CC BY
65
МОДЕЛЬ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВА ИГРОКОВ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫМ ФУТБОЛЬНЫМ КЛУБОМ
Дмитриев А.Г., преподаватель каф. ММПР,
Романников А.Н., к.э.н., доцент каф. ПМ МЭСИ
В настоящее время в мировом футболе складывается революционная ситуация, заключающаяся в том, что все сильнее увеличивается разница в трансферных бюджетах футбольных клубов, что в свою очередь приводит к необоснованному росту стоимости игроков, а так же их заработных плат. Данное положение не может не отражаться и на спортивных результатах, как богатых так и клубов не имеющих возможности покупки футболиста за «любые» деньги. В то же время необходимо отметить тот факт, что в основном клубы использующие в своем развитии потребительскую и спекулятивную стратегию пользуются привлеченными кредитными ресурсами и в большинстве своем не отличаются финансовым благополучием.
Ключевые слова: мировой футбол, игроки, кредитные ресурсы, календарное планирование.
MODEL SCHEDULING PRODUCTION OF PLAYERS TO PROFESSIONAL FOOTBALL CLUB
Dmitriev A., Chair teacher, MMPR Romannikov A., Candidate of Economic Sciences, Associate Professor PM, MESI
At the present time in world football, a revolutionary situation, which consists in the fact that more and more increases the difference in transfer budgets, football clubs, which in turn leads to an unjustifiable increase in costs of the players, as well as their wages. This situation can reflect on sports results, as well as the rich clubs are unable to purchase football player for “any” money. Model presented in this article allows to plan the production of _players on the required position, which in turn leads to a reduction of transfer costs and the redistribution of financial resources freed up for other activities of the club.
Keywords: world football, the players, credit resources, scheduling.
Для решения этого вопроса УЕФА принял программу «финансово честной игры»1, по которой обязал все профессиональные футбольные клубы выйти к сезону 2012/2013 на уровень безубыточности. Данная программа помимо улучшения экономических показателей клубов носит характер выравнивания состязательной составляющей футбола, в связи с чем клубы производители получают возможность на равных бороться за европейские трофеи.
Основной статьей доходов клубов использующих стратегию производителя2 являются доходы от производства с последующей продажей собственных воспитанников, поэтому существует необходимость в разработке экономико-математических моделей позволяющих оптимизировать данный процесс.
Рассмотрим некоторый процесс производства и продажи игроков в дискретные моменты времени t=0,1,____,T, где Т - плановый период.
Спрос на игроков в эти моменты времени определяется заданной функцией p(t).
Игроки не могут долго оставаться невостребованными на рынке, т.к. если клубу не поступило предложение о продаже из аналогичной по уровню лиги, существует возможность продажи игрока в низшую лигу, не говоря уже о международной продаже. Выпуск игроков определяется функцией v(t).
Будем считать, что при несовпадении производства игроков v(t) и потребности в них p(t) имеют место финансовые потери. Рассмотрим несколько вариантов данного несовпадения:
1. 5 © = v(t) - p(t) < 0. Наблюдается дефицит игроков, финансовые потери связаны как с неудовлетворенностью спроса.
2. 5 © = v(t) - p(t) > 0. Потери связаны как с содержанием игроков, так и с поиском новых потребителей или альтернативных условий
передачи прав на футболиста (аренда).
Если считать, что потери от превышения объема поставки игроков над спросом (5 > 0) , меньше чем потери связанные с дефицитом игроков (5 > 0) конкретного амплуа на трансферном рынке, при одинаковых абсолютных значениях в обоих случаях | 5 I то график функции потерь ACS) будет иметь вид показанный на рисунке 1.
Рис. 1. График функции потерь
Необходимо отметить тот факт, что дефицит игроков можно рассматривать с двух точек зрения:
- С позиции клуба. В данном случае речь идет о потребности усиления определенной позиции за заданный промежуток времени, с целью улучшения спортивных результатов При покупке футболиста требуемого уровня клуб несет расходы связанные с трансфером игрока, а так же с его последующим содержанием.
