Система «Автомат-переключаемая среда» для моделирования долевого распределения налогов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК -*0049: 336.12

СИСТЕМА «АВТОМАТ-ПЕРЕКЛЮЧАЕМАЯ СРЕДА» ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДОЛЕВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАЛОГОВ

Е.Д. СТРЕЛЬЦОВА И.В. БОГОМЯГКОВА В.С. СТРЕЛЬЦОВ

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

e-mail: [email protected]

Предложена экономико-математическая модель бюджетного регулирования в виде системы стохастических автоматов, функционирующих в составных случайных средах. Для каждого вида налога, участвующего в долевом распределении между уровнями бюджетной системы, рассматривается отдельная стационарная случайная среда. Получены формальные выражения, позволяющие осуществлять выбор состояний системы «авто-мат-переключаемая среда», соответствующие нормативам отчислений налогов в порядке бюджетного регулирования.

Ключевые слова: бюджетное регулирование, региональный уровень, экономико-математическая модель, стохастический автомат, переключаемая случайная среда, финальные вероятности.

Характеризуя состояние финансовой системы Российской Федерации, надлежит подчеркнуть, что модернизация бюджетного процесса как стержневого инструмента обеспечения устойчивого развития экономики осуществляется в сложных условиях воздействия внешней среды: мировые рынки капитала характеризуются большой неопреде-лённостью, наблюдается замедление темпов роста мировой экономики. В связи с этим Президентом РФ поставлена задача повышения эффективности и результативности бюджетной политики на основе совершенствования её структуры, внедрения инноваций. Особое внимание в этом смысле уделяется принципам и механизмам бюджетного федерализма, напрямую коррелирующим с вопросами межбюджетных отношений и меж-бюджетного регулирования, с задачами внедрения передовых методов финансового менеджмента в субъектах Российской Федерации и муниципальных образованиях. В сфере общественных финансов узловым компонентом бюджетного федерализма является система бюджетного регулирования доходов. Это подчёркивает остроту проблемы применения новых технологий в системе межбюджетного регулирования доходов, базирующихся на экономико-математических методах, моделях.

В [1] предложена экономико-математическая модель долевого распределения поступлений от уплаты конкретного вида налога в виде абстрактного адаптивного устройства, способного хорошо приспосабливаться к условиям изменения внешней среды - модель стохастического автомата А , функционирующего в стационарной случайной среде. В реальной ситуации бюджетного регулирования в процессе долевого распределения участвуют поступления от некоторого подмножества налогов. Для решения такой задачи авторами статьи предложена математическая модель поведения описанного в [1] автомата А в переключаемых случайных средах. При этом для каждого вида налога N предлагается рассматривать свою отдельную случайную среду, вероятностные характеристики которой описываются вектором Рх = (Р*, Р2Р^), где Р* - оценка вероятности выигрыша автомата А в состоянии с номером ? при воздействии случайной среды, формируемой поступлениями от уплаты налога N х, / = 1 , к - номера состояний автомата

А . Выигрыш автомата понимается в смысле, описанном в [1]. Допустим, что в процессе долевого распределения доходов в порядке бюджетного регулирования участвуют п видов налогов: N1,N2,...Nn. Тогда имеем систему векторов Рх, х = 1,п, описывающих вероятностные характеристики случайных сред Nx, в которые погружается автомат А :

Рп = (Рп, РР ).

Переход к составной случайной среде приводит к следующим изменениям поведения автомата А . Кроме переходов из одного состояния в другое автомат А может осуществлять переходы из одной случайной среды в другую.

