CC BY
40
АСТРОНОМИЯ
УДК 524.3/.4—32 Л. П. Осипков
МОДЕЛЬ КОРОНЫ СФЕРИЧЕСКОГО ЗВЕЗДНОГО СКОПЛЕНИЯ*
Посвящается
Ирине Владимировне Петровской (1938-1999) по случаю 70-летия со дня ее рождения
1. Введение
Многие авторы указывали на принципиальное различие между внутренними и наружными частями звездных систем. К. Ф. Огородников [1-3] подчеркивал, что во внутренних областях можно ввести «макроскопический элемент объема» и, следовательно, возможно их гидродинамическое описание. Наружные же слои звездных систем (корона) являются существенно дискретными. Говорить о распределении числа звезд короны в обычном или фазовом пространстве можно только в статистическом смысле. Согласно К. Ф. Огородникову, если пренебречь диссипацией звезд, то корона является адиабатической оболочкой для основного тела звездных систем.
Р. Вулли и Д. Робертсон [4] и С. фон Хорнер [5] обращали внимание на то, что во внутренних частях звездных скоплений время релаксации существенно меньше, чем на периферии, и в них успевает установиться распределение скоростей, близкое к максвелловскому. Строение же бесстолкновительной короны определяется гравитационным воздействием ядра. Ранее О. Хекман и Г. Зидентопф [6] обсуждали модель скопления в виде изотермического ядра, погруженного в шар с законом плотности Шустера— Пламмера.
Простую динамическую модель короны предложил К. Ф. Огородников [7] и развивал дальше И. Тальпер [8]. Ранее сходную модель предложили Р. Вулли и Д. Робертсон [4]. Подробное исследование модели содержится также в [9]. В этой модели короны рассматривалась сферически симметричная система. Предполагалось, что корона состоит только из «баллистических» звезд, вылетевших из основного тела и затем возвращающихся в него. Принималось, что распределение скоростей звезд на границе основного
* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-4929.2006.2).
© Л. П. Осипков, 2008
тела является максвелловским. В модели определялся закон плотности в короне, который, как оказалось, согласуется с результатами звездных подсчетов П. Н. Холопова для нескольких скоплений.
И. В. Петровская [10-11] рассмотрела противоположный случай. Основываясь на исследовании Т. А.Агекяна [12], она предположила, что в центре скопления образуется квазистационарное ядро небольших размеров, из которого по радиальным орбитам вылетают звезды. Распределение радиальных скоростей звезд на поверхности ядра предполагалось максвелловским. Был найден ход плотности в модели, причем учитывалась самогравитация короны. Сопоставление с ходом плотности в ряде скоплений и карликовых галактик показало хорошее согласие теории и наблюдений [11, 13]. Можно ожидать, что в ходе эволюции размер ядра увеличивается и является функцией возраста. На этом основании И. В. Петровская предложила динамический метод определения возраста столкновительных сферических систем по ходу их плотности. Этим методом был оценен возраст ряда скоплений [14, 15].
Следует думать, однако, что вряд ли у звезд короны совершенно отсутствуют транс-версальные скорости. В ядре скопления с первоначально чисто радиальными движениями трансверсальные скорости звезд появятся как вследствие «неустойчивости радиальных орбит» [16], так и в результате действия иррегулярных сил [12]. Вылетая в корону, звезды с ненулевым орбитальным моментом будут двигаться уже не по прямолинейным орбитам. Поэтому кажется желательным обобщение модели И. В. Петровской с тем, чтобы учесть малую, но конечную дисперсию трансверсальных скоростей.
В данной статье рассматривается более общая модель короны сферического скопления. Для полного решения задачи требуется знать, какое фазовое распределение устанавливается в результате действия иррегулярных сил в основном теле системы. Последняя задача лежит вне рамок настоящего исследования. Она рассматривалась многими исследователями, но, по мнению автора, еще далека от удовлетворительного решения. Шаги к нему были сделаны И. В. Петровской [17].
