Модель формирования структуры инвестиционного портфеля с использованием принципа страхования риска Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

1 (304) - 2013

Экономико-математическое

моделирование

УДК 519.865.5

МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ СТРУКТУРЫ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИНЦИПА СТРАХОВАНИЯ РИСКА

А. Г. ИСАВНИН,

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры математических методов в экономике E-mail: Isavnin@Mail. Ru

Д. Р. ГАЛИЕВ,

ассистент кафедры математических методов в экономике E-mail: Damir. Galiev@Mail. Ru Филиал Казанского федерального университета в г. Набережные Челны

Представлена модернизированная модель формирования структуры инвестиционного портфеля с использованием принципа хеджирования активов в условиях повышенной волатильности на рынке, разработанная на основе модели Constant Proportion Portfolio Insurance. Для формирования рисковой части портфеля предложено использовать модель типа «риск - ожидаемая доходность». Приведены результаты экспериментов с данными российского фондового рынка.

Ключевые слова: модели портфельного инвестирование, CPPI, AVaR, российский фондовый рынок.

Введение

Фондовый рынок является одним из важнейших элементов экономики и служит для эффективного перераспределения инвестиций и установления ры-

ночных цен. Не так давно высшее руководство страны поставило амбициозные цели по созданию в Москве до 2020 г. одного из мировых финансовых центров. Для этого планируется развивать отечественный фондовый рынок, инфраструктуру, привлекать зарубежный капитал и совершенствовать законодательство.

В связи с развитием фондового рынка, увеличением количества инструментов и повышением уровня неопределенности профессиональным участникам рынка становится все сложнее принимать решения относительно формирования требуемой структуры инвестиционного портфеля. Подобные условия создают предпосылки для использования математических моделей при формировании эффективной структуры инвестиционного портфеля. При этом под эффективностью понимается требуемое соотношение риска и доходности [9].

44

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жеб7>ЪЯ -и ЪРЛЖкЫ

Особенно привлекательными являются методы, позволяющие получить доходность на несколько пунктов выше безрисковой ставки и при этом слабо зависящие от рыночных потрясений (мировые кризисы, повышенная волатильность и т. д.). Одним из таких подходов является модель CPPI (Constant Proportion Portfolio Insurance), которая позволяет страховать структуру портфеля и устанавливать максимально допустимый уровень снижения стоимости инвестиционного портфеля. Возможность страхования структуры портфеля возникает благодаря разделению структуры портфеля на рисковую и безрисковую части. При этом доля рисковой части портфеля зависит от динамики доходности рисковой части, а скорость реструктуризации портфеля - от мультипликатора, который определяется пользователем модели.

В данном случае рассматривается модель CPPI в исходной постановке, приводятся численный демонстрационный пример и результаты моделирования с данными российского фондового рынка с учетом комиссионных издержек. Предлагается модернизированная версия модели с использованием сторонней модели для формирования рисковой части инвестиционного портфеля. Приведены также результаты соответствующих экспериментов с данными российского фондового рынка.

Модель CPPI

Модель CPPI разработана Ф. Блэком и Р. Джонсом и была впервые опубликована в журнале The Journal of Portfolio Management [6]. Также имеются упоминания о CPPI и в русскоязычной литературе [4].

Пусть текущая стоимость портфеля равняется V. Обозначим долю безрисковой части портфеля через y^. Соответственно, доля рисковой части актива будет равняться 1 - yr.. В модели предполагается, что инвестор устанавливает приемлемую для него

величину снижения стоимости инвестиционного портфеля - f (Floor). При приближении стоимости портфеля к величине f значение yr. стремится к единице. И, наоборот, при стабильном увеличении стоимости портфеля увеличивается доля рисковой части. Разность Cs = V - f в оригинальной работе называется «подушкой». Реальная величина рисковой части актива вычисляется как

V = mCs, (1)

где V - стоимость рисковой части портфеля;

m - индивидуальный мультипликатор инвестора.

