CC BY
45
УДК-*0049:336.12
МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТИВНОГО ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМ «АВТОМАТ-ПЕРЕКЛЮЧАЕМАЯ СРЕДА» ПРИ ВЫБОРЕ КОМПРОМИССНОЙ СТРАТЕГИИ МЕЖБЮДЖЕТНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Построена экономико-математическая модель игрового поведения двух систем «автомат-переключаемая среда», используемая для достижения компромисса между интересами бюджетов различных уровней бюджетной системы РФ при долевом распределении средств от уплаты налогов. Предложен метод решения биматричной игры автоматов в форме смешанных стратегий на базе условия равновесия по Нэшу, позволяющий получить аналитические выражения для определения нормативов отчислений денежных средств в бюджеты нижестоящего уровня в порядке бюджетного регулирования.
Ключевые слова: бюджетное регулирование, экономико-
математическая модель, игровая модель, смешанные стратегии.
Актуальность. В настоящее время одной из актуальнейших задач является преодоление проблем, возникших в условиях финансово-экономического кризиса, а также создание условий для последующего инновационного развития. Создание таких условий во многом коррелирует с вопросами совершенствования бюджетной политики, главными принципами которой является формирование нового качества финансового менеджмента на всех уровнях управления государственными и муниципальными финансами и обеспечение финансовой самостоятельности территорий. В этой связи особого внимания заслуживают проблемы межбюджетного регулирования, решение которых ориентировано в большей степени на стимулирование территорий в наращивании собственного налогового потенциала, чем на выравнивание их уровня бюджетной обеспеченности. Это обусловливает наличие противоречия в решении задач межбюджетного регулирования, приводящего к необходимости достижения некоторого компромисса при выборе нормативов отчислений средств от уплаты налогов в бюджеты различных уровней. Поиск компромисса требует применения экономикоматематических методов, моделей, инструментов, позволяющих дать оценку принимаемым в этом плане решениям.
В [1,2] изложены результаты создания автоматной модели, функционирующей в переключаемых случайных средах и используемой для принятия решений при бюджетном регулировании. Переключаемые случайные среды описываются вероятностными характеристиками поступлений бюджетных средств от уплаты налогов различных видов, участвующих в долевом распределении. Эти вероятностные характеристи-
х х х х х
ки заданы в виде вектора Р □ (1\ ,Р2 Рк ), где Р оценка вероятности выигрыша
автомата А в случайной среде действия поступлений от уплаты налога Nх, / □ 1, к
номера состояний автомата А [2]. Предложенная модель позволяет выбирать оптимальные для данного уровня бюджетной системы нормативы отчислений от налогов в порядке бюджетного регулирования. В связи с тем, что долевое распределение средств от уплаты налогов должно обеспечить достижение некоторого компромисса между уровнями бюджетной системы, авторами статьи предлагается модель игрового поведения двух систем «автомат-переключаемая среда» как инструмента логического согласования интересов бюджетов вышестоящего и нижестоящего уровней бюджетной системы РФ. Эта модель позволяет обеспечить равновесие интересов бюджетов раз-
Е. Д. СТРЕЛЬЦОВА В. С. СТРЕЛЬЦОВ
Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)
e-mail:
личных уровней при выборе пропорций долевого распределения средств от уплаты налогов. Рассмотрим эту модель.
