МОДЕЛЬ НЕРАВНОВЕСНОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РОСТА ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КРИСТАЛЛОВ ИЗ РАСПЛАВОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

УДК 53.072:621.315.592

Модель неравновесной кристаллизации для численного решения задачи роста полупроводниковых кристаллов из расплавов

В.А.Гончаров, И.В.Азанова, Б.В.Васекин

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

Построена модель процесса кристаллизации, объединяющая нестационарную задачу Стефана и классические представления о механизме концентрационного переохлаждения расплава. Эта модель совместно с системой уравнений Навье-Стокса для жидкости и уравнением теплопроводности для твердого тела применяется для численного решения задачи роста полупроводникового кристалла из расплава. Моделируется образование фундаментальных и технологических полос роста. Результаты расчетов сравниваются с экспериментальными данными.

Ключевые слова: задача Стефана, неравновесная кристаллизация, ламинарная конвекция, концентрационное переохлаждение.

Получение однородных по структурным и электрофизическим свойствам кристаллов является важной задачей электронной техники. Качество выращенного кристалла определяется взаимодействием разнородных механизмов, действующих вблизи границы раздела фаз. Существует ряд моделей, описывающих рост кристалла с учетом действия отдельных механизмов. Однако к настоящему времени не удалось составить единого математического описания процесса кристаллизации. С точки зрения материаловедения существующие модели кристаллизации можно условно разделить на две большие группы.

В первой группе широкое распространение получила задача Стефана [1]. Эта модель хорошо описывает математически объемный рост кристалла с учетом конвекции в расплаве и теплопроводности в твердом теле. Условия Стефана моделируют равновесный рост кристалла на основе непрерывности температуры и баланса тепловых потоков на фронте кристаллизации. Однако классическая задача Стефана принципиально не может применяться для расчета неравновесного роста кристалла, вызванного переохлаждением расплава.

В другой группе моделируются неравновесные процессы на границе раздела фаз путем введения величины переохлаждения расплава. Такие модели позволяют описать возникновение слоистой неоднородности, вызванное, например, концентрационным переохлаждением расплава [2, 3]. Существенным недостатком моделей этой группы является изучение процесса кристаллизации изолированно от объемного роста кри-

© В.А.Гончаров, И.В.Азанова, Б.В.Васекин, 2010

сталла. Отсутствие расчета тепломассопереноса в расплаве не позволяет в этих моделях получить количественные результаты при расчетах скорости выращивания или ширины полосы роста.

В настоящей работе построена модель процесса кристаллизации, которая учитывает действие механизмов как равновесного (непрерывного), так и неравновесного (скачкообразного) роста. Для моделирования равновесного роста кристалла используется численная схема [4], основанная на решении нестационарной двухфазной задачи Стефана в конечной области. В расплаве применяется система уравнений Навье-Стокса [5], в кристалле - уравнение теплопроводности. На фронте кристаллизации решается задача Стефана, а тогда, когда это необходимо, в расчет включаются механизмы формирования полос роста (рис.1).

Рис.1. Схематическое представление модели неравновесной кристаллизации

Один из механизмов неравновесного роста в предлагаемой модели процесса кристаллизации строится на общепринятых представлениях о концентрационном переохлаждении расплава [3, 6, 7]. Ранее в этих представлениях концентрационное переохлаждение рассматривалось изолированно от общего роста кристалла, температурный градиент и скорость выращивания являлись внешними параметрами. Расчет температуры и концентрации примеси в области расплава на основе схемы [4, 5] совместно с использованием диаграммы состояния кристаллизующейся системы позволяют провести расчет ширины фундаментальной полосы роста. Также в рамках предложенной модели можно рассчитать рост кристалла с образованием технологических полос роста, вызванных дискретностью перемещения температурного профиля на нагревательном элементе технологической установки.

Физико-математическая модель. Рассмотрим двумерную осесимметричную задачу Стефана [4], моделирующую рост кристалла в условиях ламинарной конвекции в конечной области. В области расплава применяются нестационарные уравнения На-вье-Стокса в приближении Буссинеска:

ду 1 т

+ (у. V) у = -Чр + Т е2+—V2 у, (1)

д1 Яе

<Иу у = 0, (2)

1т+¥-уг Т; (3)

Яе- Рг

в области кристалла решается нестационарное уравнение теплопроводности

^ = ё1увтаё Т; (4)

о ^ Ре

на фронте кристаллизации ставятся известные условия Стефана:

Т = 0, (5)

