Модель кластерного одновиткового вихретокового датчика на основе метода конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

F

Для получения правильного результата величины, входящие в это выражение, необходим^ брать с учетом знака. .

Таким образом, видно, что координата 7 (высота) изменяется пропорционально значению вертикального сдвига изображения.

N

Y

і

Z

У

z

1м

Р и с. 4. Расчет вертикальной координаты объекта

Проведенный анализ стереосистемы позволил получить выражения для расчета координат X, У, Z точек объекта в пространстве, пользуясь первичной информацией — вертикальными и горизонтальными смещениями изображений заданных точек относительно оптических осей стереоканалов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Грузман И,С., Киричук B.C.. Косых В.Л. Цифровая обработка изображений в информационных системах. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002.

2. Яншия В,В-Анализ и обработка изображений: принципы и алгоритмы. М.: Машиностроение, 1995.

3. Мамчев Г.В. Стереотелевизионные устройства отображения информации. М.: Радио и связь, 1983.

УДК 681.518

СЮ. Боровик, Ю.В, Маринина, Ю.Н. Секисое

МОДЕЛЬ КЛАСТЕРНОГО ОДНОВИТКОВОГО ВИХРЕТОКОВОГО ДАТЧИКА НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ5

Приводится описание модели электромагнитного взаимодействия конструкций кластерного одновиткового вихретокового датчика с чувствительными элементами в виде отрезков проводников и электропроводного объекта (лопатки/лопасти газотурбинного двигателя). Модель построена на основе закона Био-Савара и модифицированного метода конечных элементов. Для заданных геометрических и электрофизических параметров чув~ ствительных элементов и имитатора лопатки (попасти) с помощью модели получены семейства функций преобразования, представляющих зависимость индуктивности от координат смещений имитатора.

Опыт практического применения систем сбора и обработки информации о смещениях лопаток (лопастей) винговентипяторов, компрессоров и турбин газотурбинных двигателей (ГТД) с использованием од-новитковых вихретоковых датчиков (ОВТД) с чувствительными элементами (ЧЭ) в виде отрезка проводника [1, 2], включенных в измерительные цепи с импульсным питанием, подтверждает ряд положительных качеств датчиков и, прежде всего, обеспечение высокого быстродействия и достаточной точности в экстремальных условиях применения [2]. Реализованные в системах методы измерения предполагают объеди-

Статья поступила в редакцию 20 ноября 2006 г.

Введение

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (фант №05-08-50185а).

нение ОВТД в кластеры, число датчиков в которых определяется количеством измеряемых координат [2-4].

Основным недостатком применения кластеров ОВТД является необходимость выполнения соответствующего числа установочных отверстий, что негативно влияет на прочность статора (статорной оболочки) ГГД. Уменьшить число установочных отверстий с сохранением требуемой точности измерения позволяет применение перспективных кластерных ОВТД (КОВТД), представляющих собой единую конструкцию, которая включает несколько ЧЭ, расположенных в торцевой части цилиндрического корпуса [5-7].

Информационный параметр ОВТД - эквивалентная индуктивность ЧЭ датчика (для КОВТД - эквивалентные индуктивности каждого из ЧЭ) имеет сложную функциональную связь с геометрическими параметрами датчика и объекта, электрофизическими свойствами материалов датчика и объекта, количеством и топологией размещения ЧЭ в корпусе датчика, направлением токов возбуждения в ЧЭ и другими факторами.

До недавнего времени исследования характеристик датчиков проводились экспериментально. Трудоемкость проведения таких экспериментов очень высока даже для ОВТД с одним ЧЭ. Для КОВТД трудоемкость экспериментальных исследований возрастает в разы. Все это приводит к необходимости поиска иных подходов к исследованию характеристик датчиков и, в том числе, компьютеризации исследования процессов, протекающих в КОВТД и объекте.