Автомат А находится в переключаемой случайной среде С = (Р1,РРп), если в каждый момент времени ti е Т он функционирует в одной из случайных сред Р множества (Рг }е, где I = 1,2,...,п - множество индексов. Обозначим через Т® такое состояние системы «автомат - переключаемая среда», при котором автомат А находился в состоянии (р., а переключаемая среда - в состоянии Ра. В качестве выходного воздействия системы «автомат - переключаемая среда» на внешнюю среду в момент времени ti е Т в

состоянии Т® примем величину 2®^), смысл которой совпадает со смыслом выходного воздействия автомата А в однородной случайной среде [1]. Следовательно, выход системы 2®(1) интерпретируется как величина текущего запаса бюджета в условиях таких

отчислений от уплаты налога вида N®, доля которых составляет Т®.

При этом если в момент t е Т система находится в состоянии Т® и произвела

действие 2®(1), то в момент времени t +1 е Т это действие повлечёт за собой поступ-

Г~\ (X

ление входного сигнала у1^ +1) = 1 (т.е. «выигрыш») с вероятностью Р и поступление входного сигнала у0^ +1) = 0 (т.е. «проигрыш» или «штраф») с вероятностью = 1 - Р® . Если автомат А в момент времени t е Т находился в случайной среде Р®, то в момент t +1 е Т он осуществит переход в случайную среду Рв с вероятностью 5ар. Таким образом, рассматривается цепь Маркова, имеющая П состояний, матрица перехода которой из состояния Р® в состояние Рв обозначена А = ||5®в|, а = 1, п, в = 1, п и имеет вид:

5 11 512 . .. 5

А = 521 2 2 5 .. 52п

5п1 .. 5пп

Напомним, что состояние Р® соответствует подключению стационарной случай-

а ® ® ® ®в

ной среды Р® = (Р®,Р2®,...,РП®) . Тогда оценка вероятности П ■■ перехода системы «автомат - переключаемая среда» из состояния Т® в состояние Т;в определяется следующим

образом: л®в = [Р ® • а. (1) + qаа. (0)] •5 ав = Р®в 5в, где Р ®, q® - соответственно оценки вероятностей выигрышей и проигрышей системы «автомат - переключаемая среда» в состоянии Т®; а. (1) - оценка вероятности перехода автомата А из состояния р1 в состояние р. при поступлении входного сигнала ) = 1, т.е. при «выигрыше»; а. (0) -оценка вероятности перехода автомата А из состояния рi в состояние р. при поступле-

нии входного сигнала ) = 1, т.е. при «проигрыше» (или «штрафе»); Р® - вероятность перехода автомата А из состояния ^ в состояние (рі при любом входном сигнале.

Следовательно, вероятностные характеристики ра и qа, і = 1, к, у = 1, п представляют собой оценки вероятностей соответственно дефицита и профицита, к которым приведёт пребывание системы «автомат - переключаемая среда» в состоянии интерпретируемом как доля отчислений денежных средств в бюджет нижестоящего уровня бюджетной системы РФ от уплаты налога вида Nа в порядке бюджетного регулирования. Структурная схема перехода системы «автомат - переключаемая среда» из состоя-

ния в состояние приведена на рис. 4. Матрица перехода п®в системы «автомат -переключаемая среда», когда автомат А переходит из состояния с номером / в состояние с номером J при переключении случайной среды, в которую погружён автомат, из состояния с номером а в состояние с номером в имеет следующий вид:

п

ар

Пп - П" 12 пи 12 к _1п •• п11 п1и 1 ••• 1к

п11 ••• П2к 12 П21 12 ••• П2к • __1 п •• П21 _1п ••• п2к

пк\ ••• 12 Пк1 12 ••• Пкк • __ 1 п •• Пк1 _1п ••• пкк

П1 ... п 22 П11 22 ••• П1к • — 2п •• пи _2п ••• П1к

„-21 П21 21 ••• п2к 22 П21 22 ••• П2к • — 2п •• П21 _2п ••• П2к

„-21 Пк1 21 ••• Пкк 22 Пк1 22 ••• Пкк • — 2п •• Пк1 _2п ••• Пкк

_п1 п11 _п1 ••• п1к — П 2 пи _п 2 ••• П1к • _пп •• п11 „„пп. ••• П1к

_п1 П21 _п1 ••• п2к _п 2 П21 _п 2 ••• П2к • _пп •• п11 _пп ••• п1к

_п1 уПк1 _п1 ••• пкк _п2 Пк1 _п2 ••• Пкк • _пп •• пк1 „„пп. ••• пкк у

|_а/?| \П] = к • п х к п. В табл. 1 приведены выражен

ния значений ж®в матрицы. Напомним, что матрица перехода автомата А из состоя-

ния в состояние имеет вид:

