Асимптотика плотности неограниченных гравитирующих систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 524.3/.4-32

Л. П. Осипков, Цзян Чэ/сеилу

Вестник СГ16ГУ. Сер. 10, 2007, вып. 2

АСИМПТОТИКА ПЛОТНОСТИ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ГРАВИТИРУЮЩИХ СИСТЕМ **>

1. Модели гравитирующих систем. Такие реальные объекты как звездные скопления, галактики, а также скопления галактик обычно рассматриваются как сплошные гравитирующие среды, в которых распределение масс характеризуется функцией плотности £?(г), г 6 ®3 [1, 2]. Как известно, в эволюции систем гравитирующих тел проявляются две противоположные тенденции: к ограниченности, консолидации и к неограниченности, диссипации [1]. Консолидация проявляется в стремлении гравитационных систем принять форму соответствующей фигуры равновесия, в возможности гравитационного скучивания, образования «прочных» пар, в таких явлениях как джин-совская гравитационная неустойчивость, гравитермальная катастрофа Антонова и т. д. [2]. Диссипация состоит в том, что из-за отсутствия потенциального барьера на границах реальных звездных систем возможны и, как правило, неизбежны неограниченные движения, системы будут стремиться неограниченно расширяться, а их границы размываться.

В динамике звездных систем чаще всего приходится абсолютизировать одну из этих тенденций. Соответственно предлагавшиеся модели сплошных гравитирующих систем могут быть одного из следующих типов:

I. Модели конечной массы в ограниченном пространстве с почти всюду конечной плотностью. Такие модели могут использоваться для описания основного тела реальных галактик. Наиболее распространены однородные модели со скачком плотности до нуля у границы. Более естественными, как подчеркивал Г. М. Идлис [3], являются модели с плотностью, спадающей до нуля постепенно, так что на границе модели Г градиент плотности У£>|г = 0.

II. Модели пространственно неограниченные, но обладающие конечной полной массой. В качестве примера укажем на сферическую модель Шустера-Пламмера, для которой д(г) ос (1 + ''"2/го)_5//У, г — М • Такие модели отражают тенденцию реальных систем занять неограниченный объем.

III. Модели бесконечной массы в неограниченном пространстве. Важнейшим примером является изотермическая сфера - шар с максвелловским распределением скоростей в каждой точке. В такой модели на больших расстояниях от центра д ос г-2 [4]. На первый взгляд данная модель совершенно нереальна. Однако она соответствует экстраполяции процессов, реально происходящих в звездных системах: максвеллизации распределения скоростей в результате тесных сближений тел, составляющих систему, и неограниченного расширения.

IV. Ограниченные модели конечной массы, помещенные в оболочку или фон. Примером может служить модель И. Л. Генкина [5]. Такие модели до сих пор не получили распространения. Однако оболочка может моделировать галактический и мета-галактический фон, в который погружены реальные звездные скопления и галактики.

'' Университет им. Сунь Ятсена, Гуанчжоу, КНР.

*** Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Государственного фонда естественных наук КНР (совместный грант № 04-02-39026/19271121), Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-02-17447) и программы Президента РФ по поддержке ведущих научных школ России (грант Л'1 НШ 1078.2003.02).

© Л. П. Осипков, Цзян Чженлу, 2006

По современным представленням, в галактиках присутствует «гало темной материи», простирающееся далеко за пределы их светящейся части. Учет фона необходим при построении моделей таких систем.

Заметим, что приведенная классификация перекликается с построениями Я. П. Тер-лецкого [6], относящимися к термодинамике гравитирующих систем.

В настоящей статье рассматриваются ротационно-симметричные модели типа II. Исследуется асимптотика их плотности на больших расстояниях от центра, что необходимо для решения ряда задач динамики галактик. Пусть г = |г| - абсолютная величина барицентрического вектора г, углы в, А определяют его направление, а плотность

Исходя из выражения (1), В. И. Родионов [7] предложил следующую, более детальную классификацию Моделей типа II.

111. Коэффициент дь не зависит от в, А. Такую модель естественно назвать сферически симметричной в первом приближении.

112. Ни для каких (2, А коэффициент ди{0, А) не обращается в нуль. В этом смысле скорость убывания плотности одинакова для всех направлений.

ИЗ. Существует хотя бы одно направление (#о>Ао), для которого вь{9,о,Ао) = 0.