В работе [8] рассматривалась модель электромагнитного взаимодействия ОВТД с одним ЧЭ с имитатором объекта, основанная на использовании законов Био-Савара в сочетании с модифицированным методом конечных элементов. Создание КОВТД, объединяющих в своей конструкции несколько ЧЭ, выявило ряд существенных особенностей датчиков и. в частности, наличие взаимного влияния ЧЭ. В этой связи необходимым явилась разработка новой модели электромагнитного взаимодействия датчика и объекта. В настоящей статье приводится описание такой модели, а также полученные с ее помощью основные рабочие характеристики существующих КОВТД - семейства функций преобразования (ФП)1.

Модель электромагнитного взаимодействия КОВТД и объекта

В [9] рассмотрены основные варианты размещения ЧЭ в КОВТД. Там же отмечается, что число таких вариантов может быть большим, но с учетом практической целесообразности и конструктивнотехнологических ограничений, в существующих датчиках корпус делают цилиндрической формы, а число ЧЭ в датчике не превышает трех. На рис. 1 схематично показано несколько вариантов пространственного размещения датчиков с одним (рис. 1, а)г, двумя (рис. 1, б) и тремя (рис. 1, в) ЧЭ по отношению к объекту (торцу лопатки (лопасти) ГТД).

Р и с. 1. Пространственное размещение КОВТД с одним (а), двумя (б) и тремя (в) ЧЭ

Как уже отмечалось, датчики включаются в измерительные цепи с импульсным питанием, реализующие метод «первой производной» [2], Тогда в заданный момент времени на каждый ЧЭ КОВТД от индивидуальных источников питания одновременно подается импульс напряжения амплитудой Е. Скачок напряжения вызывает в цепях ЧЭ нарастающие токи, которые создают в окружающем пространстве первичные электромагнитные поля. Поля ЧЭ возбуждают вихревые токи в объекте, которые создают вторичное электромагнитное поле. Оно взаимодействует с полями ЧЭ, в результате изменяются информационные параметры ЧЭ - эквивалентные индуктивности. Различная пространственная ориентация ЧЭ относительно объекта позволяет определить координаты смещения объекта.

1 Функция преобразования КОВТД представляет собой зависимость эквивалентной индуктивности каждого ЧЭ, приведенной к выходу соответствующего согласующего трансформатора, от координат смещений.

2 В работе [9] этот вариант КОВТД назван «вырожденным» датчиком.

Необходимо также отметить, что поля, создаваемые ЧЭ, взаимодействуют между собой, а также с электропроводными, элементами конструкции самого датчика (в частности, с корпусом и собственным проводником ЧЭ). Следует ожидать, что влияние указанных видов взаимодействия может существенно влиять на величину эквивалентных индуктивностей ЧЭ и, следовательно, на результаты измерения.

На рис. 2 условно показаны элементы электромагнитного взаимодействия. Здесь же продемонстрировано разбиение ЧЭ, корпуса датчика и объекта на конечные элементы. , .

Объект имитируется пластиной прямоугольной формы из немагнитного электропроводного материала, а ЧЭ КОВТД - прямолинейными проводниками прямоугольного сечения (сечение проводников может быть различной формы, например, круглым). При этом не накладываются ограничения на число ЧЭ.

Чувствительные элементы КОВТД являются частью электрических контуров с заданными геометрическим размерами, в которые включены источники импульсного напряжения Е. Проводники контура характеризуют токоподводящие электроды к ЧЭ.

Имитатор объекта, корпус и ЧЭ разделены на конечные элементы путем разбиения с равномерным шагом по длине, ширине и высоте. Токоподводящие проводники ЧЭ разбиты на конечные элементы длины, а площади, охватываемые контурами ЧЭ, разбиты на конечные элементы поверхности.

Далее производится замена конечных элементов их электрофизическими эквивалентами. Так, элемент линейного проводника заменяется тонкой проводящей нитью, проходящей через центр симметрии проводника. При этЬм пространственное положение; электрофизического эквивалента соответствует положению конечного элемента, а омическое сопротивление нити — величине его сопротивления.

