CC BY
15
theory and application. -1974. Vol. 14. - № 3. - P. 319-377.
6. Матвеев, В.А. Исследование оптимальности по конусу в многокритериальной задаче [Текст] / В.А. Матвеев // Научно-технические ведомости СПбГПУ -2009. - № 4. - С.169-176.
7. Беклемишев, Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры [Текст] / Д.В. Беклемишев. -М.: Наука, 1983.
8. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц [Текст] / Ф.Р. Гантмахер. -М.: Наука, 1967.
9. Жуковский, В.И. Линейно-квадратичные дифференциальные игры [Текст]/В.И. Жуковский, А.А. Чикрий. -Киев: Наукова думка, 1994.
10. Подиновский, В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач [Текст] / В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. -М.: Наука, 1982,
11. Ногин, В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход [Текст] / В.Д. Ногин. -М.: Физматлит, 2002.
12. Петросян, Л.А. Теория игр [Текст] / Л.А. Пе-тросян, Н.А. Зенкевич, Е.А. Семина. -М.: Высш. шк. Книж. дом «Университет», 1998.
13. Васильев, Ф.П. Численные метода решения экстремальных задач [Текст] / Ф.П. Васильев. -М.: Наука, 1980.
УДК 658
Е.В. Бабкова, С.С. Шерстюк
МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМ КАЛЕНДАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМЫХ РЕСУРСОВ С УЧЕТОМ ФРОНТА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ
Календарное планирование является конечным этапом оперативной деятельности сложной системы и поэтому в значительной мере определяет уровень использования ресурсов и время выполнения работ. Учет в одной задаче исследования этих двух элементов, а именно, затрат ресурсов и время выполнения работ, приводит к появлению понятия «фронта работ». Изначально оно связывалось только со строительной отраслью, поскольку здесь требовалось специальное оснащение и подготовка рабочего места к выполнению работ. В настоящее время во многих сферах деятельности используется понятие «фронта работ», например:
по отраслям деятельности (полевой, аграрной, машиностроения, строительства, дорожной и проч.);
в различных сферах деятельности - подразумевается объем работ, который необходимо выполнить в физическом выражении (количество единиц работы, квадратные метры покрытия и т. п.);
в организационной и управленческой деятельности (фронт управления, фронт работ министрам, фронт контроля и т. п.) [2, 4, 7-10].
Различают фронт работ, рассчитанный на этапе объемно-календарного планирования с целью формирования укрупненных планов работы объекта по календарным периодам. В данной статье будет применяться более узкое понимание «фронта работ»: текущий фронт выполнения работ - это множество работ, которые могут быть начаты в какой-то период времени с учетом работ, начатых ранее, но еще не законченных к настоящему моменту (предполагается, что работы не могут быть прерваны).
В статье рассматривается постановка задачи и модель календарного распределения взаимозаменяемых ресурсов. Кроме того, приводится эвристический алгоритм решения поставленной задачи.
Рассмотрим задачу календарного распределения взаимозаменяемых ресурсов с учетом фронта выполнения работ [1, 3, 5, 6].
Постановка задачи исследования
Имеется фронт работ, сформированный на этапе объемно-календарного планирования Ф1, Ф2, ..., Фт, I = 1, 2, ..., т. Пусть при выполнении какого-то вида работ на отрезке времени [?1, ?2] используется г ресурсов. Ежедневное наличие ресур-
сов обозначим следующим образом:
Bl(t), B2(0, ..., Br(t), ..., Bв(0,
где В() - наличие ресурса г-го вида в момент времени t.
Работы необходимо выполнить не позднее календарных сроков tB1, tB2, ..., tBn. Для каждой работы из списка Rл, , ..., R задана технологическая
1 2 п
последовательность использования ресурсов W,, W0, ..., Wг и известна интенсивность d
а' ]2' ' ^ А
применения и-го ресурса для А-й работы из /-го фронта.
В задаче используются следующие допущения: длительность работ измеряется в тех же календарных единицах, что и потребность в ресурсах (дни, часы и т. п.), причем для удобства решения задачи все показатели календарного времени нормированы по одной условной шкале времени с фиксированной точкой отсчета; для представления решения задачи в календарных датах (час, день, месяц, смена) применяется специальная операция определения календарной даты;
для выполнения работ используется и видов ресурсов 51,52, ..., 5;
при выполнении работ применяется оборудование, которое также является ресурсом и имеет свой и-й номер группы ресурса;
для каждой А-й работы известны коэффициенты эквивалентной замены д-го ресурса на 5-й ресурс внутри и-й группы ресурсов;
определим текущий фронт работ Ф(^) в каждый промежуток времени t2], зная сроки выполнения фронтов и дату выполнения всего комплекса работ Т0:
Ф(t) = фн ^ фЗ ^ фП,
где ФН - множество работ, которые могут быть начаты в момент времени V, ФЗ - ранее начатые, но еще не законченные работы (предполагается, что работы не могут быть прерваны); ФП - работы, которые необходимо переделать.
Необходимо определить список выполнения работ на каждую текущую дату t на отрезке ^ t2] и календарный график выполнения работ, эффективный по заданному критерию оптимальности.