д Т

X 8 д Т

X ь д п

8 д П

+ - ^. (6)

Для расчета распределения примеси в области расплава используется нестационарное уравнение диффузии

дС 1

^ + у -УС = ё1у§таё С, (7)

дЛ Яе- Бе

а также граничное условие, моделирующее условие оттеснения примеси на фронте кристаллизации:

дС

дп

= Яе- Бе - (1 - к0 )С. (8)

ь

Здесь у - вектор конвективной скорости, р - давление, е2 - единичный вектор в направлении, противоположном направлению силы тяжести, Т - температура, С -концентрация примеси, п - внешняя нормаль к фронту, Х5, - коэффициенты температуропроводности в кристалле и в расплаве соответственно, - скорость роста, к0 -равновесный коэффициент сегрегации.

Уравнения и условия на границе раздела фаз (1)-(8) приведены в безразмерном виде. Яе, Рг, Ре, и Бе - числа подобия Рейнольдса, Прандтля, Пекле, Стефана и Шмидта соответственно. Граничные условия на нагревателях и на оси симметрии имеют обычный вид [8].

Система уравнений Навье-Стокса (1)-(3) и уравнение диффузии (7) решаются совместно, одновременно вычисляются поля скорости, температуры и концентрации примеси в области расплава. Расчет процесса кристаллизации в (1)-(8) использует условия Стефана (5), (6). При этом задача о кристаллизации решается в условиях непрерывности температуры и баланса тепловых потоков на границе раздела фаз. В модели неравновесной кристаллизации расчет задачи Стефана (5), (6) комбинируется с расчетом неравновесного роста кристалла (см. рис.1).

Для моделирования скачкообразных процессов роста применяются представления о концентрационном переохлаждении расплава [3, 6, 7]. При расчете равновесной температуры расплава Тш (С) используются решение уравнения (7) и интерполяционный полином

Тпл(С) « Тпл - 306,88С - 150,42С2 + 93,56С3 - 61,95С4,

ь

ГА

Тпл(0)

<

Тпл(С)

Фактическая температура

Направление^

Зона переохлаждения

роста

Равновесная температура

построенный по данным диаграммы состояния [9]. Величина достигнутого на фронте кристаллизации переохлаждения |Тпл(С) -Тпш\ (при выбранном способе обезразмеривания Тпл = 0) сравнивается с критическим значением АТкр. Если необходимое переохлаждение не дос-тигнут0, т.е. АТкр > Тпл (С) - Тл|, то рас-

Рис.2. Определение ширины зоны концентрационного переохлаждения в расплаве

чет роста кристалла производится согласно задаче Стефана (5), (6). В противном случае происходит скачкообразный рост кристалла. Определяется ширина зоны переохлаждения путем сравнения фактической, т.е. найденной из решения уравнения (3), и равновесной температур расплава (рис.2). В отличие от классических представлений [3, 6, 7], совместный расчет фактической и равновесной температур расплава, основанный на решении уравнений (1)-(3), (7) и диаграммы состояния кристаллизующейся системы, позволяет вычислить ширину зоны переохлаждения. В модели полагается, что перемещение границы фаз происходит мгновенно на ширину зоны переохлаждения. Вся примесь из переохлажденной зоны поступает в кристалл. Образуется полоса роста, часть переохлаждения спадает, и расчет процесса кристаллизации вновь производится на основе задачи Стефана (5), (6).

Предложенная модель позволяет рассчитывать рост кристалла не только с фундаментальными, но и с технологическими полосами роста. Одной из причин возникновения технологических полос роста является дискретность перемещения температурного профиля на нагревательном элементе. При моделировании роста кристалла с образованием технологических полос полагается, что перемещение температурного профиля происходит скачками, через равные промежутки времени Аt. При скачке температурный профиль смещается на величину АН, которая определяется в модели по значению

АТ

и величине

точности поддержания температуры на нагревательном элементе АТНагр температурного градиента в расплаве Тгр, а именно АН = АТнагр / Тгр.

После скачка температурного профиля на величину АН у фронта кристаллизации образуется переохлажденная область, которая кристаллизуется мгновенно, что приводит к образованию технологической полосы роста шириной А2 . Далее, до следующего скачка профиля, происходит равновесный рост кристалла на основе решения задачи Стефана (5), (6). Поскольку АН = А2 + V Аt, ширина полосы роста А2 меньше смещения температурного профиля АН на нагревателе.

