Стохастическая непрерывная модель управления запасами Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ

Д-р техн. наук О. А. Косоруков О. А. Свиридова

СТОХАСТИЧЕСКАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Статья посвящена актуальному сегодня подходу к оптимизации систем управления запасами, основанному на минимизации издержек с учетом неопределенности. В ней описана математическая модель оптимизации для непрерывного случая в условиях детерминированного спроса и неопределенности времени поставок.

Ключевые слова и словосочетания: системы управления запасами, минимизация издержек, неопределенность, оптимизационная модель.

В настоящее время под процессом управления запасами понимается сложный комплекс мероприятий, направленный на обеспечение бесперебойного процесса производства и реализации продукции при минимизации текущих затрат на обслуживание запасов.

Для успешного функционирования бизнеса каждая компания стремится снижать издержки. Логистические издержки являются одними из ключевых, их снижению уделяется все большее внимание. Затраты, связанные с запасами, представляют собой главную составляющую часть издержек на логистику.

Очевидно, что финансовые средства, вложенные в запасы, отвлекаются от других направлений инвестиций компании. Затраты, связанные с обслуживанием запаса, отрывают финансовые ресурсы от иных видов деятельности. Экономия на запасах, таким образом, существенно отражается на общих результатах бизнеса. Идеальным было бы состояние отсутствия товарных запасов при полном обеспечении процесса функционирования компании. Однако в реальных условиях часто возникает неопределенность, связанная с неточностью или неполнотой информации о спросе, поставках, временных задержках заказанных товаров, порче продукции и других параметрах логистической системы, что требует поиска эффективного механизма управления запасами в условиях неопределенности различного характера.

Для задач с априорной неопределенностью в современной литературе по управлению запасами встречаются такие подходы, как теория нечетких множеств, сценарное моделирование, а также подход, основанный на концепции «неизвестных, но ограниченных» (неизвестный спрос принадлежит заданному множеству).

С развитием вычислительной техники для решения задач управления запасами получил распространение метод имитационного моделирования. Появился ряд публикаций, посвященных использованию данного метода при исследовании и оптимизации складских систем.

В. В. Домбровский и Е. В. Чаусова для расчета основных параметров, формирующих политику управления запасами в системах с неполной информацией о спросе, предлагают использовать методы интервального анализа1. При этом рассматривается однономенклатурная система управления запасами с непрерывным контролем за их уровнем, интервально заданной интенсивностью спроса и мгновенными поставками (интервальное обобщение модели Уилсона), а также поставками, поступающими с некоторой конечной интенсивностью (интервальное обобщение модели со штрафом). В результате были получены аналитические выражения интервальных величин предельного запаса, точки и объема заказа, а также найдены выражения для соответствующего интервала затрат.

Вместе с тем в литературе не встречается подробных исследований аналитических зависимостей стохастических моделей, особенно для непрерывных случаев. Поэтому авторами была поставлена задача отыскания момента назначения доставки заказа, при котором минимизируются издержки управления запасами для непрерывного случая в условиях неопределенности.

Рассмотрим стохастическую статическую модель с неопределенностью времени выполнения заказа как основного фактора возникновения издержек управления запасами торговой компании. Хорошо спланированные и исполняемые процессы цепей поставок могут уменьшить, но не ликвидируют полностью неопределенности времени на выполнение нового заказа. Аналогичные неопределенности, связанные с качеством продукции, комплектацией заказов, порчей продукции и т. д., могут быть в значительной степени сокращены эффективным управлением.

Спрос в рассматриваемой модели детерминирован. Детерминированность спроса можно объяснить действием закона больших чисел, когда совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Так, например, для магазина продовольственных товаров или торговой компании, как в нашем исследовании, спрос может быть спрогнозирован с достаточной для практики точностью.

Предположим, что из статистических данных нам известен момент окончания товара а в объеме Реальный приход товара обозначим через х. Так как в нашей модели допускается возможность задержки или преждевременного подвоза заказа, то

х = г * +Лг,

где г* - момент назначения подвоза заказа;

Дг - случайная величина.

В нашем исследовании для описания случайной величины Дг мы будем использовать нормальное распределение (рисунок). Функция затрат, отражающая эффективность принятой стратегии управления запасами, в нашем исследовании учитывает следующие издержки: расходы на хранение; издерж-

1 См.: Домбровский В. В., Чаусова Е. В. Применение интервальных методов в управлении запасами // Вычислительные технологии. - 2002. - Т. 7. - № 2.

ки дефицита (в данном случае это упущенная выгода), пропорциональные времени отсутствия требуемого количества товара на складе.

р(х)

Рис. Распределение случайной величины х

Издержки хранения товара в объеме Q после поставки на интервале времени до момента реального обнуления товара а в случае, когда поставка товара пришлась на более ранний срок x (x < а), составят:

I = c ■ Q ■ (а - x),

где с = const - суточная стоимость хранения единицы продукции.

В противном случае при неполном удовлетворении спроса в случае x > а возникают издержки дефицита товара на промежутке от момента реального обнуления товара а и до момента поставки x в объеме Q:

Q

D = — ■ z ■ (x - а), а

где z = const - прибыль от продажи единицы продукции.