Чем больше риска готов принять на себя инвестор, тем больше m. Считается, что показатели f и m заменяют функцию полезности инвестора [4]. Также в исходной модели принято считать, что f и m постоянны. В то же время в оригинальной модели не учитывается тот факт, что при больших значениях m величина V может оказаться больше V(т. е. величина рисковой части портфеля может оказаться больше величины всего портфеля). По этой причине следует иметь в виду, что Vr = min(mCs ,V).

В соответствии с моделью доля безрисковой части портфеля рассчитывается следующим образом:

yf =1 -min\m\1 -VI;VA

(2)

где А - текущая стоимость рисковой доли портфеля.

Рассмотрим пошаговый численный пример. Пусть исходная стоимость портфеля составляет V = 1 000 000 ден. ед. Инвестор установил величину /= 950 000 ден. ед. (т. е. величина допустимой просадки не больше 5 % от исходной стоимости портфеля) и т = 4. Для простоты вычислений примем безрисковую ставку равной нулю. Предположим, что реструктуризация портфеля проводилась каждый квартал в течение года. Поквартальные расчеты по модели СРР1 приведены в табл. 1.

Таблица 1

Численный пример для модели CPPI

№ Стоимость «Подушка», Стоимость рисковой Стоимость безрисковой Индекс рискового

квартала портфеля, ден. ед. ден. ед. доли, ден. ед. доли, ден. ед. актива

l l ООО ООО 5О ООО 2ОО ООО 8ОО ООО ЮО

2 9SS ООО 3S ООО l52 ООО 83б 000 94

3 989 б17 39 б17,02 158 4б8,1 831 148,9 95

4 984 б12,8 34 б12,77 138 451,1 84б 1б1,7 92

5 992 137,3 42 137,28 1б8 549,1 823 588,2 97

б 990 399,7 40 399,бб 1б1 598,б S2S 8О1 9б

7 998 81б,3 48 81б,2б 195 2б5 803 551,2 1О1

S 993 01б,3 43 01б,31 172 0б5,2 820 951,1 9S

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ш5б7>ЪЯ те ЪР*?жг(Ъ4

45

Из анализа данных, представленных в табл. 1, видно, что в течение всего года ценность активов была выше установленной инвестором величины /.

Теперь рассмотрим результат модели СРР1 на реальных данных российского фондового рынка. При этом для моделирования были приняты следующие параметры: V = 1 000 000, / = 950 000, т = 4 и безрисковая ставка г ^ = 0,08. Данная величина ставки является приемлемой для российского рынка. На российском фондовом рынке обращается достаточное количество облигаций инвестиционного качества с купонной ставкой выше г ^ [5]. Проблема, с которой можно столкнуться на практике, заключается в уровне ликвидности, т. е. оперативная, сиюминутная реструктуризация портфеля доступна не всегда. Временной период проведения всех экспериментов 09.01.2008 - 05.10.2012. Этот промежуток включает сильное падение рынка из-за последствий мирового финансового кризиса 2008 г. и его динамичное восстановление в течение 2009 и 2010 гг. Моделирование проводилось на основе дневных данных. В качестве рисковой части портфеля использовалась информация о доходности индекса ММВБ. Кривая доходности портфеля, сформированного согласно модели, приведена на рис. 1. Видно, что кривая доходности не снижается ниже уровня / (в долях эта величина составляет 0,95). В период максимального падения рынка рисковая часть портфеля практически равнялась нулю. То есть согласно модели гарантируется сохранение 1,6

изначально заданного процента от капитала. В то же время видно, что после достижения локальных максимумов кривая доходности снижается за счет повторения динамики рисковой части портфеля. Происходит это потому, что на уровнях выше /большая часть портфеля находится в рисковых активах (см. рис. 3). Кроме того, в базовой постановке модели CPPI не учитываются комиссионные издержки, которые могут уменьшить доходность портфеля из-за необходимости постоянной ребалансировки структуры рисковой и безрисковой частей. На рис. 1 также показана кривая доходности портфеля с учетом издержек. Видно, что на некоторых участках комиссионные издержки способны существенно повлиять на итоговый результат всего портфеля. В качестве величины комиссии была взята средняя по рынку величина, равная 0,04 % от суммарного объема сделки.

