CC BY
102УДК 681.518
Л.Б. Беленький, Б.К. Райков, Ю.Н. Секисов, В.В. Тулупова
ФУНКЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КЛАСТЕРНОГО ОДНОВИТКОВОГО ВИХРЕТОКОВОГО ДАТЧИКА С ТРЕМЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ1
Рассматривается семейство функций преобразования кластерного одновиткового вихретокового датчика с тремя чувствительными элементами в виде отрезка проводника, представляющих зависимости индуктивностей всех чувствительных элементов датчика от координатных смещений торца лопасти винтовентилятора. Предложена модель электромагнитного взаимодействия контуров с чувствительными элементами и имитатора объекта — прямоугольной пластины, обеспечивающая получение семейства функций преобразования в аналитическом виде, т.е. в виде формул. Приводятся результаты применения модели для расчета семейства функций преобразований для заданных параметров контура имитатора объекта и контуров с чувствительными элементами.
Введение
Известны методы получения измерительной информации о многокоординатных смещениях торцов лопастей винтовентилятора газотурбинного двигателя с использованием кластерных одно-витковых вихретоковых датчиков (КОВТД) [1, 2]. КОВТД представляют собой единую конструкцию, включающую несколько чувствительных элементов (ЧЭ) в виде отрезка проводника. ЧЭ размещаются в плоскости торца датчика, обращенной к объекту, и соединяются тоководами с пер -вичными обмотками согласующих трансформаторов (СТ), через которые осуществляется связь с мостовыми измерительными цепями (ИЦ) [3, 4]. В ИЦ используется импульсное питание, а на выходе ИЦ формируется сигнал в виде напряжения, соответствующего первой производной тока в датчике в момент подачи питания (/=0) [5]. Основные рабочие характеристики КОВТД - семейства функций преобразований (ФП), каждая из которых представляет зависимость индуктивности ЧЭ, приведенной к выходу соответствующего СТ, от координат смещений торца лопасти.
До последнего времени семейства ФП определялись экспериментальным путем, и это затрудняло исследования КОВТД, направленные на совершенствование конструкций и оптимизацию параметров (например, диапазонов измерений и чувствительностей к координатам смещений).
В работе [6] предложена численная модель КОВТД, построенная на основе закона Био-Савара и модифицированного метода конечных элементов. Она позволяет в результате компьютерного эксперимента получить семейство ФП датчика для заданных геометрических и электрофизических параметров ЧЭ и имитатора лопасти в виде плоской прямоугольной пластины. Однако для решения задач оптимизации параметров более предпочтительны упрощенные модели [7, 8], в которых семейство ФП представлено аналитически, но в этих моделях число ЧЭ в КОВТД не превышает двух. Для построения моделей с большим числом ЧЭ используется аналогичный подход. В настоящей статье рассматривается модель, отличающаяся от существующей увеличенным числом ЧЭ (тремя), которая также обеспечивает получение семейств ФП в аналитическом виде. Приводятся результаты расчета семейства ФП для заданных параметров контура имитатора объекта и контуров с ЧЭ.
Функция преобразования
КОВТД с тремя ЧЭ [4] изображен на рис. 1, а. Каждый из ЧЭ представлен своим контуром, отдельным контуром показан имитатор объекта. Предполагается, что напряжение питания в виде одиночного импульса прямоугольной формы амплитудой Е подается во все контуры ЧЭ одновременно (рис. 1, б). Там же представлена геометрическая модель контуров в системе координат 0ХУ2
(в)2.
Под действием напряжения Е в контурах ЧЭ возбуждаются нарастающие токи /1, /2, /3, создающие первичные электромагнитные поля. В контуре имитатора объекта под действием ЭДС ин-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-08-50185а).
Конфигурация ЧЭ КОВТД задана в виде равностороннего треугольника, ориентированного вдоль оси X, но при расчете семейства ФП она может быть и другой. Угол поворота лопасти относительно оси X также может быть произвольным.
дукции е4 возникает ток і4, характеризующим вихревые токи и создающий вторичное электромагнитное поле. Через поверхность, ограниченную каждым у-тым первичным контуром,
проходит магнитный поток Ф]Р возбуждае-
Согласующие
трансформаторы
Один из тоководов
Чувствительные
Р и с. 1. КОВТД (а), модель электромагнитного взаимодействия ЧЭ с имитатором объекта (б) и геометрическая модель контуров в системе координат 0ХЇ2 (в)
мый током контура ір и потоки Ф_^, возбуждаемые токами соседних контуров ік (У=1..3; к=1..4 и к*). Потокосцеплениеу-того контура Щ определяется полным магнитным потоком
фу = фуу -Еф* , (/'=1..3).
