Моделирование производства сложных изделий на основе сетевой технологии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии

УДК 519.68 : 330.11

Е.В. Бабкова

моделирование производства сложных изделий на основе сетевой технологии

Один из главных факторов успеха деятельности предприятия в условиях рынка - непрерывное обновление товаров и технологии производства, иными словами - создание, разработка, освоение производства новой продукции.

Традиционно процессы освоения новой продукции, иначе называемые процессами обновления, моделируются с помощью систем сетевого планирования и управления. Однако большинство процессов освоения сложной продукции существенно зависит от случайных факторов. Эффективность методов сетевого планирования и управления резко снижается при возрастании влияния случайных факторов на параметры разработки. Недостатки планирования процессов создания новой продукции и управления ими обусловливают чрезмерную длительность сроков освоения новых видов изделий, снижают эффективность и подвергают опасности морального старения продукцию еще на стадии ее освоения.

Применение сетевого моделирования при разработке и освоении сложных изделий позволит не только выявить особенности в технологии изделия, но и определить резервы времени в сокращении цикла производства и выхода на рынок. Основу системы моделирования составляют сетевые модели с возвратами.

Впервые сведения о графах с возвратами изложены в трудах К. Бержа (1960-1962 гг.) [4]. Широкое применение этих технологий в России осуществлялось под руководством доктора экономических наук, профессора Н.Б. Мироносецко-го, внесшего значительный вклад в применение графов с возвратами к моделированию производственных систем в рамках исследований Института экономики и организации промышленного производства Сибирского отделения РАН [6, 7].

Графы с возвратами

Рассмотрим основные определения графов с возвратами [2, 4, 6].

Множество дуг и графа 0(1,и) содержит детерминированные дуги (г,.) е и 1 и дуги возврата (к, I) е и 2 , каждой из которых соответствует параметр Рк1 - вероятность возврата, т. е. {(к, I), 0 < Рик\) е и 2. Отметим, что и = и1 и и 2 и и 1 П и2 = 0 [6]. Каждой дуге возврата (к, I) е и2 ставится в соответствие подграф Ск1, который можно выделить двумя способами:

Ск/=гл Г-1, а)

Оы = г, (2)

где Г; - транзитивное замыкание вершины I; Гк_1 - обратное транзитивное замыкание вершины к [3].

Дуги графа описываются числами [3, 7]: Т.. -продолжительность дуги (г,.), г < .; Р. - вероятность возврата по дуге (г,.), г > .; аи - коэффициент изменения (как правило, уменьшения) продолжительности дуги и при доработке,

0<аи < 1.

Вероятности Р . и коэффициенты аи определяются с помощью экспертизы по методу индивидуальных экспертных оценок типа интервью.

Далее рассматриваются несколько типов событий с различными логическими возможностями. Для отображения альтернативных ситуаций на графе предлагается восемь типов вершин, причем альтернативы описываются вероятностями их реализации как независимыми, так и с учетом предшествующих решений [7]. Для ориентированного конечного графа 0(1 ,и) без контуров предполагается, что множество вершин I неоднородно. Часть вершин на входе и выходе реали-

Типы логически связанных событий

Тип события Логическое отношение на входе Логическое отношение на выходе

1 И (А) И (А)

2 и (А) ИЛИ (V), = 1, ие и~

3 и (А) ИЛИ(V),0<Ри <1

4 ИЛИ (V) И (А)

5 ИЛИ (V) ИЛИ (V), =1, ие 11~

6 ИЛИ (V) ИЛИ(V),0<Ри <1,ме1/;

7 ИЛИ (V) ИЛИ (V), 0 < Риу < 1, ие и;, уе и+х

8 ИЛИ (V) ИЛИ (V), ^ Р* = 1, и е и;, уе и+х

зует логическую операцию л, предполагающую обязательное начало и окончание каждой работы (дуги) графа. Остальные вершины могут реализовать на входе и выходе логическую операцию V в неисключающем и исключающем смысле. Неисключающее V на выходе предполагает, что возможен возврат сразу в несколько событий или допускается выполнение нескольких работ из всего множества и-. Неисключающее V на входе означает, что событие свершается только в том случае, если из всех входящих в него работ получен результат хотя бы одной. Для исключающего V на выходе событие считается свершенным, если возврат осуществляется только в одну вершину графа. Ситуации на входах и выходах событий отражены в таблице.

