CC BY
8
In the method of the base, which is based on a joint decision of approximate differential equations of equilibrium and yield conditions, taking into account interfaces on the borders of plots mathematical model was developed crimp tube Zago-reparation in the conical-shaped matrix that allows to determine the stress-strain state of the blank and power parameters of the process and takes into account mechanical properties of the material.
Key words: crimp, matrix deformation, strength, power.
Gryazev Mikchail Vasilievich, doctor of technical sciences, professor, the Rector, mpf-tulaarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Larin Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tulaarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Pasynkov Andrey Aleksandrovich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.983; 539.374
МОДЕЛЬ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО СТЕСНЕННОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛА, ПОДЧИНЯЮЩЕГОСЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ И ПОВРЕЖДАЕМОСТИ
С.Н. Ларин, В.И. Платонов, Г. А. Нуждин
Получены выражения, необходимые для оценки силовых параметров и предельных возможностей пневмоформовки многослойных конструкций. Результаты позволяют проанализировать формирование элементов в углах оболочки. Выражения справедливы для материалов заготовок подчиняющихся кинетической теории ползучести и повреждаемости.
Ключевые слова: пневмоформовка, стесненное деформирование, напряжения, деформации, силы, кинетическая теория ползучести и повреждаемости.
Прямоугольные элементы, являющиеся частями многослойных листовых конструкций, получают посредством пневмоформовки внутренних листов с наружными листами до полного их прилегания. Проанализируем ту стадию, на которой реализуется стесненное деформирование. В работе будет исследовано формирование элементов в углах оболочки в плоскостях ув2 и хв2 . Учтем, что Ь > а > Щ. Принимаем, что материал заготовки анизотропен; учитываем, что главные оси анизотропии совпадают
9
с осями координат х, у, г. Большая сторона заготовки совпадает перпендикулярно направлению прокатки х. Известны давление р\, высота оболочки И]_, накопленная повреждаемость ю0 и распределение толщины оболочки = (ф) в момент ? = где ф - угол, характеризующий положение точки на угловом элементе заготовки. После контакта вершины купола с обшивкой принимаем, что осуществляется то состояние, при котором толщина оболочки меняется одинаково в каждой точке оболочки от начальных размеров при ? = а форма деформируемой угловой части оболочки в плоскости хог сохраняет форму части окружности, а в плоскости уог - сначала форму части эллипса с последующим переходом в форму части окружности.
Разобьем стесненное деформирование на два этапа. На первом этапе в плоскостях уог и хог реализуется плоский участок в районе вершины
купола до того времени, когда ¿1 = ¿1* = Ь - И и £3 = ¿3* = а - И соответственно. На втором этапе реализуется симметричное формообразование оболочки относительно новых осей симметрии О2О2 и О3О3 с образованием симметрично плоских участков в угловой части оболочки; при этом форма деформируемой свободной угловой части в указанных выше плоскостях имеет форму части окружности (рис. 1 и 2). Примем, что на первом этапе в плоскости уог форма эллипса сохраняется, полуось его ОС не изменяется, оставаясь равной И\, а полуось Od изменяется от размера Ь до размера И^, после чего реализуется второй этап второй стадии деформирования с изменением формы оболочки на часть окружности.
Рис. 1. Формообразование угловых Рис. 2. Формообразование угловых элементов в плоскости уог элементов в плоскости хог
Рассмотрим возможные ситуации на втором этапе деформирования:
1) S\ £ S1*, S3 £ S3*;
2) S1 £ S*S3 > S3*(S4 > 0);
3) S1 > S1*(S2 > 0), S3 > S3*(S4 > 0).
Рассмотрим два деформированных состояния на первом этапе в плоскости yoz: первое с длиной средней линии свободной поверхности оболочки в виде эллипса Lo и длиной участка контакта S1 и второе с длиной средней линии свободной поверхности оболочки L1 и длиной участка контакта S1 + dS1.
Рассмотрим деформирование группы материалов, подчиняющихся кинетическим уравнениям ползучести и повреждаемости.