Предположим (как и авторы предшествующих работ [4, 7, 8, 10]), что корона является бесстолкновительной, а звезды двигаются в короне по регулярным «баллистическим» орбитам. Т. А. Агекян и М. А. Белозерова [18] обратили внимание на то, что в результате сближений со звездами галактического поля (так называемый «механизм Росселанда») часть звезд короны будет переходить с « баллистических» орбит на «спутниковые». Масса и размер короны будут увеличиваться, а масса ядра — уменьшаться. Более подробное изучение этого процесса, приводящего, вероятно, к образованию так называемых движущихся скоплений, должно составить предмет специального исследования (см. [19]).
Заметим также, что формально сходным является исследование динамики галактики в окрестности «черной дыры», моделируемой точечной массой в центре системы [20].
2. Метод Эддингтона
Сначала найдем выражение для плотности короны, следуя методу А. С. Эддингтона [21], изложенному в книгах [2, 22]. Ранее этим методом пользовался К. Ф. Огородников [7].
Рассмотрим стационарную сферически симметричную систему. Пусть г — сферический радиус, V?, v^ —радиальная и поперечная компоненты скорости звезды, Ш(г) — гравитационный потенциал. Орбита звезды определяется значениями интегралов энергии и углового момента, которые запишем, соответственно, в следующем виде:
X =2Ш(г) - V"?. - V2 , £ = r2v‘t (1)
(т. е. у — удвоенное значение удельной энергии звезды, взятое с обратным знаком, а £ — квадрат удельного орбитального момента).
Радиус основного тела системы обозначим через г, радиальную и поперечную компоненты скорости звезды на сфере г = г будем обозначать через 0Г, 0г. Пусть — плотность скопления, у>(г, 0Г, 0г) —функция распределения скоростей на границе основного тела. Тогда
— математическое ожидание числа звезд на границе основного тела со значениями вектора скорости, попадающими в область Г С 5 полуплоскости скоростей
Предположим, что корона состоит из «баллистических» звезд, вылетевших из основного тела и через некоторое время возвращающихся в него (в силу предположения о стационарности). Найдем плотность короны ^(г), г > г. Для звезд, влетевших в корону из основного тела,
Соотношения (1) и (3) позволяют установить связь между значениями компонент скорости на поверхности основного тела V?, Vt и на произвольном расстоянии от центра г:
Величины V?, 0(, г можно рассматривать как начальные условия при определении орбиты звезды.
Зафиксируем некоторые значения V?, и рассмотрим поток звезд, для которых
скорости на поверхности основного тела V?, Vt близки к V?, о£, т. е. (ог, 0() € Г', Г' С 5 — малая область объема 7 = шевГ' вокруг (о?, о£). В соответствии с (2) число звезд потока, вылетающих за единицу времени в корону, равно
Если эту величину умножить на промежуток времени Т, в течение которого звезды потока успеют описать дугу своей траектории и вернуться в основное тело, то получим полное число звезд потока. Из него доля
(где уг определяется согласно (4)) будет находиться внутри тонкого сферического слоя толщины Дг на расстоянии г от центра. Множитель 2 учитывает то обстоятельство, что каждая звезда пересекает слой дважды: один раз — удаляясь, а другой раз — приближаясь к основному телу. Таким образом, для получения искомой плотности и(г) мы должны, во-первых, просуммировать произведение величин (5) и (6) по всем потокам,
(2)
Я — |(0Г, Ог) : 0Г Є (-^, +^) А Ог Є [0, +^)| .
у — 2ЭД - о? - о? , £ — г2о?.
(3)
У — (г/г)Ог, уг — ±{о2 + 0?[1 - (г/г)2] - 2[Ш(г) - Ш(г)]}1/2 . (4)
или же
4пг2 • щ • у>(г, о'г, о£) • 2по'го[ • 7 + 0(7).