В этой статье будет исследовано выражение вида (1) для достаточно широкого класса самогравитирующих систем конечной массы и бесконечных размеров, обладающих ротационной и зеркальной симметрией, исходя из общего выражения для эквипотенциальных поверхностей. В качестве примеров рассмотрены эквипотенциальные поверхности, ранее предлагавшиеся Г. Г. Кузминым [8], Миямото и Нагаи [9], Сато [10].

2. Метод эквипотенциалей. Для изучения осесимметричных моделей гравитирующих систем будем пользоваться методом эквипотенциалей [11-13]. Пусть ш, £ -безразмерные цилиндрические координаты. Безразмерный гравитационный потенциал

причем £2 = /(ст, С) ~ уравнение эквипотенциальных поверхностей. Без потери общности можно положить, что /(си, 0) = ст2 . Безразмерная плотность д = — У2Ф записывается следующим образом:

(1)

ф(ст,0 = <Ж).

д(ш,() = Рі(ст,С)^2(£) + 2Р2(ет,0 —.

(2)

дъэ2 + П7 дти д(2

Перейдем от го, £ к полярным координатам г, А:

ти = г біпА, С = соє А, А Є [0, тс].

Обозначим

Тогда

F(r, А) = f(r sin А, г cos А).

1 ( . xdF\

+ -5-т—г Sin А — ,

г2 sin А \ ог )

і д ( 2dF\ 1 ~ г2 дт \г дг )

«-(fi +

aFV эх )

(4)

Здесь и далее подразумевается, что sin А ф 0, но в большинстве приводимых ниже формул оказывается возможным предельный переход А —> 0.

3. Потенциал и плотность на периферии модели. Предположим, что для достаточно больших г функцию F(r, А) можно записать в виде ряда

F(r, А) = F2 (А)г2 + Fi (А)г + Fo (А) +

F-i(A)

(5)

Функции Fj(А) будем предполагать дважды непрерывно дифференцируемыми. Наложим при этом естественное условие, что на периферии £ = 0(г). Если эквипотенциальные поверхности на периферии модели становятся сферически симметричными, то F2(A) = 1. Из равенств (3), (4) получаем, что

2Р\ = Со Н------1----— + • • • , (6)

г г-

АР-2 = d2r2 + dir + d0 + ... , (7)

причем

Со — 6F2 + F-2 + F-2 Ctg А , d.2 = 4F2 + F2” ,

c_! = 2Fi + F" + Fi ctg А, dj = 4F2Fi + 2F'Ft',

c_2 = F" + F¿ ctg А, d0 = F2 + 2ВД + Fj'2.

Соотношения (6), (7) согласуются с найденными в [11].

Предположим, что для больших значений £ функция ip(£) (потенциал модели) может быть записана в форме

,,ч «1 ( «2 , «з , , п

¥>(0 - у + ^2 + £3 + • • • > 0.1 фО.

Коэффициент й1 пропорционален массе системы. Из (8) сразу же находим, что

}du>2

'Д*

2 а-2 З03

“і + + •••

8а2 15аз Заі -I—-—I——Ь • • • ? s

(8)

(9)

Используя разложение (5), легко выразить £ £ 2, £ 3 через г, А:

1 °° 1 І °° 1

г=0

i=0

Г3 = -3^3

3/2

ОО 1

1>-Л

г—О

где

«О = Л) = 70 — 1 :

1 я

а"1="2^

а_2 = -

3 /Л

4 V -^2

_^Ь

^2

7-1 =

3 Р\

'2Й.....................

Подставляя эти ряды в (9), (10) и используя равенства (6), (7), сначала находим выражения

где

Х0 + Х,-+хД+ ...

йи>2 _ 1

Г0 + Г1-+У2\ +

Хо =ахСо , Х\ — а\С-\ -I- 2о2со^2 1

Х-2 — ЗазСо^2 1 + 2а2(с_1^2 ^ — Со-Л^ ^ ) + а!

-3/2ч

с_2

У о —Зо,\й2 , У\ — 3а1 ( (¿1 — ^2~рг \ 8а2£*2^2 '

2?!

У2 = 3й1 ^ с?о — — + (к

+ 4а2

2с?1 — Зс?;

Л

М“_£Ь ^ л -1/2

+ 15а3с/2К

-1

Подставляя эти равенства в формулу (2) для плотности, получим искомое разложение

03 (А) . в4 (А) £>5 (А)

в =

+

+

+ ... .

