Модель минимизации издержек в системах управления запасами Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Д-р техн. наук О. А. Косоруков О. А. Свиридова

МОДЕЛЬ МИНИМИЗАЦИИ ИЗДЕРЖЕК В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

В статье описана математическая модель оптимизации для дискретного случая в условиях детерминированного спроса и неопределенности времени поставок.

Ключевые слова: системы управления запасами, минимизация издержек, неопределенность, оптимизационная модель.

Любое предприятие заинтересовано в том, чтобы выстроить долгосрочные и выгодные отношения с заказчиками, четко и в срок выполнять принятые на себя обязательства, повышать сервис клиентов, при этом снижая логистические затраты. От того, насколько рационально осуществляется управление складами, процессами снабжения, отгрузки продукции, зависит бесперебойное функционирование производства и удовлетворение запросов клиентов. Важным элементом решения проблемы снижения издержек управления запасами являются математические модели, обеспечивающие планирование и оптимизацию поставок.

Провести анализ одновременно всех параметров, влияющих на размер издержек, в рамках одной модели крайне затруднительно. В нашем исследовании в качестве управляющего фактора было выбрано время назначения поставки, оптимизация которого позволяет достичь значения параметров системы управления запасами, близких к оптимальным. Это в свою очередь позволяет снизить издержки, высвободить связанный в излишних запасах капитал и при этом обеспечить бесперебойность производственного или торгового процесса, что в конечном итоге приводит к повышению рентабельности предприятия.

Практически каждая компания сталкивалась с проблемой появления нежелательных издержек, возникающих вследствие непрофессионального выполнения своих обязанностей поставщиками. Отбор надежных поставщиков - отдельная и довольно сложная задача, но даже надежные поставщики не застрахованы на сто процентов от срывов или несвоевременного выполнения поставок. Поэтому нами были поставлены задачи минимизации издержек, связанных с неопределенностями спроса и времени поставок в системах управления запасами. При этом необходимо преобразование входной информации, включающей в себя данные о продажах и историю поставок товаров поставщиком, в опти-

мальный оперативный план закупок товара с учетом оговоренных неопределенностей.

Задачи построения моделей оптимального управления запасами в условиях неопределенности неоднократно ставились в работах авторов учебников по моделированию логистических процессов, а также в диссертациях по экономико-математическому моделированию.

В частности, в работе Г. Л. Бродецкого1 описана модель оптимального управления запасами в условиях неопределенности для предприятий мясоперерабатывающей отрасли, где в рамках представленной модели принято, что и годовое потребление товара, и цена его реализации неизвестны. В отличие от классических постановок здесь рассматривается задача максимизации прибыли, а не минимизации общих суммарных годовых издержек.

Модели управления запасами с учетом временной стоимости денег подробно описаны в учебном пособии «Управление запасами»2.

В работе профессора А. А. Смехова3 впервые рассматривается модель доставки грузов «точно в срок», минимизирующая потери, обусловленные отклонением фактической величины времени доставки от договорной. Для оценки возможной задержки в доставке грузов используется теория надежности. Это позволяет рассмотреть задержку материального потока в каждом отдельном звене логистической цепи как отказ и оценить вероятность безотказной работы всей цепи. Несмотря на то, что в работе приведены аналитические зависимости для определения параметров доставки «точно в срок», их практическое использование не получило пока широкого распространения. Среди возможных причин - трудность формализации и аналитического описания некоторых составляющих модели, а также отсутствие параметров расчета.

А. Е. Фараонов4 разработал комплекс экономико-математических моделей эффективного взаимодействия объектов иерархической структуры многоуровневой торговой компании в процессе управления запасами, позволяющий оптимизировать финансовые потоки системы. А Д. Н. Кузнецов5 разработал математическую модель управления многономенклатурными запасами в условиях случайного спроса на этапах оперативно-календарного планирования, которая учитывает различные

1 См.: Бродецкий Г. Л. Модель оптимального управления запасами в условиях неопределенности // Логистика и управление цепями поставок. - 2008. - № 4 (27).

2 См.: Бродецкий Г. Л. Управление запасами : учебное пособие. - М. : Эксмо, 2007.

3 См.: Смехов А. А. Основы транспортной логистики : учебник для вузов. - М. : Транспорт, 1995.

4 См.: Фараонов А. Е. Экономико-математическое моделирование финансовых потоков при решении задач управления запасами : дис. ... канд. экон. наук. - СПб., 2006.

5 См.: Кузнецов Д. Н. Оптимизация затрат в системе управления запасами торгового предприятия в краткосрочной перспективе : дис. ... канд. экон. наук. - Тамбов, 2007.

условия поставок, закупочные цены, сроки доставки, стоимость хранения, штрафы за предполагаемый дефицит, ограничения на суммы заказа и т. д. Кроме того, им был предложен метод оптимизации затрат с использованием модели, а также алгоритм решения задачи управления запасами с помощью усеченного лексиграфического перебора для нахождения оптимального плана закупок.