к * у
Допуская, что параметры электромагнитного поля в пределах каждого контура (рис. 1, б) не зависят от координат и проводники, образующие контур, являются бесконечно тонкими, по закону Био-Савара можно определить величину индукции магнитного поля В , которое создает каждая из сторон прямоугольного контура в окружающем пространстве. Тогда индукция в произвольной точке пространства определится как векторная сумма индукций от всех проводников, образующих стороны прямоугольного контура. Модуль индукции магнитного поля В, создаваемого прямолинейным проводником с током конечной длины, определяется как [9]
т '
B = ^ 1 (c 4р r
cos a1 - cos a
2)
где r - расстояние от точки, в которой определяется индукция, до проводника, аІ и а2 -углы, образованные радиус-векторами, проведенными в эту точку из начала и конца проводника и самим проводником, m - магнитная проницаемость.
Аналогичным образом можно определить модуль индукции магнитного поля B от каждого проводника в центре контура, возбуждаемого током этого контура (рис. 2, а), или в центре соседнего контура, возбуждаемого током соседнего контура (рис. 2, б). Вычисляя косинус угла между векторами l и m (l и n) через их скалярное про-l ■ m
изведение (cos a =------, [І0]), а расстояние
lm
(r) до проводника (l) как проекцию вектора m на направление вдоль вектора р, модуль индукции B вычисляется по формуле:
m i Г l ■ m l ■ n
4p ( m ■ p H lm In
B =
m
m ■ p
mp
(І)
a
в
С учетом дистрибутивности векторного произведения [10] магнитный поток первого контура является суммой четырех скалярных произведений индукций от токов /1, /2, /3 и /4 на площадь кон -тура 64
4 4 4
ф =Хв1к . в, = ХЇ,.Iк 4Р-£
к=1 к=1 ]=1
1 к 'т к
вщ
Ікітікі
Ікі • Пік] 11дПІ1д
ік]
( т ік] • Рк] Л
т
к Рк]
где Ї, - вектор-нормаль площади контура 5,, В1к - индукция в центре от токов ік, В°д -
единичный вектор направления индукции от ]-того проводника к-того контура к центру площадки і-того контура, вычисляемый через нормализацию векторного произведения вектора направления ]-того проводника к-того контура І^ на вектор-радиус от начала]-того проводника к-того контура
до центра площадки і-того контура т^ (В^ =
Ікі * тік] \Ік} * тік]І
рис. 2), Ік], тк, Пік], рк] - вспомо-
гательные вектора для вычисления модуля индукции по формуле (1) для ]-того проводника к-того контура и центра площадки і-того контура.
Р и с. 2. Определение индукции магнитного поля в центре контура с током (а) и в центре соседнего контура с током (б)
Собственная индуктивность 1-го контура и взаимные индуктивности в 1-м контуре от поля к-
того контура вычисляются как
(
Ь1 = М11 =
4л
4 І Ї, •£ 1у
І1] • тШ
* т11 і 11 ]ті1 ]
І1] • ПШ
11]пі1]
1 |І1і * т
11і
т
і1]
(ті1 ] • Р1.л
т
і1]р1}
(2)
М 1к =
4л
Ї Ікі * т1к/
]=1І Ікі * т1к\
Ік] ' тік] Ік]тік]
Ік] ' Пік] Ік]Пік]
т
ік]
( т ік] • Р к] Л
т
ік]рк]
(3)
и определяются геометрическими размерами этих контуров (I^) и геометрическими параметрами
их размещения друг относительно друга (Шщ, Пщ, р^). Каждый из векторов I^, т^, п^ , р^
задается своими проекциями в системе координат 0ХУ2 (рис. 1, б), а вычисление скалярных и векторных произведений, длин и сумм векторов осуществляется с использованием этих проекций по правилам векторной алгебры.
