Модель изотермического стесненного деформирования материала, подчиняющегося энергетической теории ползучести и повреждаемости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Larin Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tulaarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Pasynkov Andrey Aleksandrovich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tulaaramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.983; 539.374

МОДЕЛЬ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО СТЕСНЕННОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛА, ПОДЧИНЯЮЩЕГОСЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ И ПОВРЕЖДАЕМОСТИ

С.Н. Ларин, В.И. Платонов, А. А. Пасынков

Приведены выражения для оценки силовых параметров и предельных возможностей пневмоформовки многослойных конструкций. Полученные результаты позволяют получить подход к анализу формирования элементов в углах оболочки. Выведенные выражения справедливы для материалов заготовок подчиняющихся энергетической теории ползучести и повреждаемости.

Ключевые слова: пневмоформовка, стесненное деформирование, напряжения, деформации, силы.

Прямоугольные элементы, являющиеся частями многослойных листовых конструкций, получают посредством пневмоформовки внутренних листов с наружными листами до полного их прилегания. Проанализируем ту стадию, на которой реализуется стесненное деформирование. В работе будет исследовано формирование элементов в углах оболочки в плоскостях ув2 и хв2 . Учтем, что Ь > а > Щ. Принимаем, что материал заготовки - анизотропен; учитываем, что главные оси анизотропии совпадают с осями координат х, у, г. Большая сторона заготовки совпадает перпендикулярно направлению прокатки х. Известны давление Р1, высота оболочки #1, накопленная повреждаемость ю0 и распределение толщины оболочки /?1 = (ф) в момент t = где ф -угол, характеризующий положение точки на угловом элементе заготовки. После контакта вершины купола с обшивкой принимаем, что осуществляется то состояние, при котором толщина оболочки меняется одинаково в каждой точке оболочки от начальных размеров при t = а форма деформируемой угловой части

9

оболочки в плоскости хог сохраняет форму части окружности, а в плоскости уог - сначала форму части эллипса с последующим переходом в форму части окружности.

Разобьем стесненное деформирование на два этапа. На первом этапе в плоскостях уог и хог реализуется плоский участок в районе вершины

купола до того времени, когда ^ = 51* = Ь - Н и 53 = £3* = а - соответственно. На втором этапе реализуется симметричное формообразование оболочки относительно новых осей симметрии О2О2 и 03О3 с образованием симметрично плоских участков в угловой части оболочки; при этом форма деформируемой свободной угловой части в указанных выше плоскостях имеет форму части окружности (рис. 1 и 2). Примем, что на первом этапе в плоскости уог форма эллипса сохраняется, полуось его ОС не изменяется, оставаясь равной Н, а полуось 0d изменяется от размера Ь до размера Н, после чего реализуется второй этап второй стадии деформирования с изменением формы оболочки на часть окружности.

Рис. 1. Формообразование угловых Рис. 2. Формообразование угловых элементов в плоскости уог элементов в плоскости хог

Рассмотрим возможные ситуации на втором этапе деформирования:

1) 51 £ 51*, £3 £ £3*;

2) 51 £ 51*,53 > 53*(54 > 0);

3) 51 > 51*(52 > 0), 53 > 53*(54 > 0).

10

Рассмотрим два деформированных состояния на первом этапе в плоскости уо2: первое с длиной средней линии свободной поверхности оболочки в виде эллипса Ьо и длиной участка контакта и второе с длиной средней линии свободной поверхности оболочки Ь и длиной участка контакта + dSl.

Рассмотрим формоизменение оболочки из материала, свойства которого подчиняются энергетической теории ползучести и повреждаемости, в предположении, что <е < ае<0.

Определим эквивалентное напряжение <е и эквивалентную скорость деформации Хе на первом этапе второй стадии в предположении, что 51 £ 51* и 5з < 5з* на границе контакта оболочки и обшивки в плоскости у02.

Принимая во внимание соотношение

<е = {3[Ях^у (<х - <у )2 + *х<у + Яу<1 ]/[2(Ях + ^у + Яу )]}1/2,

найдем

<е = В^,5з)<у, (1)

где 5з =ф(51). (2)

Интенсивность деформаций определим по выражению

Х е = Е1( 51,5з)Ху, (3)

где

Е^ь 5з) =

V

2

з( Ях + ЯхЯу + Яу )

-{Я2Х( я2 + ЯхЯу + Ях + 2 Яу +1) X

ЯхЯу Ях + Яу +1)

х у х у

Х ^ Рп ('

5з) dфЛ2

Е1( 51) dS

1

+ 2 Я$Яу (Ях + Яу ++

Е2( 5з)

Ж 51) dSl

+ ЯхЯу (Яу + ЯхЯу + Ях + 2 Яу +1)}1/2. (4)

Подставив в первое уравнение состояния материала входящие в него величины <е, Хе, получим

< По(1 ) тЕ1(5ъ 5з) Е^Ч'-И"^

Р Ш = " 9 9 " ' (5)

ВВ"(51,5з)[(а - 5з)2 + И12]"

Заметим, что, поскольку р(1) - постоянная величина на этапе, можно определять величину р в любой точке деформируемой оболочки, в частности, в точке конца контакта заполнителя с обшивкой.