Алгоритмы имитационного моделирования на основе графов с возвратами

Имитационное моделирование позволяет исследовать поведение различных систем с учетом влияния случайных факторов. В модели с возвратами таким фактором является повторное выполнение определенного этапа работ, которое отражается в модели как случайное событие.

Для моделирования случайного события А, вероятность которого равна Рс, достаточно сформировать одно случайное число ^, равномерно распределенное на интервале [0,1]. При попадании ^ в интервал [0Рс] считают, что событие А наступило, в противном случае - не наступило: IX если ^е [0,РС], [0, если §е[РсД].

В модели с возвратами число случайных событий определяется количеством возвратов.

А =

(3)

Центральной процедурой алгоритмов расчета временных параметров графа является моделирование событий, исходы которых описываются вероятностями повторного выполнения определенных этапов работ [1, 7]. Пусть из вершины возможен возврат в предшествующие события I, ..., ¡5 и Рг1 есть вероятность реализации дуги возврата (г1). В подмножестве дуг возврата, исходящих из одной вершины, возможны три случая:

1) возврат возможен сразу в несколько событий (вершина возврата типа «ИЛИ»);

2) возврат возможен лишь в одну вершину (вершина возврата типа «И»);

3) возвраты осуществляются последовательно.

В первом случае на параметры Рг1 наложено одно ограничение: Рг1 < 1, д = 1, 2 ..., 5" - и процедура розыгрыша возвратов осуществляется следующим образом. Вершине г ставится в соответствие последовательность равномерно распределенных на отрезке [0, 1] случайных величин

уг уг уг

41, ^ ..., ^ которые сравниваются с параметрами

Prl2, ..., При выполнении условия Iг < Рг1д , д = 1, 2, ..., 5 происходит возврат в вершину ¡ч .

Во втором случае возвраты являются взаимоисключающими, и поэтому должно выполняться

условие ^ Рг1 < 1. Процедура моделирования

д=1 "

взаимоисключающих возвратов заключается в следующем. Генерируется равномерно распределенное случайное число ^е [0,1] и определяется П-й интервал из следующего условия:

шш(Р, .

(4)

В третьем случае каждой дуге (г, ставится в соответствие равномерно распределенная на отрезке [0, 1] случайная величина ¿г1. Если выполняется условие < Р ,, то реализуется возврат по дуге (г, I ). Величина Т - раннее время наступления события I, - определяется по процедуре Форда [8], которая применяется поочередно для всех вершин графа. Если очередная вершина г является вершиной возврата, то после определения Тг производится розыгрыш дуг возврата по описанным правилам.

Пусть в результате имитационного эксперимента проведено N испытаний и получена следующая выборка Тл, Тп , ...,Тп случайной величины Тп - длительности процесса разработки (продолжительность критического пути рассматриваемого графа). _

Определим выборочное среднее М (Тп) и выборочную дисперсию с (Тп) по следующим формулам:

— 1 N

М(Тп) = N Е тп; (5)

"1-а/а

•с(Тп)) = 1 -а:

I=1

—а с

1

а(Тп) = (Т -М(Тп))а. (6)

N — 1 ,=я

На основе полученной выборки строится гистограмма относительных частот, с помощью которой определяется частота попадания длины критического пути Тп в заданный интервал времени.

Кроме того, можно построить эмпирическую функцию распределения е(Тп), значения которой позволяют прогнозировать выполнение работ к сроку Т* с вероятностью Е(Т *). Также можно оценить вероятность выполнения всех работ графа G при условии, что затраты времени на его реализацию не превысят директивной величины Т*.

В предположении нормального закона распределения можно построить доверительный интервал, который с заданной вероятностью покроет исследуемый параметр, в данном случае продолжительность критического пути рассматриваемого графа, т. е. время производственного цикла изделия (или расхода ресурса в заданном объеме). Для рассматриваемой задачи:

Р(Тп — М(Тп) < С(Т„) • Щ—а/а) = 1 — а , (7)

или

Р(М(Тп) — м1—а/2 тс(Тп) <Тп <М(Тп) + (8)

где Тп - длительность критического пути рассматриваемого графа или время освоения новой продукции; М (Тп) - выборочное среднее или математическое ожидание случайной величины Тп; с(Тп) - стандартное отклонение случайной величины Тп; и1—а /а - квантиль стандартного нормального распределения, который указывает, какая доля стандартного отклонения должна быть учтена, чтобы доверительный интервал покрыл исследуемый параметр с вероятностью 1 — а .