Конечный элемент тонкой электропроводной пластины заменяется прямоугольным контуром из электропроводящих тонких нитей, проходящих по периметру конечного элемента. Эквивалентное сопротивление нитей находится из условия, согласно которому электропроводность нити в направлении длины или ширины равна половине электропроводности пластины в соответствующем направлении. Электрофизический эквивалент конечного элемента сохраняет пространственное положение реального элемента.

Конечный элемент объема заменяется элементом из тонких проводящих нитей, проходящих по ребрам конечного элемента, Эквивалентное сопротивление нитей находится из условия, что электропроводность нити в направлении длины, ширины и высоты равна четверти электропроводности конечного элемента в соответствующем направлении. Электрофизический эквивалент конечного элемента сохраняет пространственное положение реального элемента. -

Электрофизический эквивалент элемента конструкции складывается из электрофизических эквивапен-тов соответствующих конечных элементов. При этом совпадающие нити объединяются в одну, а омическое сопротивление объединенной нити вычисляется с учетом количества объединяемых или последовательно соединенных нитей. -

На рис. 3 представлена схема процесса электромагнитного взаимодействия ЧЭ КОВТД с имитатором объекта. На схеме ЧЭ корпус датчика и имитатор: объекта замещены соответствующими элементами из бесконечно тонких нитей с сохранением размеров и пространственного положения в системе координат.

Каждый проводник схемы рис. 3 является элементом тока (ЭТ). Соединение проводников в точке образует узел, а замкнутое соединение проводников - контур. В окружающем пространстве каждый ЭТ создает магнитное поле, величина индукции которого определяется по закону Био-Савара:

Корпус

где /4 — магнитная проницаемость среды; /, /, Л° - соответственно ток, длина и единичный вектор направ- датчика

ления ЭТ; г, г° - соответственно расстояние от центра элемента тока до точки, в которой определяется индукция, и единичный вектор направления.

Индукция в произвольной точке пространства В{Х,¥,2) находится как векторная сумма элементарных индукций от всех J токов модели:

J

что дает возможность оп-

У=1

ределить величину потока индукции для элементарных площадок (А5!), а также магнитный поток (Ф = В• АЗ ), лото-косцепление (’Р = Ф) и электродвижущую силу (е = (3/'Р/Л) для любого из контуров модели.

Имитатор

объекта

Р и с. 3. Схема взаимодействия КОВТД с объектом

■Ко

-V я ■

А'г *А'т

Лл

^ Щу .Ш .14 *№ 'д/у

*

иы

^ Г-

1 _5

Ен

ха><1 ^ ‘ №

1т

°* .ш .ш

1{Ь *0г

У

Рис. 4. Эквивалентная электрическая схема элементов КОВТД и объекта

Это позволяет от схемы рис. 3 перейти к эквивалентной электрической схеме с сосредоточенными параметрами (рис. 4). При этом каждая нить тока заменяется эквивалентным омическим сопротивлением Д, величина которого зависит от размеров конечного элемента и электропроводности материала. Так, например, величина Лэ для нити конечного элемента прямоугольного сечения равна учетверенной величине омического сопротивления конечного элемента в выбранном направлении:

; Иу=4р—

(2)

где 1Х, 1у, 12-размеры конечного элемента в направлении осейX, У, 2, ^-удельное сопротивление металла.

На основе законов Кирхгофа для эквивалентной электрической схемы (рис. 4) может быть составлена система уравнений для контуров (с учетом ЭДС индукции) и для узлов'. Система содержит Н(аЦМ+1)+СМ(Ь+1)+МЦО+1))+Рд(8+1)+Р5((}+1)+д$(Р+1)+иУ(Ш+1)+Ш(У+1)+т(и+1) уравнений контуров и (С+ 1)(Ь+1)(М+1)->г(Р+1)(0+ 1)(0+1)+(и+ 1)(у+1)(№+1)+1 уравнений узлов, причем общее число уравнений равно числу неизвестных токов, где N - число ЧЭ КОВТД; (?, Л, М- число разбиений ЧЭ на конечные элементы соответственно по X У, 2; Р, 0, 5-число разбиений корпуса датчика на конечные элементы соответственно по X, У, 2\ и, V, Ж ~ число разбиений имитатора объекта на конечные элементы соответственно по X, У, Ж.