11

Определим величину накопления повреждаемости wA. Для этого подставим во второе уравнение состояния выражения (1) и (3):

wc _ B (5i,S3)pEi (5i, S3)Fi (5i )[(a - S3)2 + H2 ] dSL (6)

A 4hHiЛсПр dt ■

Если подставить первое уравнение состояния во второе, то получим другую форму уравнения для нахождения повреждаемости:

_ /1 ..С \Ш / n _gg0(i -w Л) (xc )(n+i)/n (7)

wЛ _ i/nc (xe) . (7)

B Лпр

Уравнение (6) удобно использовать, если при нагружении выполняется условие p _ const, а уравнение (7), если ХС _ Xei _ const.

Рассмотрим последний случай. Интегрирование уравнения (7) при

начальных условиях t _ ti, wA _ ®Л (ti) _ ®Ло приводит к выражению

n /(n - m)

. (8)

шЛ _!■

n-wc ч(п-m)/n n - m se0(Xei)(n+l">/"(t - ti)

(i ш Л0)

A n в^Пас

и ^пр

Время разрушения определяется из условия юСА = 1:

(1 -юА0)(и - т)/ ппВ1 пАср

'р = Ч + --—-, п/ пр . (9)

Р 1 (п - т)ае0(ХСе)(п+1)/п Давление р, необходимое для реализации условий деформирования, будет определяться соотношением

4а е0(1 -юА)т / пНН1(Х е1)1/п р(г) = —П±-^- 2 . (10)

В1 пВх( 5Ь 53)[(а - 53)2 + Н2]

Зависимость (') определяется по соотношению (8).

Величину 51 (') можно найти следующим образом:

г

<2 (') = е >1) + I Хсе1Ж = X С1 (' - '1) + ^1). (11)

С другой стороны,

е С2 (') = еС1 ('1) +1Е1 [51, 53 (51 № (51 ^. (12)

Поэтому

Si

t _ ti + SEi[Si,S3(Si)]Fi(Si)dSi. (i3)

Xei 0

Предельную величину Б\пр найдем по уравнению (13) при t = tp, если выполняется вышеуказанное условие Si £ Si*, S3 £ S3*.

Если нагружение такое, что p = const, то следует интегрировать

уравнение (6), которое определяет зависимость wA = (Si); далее находится Si(t) и Sinp(t) из уравнения (5) при wA =®A(Si) и wA = 1. Величина безразмерного времени разрушения вычисляется по выражению

- = ^ + Si7 (1 - wA)mEi[Si,S3(Si)]Fi(Si)hnHndSi (14)

p 1 ВП[Si,S3(Si)]([fl-S3(Si)]2 + Hi2}n ,

где

- рпв ( ч - рп (¿1 )В * = 2 (* - ¿1), ¿1 = 2 ¿1- (15)

° е02 °е02

Рассмотрим случай, когда £ ^1*, а Sз > Sз*, т.е. S4 > 0. В этом случае величины эквивалентного напряжения ае и эквивалентной скорости деформации Хе находятся по выражениям

°е = В2^1, Sз)Sy, (16)

Xе = ^1,S4)ХУ , (17)

S 4 =Фх(5^1>; (18)

E2 =

2

3( Rx + RxRy + Ry )

^-J--[R 2 ( r2 + RxRy + Rx + 2 Ry +1) X

RxRl (Rx + Ry +1)

X

F4( S 4) dfi F1( S1) dS

1

2

>2 D / D 1 D

, nF4(S4) dfi

+ 2RxRv(Rx + Rv +1) 4V 47 T1 + x y x y F1(S1) dS1

+ (Rx + + 2 + Ry +1)}1/2- (19)

Уравнение для определения давления будет иметь вид

р„Л <о(' - <*А)"E2(S1,S4 )РЛ (S1 )2 (20)

ВВ2пй,S4)(Яl -S4)п '

Величину накопленной повреждаемости можно определить по уравнению

со A = ^v-i»"4/-2^,"4^ iv-wv-i ^^. (21) A 2hACp dt ( }

В уравнениях (20) и (21) величина h вычисляется по формуле h[Si (tn)] = h(tn-i)[1 - [Ai (t) + 1]Fi (Si)[Si (tn) - Si (tn-1)]}.

Уравнение (21) удобно использовать, если при нагружении реализуется условие p _ const.