(П)

Здесь

вз

£>4

2 К

,3/2

(Хо - У0/2Г2),

2 К

1 [(X, - Ц/2Л) - ^(Л/Л)(Хо - У0/2Л)],

3/2

1 [ (Х2 - У2 /2^) - | (Л / Л) (Хх - Ух /2^) +

3/2

2 К

+ "1ё} (^о - >о/2РЬ)]

Приведем явное выражение для старшего коэффициента р3 в (11). Оказывается, что

0з(А) —

ai

2 F.

3/2

(12)

Из этих равенств вытекают следующие утверждения.

В общем случае, если справедливо разложение (5) с F2 (А) ^ const, плотность д = 0(г-3).

Если F2(A) = 1, то, как следует из (12), 0з(А) = 0 и плотность в общем случае д = 0(г~4). Тогда

04(A) = ai

Fi + iFÍ' + ^F'ctgA

2a2 •

(13)

Отсюда заключаем, что если F2(A) = l, Fi(A) = const ф 0, то 04(A) = const, т. е. модель является сферически симметричной в первом приближении.

Если F2(A) = 1, F(A) = 0 и а-2 = 0, то плотность д = 0(г~5). Примером является сферическая модель Шустера-Пламмера.

Предположим, что F2(A) = 1, а fi(A) разлагается в ряд Фурье:

кп

F\ (А) = — + /с2 cos 2А + &4 cos 4А 4-... .

Тогда равенство (13) записывается следующим образом:

04(A) = ai (Jy +Р2 cos2A +Р4 cos4A + ... j - 2a2 ,

причем po = ко — 2fc2 — 4/i4 + ..., p2 = —4fc2 — 4^4 + ..., p± = —2ki + ... .

4. Эллипсоидальные эквипотенциали. Исследуем простейший случай, когда эквипотенциальные поверхности являются эллипсоидами:

С'2 _ 2 I „2 /-2

4 = V3 + С (, .

Известно, что эллипсоидальные эквипотенциали непригодны для глобального моделирования гравитирующих систем, но мы будем рассматривать их только при больших г. Получаем, что

F(r, А) = F2(A)r2 , F2(A) = 1 + (с2 - 1) cos2 А,

т. е. с0 = 4 + 2с2 , с_1 = 0 , ..., d2 — 4 sin2 А + 4с2 eos2 А , di — 0 , ... . Тогда Х0 = ах(4 + 2с2), У0 = 12a! (sin2 А + с4 cos2 А) и, согласно формуле (12),

ai(с2 - 1)

(14)

0з(А) = —

(sin2 А + с2 cos2 А)5/2

[sin2 А + 2(1 — с2) cos2 А].

(15)

Разумеется, это выражение получается и из общей формулы (2), принимающей для эквипотенциалей (14) вид

0 = (2 + c2)ui2 + 2 (tu2 + с4С2)

dio

de

Из формулы (15) следует, что для сферических гравитирующих систем (когда с = 1) дз{\) = 0, т. е. плотность сферических систем конечной массы убывает как г~4 или еще быстрее.

Если с > 1, то в экваториальной плоскости (cos Л — 0) дз > 0, но на оси £ (когда sin Л = 0) дз < 0. Если с < 1, то, напротив, плотность становится отрицательной в плоскости £ = 0. Таким образом, при с ф 1 модели с эллипсоидальными экви-потенциалями оказываются физически некорректными.

5. Эквипотенциали Миямото-Нагаи и Сато. В звездной динамике часто используется модель Миямото и Нагаи [9], для которой уравнения эквипотенциальных поверхностей могут быть записаны так [11]:

Здесь е G [0,1] - параметр, характеризующий несферичность моделей: при е = 1 модели являются сферическими, а при е = 0 в экваториальной плоскости £ = 0 выделяется бесконечно тонкий диск.

Переходя к полярным координатам г, А, замечаем, что разложением (5) можно пользоваться только при cos А ф 0, т. е. для С/0. При этом

Отсюда следует, что если £ / 0, то £>з(А) = 0 и, согласно (13), оказывается, что й(А) = -2(1-2- Разумеется, эти выводы подтверждаются и при непосредственном анализе формулы (2) с разложениями (9), (10), если подставить в нее Р\, Р2, соответствующие эквипотенциалям (16).

Итак, для любого потенциала, допускающего разложение (8) с коэффициентом й2 < 0, плотность вне экваториальной плоскости на больших расстояниях от центра убывает как г~4. При этом вне экваториальной плоскости эквиденситы являются почти сферическими (так как £>4 не зависит от А).

