистическая переходная функция имеет вид:

F(Zf) = [1 + exp(-Y(Zf -1)]-1. (4)

Экспоненциальная переходная функция имеет вид:

F(Zf) = 1- exp(-Y (Zf -1)2). (5)

Выбор переменной z остается за исследователем. Возможные кандидаты на роль zt могут быть предложены экономической теорией. В случае, когда выбор переходной переменной, исходя из экономических соображений, представляется неочевидным, кандидатом на роль zt может стать элемент или элементы xt [Hagerud (1996)], [Lundbergh, Terasvirta (1998)], [Terasvirta (2006)].

Обозначив 81= б0 - 60, модель можно переписать в более компактном виде:

y t = axf +[60 +61F(zf )]lf +it, (6а)

h = bw f. (бб)

При этом E[у = 0, D [у = ht и E [£. j = 0 для всех i ^ j. Условимся также, что для всех f < 0 £f = 0 и ht = c, где c — заранее заданное число (на практике cможет быть равным выборочной дисперсии yf). Это позволит рекурсивно вычислить производные логарифмической функции правдоподобия по параметрам модели (см. Приложение).

Уравнение условной дисперсии в компактной записи задается вектором-строкой параметров b размерности (1 х N) и вектором-столбцом переменных wt размерности (N х 1). Например, вектор параметров для ОАРУГ (p, q) в такой форме записи имеет вид b = (ш, аи.. .,ар, ßr..., ßq ), а вектор переменных — wt = (1, ^2f-1,. •., ^2f-p, hf-1,..., hf-q).

Условия, гарантирующие неотрицательность hf, будут зависеть от конкретной спецификации уравнения условной дисперсии. Для ОАРУГ (p, q) [Bollerslev (1986)]:

ш > 0,

а > 0, i = 1,..., p, (7)

ßj > 0, j = 1.....q.

В случае, если уравнение условной средней имеет авторегрессионную составляющую, потребуем, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения лежали вне единичного круга.

Если переходная функция задана выражениями (4) или (5), то для обеспечения идентификации модели необходимо y > 0 [Lutkepohl, Kratzig (2004)], [Hagerud (1996)].

Предположим, что для выборки {yf} мы идентифицировали параметры (1) с = axf, g (hf) = = 6hf,/2, ht = bw t и теперь желаем узнать целесообразность идентификации (6a) — (6б). Поскольку оценка параметров моделей условной дисперсии с нелинейной условной средней вычислительно довольно трудоемка [Chan, McAleer (2003)], то следует проверить гипотезу о необходимости обращения к такой модели, прежде чем оценивать ее параметры. Для этого следует проверить гипотезу относительно параметров модели (6a) — (6б):

о

с

№ 1 (17) 2010

Н- б1 = о, (8)

Ну б, * о.

Поскольку параметры модели при нулевой гипотезе нам известны, то можно воспользоваться статистикой множителей Лагранжа, вычисление которой требует наличия идентифицированной модели только при нулевой гипотезе [Greene (2002)]:

/

LM = д in L(0r ) [/(0R )1-1 д in L(0r )

[ d0R L R J i d0R J

3

а с

(9)

где 0R — вектор параметров при нулевой гипотезе; /(0R) — оценка информационной мат-д inLCe R)

рицы Фишера;-;— — вектор частных производных логарифмической функции

д0 R

максимального правдоподобия. При справедливости нулевой гипотезы критическая статистика будет иметь распределение х2 с 1 степенью свободы [Greene (2002)]. Однако (9) будет содержать неизвестные параметры переходной функции, а именно: y и l. Решение этой проблемы может состоять в приближении переходной функции рядом Тейлора в окрестности нуля [Hagerud (1996)], [Lutkepohl, Kratzig (2004)]. В случае, если в альтернативной модели рассматривается логистическая переходная функция (4),

3

S «

а с >3

| то после перегруппировки слагаемых мы получим аппроксимирующую модель1:

«

1

I y =axt +[60 +б,* zt ]ht 22 +£t, (10)

£ h = bwt.

s

Величина б,* появляется в результате разложения переходной функции в ряд Тейлора

§ Величина б,*

Ц в окрестности = 0. Если в альтернативной модели рассматривается экспоненциальная пе-

реходная функция (5), то аппроксимирующая модель будет иметь вид:

! y =axt +[60 +61* z2]ht2 + £t, (11)

1 ht = bwt.

M f f

Гипотеза (8) примет вид:

Н0: 61* = 0, (12)

Н: б * * 0.