Другая форма уравнения для определения повреждаемости будет иметь вид (7). Это уравнение удобно использовать при условии, что

Хе _ & _ const. Заметим, что в последнем уравнении Хе определяется по формуле (18). Интегрирование уравнения (7) производится при начальных условиях t _ t2, wA _ ®Л (t2) _ ®Ai, где t2 - время окончания первого этапа деформирования второй стадии, когда в плоскости xoiz S3 _S3*. В этом случае

wA _ ^

n-wc ч(и-m)/n - n - m se0(Xe2)(n+i)/"(t -12) (i WAi) n Bi/nAn

и лПр

n /(n-m)

. (22)

Время разрушения определяется из условия юА = 1:

(1 -юСА1)(п - т)/ппВ1/пАСр

'р = '2 + --—-, п/ . (23)

р 2 (п - т)ае0(Хе2)(п+1)/п ( )

Давление р(г), необходимое для реализации условий деформирования, будет рассчитываться по формуле

ае0(1 -юСА)т / п 22 Н(Х с9)1/п р(') = „п А)-. (24)

В1/ пВ2( 51,5 4)( 51,5 4)

Зависимость Si (t) можно найти из соотношений

t

ee3 _ec2 + S&dt _ee2 +xc2(t -12). (25)

С другой стороны,

t2

Si

ec3 _ece2 + SE2(Si,S4)Fi(Si)dSi, (26)

Si (S3*)

откуда

г = '2 + 4" | Е2[51, S4(Sl)]Fl(Sl)dSl. (27)

хе2

Предельную величину найдем по уравнению (17) при г = гр в

случае, если разрушение имеет место при 51 £ 51* и 53 > 53*, т.е. при 54 > 0.

Если нагружение на этом этапе осуществляется при р = сот*, то путем интегрирования уравнения (21) находят зависимость "А ^), затем из уравнения (20) определяют Sl(t) и Sl"р при "А = "А ^) и "А = 1. Безразмерное время разрушения на рассматриваемом этапе вычисляется по выражению

* = к + * (1 -юА) тЕ2^, S 4) (28)

Р 2 ^ (s3) вп (Sl, S4)(Н1 - Sl)п ,

где

7 = РпВ а * ); , = Рп (¿2)В* (29)

* - ¿2); ¿2 = оп 22п ¿2- (29)

° е02 0е02

Рассмотрим случай, когда Sl > Sl* и Sз > Sз*, т.е. S2 > 0, S4 > 0. В этом случае величины эквивалентного напряжения ое и эквивалентной

деформации X С вычисляются по следующим выражениям:

°е = Вз(S2,S4)Sy , (з0)

ХС = Ез№, S4)X У, (з1)

S4 =Ф2 & ), (з2)

Ез ^2,S4 ) =

V

■з^х + ^У + ^ )

--^2Х( Ry + RxRy + Rx + 2Ry +1) х

RxRy/2( Rx + Ry +1)

V

2

х (Я^ Ф + 2 Ry + R +1) +

& ) dS2 ,) Х У ^ У Й &)

+ RxRy (^ + ^^^У + 2 ^ + Ry +1)}1/2. (зз)

Уравнение для определения давления будет иметь вид

рпА1 ое'с(' - "А)т Ез(S2.S4)Рз(.S2)22п^2 (з4)

ВВзп ( S2, S4)( Н, - S4)п '

Величину накопления повреждаемости можно определить по уравнению

"С = рВз(S2,S4 )Ез(S2,S4 )Йз(S2 )(Н) - S4) dS2 (з5)

А 2ИАСР Л ■ ( )

Уравнение (з5) удобно использовать, если при нагружении выполняется условие р = сот*.

Другая форма этого уравнения для определения повреждаемости записывается в форме (7). Это уравнение удобно использовать при условии, что Xe = ХСез = const. В этом случае Хе определяется по формуле (3).

Интегрирование уравнения (7) выполняется при начальных условиях t = t3, wCa = wA (t3) = ®A2, где t3 - время, когда в плоскости yoz = Sj*. В этом случае

, ,1Ч/ -in/(n-m)

n - m SeoO n(t -13)1 ( '

WCA =1

С (n-m) /n n - m

(1 a)( ) --

и ^пр

. (36)

Время разрушения определяется из условия wA = 1 следующим образом:

(1 -wA )(n - m)/nnBJ/nAcm

tp = t3 + --—-, n/ . (37)

p 3 (n -m)seo(xejn+1)/n ( )

Давление p(t), необходимое для реализации условий деформирования, будет рассчитываться по формуле

s е0(1 -wA)m / n 22nh(X е3)1/n

p(t) = e01/n A-(38)

В B3(S2,S4)(H1 - S4)

Зависимость S2 (t) можно найти из соотношений

t

ee4 =8e3 + JXce3dt =e3 + & (t -13). (39)

t3

С другой стороны,

S 2

ee4 = ee3 + J £3 (S2, S4 )F3(S2)dS2, (40)

S 2 (S1* )=0

откуда

1 S 2

t = t3 + — J £3 (S2, S4 )F (S2 )dS2 . (41)

Xe3 0

Если нагружение на этом этапе осуществляется при p = const, то путем интегрирования уравнения (35) находят зависимость wA (S2). Затем

из уравнения (36) определяют S2 (t) и S2пр при wca =wca (S2) и wca = 1.