Эквивалентное напряжение se и эквивалентная скорость деформации Xe на первом этапе свободной формовки в предположении, что S1 £ S1* и S3 £ S3* на границе контакта оболочки и обшивки в плоскости
yoz, определяются по формулам se = ^S1,S3)sy и XC = ^(SbS3)Xy .
После подстановки этих формул в первое уравнение состояния получим уравнение для нахождения давления p(t):
nt = sПо (1 - we)mE1 [S1,S3 (S1 M (S1 )2lnhndS1 p d = n 2 2 n • (1)
ВВП[S1,S3(S1)][(a - S3)2 + tf^f
Определим величину накопления повреждаемости wc на границе зоны контакта оболочки с обшивкой в плоскости yoz. Для этого, подставив выражение se первого уравнения состояния во второе, получим
we=в xe. (2)
Рассмотрим случай, когда на границе контакта оболочки Xe = XC1 = const. Проинтегрировав уравнение (2) при начальных условиях
С С
t = t1, we = we0, получим
wC = В XC1(t -11 ) + wCo. (3)
к
хе^ - ь
Предельная степень деформации достигается при о>е = 1, откуда следует, что есеПр и время разрушения находятся по формулам
еСепр=(1 -<о)\; tp = <1 + ктг(1 -®е0}- (4)
кХе1
Давление р(г), необходимое для реализации условий деформирования, будет определяться при условии, что ¿1 < ¿1* и £3 < £3*, по формуле
А^г /1 / Пии (Ъ-С \1/"
у^) НШ) . (5)
В "В^,¿3)[(а-¿3)2 + И2] Зависимость юСе(*) находится по выражению (3). Величину ) можно найти из соотношений
* 2
е е2=е е1 (*1) +I х e1dt=е е1 (¿1)+х е1 (*2 - ). (6)
С другой стороны,
¿1
е^2 =е се$1)+ I ¿1,Sз(Sl)Fl(Sl)dSl. (7)
Поэтому
0
Si
t = ti + -L |Ei[SbS3(SiWi(Si)dSi. (8)
xei 0
Предельную величину S^ найдем при t = tp.
Если нагружение такое, что p = const, то следует интегрировать уравнение (2) с учетом (4), которое принимает вид
со,
c 1 ~ ^ ^ NdS
Ei (Si, S3 )Fi(Si )dSr. (9)
ec dt cenp
wce =се
Проинтегрируем это уравнение при начальных условиях * = *1,
е01'
1-ЮС ¿1
Ю =<0 + |Е1 [¿1,Sз(Sl)]Fl(Sl)dSl. (10)
еепр 0
Предельную величину ¿1пр можно определить из уравнения (10)
при юе = 1. Безразмерное время разрушения может быть найдено из выражения (1)'
¿1"р (1 - юе )т Е1 [¿1, ¿3 (¿1 (¿1 ■)h"И"dSl
_ _ у ц- We) Ei[Ob03(0i)jFi(0i)« НГ dSi
tp = ti + I -~-~-, (11)
0 Bin [Si, S3 (Si )] {[a - S3 (Si )]2 + Hi2}n
где
h =-pB-(t - ti ), 5 = РШ
i2
Рассмотрим случай, когда ^ < 51*, а £3 > £3* (54 > 0). Реализуем указанный выше анализ для рассматриваемого варианта. Для определения давления р() имеем уравнение
<о А -™Се) тЕ2 [51,54 (51 № (51 )22п ^
р Ш = ^-. (12)
ВВП [51,5 4(51)]( Н1 - 5 4)п
Найдем величину накопления повреждаемости на границе зоны контакта оболочки с обшивкой путем интегрирования уравнения (2) в случае Xе = Хе2 = еот1 при начальных условиях t = ¿2, юее = юе1, где t2 - время окончания первого этапа деформирования второй стадии, когда в плоскости х 012 5з = 5з*:
юе = В ^2 (t - ¿2 ) + <!. (13)
Предельная степень деформации достигается при юее = 1, откуда следует, что е^ и время разрушения находятся по формулам
В В
4пр=(1 -о -, ¿р=¿2+—(1 -юех). (14)
кХе2
Давление р^), необходимое, чтобы выполнить условия деформирования с постоянной скоростью деформации на этапе, определится по формуле
4ое0(1 -юе)т' пьп (X е2)17 п p(t ) = -^---(15)
В1 пВ2[51,5 4( 51)]( Н1 - 5 4)
Функция юе(t) описывается выражением (13). Зависимость 5^)
можно найти из соотношений
t
е е3 = 1 &Ш + е е2 = ^2 (t - ¿2 ) + <2. (16)
12
С другой стороны,
51
<3 = <2 + 1 Е2[51,54(51)^(51)^1. (17)
о
Следовательно,
1 51
t = t2 + — 1 Е2[51,54(51)]^1(51)Ш51. (18)
Хе2 0
Предельную величину 51пр можно определить при t = ¿р в случае, если разрушение произойдет на этом этапе.
