CC BY
33
модель багатовимірного часового ряду з довільним порядком авторегресії
ЧЕРНЯК о. І.
доктор економічних наук Київ
хохлов в. в.
кандидат технічних наук Севастополь
Комплексне дослідження економічних систем припускає вивчення багатовимірних часових рядів - векторів економічної інформації. Особливістю таких рядів є наявність взаємних залежностей двох видів: кореляційної - між компонентами вектора, і авторегресійної - між моментами спостережень за компонентами. Створення моделі, яка враховує авторе-гресійні залежності довільного порядку й кореляційні зв'язки між змінними, а також розробка методів оцінювання параметрів такої моделі, що відображає процеси динаміки економічної системи, є актуальними.
Серед розповсюджених останнім часом методів дослідження векторних процесів слід зазначити експертно-аналітичний метод, або метод «ЖОК» [1], який застосовується для оцінки результатів впливу змінних на підсумкові показники й один на одного. Цей метод використовує економіко-математичну модель багатовимірного часового ряду, у якій коефіцієнти безпосереднього впливу змінних одна на одну й початкові умови задаються експертами.
На початку дослідження, відповідно до цього методу, експертним шляхом визначається список найбільш суттєвих змінних, які необхідно врахувати при аналізі конкретної ситуації. При цьому деяка частина змінних може носити якісний характер, наприклад, якість продукції, стан ринку й таке інше. Після цього визначаються необхідні для роботи моделі рівні змінних, відповідному початковому стану економічного об'єкта, і для нечислових змінних проводиться кодування. Потім експертами складається блок-схема безпосередніх впливів істотних змінних одна на одну й оцінюється ступінь безпосередніх впливів за допомогою деякої шкали. Виходить економіко-математична модель у вигляді зваженого орієнтованого графа з початковими даними у вершинах. Потім за допомогою обчислювальної техніки прораховуються впливи другого, третього й т. д. рівнів, що відповідають другому, третьому і т. д. моментам часу аж до одержання стабільного стану. Результат роботи такої моделі - кінцеві рівні змінних.
Система ЖОК дозволяє простежити динаміку зміни значень досліджуваних змінних аж до їхньої стабілізації. При цьому факт стабілізації є важливим методо-
логічним висновком з експериментів з моделлю ЖОК: «Після первісних сплесків замкнута економічна система стабілізується, хоча б і на досить низькому рівні виробництва й споживання» [1, с. 89].
Методи, засновані на експертних оцінках, безумовно, мають право на існування. Але думки експертів, навіть найбільш ерудованих і підготовлених, є суб’єктивними, а компілювання декількох суб’єктивних думок для виведення загальної оцінки навряд чи може привести до результату, вільного від суб’єктивності. Справді науковий підхід до вивчення складних об’єктів складається у виявленні об’єктивного образу предмета дослідження, що можливо лише в результаті обробки екзогенних даних методами, позбавленими будь-якої суб’єктивності. Якщо об’єкт дослідження, представлений багатовимірним часовим рядом, у якому за означенням наявна повна інформація про об’єкт, то виявити істотні змінні, а також істотні зв’язки між ними можна, не вдаючись до допомоги експертів, а за допомогою об’єктивних і більш розроблених методів.
А о таких методів можна віднести використання УЛИ-моделі - векторної авторегресійної моделі [2]. Вона описується системою рівнянь, причому ть рівнянь дорівнюєкількостідосліджуваних змінних. Кожне рівняння являє собою залежність даної змінної від значень усіх змінних у попередніх моментах часу (у цьому випадку говорять, що має місце авторегресія порядку р). Модель враховує вплив, як власних лагових значень, так і лагових значень інших змінних. Таким чином, вона дозволяє встановити й аналітичну авторе-гресійну залежність змінних, і вплив інших змінних на поточне значення кожної з них.
Однак якщо досліджуються п змінних, і порядок авторегрессии дорівнює р, тоді кількість коефіцієнтів, що підлягають оцінці, дорівнює (п + р • п2). Наприклад, при п = 5, р = 4 необхідно знайти 105 значень [2, с. 293]. Якщо модель буде містити більше декількох десятків змінних, і навіть при невеликому порядку авторегресії, скажімо р = 2, кількість коефіцієнтів буде не менше 820. Щоб отримати спроможні оцінки параметрів моделі, довжина ряду повинна бути більшою, ніж це число. Цей факт робить метод мало придатним для практичного використання в аналізі багатовимірних часових рядів.
