CC BY
29
МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЗОНЫ ПРЕВРАЩЕНИЯ В СПЛАВАХ С ЭФФЕКТОМ ПАМЯТИ ФОРМЫ
А.Н. Бестужева, Л.Ф. Вьюненко доценты кафедры «Прикладная математика»
Аннотация
Предложена математическая модель движения зоны превращения при нагреве материала с эффектом памяти формы (ЭПФ-сплава) с переходом интервала температур превращения. При построении модели использован подход к описанию эволюции температурного поля, приводящий к смешанной краевой задаче для «зацепляющихся» линейного и нелинейного уравнений теплопроводности, решения которых «сшиты» при температурах начала и окончания фазового превращения. Рассмотрен пример построения математической модели движения зоны превращения при равномерном нагреве с концов нити, изготовленной из ЭПФ-сплава.
Ключевые слова: эффект памяти формы, ЭПФ-сплавы, уравнение теплопроводности, краевая задача, коэффициент температуропроводности, интервал температур превращения, граница превращения.
При разработке инженерно-технических решений с использованием ЭПФ-сплавов необходимы методы расчета, позволяющие прогнозировать поведение устройства или конструкции с элементами из материалов с памятью в различных условиях, в том числе экстремальных, и управлять эффектом памяти формы. В этом отношении интерес представляют такие математические модели процессов, сопровождающих ЭПФ, которые позволяют перейти от описания материала к расчету реальной инженерной конструкции.
Существующие на сегодняшний день теоретические подходы позволяют описывать лишь некоторые группы свойств материалов с памятью или служить основой для численного моделирования. В настоящей работе предлагается связать разнообразные необычные свойства ЭПФ-сплавов с движением зоны превращения, так как именно развитие этой зоны определяет эволюцию поля температур и связанные с ним деформационные характеристики элементов устройств и конструкций.
В основу математической модели движения зоны превращения предлагается положить краевую задачу для уравнения теплопроводности:
дТ
dt
T(x ,0 ) = To (x),
(1)
T
G
= TG (t) ,
где T = T(X, t) - значение температуры в точке с декартовыми
координатами X в момент времени t , a(T) - коэффициент температуропроводности материала, G - граница области изменения пространственных переменных.
Анализ многочисленных экспериментальных данных показывает, что коэффициент температуропроводности ЭПФ-сплавов имеет в интервале температур превращения T , Tp ] «дефект», зависящий от величины
скрытой теплоты превращения. Схематически зависимость a(T) показана на рис. 1.
Рис.1
Вследствие такого изменения коэффициента температуропроводности при распространении тепла в ЭПФ-сплавах возникают зоны, в которых температуры соответствуют температурам превращения, что и определяет необычное поведение ЭПФ-сплавов.
Таким образом, математическая модель (1) будет иметь вид смешанной краевой задачи для двух уравнений теплопроводности, которые будем называть «зацепляющимися». Одно из этих уравнений по своей структуре линейно и описывает изменение температур в высоко- или низкотемпературной фазе (T < Tg или T > Tp), а другое, нелинейное, -
при температурах превращения (Tg ^ T ^ Tp). «Зацепление» уравнений
происходит через коэффициент температуропроводности, принимающий одно и то же значение в указанных уравнениях на границе превращения.
Краевая задача для уравнения теплопроводности в области с движущимися границами известна как задача Стефана [6] и в настоящее время хорошо изучена, в линейном случае для различной формы границы (и неизвестной тоже) решение доведено до аналитической формы [7,8], в теоретическом плане - до теорем существования и единственности [9].
Предлагаемую математическую модель движения зоны превращения при нагреве ЭПФ-сплава по форме можно рассматривать как задачу Стефана, в которой роль условия теплового баланса на границе (условие Стефана) играет условие непрерывности коэффициента температуропроводности.
В качестве иллюстрации предложенного подхода рассмотрена задача о нагреве с концов теплоизолированной нити из ЭПФ-сплава в предположении, что начальная температура 7 < Т < Т$ ниже
температуры начала превращения, а режим нагрева Математическая модель (1) в этом случае принимает вид
дТ
дТ
= —( a(T) dt дх V дх
Т(х,0) = Т0,
известен.
(2)
T(0,t) = T(i,t) = 7 + т • t.
Для входящего в уравнение теплопроводности коэффициента a(T) использована кусочно-непрерывная зависимость (см. рис. 1). В частности,
в интервале температур
ts < т < т1 =
Ts + TF 2
зависимость имеет
экспоненциальный вид
a(T) = exp(- a(T - 0)), a,0> 0.
Пока температура нити не достигла температуры начала превращения, T0 < T < T$, уравнение теплопроводности в задаче (1)
линейно, так как a(T) = const = a0, и краевая задача имеет следующий
вид:
dT д 2T
— = a,
дt
v0
дх2 ’
т ( X ,0) = То,
T(0,t) = T(i,t) = 7 + T • t.