'3

0

1 со о

& "0 '3

0

1 I

о

3

Статистика (9) теперь вычисляется с использованием частных производных логарифмической функции максимального правдоподобия и оценки информационной матрицы ¡^ аппроксимирующих моделей (10) или (11).

о1

со с

° 3. Оценка параметров модели

1 «

г

Параметры модели (6а) — (6б) будем оценивать методом максимального правдоподобия

2 в предположении ^ ~ N (0, Ь) Максимизация логарифмической функции максимального « _

-

о ,

§ 1 Подобное приближение дееспособно (в прикладном плане) лишь при малых значениях 7.

№ 1 (17) 2010

с

правдоподобия при ограничениях (7) и y > 0 выполняется численными методами, напри- | мер, методом барьерных функций. Безусловная оптимизация может проводиться методом Ньютона — Рафсона. Используются аналитические выражения для градиента функции мак- ^ симального правдоподобия (см. Приложение), а гессиан аппроксимируем по формуле Брой-дена — Флетчера — Гольдфарба — Шанно. Поскольку параметры переходной функции на несколько порядков могут отличаться от остальных параметров модели, то рекомендуется стандартизировать переходную переменную zt [Lutkepohl, Kratzig (2004)]. Это сделает элементы матрицы Гессе примерно одного порядка, а также облегчит вычисление стандартных ошибок параметров. Информационную матрицу аппроксимируем методом Берндта [Greene, (2002)]. Полученную аппроксимацию используем для проверки гипотезы (12) и вычисления стандартных ошибок параметров.

Отметим, что поскольку уравнение условной средней включает в себя условное стандартное отклонение, то информационная матрица Фишера не является блочно-диагональ-ной, и, следовательно, оценка уравнений условной средней и условной дисперсии должна производиться одновременно [Engle, Lilien et. al. (1987)].

Теперь мы применим модель (6а) — (6б) к задаче оценки переменной премии за риск. Исходными данными являются ежедневные значения группы следующих фондовых индексов, источником которых служит ресурс www.finance.yahoo.com (в скобках указана дата начала выборки, дата конца выборки для всех индексов одинакова — 8 августа 2008 г.):

• BSE 30 — индекс биржи Бомбея, Индия (1 июля 1997 г.);

• HSI — индекс биржи Гонконга (31 декабря 1986 г.);

• Jakarta Composite — индекс биржи Джакарты, Индонезия (1 июля 1997 г.);

• KOSPI — индекс биржи Сеула, Южная Корея (1 июля 1997 г.);

• Nikkei 225 — индекс биржи Токио, Япония (4 января 1987 г.);

• Shanghai Composite — индекс биржи Шанхая, Китай (5 января 2000 г.);

• Straits Times — индекс биржи Сингапура (27 августа 1997 г.);

• TCWSI — индекс биржи Тайбэя, Тайвань (2 июля 1997 г.).

Рассмотрим логарифмические доходности rt = lnPf - lnPf-1, где {Pf} — уровни исходного ряда.

Описательные статистики и результаты тестов на наличие автокорреляции (тест Юнга — Бокса, выполненный для 12 лагов) и авторегрессионной условной гетероскедастичности (тест Энгла, выполненный для 8 лагов) приведены в табл. 1.

Таблица 1

Объем выборок, описательные статистики и результаты тестирования

4. Эмпирическое применение

Объем выборки Эксцесс Асимметрия Тест Юнга — Бокса Тест Энгла

BSE 30

2 750

6,14 [0,0000]

-0,32 [0,0000]

45,72 [0,0000]

300,17 [0,0000]

HSI

5 355

73,02 -3,07

[0,0000] [0,0000]

67,67 [0,0000]

116,69 [0,0000]

49

№ 1 (17) 2010

Продолжение табл. 1

3

а с

з

S «

а с

'3

0

1

I «

S «

8-

с о

3 §

о £

3

S

о с

о

а «

S

'3

0

1 со о

£ '3

0

1 I

о

3

& S

со с >з

0

1

I «

=?

о

о

•о «

Объем выборки Эксцесс Асимметрия Тест Юнга — Бокса Тест Энгла

Jakarta 2 698 9,55 -0,05 86,90 217,62

Composite [0,0000] [0,1424] [0,0000] [0,0000]

43,75 0,44 64,29 947,49

KOSPI 3 622

[0,0000] [0,0000] [0,0000] [0,0000]

10,02 -0,15 29,62 483,27

Nikkei 225 6 053

[0,0000] [0,0000] [0,0000] [0,0000]

Shanghai 2 240 8,17 -0,11 24,68 129,78

Composite [0,0000] [0,0175] [0,0164] [0,0000]

Straits 2 744 10,51 -0,00 44,17 387,10

Times [0,0000] [0,4970] [0,0000] [0,0000]

5,35 -0,13 23,84 222,75

TCWSI 2 725

[0,0000] [0,0029] [0,0214] [0,0000]

* в квадратных скобках — Р-значения.

