Управление календарным распределением ресурсов с учетом фронта выполнения работ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ЯлГЙОяО/

Уфа : УГАТУ. 2011____________________________^^_____________________________Т. 15, №2(42). С. 191-195

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 658

Е. В. Бабкова, С. С. Шерстюк

УПРАВЛЕНИЕ КАЛЕНДАРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ РЕСУРСОВ С УЧЕТОМ ФРОНТА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ

В статье рассматривается задача календарного распределения ресурсов с учетом фронта выполнения работ в отрасли или сфере деятельности. Фронт работ, ресурс; распределение ресурсов; календарная задача; задача линейного программирования

ВВЕДЕНИЕ

Процессы управления сложными объектами во всех сферах деятельности человека связаны, во-первых, с использованием ресурсов и, во-вторых, протекают во времени. Учет в одной задаче исследования этих двух элементов приводит к появлению понятия «фронт работ».

Существует определение понятия «фронт работ» в широком смысле слова - это пространство на строящемся объекте, занимаемое бригадой вместе с механизмами, приспособлениями и материалами, необходимыми для обеспечения наивысшей производительности труда при выполнении строительных работ [2]. Изначально это понятие связывалось только со строительной отраслью, поскольку здесь требовалось специальное оснащение и подготовка рабочего места к выполнению работ. В настоящее время во многих сферах деятельности, так или иначе, используется понятие «фронт работ», например

И:

• по отраслям деятельности (полевой, аграрный, машиностроения, строительства, дорожный и прочие);

• в различных сферах деятельности - подразумевается объем работ, который необходимо выполнить в физическом выражении (количество единиц работы, квадратные метры покрытия и прочие);

• в организационной и управленческой деятельности (фронт управления, фронт работ министрам, фронт контроля и прочие).

В дальнейших исследованиях будет применяться более узкое понимание фронта работ, а именно, это будет множество работ, которые могут быть начаты в какой-то период времени с учетом работ, начатых ранее, но еще не закон-

Контактная информация: (347)273-79-67

ченных к настоящему моменту (предполагается, что работы не могут быть прерваны).

Рассмотрим задачу календарного распределения однородного ресурса с учетом фронта выполнения работ [1, 2, 4, 7, 8, 9].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Пусть при выполнении какого-то вида работ используется г ресурсов. Пусть Д.(0 - наличие ресурса r-го вида в момент времени t.

На каждой работе (/, j) используется к-й ресурс с интенсивностью р*. и длительностью

эксплуатации ресурса t,j.

Имеется т видов работ Zb Z2,... ,Z„„ которые необходимо выполнить не позднее календарных

сроков t(* /2 г • 4т ■ Для каждой работы известно подмножество {г;'} ресурсов, с помощью которых эта работа выполняется.

В задаче используются следующие допущения:

а) если на всех работах используется один и тот же ресурс, то г = 1;

б) длительность работ измеряется в тех же календарных единицах, что и потребность в ресурсах (дни, часы);

в) определим фронт работ Ф(0 в каждый

промежуток времени t = t = 1,7’" , где 71' - срок выполнения всего комплекса работ.

0(f) = 0iU02, где Ф1 - множество работ,

которые могут быть начаты в период /:

Ф2 - ранее начатые, но еще не законченные работы (предполагается, что работы не могут быть прерваны).

Необходимо определить:

• список работ на выполнение на каждую текущую дату t на отрезке |/]. /2|:

Данное исследование осуществлялось при частичной поддержке РФФИ (проект 08-07-00495-а).

• календарный график выполнения работ, эффективный по заданному критерию оптимальности.

Под календарным графиком понимается список работ с указанием календарной даты начала выполнения работы (день, смена, час) и указанием порядкового номера используемого ресурса (группы ресурса), объема ресурса, номера взаимозаменяемого ресурса, фронта работы.

Введем следующие обозначения:

/ - номер работы, / = 1, 2,... ,т;

у - вид ресурса, у = 1, 2, к , т ;

V - код группы взаимозаменяемых ресурсов,

V = 1, 2, к ,У;

к - текущий номер ресурса, к = 1, 2, к , т; Я - интенсивность применения ресурса г у,

7 = 1, 2, к , т ;

tjvq - время выполнения работы по ресурсу г,, у = 1, 2, к , т , нормированное в минутах,

V = 1, 2, к ,У ; q = 1, 2, к , &;

t - нормированная календарная дата окончания всех работ;

X, „ q - нормированная календарная дата начала выполнения работы с использованием ресурса г,, у = 1, 2, к , т .