Ра

V

ра р 1 1

1

к-1

1~" к -1

q2

qk

ра Р 2

к-1

qk

к-1

1

к -1

1~" к -1

qk

1

к-1

1

к -1

ра

q^

1

1

Финальные вероятности R системы «автомат-составная среда» представляют собой вектор R = (г11, г,1т1, г12, т22гк2г1п, т2”тЩ ), где т/ — финальная вероятность

пребывания автомата в состоянии ¥/ , т.е. когда автомат находится в состоянии с номе-

ром I, а вероятностная среда - в состоянии с номером у . Для матрицы |п“в|, элементы которой определяются выражениями, приведёнными в табл. 1, системы уравнений для определения финальных вероятностей т/ структуры «автомат-переключаемая среда»

запишутся в следующем виде.

Системы уравнений для определения финальных вероятностей при состоянии случайной среды у = 1:

Г = трв' 1 + т2к1т а'Г +...+т;к1т д\а" + + т2 р^в1' + г,2Л £821 +...+ т1-^ с,\82 +

к — 1 1

... + т^рв^ + т2п—ап28м +... + К-ав; к —1 к —1

тк = т1

1 -Ц а 8 ' + т2 -1- ' + ...+ ти -1- ?;.—1 8 1 + т1 р 8 ■ +

к —1 к —1 к —1

1

Кв'-' + т; Р8 +

г-—а';81' + т2 — д;82' +... +т; 1 —

1 к — 1 2 к — 1 к—1 к — 1

п 1 „п С*п1 . п 1 „И£*И1. I п 1 п С-и1 , ПТ'ЬП^ПГ

т к—Г д18 + 2 к—Г д28 + .. + к—1 ак—18 + ткРк 8 .

Системы уравнений для определения финальных вероятностей при состоянии случайной среды у = 2.

тг = т 8 2-+т2 ^ ч\8 2 +...+т1 ^ ак8 2 +

+ T'1 р282 + т2 а^22 +... + т2 А а;822 +

к—1

к—1

.... + тпРп8п2 + т2п —ап28п2 +... + ткп — а"8п2;

1 1 2 к — 1 к к — 1

тк = т1

1 а1812 + т1 -1- а!812 +...+тк—1 -1- а1—8 + тДО12 +

к — 1 к — 1 к — 1

2 1 2 22 2 1 2 22 2 1 2 22 2 2 22

т1 к—1 а18 + 2 к—1 а28 + .. + к—1 кТ!^к—18 + к Рк 8 +

1 1 1 2 1 2 2

т1 к—1 д18 + 2 к—Х д28 + ”. + к—1 к—1 ак—18 + Рк 8 .

Системы уравнений для определения финальных вероятностей при состоянии

случайной среды у = п.

г; = ,-;р в" + г2 -Ц ч\в'"+...+г',-1- +

к - 1 к - 1

+ г12 р282п + г22 — д2282п +... + г2— д2к82п + 1 1 2 к -1 к к -1

... + г/рп8п1 + г^-^- дп28пп +... + г^-^- дпк8пп;

к -1 к -1

Гп = г,

к-1

к-1

11 А+ г2 Адв" +... + -1- + г'„Р8" +

к-1

1_

к -1

2 1 2 с*2п . 2 1 2 с*2п . . 2 1 2 с*2п . 2 тл2 с*2п .