Если нагружение такое, что p = const, то интегрируется уравнение (2) с учетом (14) и принимает вид
wce = Ц^ Я2Р1, S4(Si)]Fi(Si) (19)
e c dt сenp
Интегрирование этого уравнения при начальных условиях t = t2,
c c
we = wei приводит к соотношению
c c 1 - wci S1
wce =we1 JE2[S1,S4(S1)]F1(S1)dS1. (20)
ee 0
eпр
Предельную величину S1np можно определить при wce = 1. Безразмерное время разрушения находится из выражения (12):
+ S1np (1 -we)mE2[S1,S4(S1)]F1(S1)hndS1 (21)
tp = t2 + J -n-n-, (21)
0 Bn [S1, S4 (S1)] [H1 - S4(S1)]n
где
t = pnB (t t ) t = pn(t1 )B (t W pn(t2)B (t t )
tp = (t-t2), t2 (t1)+ sn 22n (t2-t1).
°e02 °e02 °e02
Рассмотрим случай, когда S1 > SpS > 0), S3 > S3*S > 0). Давление p(t) можно рассчитать по соотношению
pndt = <0 (1 - wc ) mE3 [ S 2, S 4 (S 2 )]F3 (S2 )22n hndS2 (22)
p BB3n[S2,S4(S2)](H1 - S4)n '
Величина накопления повреждаемости wc на границе зоны контакта оболочки с обшивкой находится путем интегрирования уравнения (2) в
i»c t_c c c
случае, когда xe = xe3 = const при начальных условиях t = t3, we = we2, где
t3 - время окончания второго этапа деформирования второй стадии, когда
в плоскости yoz S1 = S1*:
we = B X c3 (t -13 ) + wc2. (23)
Предельная степень деформации на этом этапе достигается при we = 1, откуда находим предельную степень деформации ecenp и время разрушения t p :
B в
ecenp = (1 - we,.)-, tp = t3+ (1 - ®^2). (24)
kxe3
-enp -V e2' p~ 3+ iy.c v e2-
Давление р(г), необходимое, чтобы выполнить условия деформирования с постоянной скоростью деформации на этапе, определится по формуле
-<)т 7 п 22 с3)17 п р(г ) = -$---—-■ (25)
В17 пВъ[Б2,2)](Н1 - 54) Функция юе (г) дается выражением (23). Зависимость 52 (г) можно найти из соотношений
г
<4 = 1Хе2Л + <3 =Хс2 (г - г3 (26)
гз
С другой стороны,
Б 2
<4 =<3 + 1 Б 2, Б 4( Б 2)¥з(Б2^2. (27)
0
Следовательно,
1 Б 2
г = гз +— 1 £3^2, Б4(Б2^з(Б2№. (28)
Хе3 0
Предельную величину Б2пр можно определить по уравнению при г = г Р в случае, если разрушение произойдет на исследуемом этапе деформирования.