В результате построенная модель кристаллизации дает возможность рассчитывать как равновесный рост кристалла (задача Стефана), так и рост с образованием фундаментальных и технологических полос роста.

Особенности численной реализации модели. Предложенная модель неравновесной кристаллизации имеет широкую область применения при численном решении задач выращивания полупроводниковых кристаллов. В настоящей работе численно реализовано первое, но достаточно содержательное приближение этой модели, направленное на решение поставленной ниже прикладной задачи.

В частности, при решении уравнений Навье-Стокса в коэффициентах теплопроводности и диффузии не учитывается зависимость от температуры [3], коэффициенты полагают постоянными величинами.

Следует отметить, что с точки зрения физико-химических свойств полупроводников рассматриваемая при решении модельной задачи система Ge<Sb> плавится по типу «полупроводник-металл» [10]. Подобные системы вблизи точки плавления содержат в расплаве малое количество кластеров [7, 11]. Это оправдывает выбор постоянного коэффициента вязкости в уравнениях Навье-Стокса и решение задачи Стефана с выделенным фронтом кристаллизации.

Заметим также, что слагаемые, отвечающие за вязкое трение в уравнениях На-вье-Стокса, записаны в приближении ньютоновской жидкости. При решении модельной задачи это оправдано, поскольку конвекция в расплаве имеет ламинарный характер, а скорость выращивания кристалла невелика.

Расчет конвекции в расплаве проводится на основе разностной схемы [5]. Применяется метод расщепления по физическим процессам, а там, где это оправдано, и по пространственным переменным. Полученная в результате расщепления последовательность одномерных разностных задач решается экономичным вычислительным алгоритмом - прогонкой. На центральном этапе расщепления решается уравнение Пуассона с граничными условиями первого рода для разностного аналога «функции тока».

Разностная схема решения уравнений Навье-Стокса полностью консервативна, в ней выполняются разностные аналоги всех физических законов сохранения задачи. В частности, на этапах расщепления переноса вдоль траектории сохраняется кинетическая энергия расплава, работа сил давления не вносит изменений в полную энергию системы, вязкое трение приводит лишь к диссипации кинетической энергии. Разностные операторы переноса вдоль траектории, теплопроводности и диффузии в уравнениях (3), (7) имеют дивергентный вид и также консервативны. На центральном этапе расщепления введение дополнительной переменной «функция тока» приводит к тождественному выполнению уравнения неразрывности (2) для каждой разностной ячейки сетки независимо от точности вычисления переменной «функция тока» при решении уравнения Пуассона.

При решении задачи Стефана проводится сквозной счет уравнений теплопроводности в расплаве и в кристалле с условиями Стефана (5)-(6) на фронте кристаллизации. На нагревателях поддерживается заданный температурный режим, на фронте кристаллизации разность потоков тепла численно равна теплоте кристаллизации. Фиктивных источников тепла в расплаве и в кристалле не возникает. Таким образом, разностная схема решения задачи Стефана также консервативна. Полная консервативность является важным свойством разностной схемы [4-5], которое позволяет вычислять точное решение сложной системы уравнений (1)-(8) на сравнительно небольшом числе узлов, а также получать сходимость решения по сеткам.

Задача о росте кристалла является нестационарной. При каждом перемещении фронта кристаллизации необходимо пересчитывать положение узлов сетки (общее число которых как в расплаве, так и в кристалле остается постоянным) и рассчитывать новые значения функций в этих узлах. В схеме [5] пересчет сетки и расчет функций в новых узлах производятся поочередно. Поскольку эти вычислительные процедуры проводятся в течение одного малого шага по времени, разностная схема имеет первый порядок аппроксимации по времени.

Д£, мм

В модели неравновесной кристаллизации величина перемещения фронта № не связана с величиной шага по времени. Поэтому в случае неравновесного роста кристалла в разностной схеме, вообще говоря, отсутствует аппроксимация по времени. При каждом неравновесном скачке изменение координат положения функций мало: оно составляет не более 0,2% от размера области решения задачи. Поскольку решение задачи (1)-(8) непрерывно по пространственным переменным, то изменения значений функций при скачке невелики. Кроме того, после скачка в разностной схеме осуществляется около 103 шагов равновесного роста кристалла, что обеспечивает установление возмущенной задачи.