г -------д1в + г2 ^—7д2в +... + гк-1~у—7Чк-1в + гкРкв +

1 к -1

к-1

1 1 1

Г1 к-! д1в + Г2 к-1 ^ + .. + Гк-1 кГ1 дк-1в + ГкРк 8 '

Примем, что составная вероятностная среда Р , г — 1,п переключается из одного состояния Ра в другое состояние Рв с одинаковой вероятностью 8ав — 8, а — 1,п ,

в — 1,п. Тогда на основе полученных уравнений для финальных вероятностей можно сделать вывод, что в условиях принятых допущений имеют место равенства

г1 — г2 — — гп * Г — г2 — — гп Г — г2 — — гп

Г1 г1 г1 * 2 г2 г2 , ••*, ’к ’к ’к .

Обозначим эти вероятности переменными соответственно г1зг2,...,гп. Решение составленных систем уравнений с учётом условия нормировки пг1 + пг2 +... + пгк позволило

получить следующие выражения для финальных вероятностей пребывания системы «ав-томат-переключаемая среда» в своих состояниях:

1

п 1 п к п 1 п

п(1 -8£ ра+8 — ! ?1-)1 (1 -8! Р,а+8 — !

а=1 к 1 а=1 г=1 а=1 к 1 а=1

\яа)

пк

„а'

п(1 -82 Ра +8 — 2 да)! (1 -8! Р.-+8 —

а=1 к 1 а=1 г=1 а=1 к 1

п

! я‘)

а=1

г1 =

1

г2

п

п

п 1 п к п 1 п

п(1 - 8! Ра + 8 — ! да)! (1 -8! ра+8 — ! $)

а=1 к 1 а=1 г=1 а=1 к 1 а=1

1

Гк =

Финальные вероятности г, г — 1, к зависят от вероятностей выигрышей Ра и

проигрышей да, г = 1, к, а — 1, п в каждом состоянии автомата, вычисление которых

предполагается осуществлять на базе функционирования имитационной модели, воспроизводящей изменение величины остатков денежных средств в бюджете при случайном характере вариаций доходов и расходов.

Выводы. В результате проведённых исследований получены следующие новые научные результаты.

1. Предложена модель составной случайной среды в виде вектора, описывающего вероятностные характеристики влияний поступлений от уплаты налогов на формирование бюджета.

2. Построена математическая модель поведения стохастического автомата в переключаемых случайных средах, отличающаяся возможностью формального описания принятия решений при бюджетном регулировании в условиях суперпозиции воздействий, оказываемых на формирование бюджета поступлениями от различных видов налогов. Преимущества модели состоят в возможности адекватного представления реальной ситуации, создаваемой влиянием поступлений от уплаты множества налогов, участвующих в процессе бюджетного регулирования, на формирование бюджета.

3. Получены аналитические выражения для финальных вероятностей пребывания системы «автомат-переключаемая среда» в каждом из своих состояний, позволяющие дать количественную оценку управляющим решениям, принимаемым относительно пропорций распределения налогов между уровнями бюджетной системы в порядке бюджетного регулирования.

1. Богомягкова И.В. Модель долевого распределения налогов в системе поддержки принятия решений по управлению межбюджетным регулированием // Научные ведомости БелГУ. Серия: История. Политология. Экономика. Информатика. 2010. Вып. 13/1.

Литература

SYSTEM “AUTO MATO N -SWITC HABLE MEDIUM” FOR SIMULATION OF SHARE TAX DISTRIBUTION

South Russian State Technical University (NPI)

E.D. STRELTSOVA I.V. BOGOMYAGKOVA V.S. STRELTSOV

Economical-mathematical model for budget regulation in a form of stochastic automaton functioning in integrate random medium is proposed. Separate fixed random medium for every type of taxes participating in share distribution between the levels of a budget system is analyzed. Formal expressions that give the possibility to choose the system status of the system “automaton - switchable medium” that corresponds to the norms of tax deductions at budget regulation are deduced.

e-mail: [email protected]

Keywords: budgetary regulation, regional level, economic-mathematical model, the stochastic automatic machine, the switched casual environment, final probabilities.