Исследуемые ряды демонстрируют характерные особенности — значительный (больше 3) коэффициент эксцесса и значимый отрицательный коэффициент асимметрии, т. е. большие положительные колебания доходности менее вероятны, нежели большие отрицательные. Интересно, что значимые статистики Юнга — Бокса косвенно могут свидетельствовать о наличии условной дисперсии в уравнении условного математического ожидания, — ряды доходностей, порожденные моделью ОАРУГ-в-среднем, являются автокоррелированными даже без наличия какой-либо дополнительной структуры в уравнении условной средней [ТегаБУ^а (2006)]. Тест Энгла, выполненный для 8 лагов, подтверждает наличие авторегрессионной условной гетероскедастичности в рядах доходностей.

В нашем исследовании ограничим линейную составляющую условного математического ожидания авторегрессией порядка р. Подбор порядка будем осуществлять таким образом, чтобы стандартизированные ошибки модели не были автокоррелированными согласно тесту Юнга — Бокса до 12 лага включительно при уровне значимости а = 0,05. Поскольку мы сосредотачиваем внимание на динамике премии за риск, а не на динамике волатильности, то спецификацию уравнения условной дисперсии ограничим ОАРУГ (1,1). Таким образом, мы оцениваем коэффициенты модели вида:

yt =c + £фу_ + (60 +6, • F(zt)) • Ф + ^,

i=i

ht =w + a^f2-i +(3hf_,,

(13)

к

где ^ф, — набор параметров авторегрессионной части порядка р первого уравнения

;=1

модели (13).

№ 1

(17) 2010

При оценке модели мы исходим из предположения ^ ~ N(0, Ь).

Прежде чем проводить оценку параметров модели, проверим гипотезу (12). Для этого необходимо оценить параметры (13) в предположении 60 = ^ = I = 0:

с £

p

yt =c + > Фу-i +60+ £t,

i=1

ht = w + a^-1 + ßht

(14)

Параметры такой модели, а также проверку гипотезы (12) мы выполняли для всех исследуемых индексов. Найденные значения параметров и f-статистики указаны в табл. 2 (только для тех индексов, для которых в дальнейшем оценивались параметры полной модели).

Заметим, что параметр 60 значим на уровне 5% только для индексов фондовых бирж Китая (Shanghai Composite) и Индии (BSE 30), в то время как для Японии (Nikkei 225) и Сингапура (Straits Times) незначимые t-статистики не дают оснований полагать, что премия за риск является переменной.

Результаты оценки параметров модели (14)

Таблица 2

Параметр Shanghai Composite Nikkei 225 BSE 30 Straits Times

X - 0,0009 0,0009 0,0023 0,0004

(-2,2245) (4,7781) (4,8701) (1,9465)

Ф1 0,0054 0,0261 0,0877 0,0558

(1,2788) (1,9348) (4,2080) (2,8415)

Ф2 - 0,0210 - 0,0232 - 0,0176 0,0049

(-1,2958) (-1,8212) (-1,4689) (0,5576)

Ф3 0,0356 0,0119 0,0310 0,0380

(1,9752) (1,1410) (1,6988) (2,0237)

Ф4 0,0379 - 0,0140 0,0284 0

(2,1648) (-1,1254) (1,4597)

Ф5 0 0 -0,0432 (-2,2892) 0

Ф6 0 0 -0,0623 (-3,1496) 0

б0 0,0937 - 0,0180 - 0,0668 0,0127

(2,9449) (-1,3364) (-2,0296) (0,8576)

ш 2,62-10-6 2,57-10-6 1,03-10-5 1,85-10-6

(5,5370) (9,5017) (7,1520) (4,8523)

а 0,0654 0,1305 0,1418 0,1223

(11,9611) (36,3102) (12,9115) (13,9814)

ß 0,9263 0,8679 0,8262 0,8777

(157,2481) (198,5333) (70,0366) (119,1029)

U1

№ 1 (17) 2010

3

а с

з

S «

а с

'3

0

1

I «

5 «

6

с о

3 §

о

3

S

о с

о

а «

S

'3

0

1

со

о &

'3

0

1 I

о

3

Поскольку теперь мы располагаем значениями параметров модели (14), то проверим гипотезу (12), прежде чем приступать к идентификации параметров (13).