Предлагаемая экономическая многопродуктовая вероятностная модель на основе получаемой от компании информации о выполнении поставок за определенный период в прошлом позволяет скорректировать момент назначения следующей поставки. Критерием оптимизации при этом будет служить минимум среднеожидаемых совокупных издержек. В состав общих издержек входят, во-первых, затраты, связанные с хранением продукции, а во-вторых, убытки, которые несет компания вследствие неполного удовлетворения спроса из-за несвоевременного подвоза продукции.

С одной стороны, возможные излишки вследствие раннего подвоза товара приводят к дополнительным издержкам на хранение и обслуживание, а также к потерям из-за неполной реализации товара (в частности, к потерям при ликвидации остатков запаса). С другой стороны, возможный дефицит обусловливает либо упущенную выгоду, либо риск потери клиентов, как настоящих, так и потенциальных. Кроме того, это и издержки упущенных возможностей, возникающие по причине замораживания в запасах капитала, который мог бы быть размещен в других сферах деловой активности и принести прибыль.

Для того чтобы рассмотреть поведение затрат, необходимо ввести и описать параметры решаемой задачи.

Итак, нам необходимо определить время поставки £* исходя из неопределенности времени поставок. Сделаем допущение, что объем партии товара является фиксированной величиной и равен Q. Момент обнуления товара на складе обозначим через £А, а момент реальной поставки - через и*. Величина £д характеризует время задержки или преждевременного подвоза товара. Следовательно, с учетом неопределенности поставок реальный момент поставки равен

£а* = + £д .

В условиях рассматриваемой задачи будем интерпретировать неопределенность спроса через время, за которое распродается товар в объеме Q. I(£А - £А ) - функция издержек, связанных с хранением избыточного товара в объеме Q после поставки £ А на интервале времени до момента реального обнуления товара £А > £*А в случае, когда поставка товара осуществлялась в более ранний срок.

Схематично поведение функции издержек хранения в линейном случае показано на рис. 1.

ДО

Рис. 1. Функция издержек хранения (линейный случай)

t

- 1А) - функция издержек при неполном удовлетворении спроса, связанных с дефицитом товара на промежутке от момента реального обнуления товара < {*А и до момента поставки ^А в объеме Q.

Схематично поведение издержек при неполном удовлетворении спроса показана на рис. 2.

D(t)

Рис. 2. Функция издержек дефицита (линейный случай)

t

Таким образом, издержки хранения составят:

-1:)={»•t*ь t: >t*,

I», t: < t:

где с = const - суточная стоимость хранения единицы продукции.

А издержки дефицита составят:

' б

D(tA - tA ) ='

•z • (tA- tA X tA > tA

X \ A A si A A

0, tA < tA

где z = const - прибыль от продажи единицы продукции;

X - интенсивность спроса, т. е. время, за которое распродается товар в объеме Q.

Таким образом, множитель Q представляет собой суточный объем продаваемого товара.

Рассмотрим дискретный случай с неопределенностью времени поставок и несколькими продуктами.

Предположим, что компания занимается реализацией m видов товаров. При этом Qj - количество товара j в предполагаемой поставке, Cj - стоимость хранения товара j, Zj - прибыль от продажи единицы товара j, Xj - величина спроса на товар j в единицу времени, j = 1, ..., m. Так как мы рассматриваем задачу с неопределенностью времени поставки и известным спросом, то мы можем сделать допущение, что момент обнуления товара j на складе известен и равен tQj .

Итак, мы имеем:

* / * \ ~

tQi = (t + tA i) - реальный момент поставки;

t* - искомый момент назначения следующей поставки;

t&j - срок опоздания или преждевременной поставки.

Рассмотрим время отклонения срока поставки как дискретную случайную величину. Предположим, что исходя из статистических наблюдений нам известны n значений случайной величины t&, а также частоты тг, с которыми принимаются эти значения. Тогда можно рассчитать вероятности значений случайной величины, характеризующей отклонение поставки от назначенного времени по формуле

т.

p, = , г = 1 n.

Z Тг

i

Издержки для каждого случая опоздания или преждевременной поставки будут равны:

I (tQ - tQг ) =

Z Q • cj • (tQ - 4 X tQ > tQi

j=i ,

a tQ1 < Q

D (tQ , - tj) =

z

Qi

1 x i

(tQ - tQ),

* 7

t > t1

lQi ^ lQ

* у

t < t1

Qi lQ

z

0

а математические ожидания издержек M(I) и M(D) составят:

m (i) = • pi,

i= 1

m(D) = Хд. • Pi.

i=1

Тогда математическую модель поставленной задачи можно описать следующим образом:

M(I) + M(D) ^ min,

t* е Z +,

i = 1,..., m.

Пример. Компания предоставила информацию о выполнении поставок за 6 месяцев для трех видов товаров: А, В и С. Поставки в ней осуществлялись каждую неделю

Информация о задержках товара и преждевременных поставках собрана в табл. 1, при этом на основании статистики мы определили, что товар не может прийти раньше, чем на 3 дня, и не может задержаться больше, чем на 4 дня. Таким образом, нам известны 8 (i = 8) значений случайной величины t&.