Достоверность решения задачи неравновесной кристаллизации подтверждается также сходимостью результатов, полученных при измельчении сетки в области расплава. Задача решалась в цилиндрических координатах г, г. Вдоль оси г равномерно расположено 29 узлов, вдоль оси г в кристалле равномерно расположено 35 узлов. В расплаве сетка вдоль оси г неравномерная, сгущается от середины к фронту кристаллизации и к

Рис.3. Зависимость ширины фундаментальной по- верхней границе области. Сх°дим°сть п° лосы роста от координаты положения фронта сеткам исследовалась на наборах сеток кристаллизации: 1 - сетка 29x71; 2 - сетка 29x81; 29x71, 29x81, 29x91, 29x101 и 29x111, что 3 - тетка 29^1; 4 - тетка ^Ю^ 5 - тетка 29x111 позволило разместить в пограничном слое

от 2 до 10 слоев сетки. При измельчении сетки от 29x71 до 29x111 ширина фундаментальной полосы роста № изменялась от 0,7 до 0,2 мм. На сетках 29x101 и 29x111 рассчитанные величины № совпали и равны приближенно 0,2 мм (рис.3). В дальнейшем приводятся результаты решения модельной задачи, полученные на сетке 29x101.

Решение модельной задачи. Построенная модель неравновесной кристаллизации была применена для решения задачи о выращивании системы Ge<Sb> методом Брид-жмена в условиях, близких к условиям космического эксперимента [12] со следующими характерными величинами:

Длина слитка Ь, м.......................................................................................................0,15

Диаметр слитка й = Ь / 3, м.........................................................................................0,05

Перепад температур в области ЛТ, К..........................................................................40

Ф, мм

Точность поддержания температуры на нагревателе ЛТнагр, К

К/см

0,1 ... 4

Температурный градиент в расплаве Тгр

Величина микроускорения цд, м/с2........................................................................0,005

Скорость роста V, мм/ч................................................................................................10

Равновесный коэффициент сегрегации к0

0,003 0,001

Начальная концентрация примеси С8Ь, ат.%..................................................

Отношение температуропроводности в расплаве и в кристалле X^ / Xь ...............0,42

ДC

5 4 3 2 1 0

20 40 60 80 100 120 ф, мм

Рис.4. Зависимость величины поперечной неодно-

10 мм/ч достигала в расче- Родности растред^тя примни АС =

= (СШах_ СШщ)/ Сш;п от координаты положения

фронта кристаллизации: 1 - при равновесном росте; 2 - при росте с технологическими полосами; 3 - при росте с фундаментальными полосами

Безразмерные числа подобия для данной задачи: Re = 2242; Sc = 30,8; Pr = 0,053; Pe = 261,6; St = 2997.

В расплаве имела место неразвитая ламинарная конвекция. В эксперименте наблюдалась аномально высокая поперечная неоднородность распределения примеси АС = (Стах - СтЬ)/ Сш;п, которая при скорости выращивания vg « 10 мм/ч достигала

значений 2-3. Заметим, что в аналогичных наземных экспериментах максимальная величина поперечной неоднородности составляла 10-15 %.

В работе [8] проводилось моделирование роста кристалла в условиях эксперимента [12] на основе решения задачи Стефана [4]. Была теоретически обоснована возможность образования высокой поперечной неоднородности распределения примеси, величина которой при скорости роста

тах 5-6 (рис.4, кривая 1).

В настоящей работе проводится мо делирование роста кристалла с образова нием технологических и фундаментальных полос роста. При моделировании роста кристалла с технологическими полосами полагается, что перемещение температурного профиля происходит скачком через равные промежутки времени Аt на величину АН = АТнагр /Тгр « 0,25 мм. В созданной модели скорость равновесного роста V поддерживается постоянной, поэтому ширина технологической полосы А2 = АН - V Аt = сош1.

Ширина технологической полосы роста АZ зависит от времени между скачками температурного профиля на нагревателе Аt. Величина Аt является параметром технологической установки, точное значение которой определить сложно. В связи с этим выбирается характерная ширина технологической полосы роста АZ «0,08 мм [14]. Такая ширина полосы роста достигается в условиях модельной задачи при Аt = (АН -^)/vg » 60с.

Для определенных выше величин АН, АZ и Аt проведен расчет модельной задачи роста кристалла с технологическими полосами. Полученное значение максимальной поперечной неоднородности распределения примеси при этом составляло 1,5 (см. рис.4, кривая 3), что количественно согласуется с результатами эксперимента [12].