Таким образом, можно усовершенствовать модель по двум пунктам:

- учитывать комиссионные издержки;

- увеличивать значение показателя / с увеличением доходности всего портфеля.

Для реализации последнего пункта можно использовать следующий подход. При реструктуризации вычислять значение / как процент (/' = const, например 95 %) от текущей стоимости портфеля, т. е. / = /V. Если текущее значение /больше значений, полученных на предыдущих этапах, то в качестве / следует принять вычисленное значение.

MN

jfW ~ А .Л М ч

WV

-----_____Л

1. J АУV"А * Л ,„.• v4

\ Я .V- V trS* "' » ■ V' •> * JSS.J •> •

i» л .'->" * - * !: У 'V А

. V V^'-V*-

1,4

1,2

0,8

0,6

0,4

0,2

09.01.2008 09.07.2008 09.01.2009 09.07.2009 09.01.2010 09.07.2010 09.01.2011 09.07.2011 09.01.2012 09.07.2012

.....ММВБ CPPI - CPPI + комиссия--Floor

Рис. 1. Кривые доходности портфелей

1

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгвТЪсЯ те ЪРЛЖкЫ

ММВБ CPPI + комиссия -Floor

Рис. 2. Кривые доходно

В противном случае - использовать значение, полученное на предыдущем этапе.

Итоговая модернизированная версия модели с учетом комиссионных издержек и неубывающим

значением / может выглядеть следующим образом:

^ =1 - - {т (1 - ^ ]; }

/ = {/'V, /'V > шах/-,...,/-„),

{/-1,

где с - величина комиссионных издержек;

/-1,..., /-п - значения показателя/, полученные

на предыдущих этапах.

Кривая доходности для модернизированной модели представлена на рис. 2. При этом использовались те же данные, что и при первом эксперименте. Здесь видно, что величина/растет, обновляя свой исторический максимум. Ниже этой величины доходность портфеля не опустится, так как она обеспечена безрисковой частью портфеля. По сравнению с базовой моделью наблюдается стабильный тренд на всем рассматриваемом участке.

Сравним структуры рисковой и безрисковой частей портфеля для базовой модели СРР1 и ее модернизированной версии с учетом комиссии и неубывающим значением / (рис. 3).

В модернизированной модели рисковая часть портфеля не превышает величины /, умноженной на мультипликатор т (в долевом выражении). Так-

и некоторых портфелей

же отсутствуют случаи, когда портфель целиком состоит из рисковой части. Преимуществом такого подхода является стабильный рост портфеля в случае высокой неопределенности на рынке. То есть к годовой безрисковой доходности в данном примере в среднем прибавляется 4,2 %. Также в качестве положительного момента можно отметить меньший уровень флуктуации при реструктуризации портфеля. Это означает, что размер комиссионных издержек будет меньшим.

В качестве недостатка предложенной модели можно отметить тот факт, что при сильном росте рынка (порядка 34-50 % годовых) полученная модель не может продемонстрировать подобного результата, так как большая часть портфеля является застрахованной с помощью безрисковых активов. Также, просмотрев динамику структуры рисковой и безрисковой частей портфеля, можно сделать вывод, что СРР1 в исходной постановке хеджирует портфель только от сильного падения (например кризис 2008 г.), полностью переходя к рисковым активам при отдалении от хеджируемого уровня. В то же время в модернизированной версии модели СРР1 наблюдается практически постоянное хеджирование структуры.