Т а б л и ц а 1 Статистика по отклонениям в сроках привоза

Индекс значения i Преждевременный привоз/опоздание t&, дни Частота Ti Вероятность значения р.

1 -3 0 0,00

2 -2 1 0,04

3 -1 1 0,04

4 0 1 0,04

5 1 5 0,21

6 2 6 0,25

7 3 6 0,25

8 4 4 0,17

В табл. 2 собраны предполагаемые к поставке объемы товаров, стоимости хранения и прибыли от реализации, а также величины дневных спросов для трех видов товаров: А, В и С.

Т а б л и ц а 2

Исходные данные по товарам

Наименование А В С Всего

j = 1 j = 2 j = 3

Количество товара 700 900 1000 2600

Стоимость хранения с, 1 1 1

Прибыль от продажи 2 5 6

Величина спроса X,- 4 5 7

Для нахождения оптимального момента назначения поставки воспользуемся оптимизационной надстройкой Excel Поиск решения, задавая в качестве изменяемых ячеек t* (табл. 3).

Т а б л и ц а 3

Модель оптимизации времени поставки с использованием статистики

«л Вер. t * «о I(1) D(1) I(2) D(2) I(3) D(3)

Раньше -3 0,00 1 2100 0 3600 0 6000 0

Раньше -2 0,04 2 1400 0 2700 0 5000 0

Раньше -1 0,04 3 700 0 1800 0 4000 0

Вовремя 0 0,04 4 0 0 900 0 3000 0

Позже 1 0,21 5 0 350 0 0 2000 0

Позже 2 0,25 6 0 700 0 900 1000 0

Позже 3 0,25 7 0 1050 0 1800 0 0

Позже 4 0,17 8 0 1400 0 2700 0 857,1429

Сумма Д 4200 3500 9000 5400 21000 857,1429 M(I) + M(D)

2 87,5 743,75 225 1125 1166,7 142,8571 3490,774

t* to1 to2 t 3 to

4 4 5 7

Таким образом, момент назначения поставки I* = 4 мы определяем в процессе решения задачи минимизации совокупных издержек.

Для проверки эффективности данного подхода построим оптимизационную модель назначения дня поставки без использования стати-

стики отклонений поставок от назначенного срока и найдем минимальные затраты (табл. 4).

Т а б л и ц а 4

Модель оптимизации времени поставки без использования статистики

t^ г * Ю /(1) 0(1) /(2) 0(2) /(3) 0(3) Суммарные затраты

0 5 0 350 0 0 2000 0 2350

г* г,1 « 2 гО « 3 «О

5 4 5 7

Оптимальный момент (* = 5, найденный во второй модели в табл. 4, подставим в первую модель и определим минимальные средние ожидаемые издержки (табл. 5).

Т а б л и ц а 5

Расчет ожидаемых издержек для г* = 5

«Л Вер. * * О 1(1) 0(1) 7(2) 0(2) 7(3) 0(3)

Раньше -3 0,00 2 1400 0 2700 0 5000 0

Раньше -2 0,04 3 700 0 1800 0 4000 0

Раньше -1 0,04 4 0 0 900 0 3000 0

Вовремя 0 0,04 5 0 350 0 0 2000 0

Позже 1 0,21 6 0 700 0 900 1000 0

Позже 2 0,25 7 0 1050 0 1800 0 0

Позже 3 0,25 8 0 1400 0 2700 0 857,1429

Позже 4 0,17 9 0 1750 0 3600 0 1714,286

Сумма Д 2100 5250 5400 9000 15000 2571,429 М(7) + М(О)

2 29,167 1064,6 112,5 1913 583,33 500 4202,083

г* «О «о2 г 3 гО

5 4 5 7

Таким образом, в данном примере эффект экономии составит А = 4202,08 - 3490,77 = 711,31 у. е., что составляет 20,38%.

Схематично эффект экономии изображен на рис. 3.

В заключение стоит сказать, что в данной статье рассматривается только дискретная модель, а в качестве неопределенности выступает только неопределенность времени поставок.

Рис. 3. Зависимость издержек от дня поставки

В настоящее время изучается также непрерывная модель и ставится более сложная задача, где рассматриваются обе неопределенности: неопределенность спроса и неопределенность времени поставок.

Список литературы

1. Бродецкий Г. Л. Модель оптимального управления запасами в условиях неопределенности // Логистика и управление цепями поставок. - 2008. - № 4 (27).

2. Бродецкий Г. Л. Управление запасами : учебное пособие. - М. : Эксмо, 2007.

3. Модели и методы теории логистики : учебное пособие. -2-е изд. / под ред. В. С. Лукинского. - СПб. : Питер, 2007.

4. Смехов А. А. Основы транспортной логистики : учебник для вузов. - М. : Транспорт, 1995.