Безразмерное время разрушения на рассматриваемом этапе вычисляется по выражению

S2 (1 - wA)m E3 (S2, S4 )F3 (S2 )hndS2 tp = t3 + f --^-3 2 4 3V 21-(42)

nn

S2 (Si*,

где

S2 (Si*) ВП (S2,S4 )(Hi - S4 )n

T==^(t-t3), 1 = (43)

°e02 s e02

Работа выполнена в рамках грантов РФФИ № 16-48-710016 и 16-0800020 и гранта администрации Тульской области.

Список литературы

1. Ларин С.Н. Изотермическое деформирование элементов листовых конструкций цилиндрического и прямоугольного сечения в режиме кратковременной ползучести // Известия вузов. Машиностроение. 2011. №11. С. 44-50.

2. Ларин С.Н. Пневмоформовка ячеистых панелей из анизотропного материала // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2010. Вып. 3. С 51-61.

3. Математическая модель свободного изотермического деформирования анизотропной листовой заготовки в прямоугольную матрицу / С.Н. Ларин[и др.] // Известия ТулГУ. Сер. Механика деформированного твердого тела и обработка металлов давлением. 2003. Вып. 1. С. 3-13.

4. Яковлев С.С., Ларин С.Н., Трегубов В.И. Изотермическая пнев-моформовка элементов ячеистых многослойных листовых конструкций из анизотропных высокопрочных материалов в режиме ползучести / под ред. С.С. Яковлева. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 173 с.

Ларин Сергей Николаевич, д-р техн. наук, проф., mpf-tiilaaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Платонов Валерий Иванович, канд. техн. наук, доц., mpf-tulaa ramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

TO THE PROBLEM OF ISOTHERMAL DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODELS CRAMPED DEFORMATION ANISOTROPIC SLAB IN A RECTANGULAR MATRIX

S.N. Larin, V.I. Platonov

The multilayer sheet structures rectangular elements get pnevmoformovkoy sheets previously rigidly connected on a path from the outside-governmental sheets. In this connection the urgent prohlem considered in the paper, and put-yuschayasya in assessing the impact of process parameters on the steady flow of pro-process. The results of the modeling process isothermal uneasy th deformation anisotropic slah into a rectangular matrix to-torye allow in the future to assess the strength and defect under different conditions of deformation-tions.

Key words: pnevmoformovka constrained deformation, stress, strain, force.

17

Larin Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tulaaramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Platonov Valeriy Ivanovich, candidate of technical sciences, associate professor, mpf-tulaaramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.983; 539.374

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЭНЕРГОСИЛОВЫХ ПАРАМЕТРОВ ФОРМОВКИ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ КАНАЛАМИ

С.Н. Ларин, В.И. Платонов, Ю.В. Бессмертная, В.И. Трегубов

Представлены полученные авторами выражения для оценки энергосиловых параметров деформирования многослойной оболочки, позволяющие провести дальнейший анализ пневмоформовки с целью определения рациональных параметров формоизменения. Полученные выражения справедливы для материалов, подчиняющихся как кинетическим, так и энергетическим уравнениям ползучести и повреждаемости.

Ключевые слова: формоизменение, многослойные конструкции, прямоугольные каналы, силовые параметры.

Конструкции, состоящие из нескольких слоев, получают за счет воздействия на предварительно соединенные листы газом до полного их прилегания [1-3]. Примем, что формовка происходит за две стадии: свободная формовка и формообразование элементов в углах конструкций (рисунок). На рисунке Р1 и а1 - радиус формируемой заготовки и угол при

заданной высоте Н = #1.

Исследуем вторую стадию формовки конструкций. Будем считать, что известны давление формовки, высота получаемого изделия Н1 , повреждаемость о>1, изменение толщины изделия / = / (ф) в определённый момент времени t = ^ и ф - угол, характеризующий положение точки в угле изделия. Учтем, что оси координат х, у, I совпадают с главными осями анизотропии и направлением прокатки листа. Предположим, что вдоль оси х размер исследуемого элемента значительно больше других размеров, что означает то, что реализуется плоская деформация. Учитывали, что изделие формуется в условиях плоского напряженного состояния, т.е.

s z = 0