Перед проверкой гипотезы (12) следует определиться с выбором переходной переменной z — полагаем z = £ i = 1,.. .,3. Мы сделали такой выбор, следуя предположению, что участники рынка формируют свое мнение о влиянии волатильности на ожидаемую доходность, исходя из своей оценки того, является ли текущая ситуация благоприятной для занимаемых ими позиций или нет. В качестве такой оценки участниками текущей ситуации мы полагаем £м = rM- E [rf-1], т. е. в какой мере фактическая доходность предыдущего периода отклонилась от ожидаемого участниками значения доходности. Если в данный момент преобладают участники, открывшие длинные позиции, то неожиданное падение доходности £f-1 < 0 будет воспринято как неблагоприятное изменение ситуации, а £f-1 > 0 — как благоприятное. Наоборот, если преобладают участники с открытыми короткими позициями, то £f-1 < 0 будет воспринято как благоприятное изменение ситуации, позволяющее выгоднее закрыть короткую позицию, а £f-1 > 0 — как неблагоприятное. Таким образом, основываясь на том, является ли ситуация благоприятной или нет, участник будет оценивать влияние волатильности на ожидаемую доходность либо положительно, воспринимая нестабильность рынка как возможность получить дополнительную прибыль, либо отрицательно, расценивая волатильность как источник вероятных убытков.

Так как в качестве переходной переменной можно положить линейную комбинацию пе-

2 3

ременных, то рассмотрим ее простейший вариант в виде сумм E£f-i и E£f-i. Рассмотрение этих сумм также продиктовано соображениями, что участники рынка могут принимать во внимание не только свои текущие ожидания, но также то, насколько были верны их ожидания в прошлом.

Рассчитаем значения критических статистик LM (9) для двух разных вариантов переходной функции ((4) и (5)) и различных типов ее аргументов zt и вычислим так называемое p-значение (p-value), т. е. вероятность P{х2(1) > LM | H0}. Анализ результатов этих вычислений, представленных в табл. 3 и 4, свидетельствует о том, что для индексов HSI, Jakarta Composite, Nikkei 225 и Straits Times гипотеза (12) отвергается при уровнях значимости, меньших 0,1, и практически при обоих вариантах переходной функции и при всех типах ее аргументов. Это значит, что в таких случаях более адекватной моделью оказывается предлагаемое обобщение (3) модели. В то же время поведение индексов KOSPI и TCWSI может быть адекватно описано в рамках обычной спецификации, т. е. при б]= 0.

Таблица 3

Проверка гипотезы (12), логистическая переходная функция

&

s

со с

'3

0

1

I «

о

о

л «

BSE 30 HSI

Jakarta Composite

£ м £ f-2 £ f-3 E£f-i i=1 E£f-i i=1

0,073 0,298 0,140 0,185 0,096

0,046 0,069 0,091 0,043 0,047

0,029 0,146 0,113 0,058 0,048

S2J

№ 1 (17) 2010

Продолжение табл. 3 |

* t-2 * ,3 E /=1 E *t-/ /=1

KOSPI 0,312 0,176 0,381 0,157 0,237

Nikkei 225 0,027 0,024 0,089 0,010 0,012

Shanghai Composite 0,112 0,351 0,350 0,181 0,236

Straits Times 0,028 0,041 0,045 0,029 0,034

TCWSI 0,117 0,375 0,411 0,151 0,220

Таблица 4

Проверка гипотезы (12), экспоненциальная переходная функция

* f-1 * t-2 * t-3 E /=1 E *-/ /=1

BSE 30 0,240 0,303 0,211 0,144 0,057

HSI 0,094 0,088 0,095 0,085 0,090

Jakarta Composite 0,111 0,072 0,131 0,056 0,073

KOSPI 0,322 0,329 0,305 0,231 0,188

Nikkei 225 0,084 0,085 0,086 0,067 0,048

Shanghai Composite 0,023 0,164 0,194 0,126 0,349

Straits Times 0,042 0,029 0,040 0,044 0,038

TCWSI 0,406 0,099 0,399 0,227 0,172

Поведение доходности индекса BSE 30 также не дает оснований для усложнения модели: все р-значения больше стандартного уровня значимости, равного 0,05. Однако при проверке гипотезы о наличии экспоненциальной модели с переходной переменной в виде суммы ошибок трех предшествующих периодов значение вероятности ошибки становится весьма близким к 0,05. При этом по отдельности £м, £f_2 и £f_3 дают значения вероятности, не позволяющие принять альтернативную гипотезу. Это дает основания полагать, что изменение в премии за риск может быть вызвано именно накопленной случайной компонентой доходности.

