CC BY
22
АСТРОНОМИЯ
УДК 524.3/.4-32
Л. П. Осипков, Цзян Чженлу1
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ГАЛАКТИК С ЦЕНТРАЛЬНЫМ ПИКОМ ПЛОТНОСТИ МЕТОДОМ ЭКВИПОТЕНЦИАЛЕЙ*
1. Введение. Наблюдения последнего времени, в частности, результаты, полученные космическим телескопом «Хаббл», показывают, что многие галактики характеризуются центральным пиком плотности [1]. Вблизи центра галактик плотность д(г) ж г 1, причем 7 > 0 принимает значения до 2 [2-4]. В ряде работ (например, [5-7]) строились динамические модели галактик с учетом пика плотности, а также центральной черной дыры.
В данной статье исследуется возможность моделирования центральных пиков плотности методом эквипотенциалей [8-11]. Этот метод, получивший распространение в последние годы, обладает следующими достоинствами. Во-первых, если известны гравитационный потенциал и его градиент, то численные расчеты орбит выполняются более точно и эффективно. Это имеет значение, в частности, при нахождении фазовой плотности таких моделей методом Шварцшильда [12]. Во-вторых, можно найти, как меняется плотность вдоль эквипотенциальных поверхностей, что, как известно, необходимо для аналитического построения стационарной функции распределения как функции интегралов движения (например, [13]). Недостатком же метода является то, что заранее неизвестна физическая корректность моделей, а именно, положительность плотности.
2. Метод эквипотенциалей. Напомним кратко основные соотношения, используемые при моделировании галактик методом эквипотенциалей. Будем предполагать, что распределение масс в галактике обладает ротационной и зеркальной симметрией. Обозначим через Ф(Д,г) гравитационный потенциал, Д, г — цилиндрические барицентрические координаты. Полагаем
Ф(Д,г) = Фо¥>(0, (1)
1Университет им. Сунь Ятсена, Гуанчжоу, КНР.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ГФЕН КНР (грант №04-02-39026/ 19271121), а также РФФИ (грант № 04-02-17447) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-1078.2003.02).
© Л. П. Осипков, Цзян Чженлу, 2007
где
С2 = f (ет Z), ет = R/Ro, Z = z/Ro.
Здесь Фо, До — масштабные параметры, ет, £ — безразмерные координаты, у>(£) —безразмерный закон изменения потенциала, /(ет, £) —безразмерная функция, постоянная на эквипотенциальных поверхностях. Естественно выбрать эквипотенциали таким образом, что
Из уравнения Пуассона получаем для безразмерной плотности V = — Д<^> следующее выражение:
Здесь F(r, А) = f (r sin A, r cos А), а производные по r, А обозначены индексами внизу.
3. Эквипотенциали вблизи центра. Моделируя галактики методом эквипо-тенциалей, функцию F (r, А) следует задать из дополнительных соображений, например, руководствуясь аналогиями с уже известными моделями. Простейшими являются модели со сфероидальными эквипотенциалями [14-16]. Они, однако, обладают следующими недостатками. Во-первых, невозможны сильно сплюснутые модели со сфероидальными эквипотенциалями. Во-вторых, как известно, не существует неограниченных моделей со сфероидальными эквипотенциалями и всюду положительной плотностью. Эти недостатки не препятствуют, однако, локальному использованию сфероидальных эквипотенциалей.
Предполагая, что эквипотенциальные поверхности являются алгебраическими и интересуясь ходом плотности вблизи центра (r ^ 0), мы можем без потери общности положить
является сферической. В случае С = —1 приходим к модели бесконечного кругового цилиндра, а в пределе С ^ получаем систему плоско-параллельных слоев. Тогда
f (ет, 0) = ет2 .
Введем безразмерную обобщенную круговую частоту w(£) соотношением
^2(0 = -2у/(0 , ' = d/d(C2).
(2)
(3)
v(ro, Z) = Рі(ет, ZV2(£) + 2Р2(ет, Z) (^2(С))' ,
(4)
где
(5)
В безразмерных полярных координатах r, А
w = r sin A, Z = r cos A, A G [0, n],
формулы (4) можно записать в следующем виде:
(6)
(7)
F (r, А) = г2 1 + C соs А
(8)
Подставляя выражение (8) в формулы (6), (7), находим, что
Р = 3 + С, Р2 = г2
1 + С(2 + С) со я Л . (9)
4. Пики плотности. Предположим, что вблизи центра системы, т. е. для малых £ функция у>(£) может быть представлена рядом Лорана:
¥>(0 = —г + со + С1£ + с2£2 + ... . (10)
4
Поскольку у>(£) —безразмерный гравитационный потенциал, главная часть ряда (10) может содержать только первое слагаемое. Без потери общности положим далее со = 0. Исследуем вклад в ход плотности старших (отличных от нуля) членов разложения (10).