Если нагружение такое, что р = сотг, то интегрируется уравнение (2) с учетом (24). Это уравнение принимает вид
К = Ц^с2 £з[Б2,Б4(Б2)]^з(Б2)^■ (29)
оС Ш
сепр
Интегрирование этого уравнения при начальных условиях г = /3,
с с
Ке = юе2 приводит к соотношению
с с 1 -юС2 Б*
К = <2 + 1 Ез[Б2,Б4(Б2)^3(Б2№. (30)
еепр 0
Предельную величину Б2пр можно определить из уравнения (30)
при К = 1. Величина безразмерного времени разрушения находится из выражения (22):
г = г + ^ (1 - К )т Е3 [Б2, Б4 (Б2 )Щ (Б2 )^Б2 (31)
Р 3 0 ВВ3п [Б 2, Б4(Б2)](Н1 - Б4)п ,
где
- _ pnB ( \ tp (t -13 );
e0
3 ^ ^(t2 -1,) + ^(t3 -12). (32)
Работа выполнена в рамках грантов РФФИ № № 16-48-710016 и 1608-00020 и гранта администрации Тульской области.
Список литературы
1. Ларин С.Н. Изотермическое деформирование элементов листовых конструкций цилиндрического и прямоугольного сечения в режиме кратковременной ползучести // Извести вузов. Машиностроение. 2011. №11. С. 44-50.
2. Ларин С.Н. Пневмоформовка ячеистых панелей из анизотропного материала // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2010. Вып. 3. С 51 - 61.
3. Математическая модель свободного изотермического деформирования анизотропной листовой заготовки в прямоугольную матрицу / С.Н. Ларин [и др.] // Известия Тульского государственного университета. Механика деформированного твердого тела и обработка металлов давлением. 2003. Вып. 1. С. 3 - 13.
4. Яковлев С.С., Ларин С.Н., Трегубов В.И. Изотермическая пнев-моформовка элементов ячеистых многослойных листовых конструкций из анизотропных высокопрочных материалов в режиме ползучести / под ред. С.С. Яковлева. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 173 с.
Ларин Сергей Николаевич, д-р техн. наук, проф., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Платонов Валерий Иванович, канд. техн. наук, доц., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Нуждин Георгий Анатолиевич, канд. техн. наук, доц., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Москва, Орган по сертификации систем качества ««Консерсиум»
TO THE PROBLEM OF ISOTHERMAL DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODELS CRAMPED DEFORMATION ANISOTROPIC SLAB
IN A RECTANGULAR MATRIX
S.N. Larin, V.I. Platonov, G.A. Nuzhdin 16
The multilayer sheet structures rectangular elements get pnevmoformovkoy sheets previously rigidly connected on a path from the outside-governmental sheets. In this connection the urgent problem considered in the paper, andput-yuschayasya in assessing the impact of process parameters on the steady flow of pro-process. The results of the modeling process isothermal uneasy th deformation anisotropic slab into a rectangular matrix to-torye allow in the future to assess the strength and defect under different conditions of deformation-tions.
Key words: pnevmoformovka constrained deformation, stress, strain, force.
Larin Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tulaaramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Platonov Valeriy Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tulaa ramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Nuzhdin Georgiy Anatolievich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tulaa ramhler. ru, Russia, Moscow, Organ by Quality System Certification "Konsersium "
УДК 621.983; 539.374
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГОСИЛОВЫХ ПАРАМЕТРОВ МНОГООПЕРАЦИОННОЙ ВЫТЯЖКИ ВЫСОКИХ КОРОБОК КВАДРАТНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Ю.В. Бессмертная, А.Н. Исаева
Приведены результаты моделирования, в основе которого лежит метод, основанный на верхнеграничной теореме пластичности. Получены выражения для оценки силы глубокой вытяжки изделий квадратного поперечного сечения на переходах «круг - выпуклый квадрат» и «выпуклый квадрат - квадрат».
Ключевые слова: штамповка, вытяжка, высокие изделия квадратной формы,
сила.
Рассмотрим технологию получения коробки квадратного поперечного сечения, где на первой операции осуществляется вытяжка коробчатого полуфабриката с выпуклыми сторонами и большими угловыми радиусами. Схема для расчета данной операции вытяжки показана на рис 1. Здесь представлены во фланце заготовки зоны деформаций, которые разделены линиями разрыва скоростей. В расчетной схеме получения коробки квадратного поперечного сечения отсутствуют жесткие зоны.
17