IJ3

№ 1 (17) 2010

3

а с

з

S «

а с

'3

0

1

I «

S «

8-

с о

3 §

о £

3

S

о с

о

а «

S

'3

0

1

со

о &

'3

0

1 I

о

3

&

S со с

'3

0

1

I «

о

о

л «

Индексы HSI и Jakarta Composite позволяют принять альтернативную гипотезу о логистиче-

2 3

ской модели с возможными переходными переменными £f-1, E£f-/ или E£f-/ — вероятности ошибок мало отличаются друг от друга. Значение вероятности ошибки 0,0095 свидетель-

3

ствует в пользу логистической модели с E£f-/ для индекса Nikkei 225. Для индексов Shanghai

Composite и Straits Times можно принять альтернативную гипотезу об экспоненциальной модели, для которой z = £ и логистической модели, для которой z = £ соответственно.

Модель (13) выборочно оценим для индексов BSE 30, Nikkei 225, Shanghai Composite и Straits Times, при этом порядок авторегрессионной составляющей останется прежним. Результаты оценки — значения параметров, f-статистики (в круглых скобках) и значения критерия Акаике — указаны в табл. 5 и 7. Как видно, параметры y и l переходных функций значимы на уровне значимости 5%, за исключением параметра l для индекса Straits Times. Обратим внимание на то, что параметры 80 и 81 для индекса Nikkei теперь также значимы. В табл. 6 представлены результаты проверки стандартизированных остатков моделей на наличие автокорреляции (12 лагов) и гетероскедастичности (8 лагов); при заданном уровне значимости а = 0,05 признаков некорректной спецификации не обнаружено.

Таблица 5

Результаты оценки параметров модели (13) методом максимального правдоподобия; f-статистки (указано в круглых скобках)

Параметр Shanghai Composite Nikkei 225 BSE 30 Straits Times

F(z) Экспоненциальная Логистическая Экспоненциальная Логистическая

z, £ f-1 E £t- /=1 E £t- /=1 £ f-1

c 0,0007 0,0013 0,0034 0,0007

(0,7131) (3,4700) (2,3296) (0,9807)

Ф1 0,0195 0,1218 - 0,0221 - 0,1116

(0,8953) (3,8964) (-0,7207) (-1,7710)

Ф2 - 0,0178 0,0707 - 0,1181 0,0168

(-0,8451) (2,2786) (- 4,1063) (0,7969)

Фз 0,0427 0,0112 - 0,0766 0,0364

(2,0050) (0,8721) (-2,6383) (1,9005)

Ф4 0,0375 - 0,0141 0,0413 0

(1,8432) (-0,9990) (2,0458)

Ф5 0 0 - 0,0390 0

(-2,0102)

Фб 0 0 -0,0607 0

(-2,9639)

80 -0,0854 0,7968 -0,4424 -0,3908

(-1,0182) (2,9272) (-3,6124) (-2,1064)

54

/

№ 1 (17) 2010

Продолжение табл. 5 |

Параметр Shanghai Composite Nikkei 225 BSE 30 Straits Times

F(z) Экспоненциальная Логистическая Экспоненциальная Логистическая

z, £ м Е t- Е t- i=1 t t-1

б] 0,3646 -1,1563 0,6451 0,7620

(3,9133) (-2,9754) (4,0954) (2,2809)

Y 1352,47 31,69 432,11 80,04

(8,8018) (2,2650) (2,5674) (2,0161)

X 0,0014 -0,0362 -0,0401 -0,0005

(4,8447) (-1,8661) (-7,9524) (-0,0778)

w 2,60 ■ 10-6 2,48 ■ 10-6 1,01 ■ 10-5 1,80 ■ 10-6

(5,6605) (9,2088) (7,1947) (4,7792)

a 0,0651 0,1278 0,1350 0,1209

(14,8459) (33,7137) (12,9667) (13,8558)

ß 0,9265 0,8705 0,8324 0,8791

(207,4615) (185,1679) (73,3333) (119,2741)

Таблица 6

Результаты тестов на наличие ошибок спецификации модели

Shanghai Composite Nikkei 225 BSE 30 Straits Times

Тест Юнга — Бокса 18,49 17,72 12,52 10,39

[0,1016] [0,1245] [0,4047] [0,5821]

Тест Энгла 4,31 3,58 2,86 10,61

[0,8284] [0,8931] [0,9427] [0,2249]

Введение дополнительных параметров б]( y и l позволило добиться некоторого улучшения в смысле значения критерия Акаике для индексов Shanghai Composite, Nikkei 225 и BSE 30; для индекса Strait Times значение критерия Акаике остается неизменным2.