С учетом формул (2), (3) магнитный поток для 1-го контура рассчитывается, как ф1 = Мп/'1 + М12/2 +М 1зг'з + М 14^4, аналогично определяются магнитные потоки для остальных контуров. Учитывая, что потокосцепление и электродвижущая сила для каждого контура вычис-
ёУ
ляются по формулам У = Ф и е = , на основе второго закона Кирхгофа можно составить сис-
тему уравнений, характеризующих изменение токов во времени:
I
а
і1Я1 + Мп + МХ2 —2 + М!3 --3 + Мм -і4 - Е,
ш ш ш ш
и2^2 + М21 + М22 2 + М23 3 + М24 4 = Е,
— — — —
/3^3 + Мзі + М32 —2 + М33 —3 + М34 -щ4 = Е,
— — — — г, лг —/1 лг —/2 иг —і3 иг —/4 п
/4^4 + М41 ~—т + М42 + М43 ш + М44 —~ - 0
ш ш ш ш
Как уже отмечалось, в ИЦ КОВТД используется импульсное питание и реализуется метод первой производной [5], т.е. начальные условия таковы, что в момент времени /=0 все токи равны нулю. Тогда для начального момента времени /=0 в системе (4) исчезают слагаемые, содержащие токи, а система (4) определяется в матричной форме как
—І1
—
11м 12М13М14 —І2 ~Е
21М 22М 23М 24 — Е
4 3 М3 3 3 М2 2 3 М1 3 —І3 Е
1 ■"З- М ГО М СЧ М — 0
—І 4
_ — _
„ —I
или М — = Е. —і
(5)
Система уравнений (5) относительно неизвестных производных
—и —і2 —і3 —і
3
4
стано-
& & & &
вится линейной. Если использовать формулу Крамера [10] для определения неизвестных системы линейных уравнений, то первое уравнение системы будет представлять собой
detM
—і1
А11 А21 + А31 —
=Е
второе
detM
—и
А12 + А22 А32 —
= Е, третье -
detM
—і
_______________________3
А13 - А23 + А33 —
= Е , где
(л]к, ] = 1..3, к = 1..3) - миноры соответствующих элементов матрицы М системы (5). Определяя
индуктивность контура с ЧЭ как отношение напряжения питания контура и производной соответствующего тока, можно записать индуктивности контуров с ЧЭ КОВТД (£ЧЭ1, £Чэг и £ЧЭ3) в аналитическом виде:
^ЧЭ1 =
1ЧЭ2 =
1ЧЭ3 =
detM
А11 - А21 + А31
deіM
- А12 + А22 - А32
detM
А13 - А23 + А33
(6)
Индуктивности измерительных каналов, в которых включены ЧЭ:
(7)
где ш - коэффициент трансформации по индуктивности СТ.
Элементы матрицы М в (6), являющиеся собственными и взаимными индуктивностями, определяются по закону Био-Савара (формулы (2), (3)) и зависят от геометрических размеров контуров и их взаимного расположения в пространстве, в том числе и от координат смещений имитатора объекта относительно неподвижных ЧЭ. Таким образом, формулы (6)-(7) определяют семейство ФП как зависимости индуктивностей датчика от координат смещений имитатора объекта в систе-66
ме координат 0ХУ2. Расчет по этим формулам позволяет получить семейство ФП для любых геометрических размеров и взаимного расположения ЧЭ, геометрических размеров имитатора объекта, любых диапазонов изменения координат смещений. Благодаря использованию метода первой производной, когда выходной сигнал ИЦ фиксируется в момент (®0, индуктивности КОВТД оказываются не зависящими от сопротивлений контуров, а следовательно, от удельных сопротивлений материалов элементов конструкции датчика и имитатора объекта.
Примеры расчета функции преобразования
Геометрические параметры контуров (рис. 1, в) задаются в соответствии с размерами ЧЭ КОВТД и имитатора (а1=а,2=45 мм, Ь1=Ь2=67 мм). Перемещение контура имитатора (перемещение точки геометрического центра в его торцевой части - г.ц.) относительно начала системы координат 0X77 (рис. 1, в) производится в диапазонах X е [0;70] (мм), У е [1;20] (мм), 2 е [0;20]. Коэффициент трансформации СТ ш=38.
а
б
в г
Р и с. 3. Результаты расчета семейства ФП Ь = / (X, У, 2) в системе координат 01Х (2=0)) и в системе координат 0ЬУ (Х=0)); результаты эксперимента в системе координат 0ЬХ (2=0) (в)
и в системе координат 0ЬУ (Х=0) (г)
Для сравнения расчетного и экспериментального семейства ФП изготовлен макет КОВТД с тремя ЧЭ, образующими равносторонний треугольник в торцевой части корпуса цилиндрической формы. ЧЭ - линейный цилиндрический проводник длиной 67 мм. В макете датчика с помощью конструктивных мер обеспечено формирование электромагнитного поля в пространстве только током, протекающим по ЧЭ, остальные части контуров экранируются элементами корпуса. ЧЭ включен в ИЦ с импульсным питанием [5]. Изменения выходного сигнала ИЦ от смещения имитатора объекта по координатным осям пересчитываются в соответствующие значения индуктивности. Имитатор представляет собой медную пластину толщиной 0.5 мм и габаритными размерами 67x45 мм.