(5)
(6)
т. е. проинтегрировать по возможным значениям начальных скоростей V?, во-вторых,
поделить на объем слоя, равный 4пг2Дг + о(Дг). В пределе Дг ^ 0 находим, что
^(г) = 2^0(г/г)2 / 0r ■ ^(г, 0r, а4) ■ IV?|-1 ■ 2п0^d0^d0r , (7)
•/г(?}
где Г(г) —множество таких начальных скоростей V?, й(, с которыми звезды достигают расстояние г от центра.
Чтобы определить Г(г), будем рассуждать следующим образом. Очевидно, что расстояние г от центра достигнут только те из звезд, вылетевших с поверхности основного тела, для которых апоцентры орбит не меньше г. В апоцентре радиальная скорость V? обращается в нуль, т. е. согласно (4)
V2 + а2[1 - (г/г)2] - 2[Ш(г) - Ш(г)] = 0.
Для того чтобы апоцентр был больше г, точка (V?, й() должна быть снаружи от эллипса на полуплоскости 5, задаваемого этим равенством. Кроме того, надо учесть, что в корону попадают лишь звезды с V? > 0. Введем область
г*(г) = {(в?, И() : V? > 0 Л 02 + а2[1 - (г/г)2] - 2[Ш(г) - Ш(г)] > 0}
— множество начальных скоростей, с которыми звезда долетает до сферы радиуса г.
Для того чтобы построить теперь область Г, необходимо прежде всего наложить условие ограниченности орбит р < 0. Реальные неавтономные звездные системы являются ограниченными некоторым радиусом ге, за которым движение звезд определяется внешним по отношению к системе гравитационным полем [5, 23, 24]. Для скоплений, движущихся в Галактике по круговым орбитам, радиусом является радиус критической поверхности Хилла. Из условия, что апоцентр звезд короны меньше радиуса системы, получаем неравенство
+ в?[1 - (г/ге)2] - 2[Я(г) - Я(ге)] < 0.
В частности, если ге ^ то, то это неравенство сводится к условию р < 0. Введем область Ге = {(а?, ^) : V? > 0 Л а2 + а2[1 - (гДе)2] - 2[Ш(г) - Ш(гв)] > 0} .
Теперь можем записать, что
Г(г) = Г* (г) П Ге . (8)
Аналогично соотношению (7) можно найти выражения для дисперсий скоростей и а2. Ниже они будут получены другим способом. Функция распределения скоростей на границе основного тела не может быть произвольной. Необходимо, чтобы она была совместима с предположением о стационарности.
Для построения самосогласованной модели короны необходимо подставить выражения (7), (8) в уравнение Пуассона и решать получающееся при этом неоднородное дифференциальное уравнение с граничными условиями при г = г и г = ге.
3. Диаграмма Велтманна
Обсудим другой способ построения модели короны, который позволяет более естественно связать функции распределения в короне и внутри основного тела. Рассмотрим плоскость интегралов движения (1), являющихся в силу теоремы Джинса— Шивешваркара (см. [2, 6]) единственными аргументами стационарной сферически симметричной фазовой плотности. Данный аналог известной диаграммы Линдблада будем
называть диаграммой Велтманна, поскольку, по-видимому, именно Ю.-И. К. Велтманн [25] первым использовал ее для построения моделей сферических скоплений. Свойства диаграммы Велтманна исследованы в [26, 27].
Обозначим через
V = {(р,£) : р > 0 А £ > 0}
первый квадрант на плоскости интегралов движения р, £. На данном расстоянии г от центра системы могут находиться звезды только с такими значениями интегралов, что соответствующая точка (р, £) попадает на диаграмме Велтманна внутрь прямоугольного треугольника Д(г) С V, ограниченного осями р, £ и прямой [(г), уравнение которой записывается в виде
р = X* (£,г) = 2Я(г) - £/г2 ,
или
£ = £*(р,г) = [2Ш(г) - р] г2 .
Обозначим
А = иге[^е]Д(г).