Щоб обійти цю проблему, УЛИ-модель трансформують до вигляду класичного регресійного рівняння, що зв’язує дану змінну з лаговими значеннями всіх змінних, зведених в одну матрицю. Далі, застосовуючи метод найменших квадратів, знаходять оцінки всіх коефіцієнтів вихідної моделі. Але в цьому випадку є одна особливість. Застосування методу найменших квадратів до оцінки параметрів регресійного рівняння обумовлено декількома апріорними допущеннями. Одне з них полягає в тому, що
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧИЕ МОДЕЛЮВАННЯ
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
регресори мають бути незалежними величинами. Однак у багатовимірному часовому ряді змінним властиві кореляційні зв'язки, і вважати стовпці матриці регресорів взаємно незалежними буде некоректно. Таким чином, має місце порушення одного з припущень класичної ре-гресійної моделі. Далі, ще одне припущення регресійного аналізу говорить про те, що незалежні змінні й випадкові відхилення рівняння не повинні корелювати. Однак для УЛИ-моделі можна показати, що деякі регресори корелюють із випадковими відхиленнями. Отже, порушується ще одне припущення регресійного аналізу. А кожне порушення припущення регресійного аналізу вимагає коректування як моделі багатовимірного часового ряду, так і методу оцінки її параметрів.
Метою статті є побудова моделі багатовимірного часового ряду з довільним порядком авторегресії.
Значення економічних показників (випадкових змінних) у даний момент часу не може не з алежати від їхніх значень у попередні моменти часу. У таких часових залежностях простежується як природа об'єктивних економічних законів, так і внутрішніх, властивих лише даній економічній системі, особливостей. Лагові залежності є особливою рисою економічних явищ, і саме вони, в основному, визначають характерні риси динаміки економічних систем. Таким чином, для них характерним і визначальним є авторегресійний процес.
Але оскільки самі економічні змінні є лише вимірюваними характеристиками системи, а за цими змінними стоять стохастичні фактори, які й визначають її поведінку, то саме вони задають авторегресійний процес в економічній системі.
У роботі [3] розглядалася модель авторегресії факторів першого порядку. Розглянемо модель динаміки економічної системи з авторегресійними залежностями довільного порядку.
Розглянемо багатовимірну факторну авторегресій-ну модель порядку р
їі = /м¥і + УЇ-2 V 2 + ■■■ + /і-р V р + иі , (!)
де / і = (/і,1> /і,2> ■■■ /і,т ) - значення ст 0х аст ич-
них факторів для моменту часу ґ; т - число факторів;
аналогічно /і _к = (/ {_к і, / {_к 2, ■■■ /і _к т т ) -
значення стохастичних факторів для моменту часу ґ - к (к = 1, 2, ..., р);
ук = (у^ ¥2, ■■■, ¥т) - значення коефіцієн-
тів багатовимірної авторегресії;
и = (ид, иг2, ■■■, и т) - вектор випадкових відхилень із нульовим математичним очікуванням і постійними дисперсіями.
Значення змінюваних змінних задаються рівнянням факторної структури
ъ = №Т + V, (2)
де = (ъг1, 2, ■■■, гіт) - вектор стандартизованих
значень змінних - економічних показників у момент часу ґ; п - число досліджуваних змінних; (•)т - знак
транспонування матриці; А - матриця факторних навантажень, що має вигляд
А =
1т
V г = (уд, V і2, ■■■, V іт) - вектор випадкових збурень рівняння факторної структури.
Стандартизовані значення змінних являють собою відношення різниці поточної величини змінної й величини її тренду в момент часу ґ до середньоквадра-тичного відхилення.