Под календарным графиком понимается список работ с указанием календарной даты начала выполнения работы (день, смена, час) и указани-
ем порядкового номера используемого ресурса (группы ресурса), объема ресурса, номера взаимозаменяемого ресурса, фронта работы.
Пусть в результате агрегирования работ всех фронтов на отрезке t2] должны выполниться п видов работ R\,R22, ..., Rij, ..., Rmп.
Введем следующие обозначения: / - номер фронта работ, / = 1, 2, ..., т; А, к - номера работ,А = 1, 2, ..., п; к = 1, 2, ..., п; V - код группы взаимозаменяемых ресурсов, и = 1, 2, ..., Оу;
д, 5 - текущие номера взаимозаменяемого ресурса в v-й группе, д = 1, 2, ..., 5 = 1, 2, ..., 5;
А - время выполнения А-й работы и-м ресурсом, а = 1, 2, ..., п, и = 1, 2, ..., Оу;
t0j - нормированная дата окончания А-й работы; Хцо - нормированная дата начала выполнения А-й работы с использованием ресурса из и-й группы, а = 1, 2, ..., п;
- интенсивность использования и-го ресурса при выполнении А-й работы из /-го фронта работ;
у - коэффициент, учитывающий последовательность выполнения работ: А-я работа выполняется после к-й работы (или наоборот), в зависимости от значения коэффициента;
и - коэффициент, учитывающий использование (или нет) д-го ресурса из и-й группы при выполнении А-й работы;
- коэффициент, учитывающий заменяемость д-го ресурса на 5-й ресурс внутри одной группы ресурсов.
Сформулируем модель календарной задачи, используя идею, изложенную в [1, 3, 6].
Математическая модель календарной задачи
Модель. Для заданных р ц А и при условии целочисленности переменных у , и , г , х ,
ку Аид Аи
п; и =1, 2,
О:
,, и. , г , и х , удовлетво-
к =1, 2, ...., п; А = 1, 2 д = 1, 2, ..., 0 найти у ряющие условиям:
0, а-я работа выполняется после к-й работы;
1, а-я работа выполняется после к-й работы.
{0, и-й ресурс не используется в А-й работе;
, „ . „ 1, и-й ресурс используется в а-й работе.
1) Уа = \
{0, ц-й ресурс не заменяется на 5-й ресурс; „
1, ц-й ресурс заменяется на 5-й ресурс.
4) х^ > 0 - целые, у.к - целые, и - целые; ^ - целые, ] = 1, 2, ...., п; к = 1, 2, ...., п; и = 1, 2, ..., Оу; Ц = 1, 2, ..., Qu; 5 = 1, 2, ..., 5.
5) Для текущего выполнения выбирается только одна работа
У. + Ук = Ь ^ ], к). (1)
6) Выполнение .-й работы и-м ресурсом должно закончиться не позднее планового периода (или смены)
пр (. .) < (V к, к, и, 5). (2)
7) Ограничения по наличию ресурсов
п
ТЫ. -Г <1. и Г. (1. <В (3)
1=1 1=1
8) Работа может выполняться только тогда, когда закончится выполнение начатой ранее работы
У., • х. >у,. • х + ^ , или у,. • х > У-, • х. +1.. (4)
^ .к .и — ^ к ки ки' к киц — кк .и .и 4 7
9) В качестве целевой функции модели может быть выбрана минимизация времени выполнения работ по всем фронтам:
^ = тт{тах(х + t )}. (5)
(, VI, ] V т т))
Поставленная задача является целочисленной и нелинейной. Для ее решения предлагается алгоритм, основанный на вычислении индексов приоритетов для работ и ресурсов, в соответствии с которыми устанавливается очередность выполнения работ. Пересчет индексов приоритетов осуществляется после каждого такта закрепления ресурса за очередной работой.
Алгоритм решения задачи
Рассмотрим этапы алгоритма определения параметров календарной задачи распределения ресурсов по работам. Для простоты изложения опустим формулы для расчета приоритетов [1].
Этап 1. Определение фронта работ для t = 1 в предположении, что имеется одна начальная исходная работа и начальное время выполнения работ (использования ресурсов) Т1 = 0. Ф^ = 1) = = Ф(1) = Ф1
Этап 2. Определение функций предпочтения фронтов работ нормированных циклов вы-
полнения работ; определение индексов приоритета фронтов, работ, ресурсов.
Множество фронтов, упорядоченных в соответствии с индексами приоритета, обозначим Фу, Фу, ..., ФУ,.
Р 2' ' т'
Упорядоченное множество работ из /-го фронта работ обозначим Яп, Я.2, ..., Яп.
Ресурсы, упорядоченные в соответствии с моментами освобождения от использования, обозначим 5, 5, . ., 5 .
1' 2' Ц
Этап 3. Выполнение такта закрепления очередной работы из текущего фронта за ресурсом.