Таблица 7

Значения информационного критерия Акаике; А1С0 для модели (14) и А1С1 для модели (13)

Shanghai Composite Nikkei 225 BSE 30 Straits Times

AIC0 - 12 701 - 36 183 - 15 256 - 16 414

AIC1 - 12 709 - 36 210 - 15 271 - 16 414

2 Более убедительные свидетельства прикладной дееспособности модели можно было бы получить, разбив имеющиеся данные на две части — «обучающую» и «экзаменующую» и сравнив ехроБ1>модельный прогноз с реальными данными экзаменующей части (примечание научн. ред.).

IJ5

№ 1 (17) 2010

Поскольку известны значения функций максимального правдоподобия как для полных моделей (13), так и для моделей с ограничениями, то воспользуемся критерием отношения правдоподобия для проверки гипотезы H0: 81 = y = l = 0. Критические статистики и вероятности ошибок первого рода (в квадратных скобках) равны (соответственно по индексам Shanghai Composite, Nikkei 225, BSE 30 и Straits Times): 13,71 [0,0033], 33,11 [0,0000], 20,85 [0,0001] и 4,06 [0,2552]. Во всех случаях, кроме последнего, ограничения 80 = y = l = 0 представляются неправдоподобными. Так как усложнение модели для биржи Сингапура не привело к улучшению модели, то результаты ее оценки в дальнейшем комментировать не будем.

На рис. 1 изображены графики переходных функций F (zf) для трех индексов, при этом каждая точка соответствует одному наблюдению переходной переменной z

з а с

з

S «

а с

'3

0

1

I «

S «

8-

с о

3 §

о £

3

S

о с

о

а «

S

'3

0

1

со

о &

'3

0

1 I

о

3

&

S

со с

'3

0

1

I «

о

о

л «

1,0

0,8

Jä 0,6 и.

0,4 0,2 0,0

Ъаап

о Shanghai Composite Д Nikkei 225 □ BSE 30

-0,15

-0,1

-0,05

0,05

0,1

0,15

Рис. 1. Графики переходных функций F (zt)

Как видно из графика функции F(zf), на протяжении большей части рассматриваемых временных периодов коэффициент 8f = 80 + 8, F (zf ) является смесью двух режимов для всех индексов, принимая значения, близкие к 80 или 80 + 81 в небольшом числе случаев. Режиму значений 8f, близких к 80 , соответствуют значения переходной переменной zt = 0,0014 для индекса Shanghai Composite и zt = - 0,0401 для индекса BSE 30. Для индекса Nikkei 225 этот режим, строго говоря, имеет место при zt ^ -то, однако, уже при zt < - 0,1 коэффициент 8 f достаточно близок к 80. Аналогично, условившись считать вторым режимом значение 8f, при F(zf), близких к единице, получаем, что второй режим наступает при zt < -0,05 и zt > 0,05 для индекса Shanghai Composite, при zt > 0,05 для индекса Nikkei 225. Для индекса BSE 30 второй режим наступает приблизительно при zt < -0,12 и zt > 0,05.

Интересно отметить случай, при котором коэффициент 8f становится равным нулю и вола-тильность перестает влиять на ожидаемую доходность. При таком состоянии участники рынка не связывают текущую неопределенность с риском получить убыток или с возможностью дополнительного дохода. Соответствующее значение переходной переменной получим, решив относительно zt уравнение F(zf) = - 80 /81. Тогда для индекса Nikkei 225 премия за риск равна нулю лишь при zt = - 0,011. Однако для индексов Shanghai Composite и BSE 30 равенство премии за риск нулю достигается при паре значений переходной переменной, а именно: zt = 0,016 и zt = - 0,013 для фондового рынка Китая; zt = 0,017 и zt = -0,092 для фондового рынка Индии.

На рис. 2-4 изображены графики динамики коэффициента 8f (для удобства сравнения все графики построены по данным за период с января 2000 г. по август 2008 г.).