- С позиции трансферного рынка. На протяжении некоторого времени не появляется игрока на дефицитную позицию нужного качества (так на протяжении 2000-2004 самой дефицитной позицией на трансферном рыке России считалась позиция левого полузащитника). В этом случае клубы-производители и спекулянты несут потери связанные с упущенной выгодой.
1 www.uefa.com
2 Дмитриев А.Г., Романников А.Н., Бережной О.И. Модель формирования трансферной стратегии клубов российской футбольной премьер-лиги -М.: Сборник научных трудов МГУ ЭСИ, 2009
Функциональная зависимость представленная на рисунке 1 аппроксимируется следующим образом.
(1)
При этом bi > ai > °.
Для клубов-производителей наиболее предпочтительным является уровень постоянной интенсивности выпуска игроков, т.е. когда v(t) = const, или u(t) = 0 , где u(t) = v(t+1) - v(t). В случае увеличения выпуска игроков (u(t) > 0), а так же в случае его уменьшения (u(t) < 0), клубы несут потери, вызванные необходимостью увеличения набора в собственные ДЮСШ, что в свою очередь может привести к расходам связанным с изменением материально-технического оснащения, тренерского и обслуживающего персонала, под новые условия.
Рие. 2. График функции потерь клуба-производителя.
Функция потерь производителя £(«) , по аналогии с рисунком 1 имеет вид показанный на рисунке 2, или в аналогичной форме:
(2)
В отличии от формулы (1) здесь заранее нельзя сказать какая из ветвей на рисунке 2 круче. Соответственно нельзя сказать какой из коэффициентов, а2 или Ь2 больше. Все зависит от конкретных условий производства игроков, известно только, что данные коэффициенты не отрицательны.
Задача планирования выпуска футболистов формулируется в данном случае следующим образом: необходимо найти функцию объема выпуска игроков у(1), 1 = 1,2,...,Т, и динамику необходимого изменения этого объема, выражаемую функцией и(1), 1=1,2,...,Т-1, что бы свести к минимуму суммарные потери клубов-потребителей и клубов-спекулянтов от возможного несовпадения спроса и выпуска, а так же клубов-производителей от возможных перестроек производства игроков в течение планового периода Т.
Данное условие записывается в виде функционала
(3)
Терминальный член в (3), в отличие выражения под знаком суммы не содержит слагаемого Й(«СО) по следующей причине:
управление и(Т) в последний плановый период времени не известно, т.к. отсутствуют показатели плана по производству игроков в году Т+1, следовательно значение функции у(Т+1) получить не представляется возможным, поскольку
Исходное количество игроков задает начальное условие
Уравнение процесса запишем в канонической форме:
(4)
(5)
В соответствии с общей постановкой задачи оптимального управления для многошаговых процессов соотношение (5) определяет в качестве состояния системы у(1), в качестве управления - и(1). Кроме того условие необходимо добавить условие покупки клубом-произ-
водителем игроков для достижения спортивных результатов, т.е. дополнительно включить в (3) сумму м = £[|<о| - г(0],
где М > 0 - произвольное сколь угодно большее число. Действительно, при у(1) > 0 выражение в квадратных скобках под знаком суммы обращается в нуль и покупка игрока не осуществляется. Если же у(1) < 0, то выражение в квадратной скобке оказывается равным 2|у(1)|>0 и в функционале (3) произвольно большой положительный прирост, что противоречит его стремлению к минимизации. Имея в виду такую возможность ликвидации отдельных ограничений с включением в функционал «штрафа» за их нарушение, тем не менее оставим
функционал (3) без изменений. Вместо явного учета ограничений у(1) > 0 , 1 = 1,2,...,Т, воспользуемся численным методом прямой прогонки при решении краевой задачи. При этом на каждой итерации, если окажется, что у(1) < 0 при первом же 1 будем прекращать вычисления и переходить к новой итерации. Таким образом, мы ограничиваемся более простой постановкой задачи в отличие от использования метода штрафных функций, а неучтенное ограничение на состояние у(1) > 0 будем учитывать непосредственно в процессе вычислений.