Постановка задачи формального описания игры систем «автомат-переключаемая среда». Пусть А1 и А2 - системы «автомат-переключаемая среда», управляющие величинами отчислений от уплаты налогов соответственно в бюджеты нижестоящего и вышестоящего уровней бюджетной системы РФ. Величины этих отчислений интерпретированы состояниями автоматов Д, 7 1,2 , функционирующих в
переключаемых случайных средах [1,2]. Как изложено в [1,2], набор состояний системы «автомат-переключаемая среда» описаны вектором:
□ □□ с1, о1,..., с2, а2,..., а2,..., с”, с”,..., с” □
12 к 12 к 12 к Компоненты вектора отражают величины нормативов отчислений от
налога вида , 1, и принимают значения , [0,1]. Для системы «автомат-
77
пкреключаемая среда» в [1,2] получены вектор финальных вероятностей
11 122 2 п п п ]
Я □ (т] ,г2гк, 7] ,г2 гк7] ,г2 гк ). Компоненты /• вектора Я представляют собой финальные вероятности того, что система выберет состояние 1, т.е. когда автомат находится в состоянии с номером , , а вероятностная среда - в состоянии с номером 7 . При этом система А1 нацелена на выбор состояний, обеспечивающих увеличение поступлений от уплаты налогов в бюджет нижестоящего уровня. Действия системы А2 противоположны действиям системы А1, т.е. устремлены на увеличение поступлений от уплаты налогов, участвующих в долевом распределении, в бюджет вышестоящего уровня бюджетной системы. Для обеспечения равновесия между функционированием систем А1 и А2 автором предложена модель их игры.
Сама идея игрового взаимодействия автоматов с целью выбора их компромиссной стратегии при долевом распределении налогов в порядке бюджетного регулирования уже рассматривалась в научных исследованиях [3,4]. Автором этих работ предлагалась модель антагонистической игры на основе равновесия Фон-Неймана, в которой в качестве игроков рассматривались стохастические автоматы. Эта модель осуществляет выбор управленческих решений, являющихся компромиссными относительно интересов бюджетов вышестоящего и нижестоящего уровней РФ при бюджетном регулировании. В качестве теоретико-игрового метода модели, предложенной в [3,4], использована антагонистическая матричная игра, в которой выигрыш одного игрока осуществляется за счёт проигрыша второго игрока. Такой подход при выборе решений по бюджетному регулированию не адекватно отражает стратегические подходы бюджетной политики, т.к., во-первых, антагонистических противоречий между уровнями бюджетной системы не существует. Процесс принятия решений при управлении бюджетной системой нацелен на ускорение экономического развития всей территории в целом и на повышение её налогового потенциала. Следовательно, «выигрыш» одного «игрока», в качестве которого принята величина профицита бюджета нижестоящего уровня, не следует рассматривать как стопроцентный «проигрыш» другого «игрока» В-вторых, на практике у игроков, в роли которых выступают ЛПР различных уровней при управлении бюджетной системой, отсутствует полная информация о состоянии бюджетов других уровней.