Формирование рисковой части портфеля

В экспериментах с моделью СРР1 для формирования рисковой части использовался индекс ММВБ. Разумно предположить, что повышение качества

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ж£брпя -и ЪР*?жг(Ъ4

47

ЩГ

09.01.2008

09.07.2008

09.01.2009 09.07.2009

09.01.2010 09.07.2010

09.01.2011 09.07.2011

09.01.2012

09.07.2012

а

100 80 60 40 20

09.07.2008 09.01.2009 09.07.2009 09.01.2010 09.07.2010 09.01.2011 09.07.2011 09.01.2012 09.07.2012

б

Рис. 3. Структурарисковойи безрисковойчастейпортфеля: а -модельв исходной постановке; б - модифицированная модель

управления структурой рисковойчасти портфеля позволит повыситьэффективность управления всем портфелем. Для формированиярисковой части портфелявоспользуемсяпринципом «риск - ожи-даемаядоходность».Этотпринциппредпол агает максимизацию ожидаемой доходности портфеля при фиксированном сверху уровне риска или минимизацию риска портфеля при фиксированном снизу уровне риска. В нашем случае используем первыйподход.

Пусть х = (х1,х2,...,хп) - вектор, определяющий структуру инвестиционного портфеля, п - коли-

п

чествоактивоввпортфеле. Приэтом ^х^ =1. В

1=1

данном случае задача формирования рисковой части портфеля рассматривается обособленно от задачиформировашм общегопортфеля. Ожвдае-мыедоходностиактивов характеризуются векто-ром КК = (К,К2,...,К). Очевидно, чтодоходность

п

рисковойчасти портфелясоставит К = ^Rixi. В

1=1

качестве меры риска при формировании инвестиционного портфеля могут выступать такие показатели, как Уа1ие-а1-Шзк(УаК);Соп^1;юпа1Уа1ие-а1-Шйк (СУаЯ); МеапЗепп-АЬзоМе Беу1а1;юп (М8АБ); нижниечастные моменты(ЬМР)икак частный случай полудисперсия - нижнийчастный момент при значении порядка2;просадка как мерариска (СБа^идр. [8].Эти мерырискаподробнорас-сматривались в предыдущих исследованиях [1, 3].

В нашер случае для оненки риска портфелябудем использохать показатель средней стоимостной меры риска(АУаЯ -А^уег^^^е; Уа1ие Шэк), который обладает рядом преимуществ по сравнению собыкновенным УаЯ, 15 томчисне удовлетворяет свойствамкогерентных [10]. Наиболее

эффективенэтот пок^атель дляпортфелей,рас-пределения доходностей которых обладают «тяжелыми хвостами». Напомним, что показатель ЮК с доверительной вероятностью а характеризует то, что убыток портфеляврассматриваемомпериоде не превысит значения УаЯ свероятностью 1 - а. С! точки зрен1м теории <^тей ИхК характери-

зуется как^В [КК < ЮКа (х)] = а.

Графическая иллюстрация иведенана рис. 4. Здесь изображена плотность распределения доход-

—

Ус<Ь 1а

Рис. 4. Показатель УаК: а - доверительная вероятность; ц - среднее значение доходности портфеля

ЭКОНОМИЧЕСКИЙАНАКИЗ:г^0?%£ с окр^ъжъы

ности портфеля, а цр обозначает среднее значение доходности портфеля.

Согласно определению [10] АУаЯ с доверительной вероятностью в определяется как среднее значение показателей УаЯ больших, чем УаЯ с доверительной вероятностью в

1 г

АУаЯ (х) = -\УаЯ (х)ёр.

в 0 Р

Таким обраюм,модель, которая была использована в экспе риментах для формирования рисковой чисти портфеля,выглядит следующим [2р аюм:

х = тах

I Я,,

АУаЯв (х)<АУаЯс

п

&=1

(3)

х >0

где х*-оптимадьноес точки зренфя сформированного критерю решение;

АУаЯс~тоисранта, максимально допустиды й пользователем уровень АУаЯ. Для ощэеделенияэтогоуровгыможно гфоана-лизироватьраспределениедоходности портфеля. При этомдля определена ожидаемой доходности можно воспользоваться методами, описанными в работах[2, 10].