ук 7 „ - целочисленные коэффициенты квад-

ратных матриц переменных, у = 1, 2, ... , т ; к = 1, 2, к ,т; q = 1, 2, ... ,Qv .

Сформулируем модель календарной задачи, используя идею, изложенную в [1, 6].

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КАЛЕНДАРНОЙ ЗАДАЧИ

Модель. При условии целочисленности

переменных ук у

V д?

наити

Ук}

v д

и X,

'1 v 9’

удовлетворяющие условиям:

1) У.. =

' у та

0, ресурс не применяется,

[1, ресурс применяется.

2) Уут =

1, ресурс к применяется после ресурса у,

= < 0, ресурс используется в разных работах, -1, ресурс к применяется раньше ресурса у.

3) Хущ > 0, у = 1, 2, к ,т ,

q = 1, 2, к ^, V = 1, 2, к ,У .

4) ^ > 0, у = 1, 2, к , т , q = 1, 2, к , Qv

V = 1, 2, к ,У .

5) Работы не могут выполняться одновременно

уку,ч+^ (" к, V q).

6) Ресурс применяется только в одной рабо-

те

к Qv

XXУ^? = 1,у = 1 2, к ,т . (1)

v=1 я=1

7) Применение ресурса по этой работе должно закончиться не позднее планового периода

• Я £ і .

(2)

8) Из двух видов ресурсов используется один из них только тогда, когда закончится работа с использованием ресурса, поступившего первым

• Я,.

(3)

9) Целевые функции модели:

К = тіп и п , К = тіп

1 JvQv, 1

Л

Критерий означает минимизацию общего времени обработки для каждого комплекса работ. Критерий означает минимизацию суммарного времени окончания обработки над каждой операцией для каждого комплекса работ.

Поставленная задача является целочисленной. Алгоритмом решения поставленной задачи является метод ветвей и границ [3, 5].

3. УПРАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ РЕСУРСОВ С УЧЕТОМ ФРОНТА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ

Схема поддержки принятия решений с учетом фронта работ приведена на рисунке, где ц0 - вектор исходных данных по всем видам работ (фронт работ) и используемым ресурсам;

- вектор решения календарной задачи распределения ресурсов по видам работ;

ц - вектор, характеризующий результирующий календарный график использования ресурсов по всему фронту работ.

За счет формирования вектора отклонений от фронта работ и выделения специальной процедуры анализа возможности выполнения фронта работ в заданное время Т, получаем окончательное исследование календарной задачи.

М-0 М

Т

М

Объект

-►0—►

Решение Формирование век-

календарной тора отклонений

задачи от фронта работ

Процедура анализа и моделирования выполнения фронта работ

Схема управления распределением ресурсов с учетом фронта работ

4. АЛГОРИТМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ

Рассматриваемый алгоритм распределения ресурсов может применяться как для накапливаемых ресурсов: сырья, материалов и аналогичных складируемых элементов производства, так и для ненакапливаемых ресурсов: машины, оборудование, электроэнергия, знания людей. Эти ресурсы, как правило, имеются в ограниченном количестве и не складируются.

Отметим, что во всем алгоритме характеристики ресурсов и время эксплуатации ресурсов соизмеряются с длительностью выполнения как отдельных работ, так и фронтов работ в целом.

Рассмотрим основные этапы алгоритма управления распределением ресурсов с учетом фронта работ.

Этап 1. Определение фронта работ для t = = 1 в предположении, что имеется одна начальная исходная работа и начальное время выполнения работ (использования ресурсов) Т = 0. Фа = 1) = Ф(1) = Ф: = {(1, у) е и(1)}.

Этап 2. Решение целочисленной календарной задачи для t = 1 (в дальнейшем t = Ттек).

Этап 3. Определение потребности в ресурсах на первый период:

Ъ = XР,у • (4)

уеи (1)

где Ъ\ - потребность в ресурсе на первый период;

Ру - интенсивность использования ресурса на работе (1, у) (в дальнейшем на работе (^ек, у)).