Таким образом, «игроки» сталкиваются с некоторой неопределённостью относительно интересов друг друга. В связи с этим для принятия решений по распределению налоговых поступлений с учётом перечисленных особенностей в настоящей работе предложена модель принятия решений в виде биматричной игры , решение которой ищется в форме смешанных стратегий, приводящих к равновесию по Нэшу. Рассмотрим формальное описание этой игры. Игра в нормальной форме описывается
тройкой □ □□/,□,£/□, /С {1,2} - множество индексов, отражающих количество где
игроков, в роли которых выступают системы Д и Д; □ □ {□ (1)}, Ц- (2)}/П/>ПП5,
7 □ 1 ,к - декартово произведение стратегий, доступных игрокам Д и Д; J {1,2,..., А:} множество индексов, отражающих количество номеров состояний автоматов; Л' {1,2,..., п} множество номеров переключаемых случайных сред автома-
□
тов; □ . (х) - стратегия, доступная игроку х, х □ 1,2 ; □ , □ Ш1, - случайная среда, в
п
которой функционирует автомат; к количество состояний автомата; п количество случайных сред системы «автомат-переключаемая среда»; II □ и-, □ набор
функций выигрышей игроков Ах и А2 соответственно. Если обозначить множество
выигрышей переменной Ш , то функции выигрышей и , можно представить
1,2
как отображения и :{□ (1)}, !/,□□$□ {0,° (2)}>Дг1ПП5 ОШ, □ □/, ставящие в соответствие каждому набору стратегий (- (1), - (2)) выигрыш этого игрока
' У
□ □
и (□, (1), □, (2)) Ж. Вследствие того, что множества игроков / {1,2} и стратегий
{□,- (1)}, J ,?,{□; (2)}/ г 5 конечны (мощности этих множеств составляют соответственно | / !□ 2 , | {□( (х)}- |И к □ X П /), игра □ □□/,□>[/ формально описыва-
n
ется в виде матрицы
г I
mk mk
I anbn . allbn al2bl2 . .. al2b12 . .. alnbln
□ 11 ll lk lk ll ll lk lk 11 11
□ ;
□ и и ll ll l2 l2 12 12 1n 1n
і акАл . akkbkk akibki . akkbkk . .. akibki
■ a 21b21 . a21b21 a 22b22 . a 22b22 . .. a2nb2n
_ и и lk lk и и lk lk и и
П :
a 21b21 . a2lb2l a 22b22 . .. a 22b22 . .. a2nb2n
□ kl kl kk kk kl kl kk kk kl kl
□ і
I anlbnl . an1bn1 an2bn2 . .. an2bn2 . .. annbnn
П 11 ll lk lk и и lk lk и и
ahlbhl _ lk lk
In In —1 °ккЬкк “
a
1 к 1 к
[
□
a
2и^2и
kk kk
annbn
I
□
□ :
lk lk
. nl nl
I
«VAl
nl nl nl n2
n 2 n 2
nn 1
I
••• akkbkk akibki ••• a-b
кк кк
ak\bU ••• аккЬкк
Элементами
матрицы являются числа атк □ н1(Пш (1), (2)),
пп □ □
Ьтк н2 ( т (1), ( (2)), представляющие собой соответственно выигрыши игроков
□ □
Аг и А2 в стратегиях С|и (1), (2), □ □ Л', □ С Л'. В качестве выигрыша игрока
А1 при наборе стратегий ( 1, (1), 1 (2)) примем вероятность выигрыша системы «автомат-переключаемая среда», величина которой определяется в соответствии с аналитическими выражениями:
(1), а (2)) □ г,
L>,
, если 7 □ /□□□□.
7/ (Пи
(1), □
(2)), обозначим 1 г г переменной
□ : ап □ и (□а(1),П1 (2)) мп?) р1|пупк • Относительно выигрыша
18/1
игрока А , как упоминалось, пол-
Выигрыш игрока А1, имеющий вид
и (□
гг гг
1 гг 2
ная информация отсутствует. Обозначим этот выигрыш следующим образом: и(□. (1), (2)) / . Тогда формально матрица, описывающая биматричную игру
сисгем А1 и А2, будет иметь вид, представленный таблицей 1. Вследствие того, что иг-
□
рокам А1 и А, доступны одинаковые стратегии, в выражениях С (х), обозначающих эти стратегии, значение переменной х /в таблице 1 опущены.