Задача (3)-(5) относится к классу многошаговых управляемых процессов. Необходимые условия оптимальности имеют вид.
(6)
Где Н в} V, и.) — , Vг и) (Г, V, Ъ1) -функция
Гамильтона:
0 ) =
Формула (9) представляет собой условие трансверсальности. Применительно к рассматриваемой нами задаче (3)-(5)
Из (6) получаем:
Откуда с учетом (2)
Из условия (7) получаем
-{
2a2ii(t), если u(t) > О 2b2u(t),euiH u(t) < О
Или с учетом (1)
<9 ft) = 0(t + 1)
fZl [v(t) -p(t)],eCJIHV(t) > pit)
если v(t) < p(t}
bi №) -
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Условие (8) задается непосредственно уравнением процесса (5). Так как а2 >0, Ь2 >0, то знак О 4“ 1} в (11) будет совпадать со ком и(£) . Это позволяет исходя из (11) выразить
Полученное по формуле (13) значение можно подставить в уравнение процесса (5), после чего будем иметь
(14)
Если заданы значения .
9(t+ 1) , то формулы (12)-(14)
позволяют определить
8(t) . В этом случае по формуле
(14) определяется 17 а по формуле (13) - 17 (О . Так как v(f) уже определено, а функция потребности в игроках задана по условию задачи, то по формуле (12) вычисляем т Продолжая итеративный процесс, перейдем от у(1), и(г) #(0 к у(М), — 1), в(Х — 1) и т.д. Вычисления будут продолжатся до тех пор пока не будет определено значение 17 ( 0 )• По условию должно быть 17 ( 0 ) = 1^0 . Для ответа на вопрос каким параметром мы имеем возможность управлять, что бы того добиться, обратимся к условию трансверсальности - второй формуле (9). Согласно (1) и с учетом того, что 5 (Т) — 17 (Т*) , получаем
в(Т) =
df.
dv
_ 2 - р(Т), если v(Г) > р(Т)
,=уСО Ьі [КГ) - р(Т), если v(T) < р(Т)
(15)
Из формулы (15) видно, что если бы в терминальном члене в функционале (3) присутствовало слагаемое /2 (1-і(Г) ), производная по V от него все равно была бы равна 0, а больше в алгоритме терминальный член нигде не представлен.
Если мы положим 1+1=Т, зададим необходимым нам образом v(Т) и по формуле (15) вычислим «1(Т) , то сможем указанным выше способом вычислить значения функций 17 == 1?£7" 1), — IX£7" — 1), 0 (^Т- ^ — в (Т — 1 . Продол-
17 (0) , которое зависеть от принятого значения v(T). Последнее должно быть таким, что
жая итеративный процесс, дойдем до значения
бы выполнять начальное условие (4).
Если бы в данный вычислительный процесс можно было провести в аналогичной форме, мы бы получили явно выраженную функци-
онапьную зависимость 1? ^ 0 „ 17 (Т') ^ = . Рассматривая эту зависимость как уравнение относительно искомой величины 17 ^7")
и решая его, нашли бы необходимое значение 17 • Однако уже условие трансверсальности (15) требует числового задания 17 со,
так как в зависимости от соотношения
и(Т) > р(Т) или % (Т) ^ Т (Т) применяется первый или второй вариант формулы
(14). Подобная ситуация возникает и при использовании (13) и (14). Таким образом, с помощью метода прямой прогонки будем подбирать необходимое числовое значение величины у(Т), что бы добиться выполнения начального условия (4) с заданной точностью:
о - і-- ;= ■:(16)
Если на некотором шаге і (при принятом значении у(Т)) окажется 17 Ґ 0,
то с учетом сказанного итерация прекращается,
изменяется значение у(Т) и осуществляется переход к новой итерации.
