CC BY
549
УДК 517+33
МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ Л.С. Дедешина, Дальрыбвтуз, Владивосток
В настоящее время, как в России, так и в других странах наблюдается смещение приоритетов с технических наук на экономические и гуманитарные. Оба наших соотечественника - В.В. Леонтьев и Л.В. Канторович - получили Нобелевские премии за применение математики в экономике. «Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)» и «Математический анализ» выделены в государственных образовательных стандартах по экономических специальностям в отдельные математические дисциплины.
Многоотраслевое хозяйство требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль является, с одной стороны, производителем одного определенного набора видов продукции, а с другой - потребителем другого набора видов продукции. Возникает сложная задача: согласовать объем производства каждой из отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукте каждой отрасли. Эта задача может быть сформулирована в виде экономико-математической модели межотраслевого баланса (модели Леонтьева), основанного на использовании аппарата матричной алгебры. Эту модель разработал экономист, русский по происхождению, закончивший Ленинградский госуниверситет и эмигрировавший в 1931 г. в США, Василий Леонтьев. За цикл этих работ он в 1971 г., получил Нобелевскую премию.
Для составления упрощенной модели рассмотрим для определенности производственную сферу из п отраслей, каждая из которых производит один (свой) продукт. Допустим, что в определенный период времени, например год, в течение которого все коэффициенты не изменяются.
Пусть х, - общий (валовой) выпуск /'-ой отрасли, <г( >СГ, /= 1,2,
Хц - объем продукции /-ой отрасли, поставляемой для \-ой отрасли в процессе производства;
у, - конечный спрос на продукцию /'-ой отрасли ^0_ Сюда относятся личное потребление населения, содержание государственных и общественных институтов, чистый экспорт, производственное накопление и т.д., тогда балансовые соотношения примут вид
Х — X1 X 2 у,
х2= Х2Т+ Х22+ ■■■ + Х2П+У 2,
1*п=*п1+ Хп2+ ■■■ + Хпп+Уп
Введем коэффициенты прямых затрат а„ = — > 0, /, / = 1,2,п ,
х,
показывающие затраты /'-ой отрасли на выпуск одной единицы продукции для у-ой отрасли. Заменив в системе (1) х^ =аііхі получим систему п линейных уравнений с п переменными
Х1 _ а11Х1 а12Х2 ^ а1пХп+УЬ
Х2= Э21Х1+ Э22Х2+ ■■■ + Э2пХп+ У 2,
(2)
1Хп = ап1Х1 + ап2 Х2+ ■■■+ ЭппХп+ Уп ■
Или в матричной форме
Х = АХ + У,
(3)
где X - матрица (вектор) выпусков отраслей; А - матрица прямых затрат; У - матрица (вектор) конечного спроса.
Равенство (3) можно записать так:
€-А~2х = У.
Матрица £-А^ невырождена (можно доказать, исходя из экономических соображений), следовательно, она имеет обратную матрицу £ - А. Тогда решение системы (2) имеет вид
Х= С-/О1 - У .
(4)
Матрица 3=£-/\^1 называется матрицей полных затрат. Ее элементы (коэффициенты) имеют четкий экономический смысл.
Зададим конечный спрос, например, в виде вектора У,
Ґ1\
О
О
т.е. нужно
обеспечить конечный спрос на одну единицу продукции 1-ой отрасли. Матрица (вектор) выпусков отраслей будет иметь вид
ґ у \ Ґ 9 9
Х1 Б11 Б12
\лп; ЧБп1 Бп2
с Л Ґл\ /с Б1п 1 Б11
Бпп) ЧО/ ІАі
/'Б- ^ Б21
Б
О
Следовательно, каждый элемент 5(1, / = 1,2,..., п матрицы полных затрат Б есть выпуск продукции каждой из отраслей для обеспечения конечного спроса на продукцию 1-ой отрасли.
Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска Х , который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта У .
Пример. В таблице приведены данные по балансу между двумя отраслями за некоторый период. Найти необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление 1-ой отрасли увеличить в два раза.
Отрасль Потребление Конечны й продукт Валовой продукт
1 2
Производство 1 х11 = 11 х12 = 12 У, = 77 х21 = 21
2 Х21 = 21 х22 = 22 У2 =157 х2 = 200
Решение. Запишем матрицу прямых затрат
А =
Ґ311 Э12^
Г 0,11 О,О0Л
0,21 О,11
заметим, что матрица А
продуктивна, так как ее элементы положительны и сумма элементов в каждом столбце меньше единицы.
а
а
Ч“21
Найдем матрицу полных затрат Б = £
^ ^ р 0"| Г 0,89 -0,06Л
^ [о 1) [-0,21 0,89, '
Найдем обратную матрицу полученной £ -
1 (0,89 0,06^1 (1,14 0,08^
1=-
О,7795
О,21 О,89
О,27 1,14
По условию вектор конечного продукта должен равняться
(154^|
,157;
У =
Найдем вектор валового выпуска
(1,14 0,08^1 Г154Л Г188,12^1
Х=€~А^,1 - У :
О,27 1,14
057,
22О,56
Следовательно, валовой выпуск в 1-ой отрасли необходимо увеличить на 88,12 уел. ед. <88,12 — 100^, а во второй отрасли на 20,56 уел. ед. ^20,56 - 200 .
Межотраслевые поставки найдем по формуле х^ = а^х;. Так,
хи =0,11-188,12 = 20,69; X! 2 =0,06-220,56 = 13,23 ;
х21 =0,21-188,12 = 39,50;
х22 = 0,11 ■ 220,56 = 24,26 ,
т.е. получим следующие данные по балансу между двумя отраслями на следующий период в усл. ед.
Отрасль Потребление Конечны й продукт Валовой продукт
1 2
Производст во 1 х11 = 20,69 Х12 = 13,23 У1 = 154 Х1 = 188,12
2 х21 = 39,50 Х22 = 24,26 У2 = 157 Х2 = 220,56
Библиографический список
1. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1998.
2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Алгебра. М.: Наука, 1999.
3. Малутин В.А. Линейная алгебра. М.: ЭКСМО, 2006.