Таблица 1
Матрица игры систем А1 и А2 «^тюм^переключ^мая среда»
\ 1 П1 к □ 2 1 □ 2 к □ ” 1 С”
п1 1 (□V) 11 11
□1 (□ 1 / )
□ 2 <р2,г)
□ 2 к (□2 ,г )
□ ” (U\f)
1 г
С" к (О ”, 1п) кк кк
Решение игры в форме смешанных стратегий. На множестве чистых
стратегий □ и и II □1, □2, □□2” □ , доступных игрокам А и
12 к 12 к 12
□
А2, зададим вероятностное распределение Г[ □, }; [ОД], ставящее в соответ-
, □ „„_____ т- . п/1-
ствие каждой чистой стратегии □ игрока I, /' Е 1^2 вероятность □ (□ ) С [ОД],
У ' У
П (□ ) □ 0. Это вероятность того, что стратегия □ будет играться игроком / □ /,
* 3 3
п,к
причём выполняется условие , ( 1, ) 1. Тогда будем иметь пространство наборов
смешанных стратегий
г г и 1
и и и [ [_ и2, где
(□>ед :(р } ,
/ С 1,2 _
- набор смешанных стратегий игрока
□
А-. Носителем смешанной стратегии j является множество чистых стратегий [ и , } / 1, которым приписана положительная вероятность. Будем рассматривать смешанное расширение ~ /, ,11 игры
к
множество чистых стратегий, которые игрок
А1 играет
с положительными вероятностями в ситуации
□ □(□ (□'),□ (а1),...,^ (□'),□ (П2),С С^2),...,С С^2),...,
1 1112 1 Аг 1 1 12 1 к
СД-! )), □! ) □ С!, а игрок А2 играет с положительными вероят-
(Ц ' '
п п п
ностями в ситуации
С2 □ (и1),□(и1),...,С (□'),□ (Ц2),С ('Л2),...,П (П2),..., □(□"),□(□"),...,□ (□”)),
( 2 122 2 а- 2122 2 к 2122 2 к
и
Распределение вероятностей выбора чистых стратегий, доступных игрокам А1 и А2 приведены в таблицах 2 и 3 . Смешанные стратегии игроков А1 и А2 будем искать исходя из условия равновесия по Нэшу в смешанном расширении Г~ и и /, .,11
в соответствии с которым при заданном распределении вероятностей противника ожидаемый выигрыш от применения чистых стратегий одинакова при любой стратегии противника.
Таблица2
Распределение вероятностей чистых стратегий игрока А1
□l1 и? U [И П -и £
□i(0t) □iU) □.(L4) □,0Л)
Таблица 3
Распределение вероятностей чистых стратегий игрока А2 ____________
Ц1 ц U.2 2 U” Ц
2(! ) 2(Ц) 2 (- )к □2(4) □2(И) □ 2 ( 1—W) □ 2Ш
Только в данном случае при нахождении смешанных стратегий необходимо учесть тот факт, что игрок А1 знает свою функцию выигрыша
н ] :{□, (1)}(Т]/[ 5 { у (2)\ , Ж, но не знает функции выигрыша игрока А,. То
есть возникает задача описания ситуации с неполной информацией, когда игрок А1 сталкивается с некоторой неопределённостью относительно выбора стратегии игроком А2. В этой ситуации выдвинем следующую гипотезу. Примем, что выигрыш
/и □ ц (Е] , □ ) игрока А2 при выборе стратегии □ /' □ 1, к, □ □ 1, распределён
, , , п
равномерно на отрезке [0, □ ]. Правомерность этого предположения можно обосно-
вать тем, что финансовые управления вышестоящего уровня бюджетной системы РФ ЛПР в виду их заинтересованности в экономическом развитии всей территории и в зависимости от характера решаемых в данный период задач могут с равной вероятностью считать своим выигрышем тот выигрыш, который получен при управлении бюджетной системой нижестоящего уровня. Тогда функция распределения случайной
И
величины I будет иметь вид, представленный на рис 1.
ре )
2011. №7(102). Выпуск 18/1
Рис. 1. Функция распределения величины Г
Игрок Ап будет играть свою стратегию □, , если его выигрыш Л от этой стратегии будет не меньше некоторого заданного числа С , т.е. если / С . Вероятность
и и и
этого условия может быть определена следующим образом: р{1 С ) (1 Р{1 )) 1 р{{1 С ). Очевидно, что вероятность выполнения усло-
вия 1 □ С определяется из выражения р((/ □ С ) □
гг гг
□ п Сп
а—— . Эта вероятность рас-
-
сматривается как вероятность выбора игроком Ап своей / -той стратегии □, :
□ п Сп
(□ ) ———. Тогда вероятность выбора игроком А сваей / -той стратегии □ со-
2 г
с
ставит □ ,(Д ) . Игрок А2 предпочтёт свою стратегию □, ? если его выигрыш Г.