Пусть с_1 = 0. Из (3) находим, что ^2 = с_1£_2 + ..., а тогда с_1 > 0. Подставим у>_1 = с_1/£ в уравнение Пуассона (3). Получаем, что вблизи центра плотность v_l = —Д^_1 имеет следующий вид:
1
V-! = с_1П_1,
где п_1 = Р1 — 3Р2/£3. Отсюда сразу следует, что V = 0(г_3). Подставляя выражения (9) для Р1, Р2, находим, что
, ч 1 + С(2 + С) соя2 Л , ч
п-^-З + С-З 1 + с,С082л +•••• (П)
Здесь и далее многоточием отмечены малые вблизи центра выражения, появляющиеся из-за отличия г от £.
Для сферических моделей (С = 0), естественно, получаем, что п_1(Л) = 0 (функция у>_1 —потенциал точечной массы — является гармонической). В экваториальной плоскости £ = 0 имеем соя Л = 0, тогда п_1(п/2) = С + ... Следовательно, физический смысл имеет только случай С > 0 (эквипотенциали сплюснуты). На оси £, полагая в (11) соя2 Л =1, получаем, что
П-1(0) = 3 + С — 31 + С(2 + С7)+... = -2С7+...<0.
1+С
Таким образом, модель не является физически корректной: плотность пика на оси системы отрицательна.
Пусть теперь с_1 =0, С1 = 0. В качестве примера потенциалов с подобным ходом вблизи центра укажем на «предельную» сферическую модель Кузмина и Велтманна [17]. Находим, что ^2 = — (с1/2)£_1 + ..., т. е. С1 < 0. Обозначим у>1 = с1£ и найдем Vl = — Д^1. Получим, что
1
VI = -слпх-,
4
причем П1 = Р1 — Р2/£2. Если модель физически корректна, то «4 (Л) > 0 для всех Л.
В случае сфероидальных эквипотенциалей (8)
^ 1 + С(2 + С) соя2 Л , ,
"■(А) = 3 + С-------+■■ т
Для сферических моделей (С = 0) получаем пі = 2 + ... > 0. В экваториальной плоскости пі(п/2) = 2 + С + ... > 0, а на оси £ пик плотности пі(0) =2 > 0. Для произвольных Л выражение (12) можно переписать в следующем виде:
,,, „ „ sin2 А
ni(A) — 2 + С -------+ ... .
1 + C cos2 А
Итак, пх(А) > 0, т. е. пик плотности положителен.
Заметим, что если c_i = ci = 0, С2 = 0, то пика плотности нет. В случае эллипсоидальных эквипотенциалей центральная часть модели может быть аппроксимирована однородным эллипсоидом с конечной положительной плотностью.
5. Более общий случай. Пусть потенциал вблизи центра имеет следующий вид:
^а(£) = са£а , а G ( —1 1), а = 0 • (13)
Физический смысл имеют модели, для которых са < 0, если а > 0, и са > 0 для а < 0. Находим для плотности va = — Д^а, что
аса
Va = ~{р2 — а П(х ’
причем для физических моделей па должно быть положительным. Для сфероидальных эквипотенциалей (8)
/ Л Ч_1 ^ 1 + [(« - 2) + (а - 1)С] cos2 Л |
па(Х) — 1 + а + С----------- ---------------Ь • • • •
1 + C cos2 А
Отсюда следует, что для сферических систем (когда C = 0) па = 1 + а > 0. В экваториальной плоскости па = 1 + а + C + ..., следовательно, для положительности пика плотности необходимо, чтобы C > —1 — а, что заведомо выполнено, поскольку C G [—1, +го). На оси Z получаем, что
па(0) = (1 + а) — C(1 — а) + . .. ,
т. е. пик плотности положителен, если C < (1 + а)/(1 — а). Таким образом, для вытянутых моделей пик плотности на оси всегда положителен, но сильно сплюснутые модели оказываются невозможными.
Для произвольных А преобразуем выражение для па(А) к следующему виду:
sin2 Л (1-а)(1+C’)cos2A
MA) = l+a + Cl + Ccos2A-C-------------1 + Ccos2A----+ ....
Нетрудно убедиться, что найденное выше критическое значение C = (1 + а)/(1 — а) обеспечивает повсеместную неотрицательность пика плотности.
Интерес представляет отношение па(0)/па(п/2), характеризующее сплюснутость центрального пика плотности. Из приведенных выше формул получаем, что оно равно 1 — C (2 — а)/(1 + а + C).
6. Логарифмический потенциал. Если вблизи центра v ж r_2 (как в модели особого изотермического шара), то потенциал, как известно, становится логарифмическим. Подобным же образом изменяется вблизи центра потенциал и для так называемой
квазиизотермической модели [18]. Рассмотрим несферическое обобщение этой модели. Обозначим <р1 = —с; 1п £. Из условия > 0 находим, что с; > 0. Плотность
щ = -Aípi = ^т(Х),
где
2 C sin2 А 2C2 cos2 А
т(Х) = Р1-2Р^ =l+í + Ccos2X-í + Ccos2X + ---В экваториальной плоскости щ(тг/2) = 1 + С > 0. На £-оси щ(0) = 1 — 2С’2/(1 + С), откуда находим, что «изотермический» пик плотности положителен при С < (1+а/3)/2.