Следует отметить, что рассчитанная величина АС при дискретном перемещении температурного профиля заметно меньше, чем в условиях равновесного роста [8] (на рис.4 кривая 3 лежит ниже кривой 1). Согласно модели неравновесной кристаллизации, это происходит по следующей причине. Значительная часть неравномерно распределенной вдоль фронта кристаллизации примеси с образованием полосы роста попадает в кристалл. В результате после каждого скачка фронта кристаллизации профиль поперечного распределения примеси у фазовой границы становится более пологим, и величина неоднородности снижается.

Рассмотрим решение модельной задачи в условиях концентрационного переохлаждения расплава. В системе Ge<Sb> коэффициент распределения примеси к0 «1. Поэтому в расплаве у фронта кристаллизации образуется область повышенного содержания сурьмы, что приводит к понижению температуры кристаллизации и возникновению переохлаждения. Однако в эксперименте [12] концентрация сурьмы была незначительна и составляла ~0,001 ат.%. Проведенные расчеты показали, что при такой малой концентрации примеси фундаментальные полосы роста в кристалле не образуются. С целью изучения влияния концентрационного переохлаждения расплава на характеристики выращенного кристалла рассмотрим аналогичную модельную задачу, в

которой начальная концентрация примеси С°, = 0,1 ат.%. Заметим, что подобные задачи часто встречаются на практике.

Ширина фундаментальной полосы роста ЛZ в модели неравновесной кристаллизации зависит от величины критического переохлаждения расплава ЛТ (см. рис.2).

В задачах выращивания полупроводниковых кристаллов точно определить величину ЛТкр в большинстве случаев сложно [13, 15]. Поэтому в работе исследовалась параметрическая зависимость ширины полосы роста от величины критического переохлаждения расплава. Для рассматриваемых условий роста, приняв С°ь = 0,1 ат.%, при ЛТкр < 1,38 К полосы роста в кристалле не образуются вообще, а при ЛТкр > 1,7 К рассчитанная ширина полосы роста становится более 1 мм, что обычно не встречается на практике (здесь и далее величина ЛТкр приведена в размерных единицах). В диапазоне

1,38 К < ЛТ < 1,42 К средняя ширина полосы роста лежит в пределах от 0,13 до 0,23 мм,

что количественно согласуется как с космическими [14], так и с наземными [16] экспериментами. В результате проведенных параметрических расчетов для решения модельной задачи выбрана величина критического переохлаждения ЛТкр = 1,4 К. Рассчитанная

при таком ЛТкр средняя ширина полосы роста составляет 0,17 мм.

Следует отметить, что ширина фундаментальной полосы роста меняется в процессе роста кристалла. В начальный период выращивания кристалла полосы роста не образуются, поскольку в это время происходит накопление примеси вблизи фронта кристаллизации и увеличение переохлаждения до критической величины. В дальнейшем, вследствие влияния конвективной ячейки на диффузионный слой и оттеснения примеси в расплав, происходит изменение распределения сурьмы у фронта кристаллизации. Это приводит к увеличению ширины полосы роста от 0,07 до 0,25мм (см. рис.3, кривая 4). В заключительный период роста происходит выравнивание концентрации примеси в малом объеме расплава, что влечет за собой уменьшение ширины полосы роста.

На рис.4 представлена зависимость величины поперечной неоднородности распределения примеси от координаты положения фронта кристаллизации при скорости выращивания V «10 мм/ч. Рассчитанный максимум величины поперечной неоднородности при равновесном росте ЛС = 5,5 (см. рис.4, кривая 1), с учетом дискретности перемещения температурного профиля на нагревательном элементе - 1,5 раза (см. рис.4, кривая 2), при учете механизма концентрационного переохлаждения расплава - 2,3 раза (см. рис.4, кривая 3). Заметим, что при моделировании неравновесного роста кристалла полученная поперечная неоднородность распределения примеси меньше, чем при моделировании роста кристалла на основе решения задачи Стефана (кривые 2 и 3 лежат

ниже кривой 1). Действительно, после каждого скачка фронта кристаллизации профиль поперечного распределения примеси становится более пологим, и неоднородность примеси снижается. Следует отметить, что величина поперечной неоднородности примеси, полученная при моделировании неравновесного роста кристалла, лучше согласуется с экспериментальными данными [12], чем соответствующая величина, рассчитанная в задаче с равновесным ростом кристалла [8].

Предложенная модель неравновесной кристаллизации для численного решения задачи выращивания полупроводниковых кристаллов основана на решении нестационарной задачи Стефана с учетом действия механизма концентрационного переохлаждения расплава, а также дискретности перемещения температурного профиля нагревательного элемента. Численно реализовано первое приближение этой модели для решения задачи выращивания полупроводникового кристалла в условиях ламинарной конвекции.