в этом случае будет наибольшим. Рассмотрим самый благоприятный исход для игрока А-,, когда 1п ,, . Это возможно лишь в том случае, когда большая часть налоговых
доходов при бюджетном регулировании поступит в бюджет вышестоящего уровня. Согласно условию равновесия по Нэшу, какую бы стратегию ни применил игрок Ах, математическое ожидание выигрыша игрока А2 будет одинаковым:
□п с и1 С []п~с1 —
-и—11 ап11 □ -аз-аз. □□ п\,п.
Еп
11
22
□
кк
кк
Из последнего выражения получим следующую систему уравнений:
□ □ □ □ гс22 □
ГС1
33 33 11
(1)
□ с с
кк кк
11
□
Будем использовать условие
и
□
п к
к
с
) □ 1,или |
□
СЛ.
(2)
На основе выражений (*) и (**) можно записать:
2011. №7(102). Выпуск 18/1
1 □! /□!
п □ □ ^*и □ □ □ □ £*П
11 22 ^11 11 33 11 _________11_ кк ^11 11
п і'
22
Пп 1 11
С
33
)□!,
или в более компактной форме (--------
□ п
] С 1 22 Л 2
Распишем выражение (2):
11 12 2 с с с с с с
^11 ' 22 ' кк '“'11 ^22 Ьпкк _
і1 1
11 22
Iі С2 [ 2
кк 11 22
□
п п
с с с
^11 22 кк
С2
кк
I— п '— п
11 22
В
выражении
вместо
пп
- п кк
□ 1.
переменных
последнем
11 12 2 2
с22, с33,-, скк , с 22 ’ с33,-, скк V, с22. с33 — скк подставим их выражения из (і), а °Тн°-
С? ----
^11
шения , \,П объединим под знаком суммы:
С п1 п1 С1 о1 о1 с1 п1 п1 с1
22 11 11 33 11 11
кк
_ □
и и
з і и
□0
□
кк
7
] П1 гил
к
п
2
п
п
□
кк
2 2 2
2 2 2 2 2 2 ^
' С С С □
22 11 11 33 11 11 кк 11 11
"2
22
"2
kk
2
kk
1C” Г” С” □1 □1 с1
- 22 11 я 33 11 Я
□ с» Г»
22 А-А-
Iі □ 1 1 -
кк \п
■ і □
АА- —
=1.
□
Преобразуем это выражение следующим образом:
„сI «с с с и □1~а1 □□1
__IX / 11 ___ _II 11 ч / 22
П Л П П - ) '
1
□
1 ■ 22
С с
и_ 11'
□ "
□ зз 1 □ □
11 33 11
1
а1
□ '"а1 кк х 11) □ і
її
с
п к
33 |-1 кк
п к П п П а
□ -*.пп
Или в сокращённом виде: —-
С " * □u □
-і1-лі □ 1.
1 і П2
И □ П г I
Преобразуем последнее выражение следующим образом:
тП п к 1 п к '
С
1
с1 —
с.
□
г с '
□о П „□ □ □□
1
1 11
□ □I 11 /02 и 0 01 102 а
Примем, что С ПС ,□□_/'□□./. Введём обозначение СП , в соответст-
, С
11 11 11 11
вии с которым последнее равенство примет следующий вид:
п п к П к 0 0 п к п к
°АйЧилис|1[]а ±01 сшЩк,
гпП □ ^ 0 01 □ П 0 01 П°
/01 /02
о — О □ и □
С1 11 С1 т02 Ц С1 г С1 и И
Полученное уравнение позволяет определить значение С11:
п к
г □ □
1 ЇП2
С □
11 гг к ^
и и ^
□ 01 /01 ' п
С учётом полученного ранее выражения □ п □ и (□ (1), Ш0 (2)) □ г □ р , вели-
ii 1 i
чина С11 будет определяться следующим образом:
2011. №7(102). Выпуск 18/1
П
r
п к
II—I
и р
II—I о
и р
о |—| □
г □ р
2 П1 Ю2
п к
г 1 1
г i
1 □□ с„ с
г г
Вычисление величин С ,7 2, к, □ 1, п осуществляется в соответствии с выражениями (*) С □ □ □ п г , 7 □ 2, к , □ □ \,п :
пк
I □□
Ш21
с
или с учетом выражения
и гг 11
□ 0 □ гп □ р ■
гг г г
ПП ~1 /□!