Рівняння (1) може бути представлене у вигляді:
/і = (=_1, = _2 ,
(V, ^ V2
V р
+ и
(3)
Введемо таке позначення для матриці значень факторів від моменту часу 1 до поточного ґ
( /1 ^
/2
А
матриця значень факторів з часовим зсувом на к кроків від поточного моменту часу:
(АА
-к /2_к
& _к
Також введемо блочну матрицю лагових значень факторів
^ =(Р , І р „ І \ р )
**ї-р Vі і-1 | і-2 | ”' І і-р'
і блочну матрицю коефіцієнтів авторегресії
0 =
А ^
У2
Тоді авторегресійна залежність (3) для довільного моменту часу прийме вигляд:
(4)
Р=Е{_ р 0 + Ц,
де иг =
матриця випадкових відхилень.
Нехай відомі значення стохастичних факторів екс-плораторної факторної моделі для (Я + р - 1) моментів часу (Л - «поточних» моментів часу і р - попередніх, включаючи деякий «нульовий» момент часу) [4].
Необхідно побудувати оцінку матриці коефіцієнтів авторегресійної моделі (4) так, щоб мінімізувати сумарну квадратичну похибку, але при цьому значення
факторів повинні бути ортогональними. Припустимо, що існують значення факторів для моментів часу: {-р + 1; -р + 2; ..., -1; 0; 1; 2; ... £ ...,; М\. Позначимо матриці
— = 3-р = 3 N - р ■
Тоді завдання оцінювання може бути сформульована в такий спосіб: знайти 0 так, щоб мінімізувати
/г{(— - Е_ р 0)т (— - Н-р 0)} за умови, що FTF = 1 або
(Н- 0)т Н- 0 = I■ Тобто, знайти в класі ортогональних оцінок такі, які мінімізували б функцію втрат. Для цього складемо матричну функцію Лагранжа:
Ш = <т{(— -3 - р 0)т (— - 3-р 0)} + гг{Л((3-р 0)т 3-р 0 -1)}.
ё = НІР-Е-_0/ (Р-Е_р©)} +
(5)
|( Р -Е-р 0)т Е_, +Е_ р Е_ р 0Л = 0; [ (Е_р0)т Е_р0-1 = 0.
(6)
ЯМБРЕ = 100,
1
■ЕЕ
МАРЕ = — ЕЕ п • р І і
X, і - X,
(9)
де п - число змінних; p - число кроків прогнозу; xt і -значення змінної часового ряду; Х( і - прогнозне значення змінної.
Оцінку точності прогнозу може бути зроблено відповідно до табл. 1 [6].
Таблиця 1
Оцінка точності прогнозу
МАРЕ, РМБРЕ Точність прогнозу
Менше 10% Висока
10% - 20% Добра
20% - 40% Задовільна
40% - 50% Погана
Більше 50% Незадовільна
+ іг{Л((Е-р0) Е-р0-1)}.
Обчислюючи похідні функції Лагранжа, прихо ди-мо до системи рівнянь
Розв'язком системи (6) будуть такьіі оцінки ко е фі-цієнтів авторегресії:
0 = (Е-р Е-р )-1Ет рР (Рт Е-р (Ет р Е-р )-1Ет рР Г2.
(7)
Отримані оцінки дозволяють на підставі моделі (1) і значень факторів у попередні моменти часу зробити прогноз динаміки факторів. Використовуючи рівняння (2) можна оцінити майбутні величини безрозмірних, стандартизованих значень змінних. Перехід до величини економічного показника в натуральних одиницях виміру здійснюється за допомогою виразу
х, = X, + /,Б, (8)
де xt - величина тренда вектора змінних у момент часу £ /, - оцінка вектора значень стохастичних факторів,
одержувана з виразу (3) з використанням оцінки (7);
5 - діагональна матриця величин середньоквадра-тичних відхилень змінних.
Для оцінки параметрів моделі й побудови прогнозу були взяті квартальні статистичні дані Державної служби статистики України [5]. Візьмемо такі показники: ВВП, споживання домогосподарств, експорт, імпорт, доходи населення, безробіття за період з 2004 р. по 2011 р.