Эксперименты на российском рынке

Рассмотрим результаты экспериментов с моделью формирования структуры инвестиционного портфеля на основе модернизированной модели СРР1 и модели AVaR-доходность для управления рисковой частью портфеля. Для формировании рисковой части портфеля была использована информация о следующих активах: ОАО «Татнефть» (ТАТ№), ОАО «Ггвпром»(ОА2Р), ОАО«Ростелеком»(КТКМ), ОАО «ВТБ» (УТВ),ОАО «ЖКОЙЛ»(ЬКОН),ОАО «Полюс-Золото» (PLZL), ОАО «Роснефть» (ROSN), ОАО «МТС» (MTSI), ОАО «Сбербанк» (SBER).

Кривые доходностей для портфеля, построенного по модернизиро ванной моделиСР РI, портфехм, сформированного по модели AVaR-доходность и для индекса ММВБ, представлены на рис. 5. При этом параметры мультипликатора т, безрисковой ставки /уи велкгаины/равгмются значениям, пришлым при щюведении экспериментов с исходтой модслью.

Портфель, составленный по мгдерп-зсфован-ной модели СРР1, обеспечивает стабильный рост, благодарястабильнойбезрисковойчасти и эффектдвномуформированию рисковой чх^ипо сравнению с ивдексом ММВБ.Приведем базовую статистику временных рядов доходностей для портфеля по модернизированной СРР1, портфеля AVaR-доходность и индекса ММВБ (табл. 2).

1,6

1,4

1,2

0,8

0,6

0,4 0,2

09.01.2008 09.07.2008 09.01.2009 09.07.2009 09.01.2010 09.07.2010 09.01.2011 09.07.2011 09.01.2012 09.07.2012

-■■■■Портфель АУаК-доходность СРР1 + комиссия -ММВБ

Рис. 5. Модернизированная модель СРР1 с использованием модели AVaR-доходность для формирования рисковой части портфеля

1=1

экономически мьньшз-.шбтъаъър^-хжъъ*

49

Таблица 2

Базовая статистика временных рядов доходности портфелей

Показатель CPPI и AVAR-доходность AVAR-доходность CPPI и индекс Индекс ММВБ

Максимальное значение, % 53,16 10,72 45,61 0,025

Минимальное значение, % -7,31 -72,65 -8,9 -73,5

Среднее значение, % 26,23 -22,69 10,39 -27,92

Среднее квадратичное отклонение 0,18 0,26 0,11 0,23

Итоговая доходность, % 52,89 -16,52 9,4 -22,61

Максимальная просадка, % 4,71 74,68 25,84 75,53

RVAR 6,55 -5,67 2,59 -6,98

Временной интервал, на котором рассчитывались показатели, такой же, как и в предыдущих экспериментах. Здесь CPPI (мод.) означает модернизированную версию модели с учетом комиссионных издержек и неубывающим f Можно заметить, что базовая статистика ряда доходности портфеля улучшилась по сравнению с моделями без оптимизации. Модели с принципами страхования демонстрируют хорошие результаты по показателю максимальной просадки. Под просадкой понимается снижение доходности портфеля относительно рассматрвиаемого локального максимума. Для оценки соотношения риска и доходности портфелей использовался коэффициент Шарпа [7]. Этот показатель иначе называют коэффициент «доходность - разброс» (reward-to-variability ratio)

M (rp - rf)

RVAR = -

где М - математические ожидание (для расчета этого показателя использовалась статистика доходностей по кварталам); гр - средняя доходность портфеля за рассматриваемый промежуток времени; г^. - среднее значение безрисковой ставки; <5р - стандартное отклонение доходности портфеля (общий риск).