Ясно, что в корону могут попасть только такие звезды, для которых (р, £) € А. Функция распределения звезд короны, которую обозначим Ф(р, £), является сужением функции распределения системы на область А. Поскольку она предполагается известной, построенные модели короны скопления будут относиться к дедуктивным моделям звездных систем, по терминологии Г. Г. Кузмина и Ю.-И. К. Велтманна [28]. Очевидно, что
Ф(р,£) = ^ (£1/2г-1/2, ± [Х*(£,г) - р]1/2) .
Если основное тело системы стационарно, то зависимость в этом выражении от г и двузначность пропадают.
Стандартные рассуждения показывают, что плотность короны можно представить как
* Г
г2 ■' у/Х*(£,г)-т у >
Д(?}\Д(ге} У
Перепишем (9) в развернутом виде:
Нг) = -иі + Л], (10)
г
где
ГУ Г2 ф(р,£) ^£
Л = йр
Уе •'О [£*(р г) — £] /
л=Г*г
[£*(р, г) - £]1/2 '
Здесь у = 2Ш(г), Уе = 2Ш(Ге), 5 = £*(р, г), Ее = £*(р, Ге), а хе = (уеГ2 - уг2)/(г2 - г2) —
абсцисса точки пересечения прямых [(г) и [(ге). Выражения (7) и (10) эквивалентны. Для модели короны неограниченной протяженности соотношение (10) упрощается. В этом случае
^ п Г У Г3 Ф(р,£) й£
1у(г) = - йр ---------------------(И)
Уо [£*(р, г) — £]
а
Для дисперсий скоростей а2, а2 получаем, что в случае неограниченной короны
4. Сферическое распределение скоростей
Сначала рассмотрим простейший случай, когда распределение скоростей на границе основного тела является сферическим, Ф = 0(р). Будем считать, что размер короны бесконечен. Тогда из (11), (12) получаем, что
Рассмотрим примеры. В случае усеченного максвелловского распределения скоростей 0(р) = 0о ехр(к2р). Тогда согласно (14), (15)
цией 7 является следствием усеченности распределения скоростей.
Будем пренебрегать самогравитацией короны. Очевидно, что тогда у ж г-1. По-
и Ж. Пети [20]. Находим также, что (в отличие от изотермического шара с неусеченным максвелловским распределением) дисперсия скоростей меняется с расстоянием, причем на периферии ст^ = 0(г-1). В общем случае пропорциональность дисперсии скоростей на периферии потенциалу была ранее доказана автором [29]. Как известно, для изотермического шара с максвелловским распределением скоростей V = 0(г-2), а усечение по скоростям дает более быстрое падение плотности (хотя и недостаточное для конечности полной массы модели). Кажущееся противоречие объясняется тем, что наша модель не является самогравитирующей. По-видимому, сделанное предположение допустимо на умеренных расстояниях от центра, когда притяжение короны еще много меньше притяжения основного тела, а внешние воздействия на систему пренебрежимы.
Теперь рассмотрим модель А. Кинга [30], полученную в результате приближенного решения диффузионного уравнения, описывающего столкновительную эволюцию системы. Для нее функция распределения 0(р) = 0о [ехр(к2р) — 1]. В этом случае
(12)
и
(13)
(14)
(15)
^(г) = -р-^о7(3/2, к2у) ехр(к2у), 2п
= ^^07(5/2. к2 у) ехР(к2у),
где 7(а, ж) = ^ е На 1 Л — неполная гамма-функция. Появление сомножителя с функ-
лучаем, что на периферии короны V = 0(г 3/2), в согласии с результатом Д. Бинни
"1 2
и = 2?г^0 р'е&2у'Т(3/2, к2у) - -у3/2
а
Оказывается, что плотность короны на этот раз убывает быстрее, v(r) = 0(г 5/2).
Рассмотрим еще модель с ф = фо р5/2 ехр(к2р). Данное выражение является сферическим изотропным аналогом фазовой модели Галактики, предложенной Л.Переком [31]. Находим, что плотность короны выражается через вырожденную гипергеометри-ческую функцию:
V = 2пф0 В(3/2, 7/2) к2ек2уу41^1(3/2;5; к2у).