Продолжим исследование задачи, рассматривая ее в режиме непрерывного процесса. Соответствующие различия в математической модели и в применении принципа максимума Понтрягина продемонстрируют различия в технике реализации соответствующих вычислительных методов.
По аналогии с задачей (3)-(5) для непрерывного процесса имеем функционал:
(17)
Уравнение процесса:
Начальное условие
(18)
(19)
Необходимые условия оптимальности
u(t, в, v) = argmax H(t, 8, v, u)
Из условия (20) получаем систему уравнений принципа максимума:
(20)
Функция Гамильтона для задачи (17)-(19) имеет вид несколько отличающийся от многошагового варианта:
дН
Так как на уравнение и нет ограничений, оно должно удовлетворять требованию стационарности г
Эи
= 0
(21)
(22)
(23)
(24)
. С учетом формулы
(2) в этом случае получаем
Откуда
(25)
Принимая во внимание, что а2 >0, Ъ2 >0 и знаки функций и(&), в совпадают, выражение (25) можно переписать в более удобной для вычисления форме:
(26)
Осуществляя дифференцирование функции Гамильтона (24) с учетом формулы (1), получим сопряженное уравнение (21) в виде:
Й0(О -(%[?(£}-?№)]; ^(£) > р(*}
->(
dt tbi№)-p(t)]; v(t) < р (t)
(27)
Уравнение процесса (22) с учетом (26) преобразуем следующим образом
Граничные условия (23) не зависят от характера процесса дискретного или непрерывного, поэтому воспользуемся формулами (4) и (15), получим:
в СП
= -2fb\-(Д \ v
а^СП-рЮ]; v(T)>p(T) FGO-pOD]; v(T)<p(T)
(29)
(30)
Таким образом процесс оптимизации сводится к решению двухточечной краевой задачи (27)-(30) для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка (27),(28).
Аналитическое решение этой системы невозможно по тем же причинам, что и системы конечно-разностных уравнений (12) и (14). Используя метод численного интегрирования Эйлера для систем дифференциальных уравнений, запишем уравнения (27) и (28) в
виде системы конечно-разностных уравнений с шагом численного интегрирования Ц.
d(t + At) - 9(t) faL[i?(t) — р(0]; v(t} > p(t)
At
= fa^CO-
b, \v(t) -
[p(t) - p(t)]; v(t)<p(t)
(31)
Отсюда при достаточно малом значении ”1 получаем
<9 ft + ДО = 0 it) + 2 At
fctiKO-pCt}]; v(t)>p(t}
ІМК0-р(0]; v(t} < p(t}
(32)
(33)
(34)
Соотношения (33) и (34) с точностью до перестановки в левой и правой частях отдельных слагаемых совпадают с содержательно эквивалентными формулами (12) и (14) (для многошаговых процессов) с той лишь разницей, что в этих формулах шаг счета составляет
единицу, а в (33) и (34) шаг численного интегрирования равен Ц. Формулы (33) и (34) при любом сколь угодно малом, но конечном
ав йи
значении пХ имеют приближенный характер, вытекающий из замены производных , , - отношением конечных приращений
аЬ иг
Д в Av At’ At
. Формулы (33) и (34) точные.
Для непрерывного варианта рассматриваемой задачи приближенный характер решения определяется численным интегрированием системы дифференциальных уравнений методом Эйлера и приближенностью выбора значения у(Т). Для дискретного варианта приближенный характер решения определяется только приближенностью выбора у(Т).
Литература:
1. www.uefa.com
2. Дмитриев А.Г., Романников А.Н., Бережной О.И. Модель формирования трансферной стратегии клубов российской футбольной премьер-лиги -М.: Сборник научных трудов МГУ ЭСИ, 2009