— представляет собой суточный объем продаваемого товара. а

Общие издержки равны

I + D =

Q ■ c ■ (а - x), а > x;

Q ( ) ^

— z ■ (x - а), x > а. а

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее математическое ожидание.

В описываемой модели с непрерывной случайной величиной Дг, характеризующей отклонение от срока поставки, имеющей закон распределения р(Дг), математическое ожидание суммарных издержек примет следующий вид:

а—?* 0

^(г*) = \ с ■ 0 • (а — г * —Дг)р(Дг)йДг + ■ г • (г * +Дг — а)р(Дг)^Дг . (1)

—го а—г* а

Поставленная авторами задача управления запасами состоит в отыскании такого момента назначения поставки г*, при котором математическое ожидание суммарных затрат будет минимальным.

Рассмотрим первое слагаемое выражения (1):

а—t* а—t* а—t*

F1(t*)= J с• Q-(а—t* —At)p(At)dAt = Jс• Q• а• p(At)dAt — Jс• Q• t*-p(At)dAt —

—TO —CO —TO

а—t* а—t* а—t* а—t*

— J с • Q •At • p(At)dAt = с • Q • а • J p(At)dAt — с • Q • t *• J p(At)dAt — с • Q • J At • p(At)dAt,

1а 1Ь 1с

а—г*

^ (г *)= с • б • а ф(а — г *)—с • б • г * ф(а—г *) — с • б • | Аг • р(Аг)(Аг,

где ф(а — г *) - функция Лапласа. Рассмотрим интеграл 1с.

Применяя интегрирование по частям и учитывая, что Аг = и, (Аг = (и, (V = р(Аг)(Аг, V = |р(Аг)(Аг, |ШУ = ПУ — |УйП, получим

а—г*

1с = с • б • | Аг • р(Аг)(Аг = с • б •

а—t* а—t*

At • J p(At )dAt — J (J p(At )dAt )dAt

= с • Q •

—TOt* At • J p(At )dAt — J (J p(At )dAt )dAt

= с • Q (а — t *) • ф(а — t *) —

— с • Q •" Jф(At)dAt.

Тогда первое слагаемое выражения (1) примет следующий вид:

а—г*

^(г *) = с • б-а ф(а—г *)—с • б • г *ф(а—г *) —с • б •(а—г *)-ф(а—г *) + с • б- 1 ф(Аг )(А. Рассмотрим второе слагаемое выражения (1):

ТО б М б » б

^(г *) = | - • г •(г *+Аг—а)р(Аг)(Аг = | - • г • г *р(Аг)(Аг + | - • г •Аг • р(Аг)(Аг—

а—г* а а—г* а а—г* а

IIb

TO Q

— J — • г • а • p(At)dAt,

а—t* а

Q Q то Q

F2 (t г • г *•(!—ф(а—t *))+—• г • J At • p(Ai)dAt——• г •(l — ф(а—t *)).

f *

2"

а

Рассмотрим интеграл IIb.

Применяя интегрирование по частям и учитывая, что At = U, dAt = dU, dV = p(At)dAt, У = Jp(At)dAt, JUdV = UV — JVdU, получим

ff TO TO TO I \

IIb = —• г • ( J At • p(At)dAt = At • J p(At)dAt — J |J p(At)dAt IdAt) =

а а—t* а—t* а—t* ^ у

Q Г TO _

= —• г • 1 — ф(а — t *)— J ф^^

а L а—t* _

а

а

а—t*

Второе слагаемое примет следующий вид:

F2 (г *) = — • г • г *(1 -Ф(а-г *))+—

-—• г а (1 -ф( а-г*)). а

• / •

(1-( а-г*)-Ф( а-г*))- /Ф(Лг

а-г*

Тогда общий интеграл будет иметь вид:

F (г *) = ^ (г *) + (г *) = с • — • а • ф(а - г *)- с • — • г * ф( а - г *)-

а-г*

- с • — •(а-г *)• Ф(а-г *) + с • — • | ф(Лг )ёЛг +

(1 -(а-г*)-Ф(а-г*))- ¡Ф(Лг)^Лг

+ — • г • г * (1 -Ф(а-г *)) + — • г • а а

- — • г а (1 -Ф(а-г *)). а

Преобразовав выражение, получим:

F (г *) = с • — -"/Ф (Лг )^Лг + — • г • г *+—• г - — • г • ?Ф(Лг )йЛг - — • г • а.

-го а а а а-г* а

Для отыскания минимума ожидаемых издержек возьмем производную

F '(г *) = с • — • (-Ф(а- г *)) + — • г + — • г (-Ф(а- г *))

а а

и, приравнивая ее к нулю, найдем момент г*:

-/ г

г* = а-Ф ,

'„с ^а + г,

Таким образом, описанная модель позволяет получить ответ на вопрос, на какой день назначать доставку новой партии товара определенного количества при известном спросе, чтобы добиться минимума среднеожидаемых общих издержек.

Список литературы

а

а

1. Свиридова О. А. Детерминированная и стохастическая модели минимизации издержек в системах управления запасами // Логистика. - 2011. -№ 4 (57).

2. Тихомиров Н. П. Методы оценки эффективности инвестиционных проектов в реальном секторе экономики в условиях неопределенности исходной информации // Вестник Российской экономической академии имени Г. В. Плеханова. - 2011. - № 6 (42).