0

z

56j

№ 1 (17) 2010

0,5

0,25

«о о

0,25

-0,5

со о I о

СХ CN

! <3

m о I о

СХ CN

CD О I О

СХ rN

CD О I О

СХ rN

CD О I О

СХ rN

CD О I О

СХ CN

Рис. 2. Динамика коэффициента б (индекс Shanghai Composite)

Для фондового рынка Китая (Shanghai Composite) коэффициент при премии за риск изменяется в интервале от 60 = - 0,0854 до 60 + §1 = 0,2792. Смена участниками рынка оценки влияния риска на ожидаемую доходность связана с величиной случайной составляющей доходности и, по-видимому, не зависит от ее знака, так как коэффициент l = 0,0014 мало отличен от нуля.

0,5

0,25 -

-0,25

-0,5

m о I о

ex CN

со о I о

СХ CN

Рис. 3. Динамика коэффициента 8f (индекс BSE 30)

Коэффициент при премии за риск для индекса BSE 30 изменяется от 60 = - 0,3908 до 60 + + = 0,3712. Переходная функция симметрична относительно zf = l = - 0,0401.

0,75 0,5 0,25 «Г о -0,25 -0,5

Рис. 4. Динамика коэффициента б (индекс Nikkei 225)

\

57

t

0

t

t

№ 1 (17) 2010 I

Коэффициент при премии за риск для индекса Nikkei 225 изменяется от 60 = - 0,3595 до 60 + 81 = 0,7968, однако, увеличение премии за риск происходит на негативном фоне, так как 81 = -1,1563 < 0, что может свидетельствовать о преобладании коротких позиций над длинными.

В заключение на рис. 5-7 рассмотрим графики динамики премии за риск 8faf, где a f = bt/2 (аналогично, по данным за период с января 2000 г. по август 2008 г.).

0,025

3

a с

з

S «

a с

'3

0

1

I «

S «

8-с о

3 §

о £

3

S

о с

о

a «

S

0,025

m о I о

сс CN

m о I о

сс CN

Рис. 5. Динамика премии за риск (индекс Shanghai Composite)

0,025

-0,025

'3

0

1

со

о &

'3

0

1 I

о

3

& S

со с

'¡а

0

1

I «

=?

о

о

л «

Рис. 6. Динамика премии за риск (индекс BSE 30)

0,025

-0,025

© «

5

< CN

I 00 Ü 8

Рис. 7. Динамика премии за риск (индекс Nikkei 225)

0

t

0

t

0

t

№ 1 (17) 2010

5. Заключение |

с =Т

В статье представлен расширенный способ параметризации модели [Engle, Lilien et. al. ^ (1987)] при помощи метода переходных функций, предложенного в [Bacon, Watts (1971)]. Благодаря переходной функции можно моделировать два режима, соответствующих различным зависимостям между волатильностью и премией за риск. Переход между режимами осуществляется непрерывно под влиянием переходной переменной. Такой способ параметризации может представить более гибкие возможности моделирования по сравнению с традиционной моделью. Для проверки гипотезы о необходимости применения модели предложены тесты для двух различных спецификаций. Применение тестов к стандартной модели ОАРУГ-в-среднем, оцененной для группы из 8 фондовых индексов, позволило установить целесообразность применения предложенной нами модели. Были идентифицированы параметры моделей при различном выборе переходных функций для 4-х фондовых индексов. В трех случаях предложенные модели показали улучшение в смысле информационного критерия Акаике.

Приложение

В предположении нормальности вклад отдельного наблюдения в логарифмическую функцию максимального правдоподобия составит:

1 1 1 £2 t =—-ln(2n) --ln(h) - ^

2

2

2 h •

Вклад одного наблюдения в градиент:

di de

h öe

+2 h

de

Выведем для модели (6а) — (6б) частные производные условной дисперсии 1 и случайного возмущения ^ по вектору параметров 0 = (а, 80, 8]( п, Ь), где а — параметры условной средней, 80 и 8] — коэффициенты при премии за риск, п — параметры переходной функции, Ь — параметры условной дисперсии:

di,

dh

dh

^r- = —xt —1 —-6F(z - — 61h

da

2 0 h/2 da 2

h12 da

dF (zt da

di d6

f =— h/2__'

"t v0

dh

—-61F (л

dh

2 0 h/2 Ö60 2 1 ' h/2 d6

—6 h

№L 56n

U9

№ 1 (17) 2010

дК

дК

= —Г(л)Ь 2 —-8„-^—^(лL — 8,К

дб

2 0 Ь,2 д8, 2

Ь{'2 д81

дГ (л д8,

дК

дК

= ——-8,Г (л — 8, Л,

дп

2 ь/2 дП 2

ь/2 дп

дГ (л, дп

дк

дК

^ = —-8,Г (л 8, К,

дЬ

2 „ К/2 дЬ 2

К/2 дЬ

дГ (л, дЬ

3

а с

з

г «

а с

'3

0

1

I «

г «

с о

3 £

о £

3

г

о с

о

а «

г

'3

0

1

со

о &

'3

0

1 I

о

3

о-

г

со с

'3

0

1

I «

г

о »