Рассмотрим поведение динамики портфеля в срезе параметров/и т. Результаты экспериментов при нескольких значениях/представлены на рис. 6. При этом значение параметра т варьировалось от 1 до 5. Из экспериментов с реальными данными были получены ожидаемые результаты. При увеличении показателя / уменьшается волатильность портфеля при всех рассматриваемых т. Это связано с тем, что от / зависит доля безрисковой части портфеля. С увеличением т также наблюдается увеличение во-латильности, так как этот показатель характеризует скорость перехода от безрисковой части портфеля к рисковой. Также можно заметить, что при меньших/ с увеличением т скорость изменения волатильности доходности портфеля более высокая.

Таким образом, пользователь модели может самостоятельно определять уровень риска формируемого портфеля путем установки значений показателей/и т. Можно сформировать портфель как с высокой, так и с низкой волатильностью. При этом портфель будет хеджироваться благодаря безрисковому активу.

Заключение

Модель формирования структуры эффективного портфеля с использованием принципов защиты капитала демонстрирует хорошие результаты в периоды кризиса и нестабильности. В этом можно убедиться, если обратить внимание на участки кривых доходностей, в которых наблюдается сильное падение (осень 2008 г., осень 2011 г., весна 2012 г. и т. д.). Модернизированная версия модели СРР1 позволяет учитывать комиссионные издержки при историческом моделировании портфеля, а также позволяет не растерять полученный доход, благодаря изменению показателя /. Использование модели типа «риск - ожидаемая доходность» вместо пассивного инвестирования в фондовый индекс или отдельный актив для формирования структуры рисковой части портфеля позволяет повысить качество конечного портфеля. Наблюдалось улучшение результата для всего портфеля до 5-10 % в зависимости от участка тренда.

В качестве недостатка полученной модели можно отметить, что во время сильного роста рынка (около 30-40 %) модель не показывает таких же впечатляющих результатов, так как большая часть портфеля хеджируется с использованием облигаций или иных безрисковых инструментов. Как показывают эксперименты, подобный подход позволяет прибавить в среднем от 3 до 5 % годовых к безрисковой ставке. Таким образом, предложенная модель может показаться привлекательной для институциональных инвесторов - банков, пенсионных фондов, инвестиционных и страховых компаний.

50

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жеб7>ЪЯ -и ЪМКЮеХА

в г

Рис. 6. Изменение волатильности кривой доходности при различных значениях коэффициента / а- при/=0,95; б- при/=0,90; в- при/=0,85; г - при / =0,80

Список литературы

1. Галиев Д. Р., ИсавнинА.Г. Использование VaR-ограничений в модели Блэка - Литтермана // Вмиренаучныхоткрытий.2011. № 18.

2. Галиев Д. Р., Исавнин А. Г. Программный комплекс для управления структурой инвестиционного портфеля // Бизнес-информатика. 2011. № 3.

3. Исавнин А. Г., Галиев Д. Р. Модели портфельного инвестирования с применением асимметричных мер риска и генетических алгоритмов // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2011. № 48.

4. Тарасевич Л. С., Гребенников П. И., Леус-ский А. И. Теория корпоративных финансов: учеб-ник.М.:Высшееобразование,2007.

5. Финам. Рынок облигаций - http://bonds. fmam. ги/.

6. Black F., Jones R. Simplifying portfolio insurance // The Journal of Portfolio Management. 1987.Fall.

7. Le Sourd V. Performance Measurement for Traditional Investment // EDHEC, 2007. URL: http:// www. edhecrisk. com/performance_and_style_analysis/ perf_measurement.

8. Lohre H., Neumann T., Winterfeldt T. Portfolio construction withAsymmetric Risk Measures. Frankfurt amMain:Union Investment, 2007.

9. Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance.1952.№7.

10. Rachev S. T., Stoyanov S. V., Fabozzi F.J. Advanced Stochastic models, Risk Assessemnt, and Portfolio optimization. Hoboken: Wiley, 2008.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: TKSOPWZ vt'KPJ'X'mcK*

51