Эксперименты выполнялись на специальной градуировочной установке, позволяющей изменять координаты имитатора объекта в направлении осей Х, У, 2. Ввод сигнала в компьютер осуществлялся с помощью платы аналогового ввода Ь-783 (ЗАО «Л-КАРД») и согласующего устройства, в котором ИЦ реализована в соответствии с методом первой производной [5].
Семейства ФП определялись в условиях, когда остальные ЧЭ обесточены.
На рис. 3 приведены расчетные и экспериментальные семейства ФП в координатных осях 0ЬХ при 2=0 (а, в) и в координатных осях 0ЬУ при Х=0 (б, г). Результаты показаны в относительных
единицах. Относительная индуктивность Ьотн определяется по формуле LomH =-------------------—— , где
Lmax Lmin
Lmax и Lmin - границы диапазона изменения индуктивности. Относительные координаты вычис-X Y Z
ляются как Xотн = X------- H YomH = Y-----> Zотн = Z-> Где Xmax , Ymax , Zmax " верхние граниЦы
mav mav ^ iy
max max max
=Y =Z
min min min
диапазонов изменения координат (X т1п = Ут1п = 2 т1п = 0).
Изменения индуктивности для расчетных и экспериментальных данных носят один и тот же характер.
Заключение
Разработана модель электромагнитного взаимодействия контуров с тремя ЧЭ между собой и с контуром, имитирующим лопасть винтовентилятора. На основе разработанной модели получено семейство ФП в виде формул, определяющих зависимости индуктивностей от X, У, 2 - координат смещений имитатора с учетом геометрических размеров ЧЭ, имитатора и направлений токов в ЧЭ.
В качестве примера произведен расчет ФП для конкретных значений перечисленных параметров. При этом характер изменения индуктивностей соответствует экспериментальным данным.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Боровик С.Ю., Секисов Ю.Н., Скобелев О.П. Методы получения информации о многокоординатных смещениях торцов лопаток и лопастей в газотурбинных двигателях // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды VIII междунар. конф. (Самара, 24-29 июня 2006 г). Самара: Самарский НЦ РАН, 2006. С. 240-245.
2. Боровик С.Ю., Секисов Ю.Н., Скобелев О.П. Обобщенное представление методов получения измерительной информации о координатах смещений торцов лопаток и лопастей // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. №3. Приложение. С. 19-24.
3. Беленький Л.Б., Райков Б.К., Скобелев О.П., Секисов Ю.Н. Одновитковые вихретоковые датчики: от кластерных композиций к кластерным конструкциям // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды VI междунар. конф. (Самара, 14-17 июня 2004 г). Самара: Самарский НЦ РАН, 2004. С. 437-443.
4. Райков Б.К. Кластерный вихретоковый датчик для измерения смещений торцов лопастей винтовентилятора по трем координатам // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды VII междунар. конф. (Самара, 27 июня - 1 июля 2005 г.). Самара: Самарский НЦ РАН, 2005. С. 189-192.
5. Секисов Ю.Н., Скобелев О.П., Беленький Л.Б. и др. Методы и средства измерения многомерных перемещений элементов конструкций силовых установок / Под ред. Ю.Н. Секисова, О.П. Скобелева. Самара: Самарский НЦ РАН, 2001. 188 с.
6. Боровик С.Ю., Маринина Ю.В., Секисов Ю.Н. Модель кластерного одновиткового вихретокового датчика на основе метода конечных элементов // Вестник СамГТУ. Сер. Технические науки, 2007. №1(19). С. 76-83.
7. Тулупова В.В. Упрощенные аналитические модели взаимодействия чувствительных элементов кластерного одновиткового вихретокового датчика с торцами лопаток и лопастей // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды VIII междунар. конф. (Самара, 24-29 июня 2006 г). Самара: Самарский НЦ РАН, 2006. С. 246-252.
8. Райков Б.К., Секисов Ю.Н., Тулупова В.В. Функции преобразования кластерного одновиткового вихретокового датчика // Автометрия, 2008. №1(44).
9. Яворский Б.М, Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. М.: ООО «Издательство Оникс», 2006. 1056 с.
10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1977. 832 с.
Статья поступила в редакцию 10 января 2008 г.