При пренебрежении самогравитацией короны на больших расстояниях от центра V = 0(г-4), т. е. полная масса короны оказывается конечной даже в этом приближении.
Таким образом, получается, что чем менее резким является усечение функции распределения на энергии отрыва, тем быстрее убывает плотность. Конкретный вид функции распределения оказывается при этом мало существенным*. Если вблизи энергии отрыва ф(р) = 0(рк), то плотность на периферии V = 0(г-к-3/2).
5. Корона с чисто радиальными орбитами
Рассмотрим случай, когда поверхность основного тела достигают только звезды, движущиеся по прямолинейным траекториям. Тогда Ф = ф(р)£(£). Из (11) получаем, что
п Гу(г) -1/2
^ = 2^ У '*/’(?)'#• (16)
Для дисперсии скоростей находим, что согласно (12)
/■у (г)
[у(г) - Т}1/2 Ф(Т) ^ ■ (17)
Если распределение радиальных скоростей на границе короны является усеченным максвелловским (модель И. В. Петровской [10]), т. е. ф(р) = фо ехр(к2р), то оказывается, что
"(г) = ^~2'7<у1/2’ к<2У) ехР(^) •
В соответствии с (17)
^ ехР(^) •
Пренебрегая самогравитацией короны, находим, что в этом случае v(r) = 0(г-5/2), т. е. плотность короны убывает быстрее, чем при сферическом распределении скоростей.
Для произвольной функции распределения получаем из (16), что при ф(р) = 0(рк) плотность принимает вид V = 0(г-к-5/2).
6. Модель с эллипсоидальным распределением скоростей
Теперь исследуем более общую модель, в которой распределение звездных скоростей является эллипсоидальным. В качестве одного из аргументов функции распределения вместо интеграла энергии р целесообразно ввести величину q = р — А£, где А > 0 (для неограниченных моделей) — параметр, характеризующий анизотропию распределения скоростей, при А —> оо получаются модели с радиальными орбитами. Величину 1/л/Х иногда называют «радиусом анизотропии». В развернутом виде q = у — V? — (1 + Аг2) «|.
* Автор обязан В. А. Антонову за это замечание.
Предположим, что функция распределения Ф^,£) = 0 при ц <0. Вместо (11) в статье автора [27] было получено следующее соотношение:
у 5*
па Г I' Ф
(18)
00
Здесь £* = а2(у — q), а а2 = г2/(1 + Аг2). Дисперсии скоростей определяются из формул
у 5*
г'ег2 = [г1с\ /(£* -01/2Ф^> (19)
аг2
00
у 5*
^ = £/*/<&■ <»>
00
При А = 0 введенная величина а = г, и эти формулы переходят в соотношения (12), (13).
В частном случае эллипсоидального распределения скоростей, Ф^,£) = ф^), получаем из (18)—(20), что
2па2 г у
V = —- (у- я)1/2ф(я) , (21)
г0
г/сг2 = ^(1 + Аг2)сг2 = у^^(у- Я)3/2Ф(Я) с?Я -
Сначала рассмотрим модель с усеченным шварцшильдовским распределением, кратко описанную в [2], ф^) = ф0 ехр(к^). Тогда
2пф0 _к2у.уо/о ;2
к2(1 + Аг2)
ек у 7(3/2, к2у).
г/ = 27тф0 В ( п + ^ ) ^ту"+3/2
Поэтому при А = 0 получаем, что V = О(г-7/2), падение плотности оказывается более быстрым, чем при сферическом распределении скоростей. Последний вывод остается справедливым и при учете самогравитации короны.
В качестве второго примера рассмотрим функцию ф = фоq” (так называемые обобщенно-политропные модели первого рода). В частности, Г. Г. Кузмин и Ю. И.-К. Велтманн [28] нашли, что при п = 3/2 и некотором значении А такая функция распределения соответствует закону плотности Шустера—Пламмера. Получаем из (21), что тогда
1 3\ а?