Для произвольных А найденное выше условие для критического значения C, имеющее вид 2C2 = 1 + C, уже обеспечивает физическую корректность модели.
7. Основные результаты. Мы рассмотрели несферические модели звездных систем, для которых плотность вблизи центра g(r) = O(r Y). Если y ^ 3, то моделировать такой ход плотности методом эквипотенциалей нельзя, и, по-видимому, подобное изменение плотности невозможно в рамках ньютоновской теории гравитации. Если Y £ (1, 3), то можно построить соответствующие модели с эквипотенциальными поверхностями, квадратичными вблизи центра, причем центральная сплюснутость моделей должна быть не слишком велика. Если Y = 2, то потенциал вблизи центра оказывается логарифмическим, в остальных случаях — степенным. Если y = 1, то сплюснутость эквипотенциальных поверхностей может быть произвольной.
Заметим, что в данной работе не рассматривались модели, у которых в экваториальной плоскости выделяется бесконечно тонкий диск (и для которых эквипотенциали в экваториальной плоскости нельзя считать квадратичными) (см. [2]).
Summary
L. P. Ossipkov, Jiang Zhenglu. Constructing galaxy models with a central density cusp by equipotential method.
Axisymmetric stellar systems with a central density cusp (g(r) = O(r-Y)) are studied. It is supposed that equipotential surfaces nearby the centre can be considered as ellipsoids. Restrictions on flatness of equipotential ellipsoids were found for 7 G (1, 3) from a condition that a density cusp must be positive. For 7 =1 a flatness can be arbitrary.
Литература
1. Bertin G. Dynamics of galaxies. Cambridge, 2000. 414 p.
2. Lauer T., Ajhar E. A., Byun Y.-I. et al. The centers of early-type galaxies with HST. I. An observational survey // Astron. J., 1995. Vol. 11O. P. 2622-2654.
3. Ravindranath S., Ho L. C., Filippenko A. V. Nuclear cusps and cores in early type galaxies as
relics of binary black hole mergers // Astrophys. J., 2001. Vol. 566. P. 801-808. 4. Genzel R., Schodel R., Ott T. et al. The stellar cusp around the supermassive black hole in the Galactic Center //
Astrophys. J., 2003. Vol. 594. P. 812-832.
5. Sridhar S., Touma J. Stellar dynamics around black holes // Mon. Not. Roy. Astron. Soc.,
1999. Vol. 303. P. 483-494.
6. Syer D., Zhao H. Density cusps: restrictions on non-axisymmetric models // Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 1998. Vol. 296. P. 407-413.
7. Baes M., Dejonghe H., Buyle P. The dynamical structure of isotropic spherical galaxies with a central black hole // Astron. Astrophys, 2005. Vol. 432. P. 411-422.
8. Кутузов С. А., Осипков Л. П. Модель крупномасштабного гравитационного поля галактик // Вестн. Ленингр. ун-та. 1981. №1. С. 99-105.
9. Кутузов С. А., Осипков Л. П. Роль эквипотенциалей и эквиденсит при моделировании галактик // Астрофизика, 1986. Т. 25. С. 545-558.
10. Ossipkov L., Binney J. Large-scale structure of our Galaxy: the dynamical view // Переменные звезды — ключ к пониманию строения и эволюции Галактики. Нижний Архыз, 2000. С. 219-229.
11. Jiang Z. Flattened Jaffe models for galaxies // Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 2000. Vol. 319. P. 235-247.
12. Schwarzschild M. A numerical model for triaxial stellar system in a dynamical equilibrium // Astrophys. J., 1979. Vol. 232. P. 236-247.
13. Binney J. J., Tremaine S. Galactic dynamics. Princeton, 1987. 733 p.
14. Осипков Л. П. О применимости третьего квадратичного интеграла к некоторым моделям распределения масс в звездных системах // Вестн. Ленингр. ун-та, 1975. №7. С. 151-158.
15. Richstone D. O. Scale-free axisymmetric galaxy models with little angular momentum // Astrophys. J., 1980. Vol. 238. P.103-108.
16. Evans N. W. The power-law galaxies // Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 1994. Vol. 267. P. 333360.
17. Кузмин Г. Г., Велтманн Ю.-И.К. Проекции плотности и обобщенно-изохронные модели сферических звездных систем // Публ. Тартуск. астрофиз. обсерв. им. В. Струве, 1972. Т. 40. С. 281-323.
18. Кузмин Г. Г., Велтманн Ю.-И. К., Теньес П. Квази-изотермические модели сферической системы. Применение к галактикам М 87 и M 105 // Публ. Тартуск. астрофиз. обсерв. им. В. Струве, 1986. Т. 51. С. 232-242.
Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.