Сетевое моделирование хода выполнения работ по освоению новых изделий

Основной формой проявления случайных факторов в подготовке производства новых изделий являются конструкторские изменения. Изменения в отдельных элементах изделия, возникающие непосредственно в ходе его освоения, например, в результате согласования отдельных компонент, приводят к изменению всех или некоторых операций технологического процесса или к доработке заданного технологического процесса, т. е. к переделке работ. Поэтому при разработке исходного сетевого графика производства нового изделия повторение этапов и отдельных работ априорно задается в виде некоторых функций возвратов в определенных точках процессов. Имея такой график, можно выполнять моделирование и решать перечисленные ниже задачи.

Задача 1. Определение вероятности завершения работ к назначенному сроку. Известно,

Т — —

что FN(т,с2)(Т*) = Ф= Р(Тп < Т*) = а ,

Ф(иа) = а , где Ф() - функция стандартного нормального закона распределения, иа - квантиль

этого распределения уровня а . ^

0 Т — —

Зная —, с, Т , находим величину-, и по

с

соответствующей таблице стандартного нормального распределения находим вероятность а .

Задача 2. Определение срока, за который с назначенной вероятностью будут завершены все работы.

Пусть Тп - случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, продолжительность выполнения комплекса работ по созданию новой продукции; — = М (Тп) - математическое ожидание Тп; с = с(Тп) - стандартное отклонение Тп; Т* - заданный срок; а - задан-наявероятность.

Имеем обратную задачу к задаче 1: в таблице стандартного нормального распределения по вероятности а находим соответствующий

Л7-Г*

, T - m квантиль Па : по формуле -= Uа находим

а

Т * = m + Uа - а.

Задача 3. Определение стоимостных параметров графов с возвратами: определение суммарных затрат 5 на выполнение работ, описываемых сетевой моделью, с учетом возвратов на доработку. В этом случае

s sob + sdor,

(9)

где 5ов - затраты на выполнение проекта без учета доработок; 5ПоЯ - затраты на выполнение доработок

sob - x sij

(ijj&l

(10)

где Sij - затраты на выполнение работы (i, j); Ui - множество дуг вида (i, j), на которых заданы суммарные затраты Sij.

Процедура моделирования используется для оценки величины SDoR .

Пусть в l-м испытании реализуется дуга возврата (b, l), это означает повторное выполнение работ подграфа Оы, и, значит, затраты увеличиваются на величину А :

а- !<

(jGbi

a rj * Sij

(11)

где Оы - подграф для повторного выполнения работ; а ^ - коэффициент изменения стоимости доработки дуги (/', Д

Затраты по доработке с учетом проведения I -й реализации алгоритма вычисляются по формуле:

° DOR

(12)

0',./)еи2 (/,/еаы

где 51Вок - затраты по доработке в I -й реализации алгоритма; Ц - подмножество реализованных в ¡ -м испытании дуг возврата.

Пусть проведено N испытаний и получено N значений 5 : 5 . ., На основании этих значений может быть построена эмпирическая функция распределения F (5).

Отметим, что затраты по возвратам на доработку могут приниматься равными нулю. В общем случае дуга возврата (Ь, I) может порождать целый комплекс работ, не принадлежащих основному графу. Это легко учитывается в рассмотренных алгоритмах.

Вычислительный эксперимент проводится с использованием разработанного программного средства [3]. На рис. 1 показан пример сетевой модели создания сложного изделия. Информация о графе, представленном на рис. 1, вводится пользователем в виде списка дуг. Программа позволяет находить все перечисленные выше характеристики сетевой модели. Полученные данные могут быть представлены для пользователя в виде та-

Рис. 1. Пример сетевого графика разработки сложного изделия

Информация о дугах | Граф | Таблицы Диаграмма Гантта | Дуги возврата ] Имитационное моделирование | Гистограмма |

32-33 Диаграмма Гантта

-------- --------•-------------------------------- --------1--------1--------1 - -----;-

29-32 ■

29-30 ■

27-28

17-28 ; *

10-28

26-27

24-25 .......;................|........ ........[.......;_____.......^...............■........