На першому етапі визначимо порядок авторегресії р, для чого скористаємося критеріями для перевірки точності прогнозу: показником середньоквадратичної похибки у відсотках від фактичних значень (ИМБРЕ) і середньою абсолютною похибкою у відсотках (МАРЕ) [6]:
Для різних значень порядку авторегресії були обчислені розрахункові значення показників на р + 2 останні спостереження у вибірці (оцінку параметрів моделі було здійснено по вибірці, зменшеної на це число). Оскільки критерії ИМБРЕ і МАРЕ віддали переваги різним величинам р, то було обчислене середнє значення цих двох критеріїв (табл. 2).
Таблиця 2 Значення критеріїв точності прогнозу
Порядок авторегресії 1 2 3 4 5 6
ШБРЕ 7,922 7,703 8,614 8,402 9,301 12,404
МАРЕ 4,891 4,125 4,140 3,879 4,387 5,862
Середнє 6,407 5,914 6,377 6,141 6,844 9,133
З табл. 2 видно, що аж до п’ятого порядку авторегресії прогнози є досить високими, але ИМБРЕ має найменше значення при р = 2, а МАРЕ - при р = 4. Середнє значення критеріїв говорить по те, що кращий прогноз досягається при другому порядку авторегресії. Починаючи з 7-го порядку авторегресії, значення критеріїв різко погіршуються.
Прогноз шести макроекономічних показників економіки України наведений у табл. 3.
Таблиця 3
Прогноз шести макроекономічних показників економіки України
Період часу ВВП, млн грн Споживання ДГ, млн грн н р г н л г р о п спк ш н р г н л г ,тр о п л Дохід населення, млн грн Безробіття, тис. осіб
II кв. 2012 р. 365946 235644 212508 218666 270509 2207
III кв. 2012 р. 368120 242334 226830 232452 272291 2380
(10) Таким чином, валовий внутрішній продукт у тре-
тьому кварталі 2012 р. у порівнянні з другим кварталом
ЕКОНОМІКА ЕК0Н0МІК0-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
зросте на 0,59%; споживання домашніх господарств - на 2,84%; експорт зросте на 6,73%, імпорт - на 6,31%. Доходи населення також зростуть, і приріст складе 0,67%. Однак збережуться негативні тенденції в зайнятості населення, число безробітних за третій квартал збільшиться на 173 тис. осіб, що складе 7,84%.
ВИСНОВКИ
Проведені дослідження показали ефективність застосування моделі багатовимірного часового ряду з довільним порядком авторегресії для прогнозування реальних економічних процесів. Авторегресійний процес визначається лаговими залежностями між стоха-стичними факторами. Для визначення порядку авторе-гресії можна скористатися критеріями якості прогнозу ИМБРЕ і МАРЕ. Факторна авторегресійна модель дозволяє зробити короткостроковий прогноз значень макро-економічних показників. ■
ЛІТЕРАТУРА
1. Жихарев В. Н. Новый эконометрический метод «ЖОК» оценки результатов взаимовлияний факторов в инже-
нерном менеджменте / В. Н. Жихарев, В. Г. Кольцов, А. И. Орлов.- В сб.: Проблемы технологии, управления и экономики / Под общей редакцией канд. экон. наук. Панкова В. А. Ч. 1. Краматорск : Донбасская государственная машиностроительная академия, 1999.- С. 87 - 89.
2. Моделі і методи соціально-економічного прогнозування: Підручник / Геєць В. М., Клебанова Т. С., Черняк О. І. та ін.- Х. : ВД «ІНЖЕК», 2008.- 396 с.
3. Хохлов В. В. Прогнозирование финансового состояния предприятия на основе многомерного факторного анализа временных рядов / В. В.Хохлов, Е. И.Пискун // Бизнес Информ.- 2009.- № 2(1).- С. 82 - 87.
4. Хохлов В. В. Оценка значений факторов экономических процессов / В. В. Хохлов // Материалы Всеукра-инской научно-практической конференции, Севастополь, 3 - 6 сентября 2009 г.- Севастополь : Изд-во СевНТУ, 2009. -С. 82 - 85.
5. Державна служба статистики України: Основні показники соціально-економічного розвитку України з 2004 по 2011 рр. [Електронний ресурс].- Режим доступу : Ьіїїр:// www.ukrstat.gov.ua
6. Черняк О. І. Динамічна економетрика : Навчальний посібник / О. І. Черняк, А. В. Ставицький.- К. : КВІЦ, 2000.- 120 с.