При решении модельной задачи установлено, что дискретность перемещения температурного профиля на нагревательном элементе и наличие концентрационного переохлаждения расплава приводят в большинстве случаев к появлению полос роста в кристалле. Вычислена ширина фундаментальных и технологических полос роста. Показано, что при моделировании роста кристалла в условиях ламинарной конвекции поперечная неоднородность распределения примеси может достигать аномально большой величины. Расчеты находятся в количественном соответствии с результатами экспериментов.

Литература

1. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989. - 616 с.

2. Салли И.В., Фолькевич Э.С. Управление формой роста кристаллов. - Киев.: Наукова думка, 1989. - 160 с.

3. ГлазовВ.М., ЗемсковВ.С. Физико-химические основы легирования полупроводников. - М.: Наука, 1967. - 372 с.

4. Гончаров В.А. Об одном методе решения задачи Стефана в двухфазной области с неплоской границей // Журн. вычисл. математики и матем. физики. - 2000. - Т. 40. - № 11. - С. 1706.

5. Гончаров В.А., Марков Е.В. Численная схема моделирования задач термоконвекции // Журн. вычисл. математики и матем. физики. - 1999. - Т. 39. - № 1. - С. 87.

6. Тазетдинов Р.Г. Физико-химические основы технологии конструкционных материалов в производстве летательных аппаратов. - М.: МАИ, 2004. - 440 с.

7. Строение и свойства германиевых металлических расплавов / Н.А.Ватолин, В.М.Денисов, Э.М.Керн и др. - М.: Наука. - 1987. - 144 с.

8. Балдина Н.А., Васекин Б.В., Гончаров В.А. Моделирование возникновения аномальной поперечной неоднородности распределения примеси в космических экспериментах по выращиванию кристаллов // Математическое моделирование. - 2009. - Т. 21. - № 10. - С. 67-75.

9. Диаграммы состояния двойных металлических систем: Справочник: В 3 т.: Т. 2 / Под общ. ред. Н.П.Лякишева. - М.: Машиностроение, 1997. - 1024 с.

10. Глазов В.М., Чижевская С.Н., Глаголева Н.Н. Жидкие полупроводники. - М.: Наука, 1967. -244 с.

11. Регель А.Р., Глазов В.М. Закономерности формирования структуры электронных расплавов. -М.: Наука, 1982. - 320 с.

12. Плавление, кристаллизация и фазообразование в невесомости. Эксперимент «Универсальная печь» по программе «Союз» - «Аполлон» / В.С.Земсков, В.Н.Кубасов и др. - М.: - Наука. - 1979. - 256 с.

13. Физико-химические основы получения разлагающихся полупроводниковых соединений / М.Г.Мильвидский, О.В.Пелевин, Б.А.Сахаров и др. - М.: Металлургия, - 1974. - 391 с.

14. Space materials for microelectronics / E. V.Markov, V.Yu.Antropov, V.M.Biryukov et al. // Proc. of the joint X th European and VI th Russian Simposium of Physical Sciences in Microgravity (St. Pet., Russia, 15-21 June 1997). - 1997. - Vol. II. - P. 11-20.

15. Нашельский А.Я. Технология полупроводниковых материалов. - М.: Металлургия, 1987. - 336 с.

16. Ueda Hiroshi. Resistivity Striations in Germanium Crystals // J. of the Physical Society of Japan. -1961. - Vol. 16. - № 1. - P. 16.

Статья поступила 3 марта 2010 г.

Гончаров Виктор Анатольевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики № 1 МИЭТ. Область научных интересов: вычислительная математика, методы оптимизации, численное моделирование роста полупроводниковых кристаллов. E-mail: vagonch@gmail.com, gonch_va@mail.ru

Азанова Ирина Валерьевна - магистрант кафедры высшей математики № 1 МИЭТ. Область научных интересов: численные методы, математическое моделирование роста полупроводниковых кристаллов.

Васекин Борис Васильевич - аспирант кафедры высшей математики № 1 МИЭТ. Область научных интересов: численные методы, математическое моделирование роста полупроводниковых кристаллов.

Информация для читателей журнала «Известия высших учебных заведений. Электроника»

С тематическими указателями статей за 1996 - 2009 гг., аннотациями и содержанием последних номеров можно ознакомиться на нашем сайте:

http://www. miet. ru/structure/s/894/e/12142/191