В качестве первого примера рассмотрим обобщенно-изохронный потенциал Кузми-на-Маласидзе [14]

т. е. если а > 1, то коэффициент разложения (8) а2 < 0, и плотность на периферии положительна. Если же а = 1, то д = 0(г~5).

В предельном случае предыдущей модели я- = 0(а2), а —» оо , <р = (1 + к^)“1. Опять (¡2 = — 1 / к2 < 0 и £>4 > 0.

Для обобщенно-изотермической модели Кузмина-Велтманна-Теньеса [15] потен-

В этом случае «1 = (р0/32х~1/2, а2 = ц>оР2/(2х) < 0 , т. е. д.\ > 0 .

Теперь исследуем ход плотности для моделей с эквипотенциалями Миямото-Нагаи в экваториальной плоскости. Получаем, что

f(tv, £) = tu2 + £2 + 2(1 - е)(е2 + £2)1/2 - 2е(1 - е).

(16)

Fa(A) = l, Fi (А) = 2(1 - е)| cosA|, F2( А) = 2е(1 - е), ... .

(17)

где а, х - структурные параметры. Тогда

а\ — а/х1/4 , а2 = —а(а — I)/х

<Р(0 = Vo ln [l +/?/(! + х£2)1/2]

(18)

4Pi(ro,0) = 3 + (l-e)/e, Р2(ет, 0) = 2.

Поскольку б экваториальной плоскости £ = го = г, то находим, что плотность

с (1 — е)/е, 04 = 2а2(1 — 2е)/е. Таким образом, при комбинации эквипотенциа-

лей Миямото-Нагаи (с е < 1) и произвольного потенциала плотность в экваториальной плоскости на больших расстояниях от центра положительна и убывает как го-3. Ранее это свойство обнаруживалось лишь для некоторых специальных потенциалов [13]. Таким образом, модели с эквипотенциалями Миямото-Нагаи относятся к классу II3 по Родионову [7].

Из результатов данного анализа следует, что эквипотенциали Миямото-Нагаи пригодны для моделирования галактик, напоминающих на больших расстояниях от центра по своей форме сомбреро.

Иногда при моделировании галактик пользуются эквипотенциалями Сато [10], уравнения которых можно записать в следующей форме:

Как и в случае эквипотенциалей Миямото-Нагаи, 0з(А) = 0, 04 (А) = —2а2 .

6. Эквипотенциали Кузмина. Более сложным является уравнение эквипотен-циалей модели Г. Г. Кузмина [8]. Согласно [11], оно имеет такой вид:

Здесь структурный параметр є также является мерой несферичности. Переходя к полярным координатам, находим, что тогда

/(го,С) = го2 + С2 + q - є, 92 = 4(1 - є)С2 + є2 , 0 0.

Здесь є - опять параметр несферичности. Тогда при С ф 0

F2(A) = 1, ^ (А) = 2(1 - є)1/2| cos А|.

/(го, С) = г2 + 2(q - єр) + 2є2 ,

(19)

где

р = [(і - Є2)го2 + (1 + qf]1/2 , q = [е2го2 + С2 - Є2]1/2

F2(A) = 1, F1(A) = 2(g-e),

I/O

где мы обозначили Q = [є2 + (1 — є2) cos2 А] . Получаем, что

а тогда, согласно (13),

В экваториальной плоскости cos А = 0, Q = є и

Если е < 1 и о,2 ^ 0, то плотность в экваториальной плоскости положительна. На оси же Q имеем cos2 Л = 1, Q — 1 и

¿14(0) = 2ai(£ — 1)(2е + 1) — 2а2 ■

Отсюда следует необходимое условие положительности плотности

tz 1 ( 1 — £) (1 + 2б) < —d2 . (20)

Оно заведомо выполнено для систем, близких к сферическим (е близко к единице). Если выполнено неравенство (20), то Qa{\) > 0 и для остальных Л £ [0,7г]. Поскольку тах(1 — е)(1 + 2е) =9/8 (достигается при е = 1/4), то при выполнении равенства

(-а2)/а! > 1/4 (21)

для всех моделей'С данным законом изменения потенциала </?(£) и эквипотенциалями Кузмина функция 04(A) >0 независимо от значения параметра несферичности моделей £.

Если обратиться к рассмотренным выше примерам, то получаем следующее. При комбинации обобщенно-изохронного потенциала (17) с эквипотенциалями Кузмина (19) неравенство (21) принимает вид (а — 1) > jx1/2/4, a в случае «предельного» потенциала я < 4. Для обобщенно-изотермического потенциала (18) х1/'1 > 2.