18-25 —1— ----

23-24

4-24 1

22-23

20-21

14-21

16-19

9-18 г--н—;........:........г.......-1--------:--------;........:........г.......-1........г...............:-

8-17 -1-1--.

12-16 ------ -

■

13-14

■

5-13

11-12

7-11

2-10

2-8 ____......[______________________;________;________•..............................

2-6

2-4

1-2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Красные прямоугольники - работы принадлежат критическому пути, синие - не принадлежат

Рис. 2. Диаграмма Гантта проекта создания сложного изделия

блиц. Кроме того, может быть построен график Гантта, как показано на рис. 2.

Информация о дугах возврата вводится с экрана в виде таблицы. Данные эксперимента обрабатываются и представляются в виде численных оценок математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, а также минимального и максимального значений параметров. Может быть построена гистограмма относительных частот (рис. 3).

По результатам модельного эксперимента выдается следующая информация:

1) перечень дуг, увеличивающих продолжительность критического пути заданного графа разработки сложного изделия;

2) перечень дуг с типом возврата «И», увеличивающих продолжительность критического пути;

3) перечень дуг с типом возврата «ИЛИ», увеличивающих продолжительность критического пути;

4) эмпирическая функция распределения Е (Тп) для случайной величины Тп - продолжи-

тельность критического пути рассматриваемого графа;

5) ответ о совпадении эмпирической функции распределения с нормальным распределением;

6) интервальная оценка стоимости выполнения всего комплекса работ по производству изделия.

Кроме того, вычисляются оценки следующих параметров:

оценка длительности проекта при заданной вероятности завершения всех работ этого проекта;

оценка вероятности завершения всех работ проекта при условии, что затраты времени на его реализацию составят заданную величину.

Применение технологии сетевого моделирования позволяет экспериментально исследовать процессы разработки сложных изделий:

рассчитать временные параметры графов с возвратами для произвольного объекта с учетом изменений как внешней среды, так и внутренних факторов, возникающих при освоении новой продукции;

Информация о дугах ] Граф | Таблицы] Диаграмма Гантта | Дуги возврата | Имитационное моделирование Гистограмма | < I

М = 289,745

0,230 0,207 0,184 0,161 0,138 0,115 0,082 0,068 0,046 0,023 0,000

0,230

0,140

0,080

0,040

0,040

0,180

0,140

0,100

0,050

240,800 257,468 274,138 290,807 307,475 324,144

248,134 265,803 282,472 288,141 315,810

Результаты серии имитационных экспериментов - значения критического пути:

Номер 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Значение <1 1 288,628 321,287 287,624 287,487 306,068 282,808 275,860 286,120 248,480 286,884 288,388

Данные для гистограммы - интервалы - частота попаданий:

От 240,800 248,134 257,468 265,803 274,138 282,472 280,807 299,141 307,475 315,810

До 248,134 257,468 265,803 274,138 282,472 280,807 289,141 307,475 315,810 324,144

Частота 0,040 0,000 0,040 0,080 0,140 0,230 0,180 0,140 0,100 0,050

_

Рис. 3. Гистограмма относительных частот

выявить возвраты и соответствующие факторы, наиболее сильно влияющие на удлинение сроков освоения новой продукции;

получить различные формы графического представления проекта;

осуществить многовариантные расчеты, т. е. рассмотреть большое число альтернатив при производстве новой продукции;

обеспечить возможность выявления резервов времени по ходу освоения новых изделий;

моделировать затраты на освоение нового изделия с учетом изменения сроков выполнения производственного цикла, а также с учетом изменения стоимости ресурсов.

Дальнейшее применение изложенных моделей и алгоритмов осуществляется в рамках системы моделей-эталонов [9]. Разработка универсальных сетевых моделей-эталонов предметной области позволит сократить затраты на разработку соответствующего программного обеспечения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бабкова, Е.В. Модельные эксперименты на графах с возвратами в АРМ руководителя службы меха-нообрабатывающего производства [Текст] / Е.В. Бабкова // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвуз. науч. сб. -Уфа: УГАТУ, 1996. -С. 99-106.

2. Бабкова, Е.В. Технология моделирования на графах с возвратами [Текст] / Е.В. Бабкова // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвуз. науч. сб. -Уфа: УГАТУ, 2000. -С. 192-202.