2’ 2/ г2 ;
При пренебрежении самогравитацией находим (при А = 0) асимптотику плотности
V = О(г-”-7/2). В частности, при п = 3/2 плотность V ж г-5, как и в модели Шустера— Пламмера. Очевидно, что и в общем случае если при малых q функция распределения ф = О^”), то V = О(г-”-7/2).
7. Заключительные замечания
Число возможных вариантов зависимости функции распределения от интегралов движения и число примеров можно без труда умножить. В настоящее время выбрать
из них более предпочтительные по физическим соображениям не представляется возможным. Причины этого были указаны выше. Для начала можно, например, ограничиться моделью со шварцшильдовским распределением или обобщенно-политропными моделями с эллипсоидальным распределением скоростей. Ход плотности в этих моделях, спроектированный на картинную плоскость, можно сравнивать с наблюдательными данными. При этом следует ограничиться умеренно периферийными областями скоплений, для которых допустимо пренебрежение самогравитацией, а также внешними воздействиями. Ввиду нечеткости понятия «граница основного тела» скопления все теоретические кривые следует нормировать на наблюдаемое значение спроектированной плотности на некотором расстоянии от центра. Сравнение с наблюдениями позволит найти наиболее подходящее значение параметра анизотропии распределения скоростей. Таким образом, по ходу плотности в короне скопления в принципе можно получить информацию о состоянии его внутренних областей. Такой же в сущности подход ранее предложили Т. А. Агекян и И. В. Петровская [32], однако они основывались на более частной модели с дисперсиями скоростей, постоянными внутри всего скопления (см. [13, 33, 34]).
Автор благодарен В. А. Антонову за чрезвычайно ценные замечания.
Литература
1. Огородников К. Ф. О принципиальной возможности обоснования статистической механики звездных систем // Астрон. ж. 1957. Т. 34, №6. С. 809-819.
2. Огородников К. Ф. Динамика звездных систем. М.: Физматгиз, 1958. 628 с.
3. Огородников К. Ф. [Выступление в дискуссии] // Бюлл. Абастуманск. астрофиз. обсерв. 1965. Вып. 33. С. 45-46.
4. Woolley R. v. d. R., Robertson D. A. Studies in the equilibrium of globular clusters (II) // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 1956. Vol. 116, N3. P. 288-295.
5. Hoerner S. von. The internal structure of globular clusters // Astrophys. J. 1957. Vol. 125, N2. P. 451-469.
6. Heckmann O., Siedentopf H. Zur Dynamik kugelformiger Sternhaufen // Zeitschr. Astrophys. 1930. Bd 1, H. 2. S. 67-97.
7. Огородников К. Ф. Об условиях существования корон у звездных систем, обладающих сферической симметрией // Астрон. журн. 1967. Т. 44, №2. С. 390-395.
8. Talpaert Y. Structure des amas a symetrie spherique den la phase de relaxation // Bull. Classe Sci. Acad. Roy. Belgique. 1972. T. 58, N 2. P. 229-244.
9. Davoust E. Fonctions de phase dans les systemes stellaires a symetrie spherique. Diplome d’etudes approfondies. Besancon, 1974. 98 p.
10. Петровская И. В. Строение сферической звездной системы с квазистационарным ядром // Астрон. журн. 1965. Т. 42, №3. С. 572-580.
11. Петровская И. В. О массах звезд в шаровом скоплении M3// Труды Астрон. обсерв. Ленингр. ун-та. 1967. Т. 24. С. 113-116.
12. Агекян Т. А. Сферические системы звезд и галактик на ранних стадиях эволюции // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон. 1964. Вып. 1. C. 152-161.
13. Petrovskaya I. V. About the structure of spherical galaxies and of clusters of galaxies // Acta cosmologica. 1974. Z. 2. P. 87-96.