Таким образом, математическая модель электромагнитного взаимодействия ЧЭ, корпуса датчика и имитатора объекта, представленная цепями с сосредоточенными параметрами, имеет вид следующей системы уравнений.

Контуры ЧЭj (плоскость ХУ)7-.

Контуры корпуса КОВТД (плоскость ХУ)1:

(3)

Контуры имитатора объекта (плоскость ХУ)

1 Дифференциальные уравнения для контуров и алгебраические уравнения для узлов.

2 Аналогичный вид имеют уравнения контуров в плоскостях Х2 и

- '* + +frw-'K-1» - 4 - ifp - if = о,

^-WMX*-» + (g-W-lX-l» +/g-iw-in*-l) =0,

<£, +й +45-,Х'-Ж-,-1) + ^ХМК»-.) _tp =0(

^L-ЩМ-Ц +i<g-W-i№-X) +fg-lXi-lK«-i) _ .g* _;СМ, =a

Узлы корпуса КОВТД:

Л И .111 ,‘У 1 _ п

~1Ех ~1Ёу ~1Ёг ~U>

_:R4$ _;R4S -i&s =f)

lEx Ey Et Ex Ey 'fcr u>

jlP-WQ-WS-l) +j(PA){Q-l)(S-]) +i{P-\)(Q-\){S-]) _jPQS _ -PQS _/PQS = ^

Ex Ey Ez Ex Ey Ez *

Узлы имитатора объекта:

,(k-1)(v-1)(w-1) .(u-1)(v-1)(w-1) .(«-])(V~])(w-1) -uvu- .yvu -tm. _ n

llx +г1у Чг 4x fy lh ~u’

.([/-1МК-1К1Г-]) , , f{u-i >(v-\)<им) Jjm .UVW Ajvw _ n

l!x +tfy + llz ~ llx " ‘fy - Jz ~u*

В уравнениях приняты следующие индексы: первый нижний буквенный индекс определяет принадлежность элементу модели (И - цепь источника напряжения, Л, - проводник ЧЭ,, О - имитатор объекта, К - корпус датчика); второй нижний индекс для токов и сопротивлений соответствует направлению оси (X.Y или Z), а для ЭДС двойной буквенный нижний индекс соответствует плоскости, в которой находится контур; верхний цифровой индекс обозначает порядковый номер элементов в направлении осей XYZ.

С целью упрощения в контуре, содержащем источник питания, нижние индексы для токов и сопротивлений эквивалентной схемы заменены обозначением abj (точки подключения у-того источника питания, рис- 4), а верхний индекс отражает порядковый номер элемента. При этом, например, для 43i (рис. 4)

А _ ;122 ,2 _ ,222 „ pi _ иШ D2 _ D222

*ab\ — ~~Ч \х > *ай1 — Ч ]jt а “ab\ — 1* > *^ab\ ~ \х

Система уравнений (3) позволяет найти все токи модели, их изменение во времени, а также обеспечивает определение магнитной индукции в любой точке пространства и величины эквивалентной индуктивности каждого ЧЭ КОВТД Изменяя величину смещений объекта по осям X, У, Z, представлен-

ная модель дает возможность получить семейства функций преобразования для каждого ЧЭ КОВТД.

Результаты применения модели

Модель (3) была использована для получения ФП КОВТД. В ней не учитывалось влияние корпуса датчика, а объект имитировался тонкой пластиной. Напряжение питания источников в токозадающих контурах для всех вариантов конструкции КОВТД выбиралось равным 2В.