Этап 4. Определение потребности в ресурсе Ъ( на последующие периоды t > 1 для выполнения ранее начатых работ из Ф(1), т. е. для каждой работы (1, у), у которой ^ у > 1, изменяются параметры Ъь t = 2,., ^ /.

Ъ, = Ъ,- +Ру , (5)

где Ь{ - величина ресурса в момент і.

Отметим, что і находится на искусственной шкале времени, соответствующей ресурсу;

Ьі_1 - величина ресурса в предыдущий момент времени (і - 1);

р1 і - объем использования ресурса для работ (1,1).

После пересмотра всех работ из Ф(1) переходим к общему шагу алгоритма.

Этап 5. Выполнение общего шага алгоритма. Определяем фронт работ Ф(к) и потребность в ресурсе Як на период к:

Як = Ьк + Т Р ,1 , (6)

(і,І

где ф - фронт работ, которые могут быть начаты в момент к;

Ьк - потребность в одном ресурсе в момент времени к.

Алгоритм заканчивается при просмотре конечной работы фронта работ.

Если необходимо в алгоритме выполнять моделирование, то в качестве очередного опыта моделирования будет производиться случайный розыгрыш очередной работы на выполнение из фронта работ, а также очередной объем требуемого ресурса. После проведения N испытаний можно определить математическое ожидание Е(ЯІ) потребности в ресурсе по календарным периодам:

N

Т.к:

Е (Я1) = л=^, і = 1,2, к , Т 0, (7)

где N - число проведенных статистических испытаний;

Яі: - потребность в ресурсе одного вида

в момент і в испытании с номером :;

Т0 - момент времени окончания периода моделирования.

Отметим, что для случая (10) для всех работ из Ф1, для которых tj > 1, пересчитывается bk+p по формуле

bk+p = b(k+P)-1 +bij , Р = U K , t,J -1, (8)

где bk + p - потребность в ресурсе в момент времени (к + p);

b(k + Р) _ 1 - потребность в ресурсе в момент времени (к + р) - 1.

xi - значение случайной величины в i-м опыте.

Во многих случаях распределяемые ресурсы являются взаимозаменяемыми. В этом случае возникает необходимость в решении распределительной задачи для неоднородного продукта. При этом в классические ограничения должны быть добавлены следующие условия:

а) ограничения на минимальные и предельные потребности для каждого отдельного ресурса (однородного взаимозаменяемого или неоднородного);

б) взаимозаменяемость должна быть охарактеризована коэффициентом, указывающим, сколько единиц одного ресурса эквивалентно единице другого. Понятие эквивалентности для различных ресурсов может определяться по-разному, например, при распределении человеческого ресурса за сравнительный показатель эквивалентности можно брать производительность труда каждого индивидуума, а при распределении взаимозаменяемых материалов -удельные нормы расхода на единицу продукции и т. д.

Приведенная постановка и модель задачи позволяют довольно просто учесть эти две перечисленные особенности. Например, введем

целочисленные переменные zqs, где

0, q-й ресурс не заменяется на s-й ресурс;

1, q-й ресурс заменяется на s-й ресурс.

Тогда ограничения по наличию ресурсов с учетом взаимозаменяемости запишутся в следующем виде

z =

qs

S i.tjvq ' djvq,

)+ S

z • t • d < B

qs jvs jvs ~ V

(10)

у=1 *=1

где й/уу - интенсивность использования у-го ресурса при выполнении у-й работы из /-го фронта работ;

Ву - объем у-го ресурса, имеющегося в наличии.

Если известны коэффициенты эквивалентной замены ресурсов замены д-го ресурса на *-й ресурс внутри у-й группы ресурсов, то необходимо добавить их в ограничение (10).

5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ЭКСПЕРИМЕНТ

Вычислительный эксперимент проводился в двух направлениях:

• экспериментальное определение зон оптимума для заданных параметров задачи;

• определение аналитических зависимостей времени получения календарных графиков в зависимости от размерности задачи (число работ - т, число взаимозаменяемых работ - п, максимальное число технологических операций для заданных работ - д, количество используемых ресурсов - г, число взаимозаменяемых ресурсов - р).

Для исследования алгоритма формировались

• тестовые наборы работ и ресурсов по классам

• размерности задач (см. табл. 1).