14. Петровская И. В. О возможности определения возраста шаровых скоплений динамическим методом // Астрофизика. 1965. Т. 1, №4. С. 437-453.
15. Петровская И. В., Эйгенсон А. М. Динамические возрасты шаровых скоплений // Труды Астрон. обсерв. Ленингр. ун-та. 1984. Т. 39. С. 93-101.
16. Антонов В. А. О неустойчивости стационарных сферических моделей с чисто радиальными движениями // Динамика галактик и звездных скоплений. Алма-Ата: Наука, 1973. С. 139-143.
17. Петровская И. В. Вероятность сближения при заданных изменениях интегралов орбит в трехмерной гравитирующей системе // Астрон. журн. 1998. Т. 75, №4. С. 939-944.
18. Агекян Т. А., Белозерова М. А. Диссипация звездных скоплений, образование корон и движущихся скоплений // Астрон. журн. 1979. Т. 56, №1. С. 9-15.
19. Осипков Л. П. Эволюция движущихся скоплений в регулярном поле Галактики // Звездные агрегаты. Свердловск: Изд-во Уральск. ун-та, 1980. С. 114-121.
20. Binney J., Petit J. M. Models of galactic nuclei // Dynamics of dense stellar systems. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. P. 43-55.
21. Eddington A. S. The dynamics of a globular stellar system // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 1913. Vol. 74, N1. P. 5-16.
22. Smart W. M. Stellar dynamics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1938. 434 p.
23. Bottlinger K. F. Die hellen Sterne und die Rotation der Milchstrafie // Veroff. Univer-sitatssternwarte Berlin—Babelsberg. 1931. Bd 8, H. 5. S. 1-42.
24. Нежинский Е. М. О размерах и устойчивости корон галактик // Астрон. журн. 1975. Т. 52, №5. С. 1007-1010.
25. Велтманн Ю.-И. К. Обобщение модели Шустера сферической звездной системы // Труды Астрофиз. ин-та АН КазССР. 1965. Т. 5. С. 57-66.
26. Велтманн Ю.-И. К. О фазовой плотности обобщенных моделей Шустера. III // Публ. Тартуск. астрофиз. обсерв. им. В. Струве. 1966. Т. 35. С. 344-355.
27. Осипков Л. П. Некоторые вопросы теории самосогласованных моделей звездных скоплений // Звездные скопления. Свердловск: изд. Уральск. ун-та, 1979. С. 72-89.
28. Кузмин Г. Г., Велтманн Ю.-И. К. Гидродинамические модели сферических звездных систем // Публ. Тартуск. астрофиз. обсерв. им. В. Струве. 1967. Т. 36. С. 5-50.
29. Осипков Л. П. О поведении дисперсии радиальных скоростей на периферии сферических систем гравитирующих тел // Астрофизика. 1978. Т. 14, №1. С. 79-89.
30. King I. The structure of star clusters. II. Steady-state velocity distribution // Astron. J. 1965. V. 70, N5. P. 376-383.
31. Perek L. A dynamical model of the Galaxy // Bull. Astron. inst. Czechoslovakia. 1966. Vol. 17, N6. P. 393-341.
32. Агекян Т. А., Петровская И. В. О распределении плотности в сферических скоплениях звезд и галактик // Труды Астрон. обсерв. Ленингр. ун-та. 1962. Т. 19. С. 187-201.
33. Ашуров А. Е., Нуритдинов С. Н. К взаимосвязи распределения скоростей в скоплениях галактик с их структурой // Проблемы физики и динамики звездных систем. Ташкент: изд. Ташкентск. ун-та, 1989. С. 13-14.
34. Ashurov A., Nuritdinov S. Finding out the velocity anisotropy parameter for some globular clusters: the case of stationary model // Dynamics of star clusters and the Milky Way. San Francisco: Astron. Soc. Pacific, 2004. P. 371-373.
Статья поступила в редакцию 13 ноября 2007 г.