3. Бабкова, Е.В. Система расчета параметров графа с различными типами возвратов [Текст] / Е.В. Баб-кова, О.М. Верхотурова // Свид. об офиц. регистр. программы для ЭВМ № 2006613035 от 31.08.2006.

4. Берж, К. Теория графов и ее применения [Текст]/ К. Берж. -М.: Иностранная лит-ра, 1962. -320 с.

5. Маркова, В.Д. Стратегический менеджмент [Текст] / В.Д. Маркова, С.А. Кузнецова. -Новосибирск: Наука, 2002. -320 с.

6. Мироносецкий, Н.Б. Анализ сложных систем, описываемых стохастическими графами [Текст] / Н.Б. Мироносецкий // Моделирование производственных процессов. -Новосибирск: ИЭ и ОПП СО АН СССР, 1977. -С. 24-29.

7. Мироносецкий, Н.Б. Моделирование процессов создания и выпуска новой продукции [Текст] / Н.Б. Мироносецкий. -Новосибирск: Наука, 1976. -166 с.

8. Форд, Л. Потоки в сетях [Текст] / Л. Форд, Д. Фалкерсон. -М.: Мир, 1966. -277 с.

9. Юсупова, Н.И. Управление распределением

ресурсов в сложных системах на основе моделей-эталонов [Текст] / Н.И. Юсупова, Е.В. Бабкова // Вестник УГАТУ -2009. -Т. 13. -№ 2(35). -С. 33-38.

УДК 681.3.06

Макарова Е.А.

метод формирования алгоритмов управления

макроэкономической системой с использованием имитационных моделей

Актуальность проблемы проведения исследований в области прогнозирования и стратегического планирования развития национальной экономики связана с особенностями современных условий мирового экономического развития, характеризующихся высокой степенью динамизма, нелинейностью протекающих процессов, а также наличием ресурсных ограничений [1]. Одно из направлений исследований в решении этой проблемы - разработка модельных комплексов и программных инструментариев, предназначенных для поддержки принятия решений на макроэкономическом уровне и основанных на интеллектуальных технологиях и имитационном моделировании [1-5].

С целью обеспечения поддержки процедур анализа процессов управления макроэкономической системой (МЭС) ведется разработка системы имитационного моделирования и интеллектуального управления (СИМИУ) воспроизводственным процессом МЭС в неравновесных рыночных условиях [6-8]. В составе СИМИУ выделены три взаимосвязанных компонента: система имитационного моделирования, система аналитической поддержки и система интеллектуальной поддержки принятия решений при управлении воспроизводственным процессом МЭС.

В статье рассмотрены вопросы построения третьего компонента, связанные с разработкой метода формирования интеллектуальных алгоритмов управления МЭС, которые представлены правилами классификации макроэкономических ситуаций и принятия решений, полученными на основе имитационного моделирования, нейросе-тевых технологий и инженерии знаний [5, 7].

Цель управления воспроизводственным процессом МЭС как сложным динамическим объектом управления (ДОУ) - обеспечение плановых темпов выпуска ВВП 7 и расхода ресурсов всеми секторами при условии соблюдения требуемых воспроизводственных пропорций, уровней инфляции и безработицы. В работе описаны общие пропорции воспроизводства, которые определяются соотношением долей потребления, накопления и госрасходов в ВВП, рассчитанном по расходам [9]. Исследованы два типа количественных соотношений: потребительски-ориентированный (большая доля потребления в темпе выпуска ВВП -до 60-70 %)и инвестиционно-ориентированный (значительная доля инвестиций в темпе выпуска ВВП - до 40 %).

С позиций управления взаимодействие динамических моделей воспроизводственного процесса МЭС и интеллектуальных алгоритмов классификации и принятия решений реализуется в виде трехуровневой структуры системы управления. Первый уровень управления содержит контуры управления расходами ресурсов секторов экономики, построенные на основе принципа обратной связи.

Второй уровень управления включает контуры управления, построенные на основе принципа адаптации и предназначенные для корректировки плановых темпов расхода ресурсов секторами МЭС на основе информации о состоянии макроэкономических рынков и объемах накопленных запасов [7]. Формирование вектора управляющих воздействий UR¡(t) для /-го сектора МЭС (реального сектора; сектора домохозяйств и секторов