пк
Р
/П | I 1 I 1 П ' I 1 □ [ 1
С и г и р г и
I 2
гг гг 1 1
Величины С позволяют определить вероятностное распределение ( ),
И 1 г
7 □ 1, к; □ □ I, чистых стратегий □ игрока А . Смешанные стратегии (I ис-
77 )
г 1 1 г
пользуются как коэффициенты для определения нормативов отчислений £ в бюджет
нижестоящего уровня бюджетной системы РФ по налогу вида по формулам
к
8 □ П □ 1 ) I I • Выражения для Л’ положены в основу алгоритмов определения
(Ц
1 Г 1
г
1
к
п
1
величин процентных отчислений от уплаты налогов в порядке бюджетного регулирования, приведенные в следующем разделе диссертационной работы.
Выводы
Проведенные исследование позволили получить следующие новые научные результаты.
1. Поставлена задача принятия компромиссных решений при долевом распределении налогов между уровнями бюджетной системы, описание которой отличается от существующих учетом условий неопределенности, характеризующихся отсутствием информации у ЛПР одного уровня о состоянии бюджета другого уровня. Преимущество постановки задачи состоит в рассмотрении стратегических подходов бюджетной политики в классе неантагонистических противоречий между интересами бюджетов различных уровней.
2. Предложен теоретико-игровой метод принятия компромиссных решений о величине пропорций распределения налогов между бюджетами вышестоящего и нижестоящего уровней бюджетной системы РФ, отличающийся от существующих использованием биматричной игры. Преимущество метода заключается в возможности формального описания противоречий неантагонистического характера при бюджетном регулировании.
3. Предложена экономико-математическая модель биматричной игры для решения задач межбюджетного регулирования, отличающаяся от существующих использованием систем «автомат-переключаемая среда» в качестве игроков. Преимущество модели состоит в возможности адаптации значений выигрышей игроков к изменениям доходов и расходов бюджета в процессе принятия решений по бюджетному регулированию.
2011. №7(102). Выпуск 18/1
4. Предложен метод решения биматричной игры автоматов в форме смешанных стратегий, отличающийся от существующих использованием условия равновесия по Нэшу. Преимущество метода заключается в возможности учёта ситуации неполноты информации в процессе принятия решений, при которой один игрок сталкивается с некоторой неопределённостью относительно выбора стратегии другим игроком.
5. Выведены выражения для определения нормативов отчислений денежных средств в бюджеты нижестоящего уровня от уплаты налогов, подлежащих зачислению
в бюджет нижестоящего уровня бюджетной системы РФ. Преимущество выражений состоит в согласовании неантагонистических противоречий между интересами бюджетов различных уровней.
Литература
1. Богомягкова И.В. Модель долевого распределения налогов в системе поддержки принятия решений по управлению межбюджетным регулированием //Научные ведомости Белгородского государственного университета (серия Информатика).-2010.-Выпуск 13/1
SYSTEM “AUTOMATON-SWITCHABLE MEDIUM” FOR SIMULATION OF SHARE TAX DISTRIBUTION
E.D. STRELTSOVA V.S. STRELTSOV
South Russian State Technical University (NPI)
e-mail:
e-mail:
Economical-mathematical model for budget regulation in a form of stochastic automaton functioning in integrate random medium is proposed. Separate fixed random medium for every type of taxes partic- ipating in share distribution between the levels of a budget system is analyzed. Formal expressions that give the possibility to choose the sys- tem status of the system “automaton- switchable medium” that corres- ponds to the norms of tax deductions at budget regulation are deduced.
Key words: budget management, economic-mathematical modl, play model, mixed strategics.