7. Основные результаты. Исследуя асимптотику плотности самогравитирую-щих осесимметричных моделей бесконечной протяженности, но конечной массы, удалось установить следующее:

не существует физически корректных несферических моделей с эквипотенциалями, эллипсоидальными хотя бы на периферии модели;

плотность сферических гравитирующих систем убывает как г~4 или еще быстрее; если справедливы разложения (5) и (8) и эквипотенциали на периферии становятся сферическими, то плотность убывает как г-4 (или быстрее);

для моделей с эквипотенциалями Миямото и Нагаи плотность в экваториальной плоскости убывает как г-3, а вне ее - как г-4 или быстрее. По крайней мере на периферии плотность этих моделей положительна;

для моделей с эквипотенциалями Кузмина плотность во всех направлениях убывает как г~4 и положительна по крайней мере для малосплюснутых моделей.

Summary

Ossipkov L. P., Jiang Z. Density asymptotics for infinite gravitating systems.

Density asymptotics for self-gravitating axisymmetric and finite-mass models are studied by the equipotential method. It is shown that non-spherical models of ellipsoidal equipotentials and positive density are not possible. Density of spherical systems falls as r~4 or faster. Density of models with equipotentials by Miyamoto and Nagai falls as ?'-3 in the equatorial plane and as r~4 for other directions. It is positive for large distances at least and does not depend on directions. For models with equipotentials by Kuzmin density falls as r~4 for all directions and is positive for not very flattened models at least.

Литература

1. Огородников К. Ф. Динамика звездных систем. М.: Физматгиз, 1958. 628 с.

2. Вгппеу J. J., Tremaine S. Galactic dynamics. Princeton: Princeton University Press, 1987. 733 p.

3. Идлис Г. М. Структура и динамика звездных систем // Труды Астрофиз. ин-та АН КазССР. 1961. Т. 1. С. 1-314.

4. Чандрасекар С. Введение в учение о строении звезд / Пер. с англ.; Под ред. А. Б. Северного. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1950. 476 с.

5. Генкин И. Л. Новая модель Галактики и вычисление звездных орбит // Труды Астрофиз. ин-та АН КазССР. 1966. Т. 7. С. 16-25.

6. Терлецкий Я. П. Еще раз о флуктуациях в гравитирующих системах // Журн. экспер. и теор. физики. 1953. Т. 29, JV® 2(8). С. 237-241.

7. Родионов В. И. Распределение массы в моделях звездных систем, допускающих квадратичный третий интеграл // Докл. АН УзбССР. 1985. № 3. С. 28-29.

8. Кузмин Г. Г. Модель стационарной Галактики, допускающая трехосное распределение скоростей // Астроном, журн. 1956. Т. 33, № 1. С. 27-45.

9. Miyamoto М., Nagai R. Three-dimensional models for the distribution of mass in galaxies // Publ. Astron. Soc. Japan. 1975. Vol. 27, N 4. P. 533-543.

10. Satoh C. Dynamical models of axisymmetric galaxies and their application to the elliptical galaxy NGC 4697 // Publ. Astron. Soc. Japan. 1980. Vol. 32, N 1. P. 41-62.

11. Кутузов С. А., Осипков Л. П. Модель крупномасштабного гравитационного поля галактик // Вестн. Ленингр. ун-та. 1981. № 1. С. 99-105.

12. Кутузов С. А., Осипков Л. П. Роль эквипотенциалей и эквиденсит при моделировании галактик // Астрофизика. 1986. Т. 25, № 3. С. 545-558.

13. Jiang Z. Flattened Jaffe models for galaxies // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2000. Vol. 319. P. 235-247.

14. Кузмин Г. Г., Маласидзе Г. А. Об одной общей форме гравитационного потенциала, допускающего решение задачи о плоских орбитах звезд в эллиптических интегралах // Публ. Тартуск. астрофиз. обсерв. им. В. Струве. 1969. Т. 32. С. 181-250.

15. Кузмин Г. Г., Велтманн Ю.-И. К., Теньес П. Л. Квази-изотермические модели сферической системы. Применение к галактикам М 87 и М 105 // Публ. Тартуск. астрофиз. обсерв. им. В. Струве. 1986. Т. 51. С. 232-242.

Статья рекомендована к публикации членом редколлегии проф. Ю. М. Далем. Статья принята к печати 20 ноября 2006 г.