о

л «

дК = ь дwt

да да

дК , дwt - = Ь- -

д8„ д8„ '

дК = ь дwt

д8 д8

дК = ь дwt

дп дп

дК , дwt

—^ = w + Ь—L. дЬ дЬ

Производная вектора переменных условной дисперсии по параметрам модели имеет вид:

дwt

„,2£

.....2£ ,

д^—Р дК—, дК

t—я

д0 "'" ^—р д0 ' д0 ""' д0 , Производная логистической переходной функции по параметрам модели: дГ ( л,

д0

- = — [1 + ехр(—^( л, — I

—ехр(—^( л, — I)) •

л, — I) ^ + )

- д0 д0 д0

Производная экспоненциальной переходной функции по параметрам модели:

д0

■ = ехр(—^( л, — I )2

д^

дл, д1.

л,—I у^-+2^( л,—I )£--—

д0

д0 д0

60

/

№ 1 (17) 2010

Список литературы |

с

=Т

U4

Bacon D. W, Watts D. G. Estimating the Transition Between Two Intersecting Straight Lines, Biometrica q 58: 525-534, 1971.

Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, Journal of Econometrics 31, 307327, 1986.

Bollerslev T. Glossary to ARCH (GARCH), Duke University and National Bureau of Economic Research. 2008.

Chan F, McAleer M. Estimating Smooth Transition Autoregressive Models with GARCH Errors in the Presence of Extreme Observations and Outliers, Applied Financial Economics, vol. 13, 581-592, 2003.

Engle R. F. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation, Econometrica, vol. 50, 987-1008, 1982.

Engle R. F, Lilien D. M., Robins R. P. Estimating Time Varying Risk Premia in the Term Structure: The ARCH-M Model, Econometrica, vol. 55, Iss. 2, 391-407, 1987.

Fiorentini G., Calzolari G., Panattoni L. Analytic Derivatives and the Computation of GARCH Estimates, Journal of Applied Econometrics, vol. 11, 399-417, 1996.

Frances P. H., van DijkD. Non-linear Time Series Models in Empirical Finance, Cambridge University Press. 2003.

Glostein L. R, Jaganathan R., Runkle D. E. On the Relation Between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks, The Journal of Finance, vol. 48, Iss. 5, 1779-1801, 1993.

Godfrey L. G. Misspecification Tests in Econometrics: the Lagrange multiplier principle and other approaches, Econometric Society Monographs. 1991.

Greene W. H. Econometric Analysis, Prentice Hall. 2002.

Hagerud G. E. A Smooth Transition ARCH Model for Asset Returns, Scandinavian Working Papers in Economics (http://swopec.hhs.se). № 162, 1996.

Hagerud G. E. Modeling Nordic Stock Returns with Asymmetric GARCH Models, Scandinavian Working Papers in Economics (http://swopec.hhs.se). № 164, 1997.

Hagerud G. E. Specification Tests for Asymmetric GARCH, Scandinavian Working Papers in Economics (http://swopec.hhs.se). № 163, 1997.

Ingersoll J. E, Jr. Theory of Financial Decision Making, Rowman & Littlefield. 1987.

Karanasos M., Kim J., Alternative GARCH in Mean Models: an Application to the Korean Stock Market, University of York (www.york.ac.uk/depts/econ/research). 2000.

Lundbergh S., Terasvirta T. Evaluating GARCH Models, Journal of Econometrics 110, 417-435, 2002.

Lundbergh S., Terasvirta T. Modeling Economic High-Frequency Time Series with STAR-STGARCH Models, Scandinavian Working Papers in Economics (http://swopec.hhs.se). № 291, 1998.

Lutkepohl H., Kratzig M. Applied Time Series Econometrics, Themes in Modern Econometrics. 2004.

Nelson D. B. Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach, Econometrica, vol. 59. № 2, 347-370, 1991.

Silvennoinen A., Terasvirta T. Multivariate GARCH Models, Scandinavian Working Papers in Economics (http://swopec.hhs.se). № 669, 2008.

Terasvirta T. An Introduction to Univariate GARCH Models, Scandinavian Working Papers in Economics (http://swopec.hhs.se). № 646, 2006.

Vi1