Т аблица 1

Номер m, n, q r, p

тестового

набора

m Л 1З r Л 10

1 n Л б q Л 10 З Л p

1З < m Л З0 r Л 20

2 б < n Л 10 10 < q Л 20 p Л 10

З0 < m Л S0 r Л 40

З 10 < n Л ІЗ 10 < q Л 20 p Л 20

80 < m Л 110 40 < r Л бО

4 ІЗ < n Л 20 10 < q Л 20 20 < p Л 2З

110 < m Л 1З0 бО < r Л 80

З 20 < n Л ЗО 10 < q Л 20 2З <p Л З0

Сравнение проводилось с алгоритмом Джонсона. Этот алгоритм выполняет полный перебор работ. В табл. 2 приведены результаты вычислительного эксперимента для ЭВМ не менее Pentium 4, язык СИ++, ОС: Windows 2000/XP, Vista.

Т аблица 2

Номер тестового набора Время реализации алгоритмов t (мин.)

Алгоритм Джонсона Эвристический алгоритм

1 t < З t < 10

2 t < 8 t < 12

З t < 16 t < 1З

4 t < 42 t < 21

З t < бб t < З2

Отметим следующие особенности тестирования задач:

1) Выбор критерия задачи практически не влияет на время реализации алгоритмов, что объясняется примерно одинаковым объемом дополнительной информации по критериям — и -2. Однако применение критериев с отклонениями от сроков выполнения работ резко увеличивает время реализации двух алгоритмов.

2) Для значений т <15 и п <15 значения величин п, д, р практически не влияют на время реализации эвристического алгоритма. Это связано с тем, что число переборов определяется глубиной просмотра конкурирующих вариантов закрепления ресурсов за работами (не более трех), а в алгоритме Джонсона выполняется полный перебор. В этом случае достаточно построить аналитические зависимости ґ = _Дт, г) для каждого набора данных.

3) Для значений т > 15 и п > 15 рекомендуется исследовать зависимости

ґ = -(т, п, д, г, р)

для каждого набора данных в календарной задаче с помощью методов регрессии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение отметим возможности рассмотренной задачи с позиций учета некоторых особенностей реальных календарных задач распределения ресурсов.

На практике централизованное поступление ресурса в систему осуществляется периодически (например, один раз в квартал), равными объемами. Пусть стратегия поступления ресурса на отрезке [7°, Т] изменилась: происходит уменьшение или увеличение объема Акр. В момент времени ґ є (7ю, Т возникает задача перераспределения ресурса между фронтами работ, в этом случае необходимо решать новую календарную задачу целочисленного математического программирования по распределению ресурсов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бабкова Е. В., Шерстюк С. С. Модель календарного распределения ресурсов // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвуз. науч. сб. / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 2009. Вып. 5. С. 249-253.

2. Бабкова Е. В., Шерстюк С. С. Управление многоцелевым календарным распределением ресурсов с учетом фронта выполнения работ // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвуз. науч. сб. / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 2009. Вып. 6. С. 317-326.

3. Вагнер Г. Основы исследования операций. Т. 2. М.: Мир, 1973. 488 с.

4. Радионов В. В. Определение параметров сложного проекта при ограниченных ресурсах // Моделирование производственных процессов. Новосибирск: ИЭ и ОПП, 1977. С. 143-145.

5. Шерстюк С. С. Методы решения задач це-

лочисленного программирования // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвуз. науч. сб. / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 2009.

Вып. 6. С. 290-300.

6. Babcova E. V. Model of changeable cutting equipment loading / Decision Making in the Condition of Uncertainty (Cutting-Packing Problems). Ufa, 1997. P. 359-366.

7. Агропортал, сельское хозяйство в России и за рубежом [Электронный ресурс] (www.agro.ru/ news.aspx).

8. Дни.ру. Интернет-газета [Электронный ресурс] (www.dni.ru/polit.2008.12/html).

9. Поиск работы и подбор персонала. [Элек-

тронный ресурс] (http://msk.rabotka.ru/resume/full/ 155133).

ОБ АВТОРАХ

Бабкова Елена Васильевна, доц. каф. вычислительной математики и кибернетики УГАТУ. Дипл. инженер-экономист по АСУ (УАИ, 1972). Канд. техн. наук (УГАТУ, 1990). Иссл. в обл. управления и моделирования в сложных орг.-техн. системах.

Шерстюк Сергей Сергеевич, асп. той же каф. Дипл. экономист-математика (УГАТУ, 2007).