В таблице приведены основные параметры КОВТД и имитатора объекта, для которых проводилось моделирование. Здесь 1чэ - длина ЧЭ КОВТД lTt) - длина токозадающего контура, /№ wH, hHt- соответственно длина, ширина и толщина имитатора. Для материала ЧЭ и имитатора были приняты следующие электрофизические характеристики: .2566' JСГ6 Гн/м, р=1.75*10‘6 Ом-м.

На рис. 5 представлены ФП КОВТД с одним ЧЭ в виде зависимости L(X, У). При X=const ФП может быть выражена зависимостью индуктивности от радиального смещения (зазора) [2]. На рис, 6, 7 представ-

лены семейства ФП для КОВТД с двумя и тремя ЧЭ, причем на рис, 7 приведено семейство ФП для двух значений углов поворота (<р) имитатора относительно оси У системы отсчета.

Параметры КОВТД и имитатора объекта

- : швтя . ! о з объекта

ЙЕР г:; 'Размеры ■ ^ Материал ЧЭ Размеры Материал имитатора

1 Ф /чэ“39 мм, /^24 мм Медь />г=б0 мм, ъ>х=45 мм, А^З мм Медь

2 (0) =36.8 мм, 1Т^=24 мм Медь 1и=60 мм, ■»,й=45 мм, й^З мм Медь

3 о 1чэМчэ!~ Л,гу=33.8 мм, /ув=24 мм Медь /я= 60 мм, и'^=45 мм, йи*3 мм Медь

Характер изменения ФП (рис. 5, 6, 7) соответствует экспериментальным данным, полученным при градуировке макетов КОВТД с близкими геометрическими параметрами.

Заключение

Разработана модель электромагнитного взаимодействия ЧЭ КОВТД с имитатором объекта, учитывающая взаимное влияние ЧЭ. С помощью модели рассчитаны ФП для датчика с одним ЧЭ и семейства ФП - для КОВТД с двумя и тремя ЧЭ, Характер изменения ФП соответствует экспериментальным данным, полученным при градуировке макетов датчиков.

Р и с. 5. Функция преобразования КОВТД с одним ЧЭ Рис. 6. Функции преобразования КОВТД с двумя ЧЭ

X, нм У, мм X, мм У, мм

а 6

Р и с, 7. Функции преобразования КОВТД стремя ЧЭ для град (а) и <р=\Ь град (б)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Райков Б.К., Секисов Ю.Н., Скобелев О.П., Хритин Л,А. Вихретоковые датчики зазоров с чувствительными элементами в виде отреэка проводника Н Приборы и системы управления, 1996, №8. С. 27-30.

2. Методы и средства измерений многомерных перемещений элементов конструкций силовых установок / Под ред. Ю.Н. Секисова, О.П. Скобелева; Самара: Самарский научный центр РАН, 2001. 188 с.

3. Боровик С.Ю., Секисое Ю.И., Скобелев О.П., Тулупова В, В. Измерение и вычисление координатных составляющих многомерных перемещений торцов лопаток в процессе вращения ротора// Автометрия. 2001. К*2. С. 103-111.

4. Секисое Ю.Н., Скобелев О.П. Измерение составляющих многокоординатных смещений элементов конструкций силовых установок с моделированием неизмеряемых составляющих (концепция и реализующие ее методы измерения) // Мехатроника, автоматизация, управление, 2004, №7. С. 29-35.

5. Беленький Л.Б., Райков Б.К, Секисое Ю.Н., Скобелев О.П. Одновитковые вихретоковые датчики: от кластерных композиций к кластерным конструкциям // Проблемы управления и моделирования в сложных системах; Тр. VI Между нар. конф., Самара, Россия, 14-17 июня 2004. Самара; Самарский научный центр РАН, 2004. С. 437-443.