При анализе очередной работы и наличия ресурса может иметь место, по крайней мере, одно из следующих соотношений:
время окончания последней работы больше планового срока выполнения работ. В этом случае перечень работ не будет выполнен - окончание алгоритма;
время освобождения ресурса больше, чем время начала выполнения работы. В этом случае работа ждет ресурс, либо подбираем ресурс из эквивалентной замены. Если имеем противоположную ситуацию (время освобождения ресурса меньше, чем время начала выполнения работы), то ресурс ожидает работу;
нет работ на выполнение - окончание алгоритма.
Этап 4. Определение потребности в ресурсах на первый период:
УЕФ(1)
(6)
где Ь - потребность в и-м ресурсе на первый период; р. - интенсивность использования и-го ресурса для -й работы в первый период.
Этап 5. Определение потребности в ресурсе Ь на последующие периоды t > 1 для выполнения ранее начатых работ из Ф(1), т. е. для каждой работы (1, .), у которой t1 . > 1, изменяются параме-
тры Ь, t = 2, ..., Л:
1
Ь = Ь,
, + Р1.
(7)
(-1)и
где Ьtu - величина и-го ресурса в момент ^ Ь(-1)п -величина и-го ресурса в предыдущий момент времени ^ - 1); Р1. - объем использования и-го ресурса для работ (1, А р. = к • р^.
После пересмотра всех работ из Ф(1) переходим к общему шагу алгоритма.
Этап 6. Выполнение общего шага алгоритма. При рассмотрении очередного момента времени к определяем фронт работ Ф(к) и потребность в ресурсе 5 на период к:
5„=й1)+ I Р;9, (8)
где Ф(к) - фронт работ, которые могут быть начаты в момент к; Ьки - потребность в и-м ресурсе в момент времени к.
Алгоритм заканчивается при просмотре конечной работы фронта работ.
Этап 7. Определение календарных дат начала и окончания выполнения очередной работы.
Этап 8. Определение составляющей критериальной функции для текущего отрезка времени
[^ у.
Этап 9. Оформление расписания выполнения работ с использованием и-го ресурса.
После выполнения работы ^ приоритеты работ и ресурсов изменились, их необходимо пересчитать.
Календарный график считается построенным (или прекращается его расчет), когда выполнено одно из условий:
выполнены все работы из множества R1, R1, ..., Rп на отрезке t2];
время выполнения последней работы больше, чем срок окончания периода планирования;
не хватает ресурса или взаимозаменяемого ресурса для какой-нибудь работы из множества R., R., ..., R .
р р ' п
В заключение отметим возможности рассмотренной задачи с позиций учета некоторых особенностей реальных календарных задач распределения ресурсов.
На практике централизованное поступление ресурса в систему осуществляется периодически (например, один раз в квартал), равными объемами. Пусть стратегия поступления ресурса на отрезке [Т0, Т] изменилась: происходит уменьшение или увеличение объема Вик. В момент времени te (Т0, Т) возникает задача перераспределения ресурса между фронтами работ. В этом случае необходимо решать новую календарную задачу целочисленного линейного программирования по распределению ресурсов.
Рассмотренный эвристический алгоритм календарного планирования позволяет достаточно просто реализовать процедуру моделирования, если предположить, что в качестве очередного опыта моделирования будет производиться случайный розыгрыш работы на выполнение из фронта работ, а также очередной объем требуемого ресурса.
Данное исследование осуществлялось при частичной поддержке РФФИ (грант № 06-07-89228-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бабкова, Е.В. Модель сменной загрузки раскройного оборудования [Текст]/Е.В. Бабкова//Принятие решений в условиях неопределенности: межвуз. науч. сб.-Уфа: УГАТУ, 2002.-С. 184-190.
2. Бабкова, Е.В. Моделирование социальных и эколого-экономических систем: учеб. пособ. [Текст]/Е.В. Бабкова, Т.О. Вишнякова, С.С. Шерстюк.-Уфа: УГАТУ, 2009.-184 с.
3. Бабкова, Е.В. Модель календарного распределения ресурсов [Текст]/Е.В. Бабкова, С.С. Шерстюк//При-нятие решений в условиях неопределенности: межвуз. науч. сб.-Уфа: УГАТУ, 2009. -Вып. 5.-С. 249-253.
4. Бабкова, Е.В. Управление многоцелевым календарным распределением ресурсов с учетом фронта выполнения работ [Текст]/Е.В. Бабкова, С.С. Шерстюк //
Принятие решений в условиях неопределенности: межвуз. науч. сб. -Уфа: УГАТУ, 2009. -Вып. 6.-С. 317-326.
5. Вагнер, Г. Основы исследования операций. Т. 2. [Текст]/Г. Вагнер. -М.: Мир, 1973.-488 с.
6. Babcova, E.V. Model of changeable cutting equipment loading [Текст]/Е.У Babcova//Decision Making in the Condition of Uncertainty (Cutting-Packing Problems). -Ufa, 1997.-P. 359-366.
7. www.agro.ru/news.aspx [Электронный ресурс]
8. www.dni.ru/polit.2008.12/html [Электронный ресурс]
9. www.PromKrovlya.ru/content/viev/145/47 [Электронный ресурс]
10. stroymontagh.ru/.front.rabot.html [Электронный ресурс]