6. Райков Б.К. Кластерный вихретоковый датчик для измерения смещений торцов лопастей винтовентилятора по трем координатам // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Тр. VII Междунар. конф., Самара, Россия, 27 июня - 01 июля 2005. Самара: Самарский научный центр РАН, 2005. С. 175-180.

7. Райков Б.К. Модульные конструкции кластерных одновитковых вихретоковых датчиков. Особенности работы при последовательном и параллельном опросе модулей // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Тр. VIII Междунар, конф., Самара, Россия, 24-28 июня 2006. Самара: Самарский научный центр РАН, 2006. С. 240-245.

8. Секисое Ю.Н Методы и средства измерений многомерных перемещений элементов конструкций силовых установок И Автореферат лис,... д-ра техн. наук. Самара, 1999. 32 с,

9. Боровик С.Ю., Секисое Ю.Н., Скобелев О.П. Методы получения информации о многокоординатных смещениях торцов лопаток и лопастей в газотурбинных двигателях // Проблемы управления и моделирования в сложных системах; Тр. VIII Междунар. конф., Самара, Россия, 24-29 июня 2006. Самара: Самарский научный центр РАН, 2006. С. 232-239.

Статья поступила в редакцию 30 ноября 2006 г.

УДК 004.056.55

М. Б. Золотарев, В.К. Морозов

АЛГОРИТМЫ ПРОВЕРКИ НА ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ЧИСЕЛ К МНОЖЕСТВУ ПРОСТЫХ

В данной статье рассматриваются закономерности распределения простых чисел на числовой оси и их возможное применение s современных системах шифрования данных, в частности RSA, а также в других способах кодирования информации.

Введение

В настоящее время активно развивается так называемая интеграция различных сфер человеческой деятельности в Интернет, и многие из этих нововведений требуют обеспечения защиты от несанкционированного получения доступа третьими лицами. Например, сегодня уже существует возможность передачи налоговых деклараций в соответствующий государственный орган через Интернет. Понятно, что данные должны быть защищены от незаконного прочтения или копирования. Это требование выполняется путем шифрования данных специальными алгоритмами, каждый из них характеризуются своей криптостойкостью. Существует очень большое количество методов шифрования: UUE, AES, RSA, IDEA,.. Остановимся на популярном алгоритме, использующем открытый ключ - RSA (создатели: Рон Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман). Криптостойкость алгоритма RSA основывается на недоказанном математическом предположении о сложности разложения больших чисел на множители (факторизации).

RSA используется в самых различных программных продуктах, например, в операционных системах от Microsoft, Apple, Novell, входит в состав сетевых протоколов для защищенного соединения в Интернете (SSL, S/MIME, S/WAN) и различных программ для шифрования данных (PGP). В аппаратном криптографическом оборудовании Zaxus, сетевых платах Ethernet также использовался RSA-алгоритм. На момент конца 2000 г. технологии с применением алгоритма RSA были лицензированы более чем 700 компаниями [1]. Для его использования необходимо сгенерировать два достаточно больших простых числа р и q, затем найти их произведение (N). После этого подбирается е, большее 1, но меньшее <p={p-l)*(q-l) и не имеющее с ф общих делителей, кроме единицы. Далее генерируется d, удовлетворяющее условию e*d = 1 (mod q>). Затем числа р и q могут быть уничтожены. Таким образом, для того чтобы зашифровать сообщение, необходимо вычислить Y=X'(mod К), где X - исходное число, Y - шифр. Для декодирования необходимо знать N (открытый ключ) и d (секретный ключ): X=Yd(mod N). Секретный ключ можно вычислить, разложив на множители N. Поэтому для надежной защиты длина N должна быть не менее 512 бит, а лучше - более 1024 бит. Однако разложение на множители числа N можно значительно упростить, если в качестве перебираемых делителей использовать только простые числа. В этой связи представляет интерес разработка методов и алгоритмов для генерирования простых чисел и проверки конкретных чисел на принадлежность множеству простых.