Ее решение известно: при заданном режиме нагрева Т (t)
£ . ж(2п +1)
£ (2n + 1)sin-
Т (X, t) = То - Ж*
l n=0
l
X X
f
xjrT (r)exp
0
V
ж2 (2n +1)2 l2
\
a0 (t -r)
dr
В частности, при постоянной скорости нагрева (Т = const)
(3)
. n(2n +1)
4T . /2 » Sin--------X
T (X, t) = To + T • t-y— 2----------X
f
X
Z' 2
1 - exp
V
V
n2 (2n +1)
/ 2
n a0 n=o (2n +1)
2
з
aot
JJ
При t = t , когда температура концов нити становится равной температуре начала превращения (T = Т$), модель температурных процессов усложняется и далее эволюция температурного поля и движение границы превращения х = X* (t) описываются двумя «зацепляющимися»
моделями. Если до t = t * (T = Ts) процесс описывался одной моделью -
линейной с неподвижными концами, - то при t > t* (T > Ts) двумя: на
участке нити (х*, / — X*) - линейной моделью, но с подвижными
концами, а на участках (o, X*) и (/ — X*, /) - нелинейной моделью с подвижными концами.
Движущаяся граница X = X* (t) является разделом двух разных * . * „
задач. При x < x < l — x - линейная задача с известным начальным
$
условием, полученным из линейной модели (3) при t = t :
. n(2n +1)
лФ /2 да sin X
T ( x , t *) = T0 + T • t *-2-------— X
n a0 n=0 (2n +1)3
a0t
n2(2n+1)2
x (1 — e /2 ).
При x < x и l — x < x < l - задача для нелинейного уравнения
8T
=и
a(T )
dT
dt дх V дх
в котором a(T) = exp(— а (Т — Р% а,Р> 0. Параметры а,Р можно определить из условия прохождения графика функции a(T) через две точки: (Ts, ao) и (T1,a1) . Тогда
J Ts ln ax — T ln ao ln ax — ln ao ^
a(T) = exp —----1---1----0-----1-----0 T
V
Ts — Ti
Ts — Ti
J
*
Нелинейная модель справедлива с момента времени t = t , который характеризуется тем, что в точках X = 0 и X = l температура равна T$,
* Т$ — T0
отсюда t = —^------.
Т
Для этого случая решение нелинейного уравнения теплопроводности известно. Согласно [4] оно имеет вид
Г \ Л
т (х, t )=
Ts — T
In
In a1 — In a0
1—Inl —
r, ,,(Ts lna1 — T1In a0)(lna1 — lna0)t
* (TS — Ti)2 t
J
TS — T , ( 1 In a1 — In a0 2
S 1 1 0 fjx + Ax + B
\
2 Ts — T1
In a1 — In a0
или в принятых обозначениях
•2— 1 1n( 1
а \ 2
T(х,t)= —1п(а2^//-1 + с)— —In — -а* х2 + Ax + B а ' ' а \ 2
л
»
J
= “1п_1 а 1
а2 Рц-1 + С
— -ча/Л’ х + Ax + B
где A, B,C,M - произвольные константы, определяемые из краевых условий. В нелинейной модели в граничных точках нити
X* > 0, l — X* < l удовлетворяются условия T(X* ) = T(l — X* ) = Ts.
Рис.2.
На рис 2 показано положение границ зоны превращения в зависимости
ф фф
от координаты и времени. В моменты времени t и t температура концов нити достигает значений Т$ и Тр соответственно. Обозначенным
зонам I соответствует линейная модель, а II - нелинейная модель.
Теперь перейдем к построению математической модели для
движущейся границы. При t > t*
дг±
dt
dT д 2T,
= «о 1
dt д
dx2
dx
v
,т^дТ2Л «(Т2)^А dx j
, x*(t)< x < l - x*(t),
0 < x < x *(t), l - x *(t )< x < l,
где Ti,T2 - температуры линейной и нелинейной задачи соответственно. Эти уравнения дают решения справа и слева от движущейся границы, которые содержат 7 произвольных констант. Для их определения служат начальные условия (2 уравнения), граничные условия (4 уравнения) и условие непрерывности a(T).
. n(2n +1)
лт. ,2 „ sin--------x г
Ti( x, t *) = Ts-lU— x
n3a0 n=o (2n +1)3
r
1 - exp
v
n2 (2n +1)2
a01
W
jj
T2(x,t )= TS,
Ti(x,t*)= T2(x,t*)= Ts, T2(0,t)= T2(l,t)= Ts + T■ t
2
l
«(^2 (x*(t), t *))= «0.
Для определения границы x = x * (t) служит условие непрерывности
теплового потока на фронте превращения: n - нормаль к границе x = x*(t).
dT
dn
x=x *(t)
T
dn
, где
x=x *(t)
Таким образом, предложен способ построения математической модели движения границы превращения в ЭПФ-сплавах, которая содержит новую постановку краевой задачи, требующей разработки специальных методов решения.
Построенная модель дает возможность • снижения трудоемкости численного моделирования эволюции зоны превращения как решения краевой задачи, в которой неизвестная функция описывается уравнением первого порядка в частных производных;
• контроля особых режимов и особых точек, которые легче выявляются при аналитическом анализе уравнений, чем при анализе результатов;
• поиска путей аналитического решения задач, связанных с деформационными процессами ЭПФ;
• приближенного решения указанных выше задач с использованием
различной математической техники: разложение в ряд,
асимптотическое разложение и т.д.
Литература
1. Vyunenko Yu.N., Vyunenko L.F. Residual stresses mechanism of SME: Theory and simulation // J. Phys. IV, France, V.112 (2003). Part 1. P.235238.
2. Материалы с эффектом памяти формы. Справ. Изд./ Под ред. Лихачева В.А.. - Т.1. - СПб: Изд-во НИИХ СПбГУ. 1998.
3. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1969.
4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981.
5. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
6. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. - Рига: Звайгзне, 1967.
7. Гринберг Г.А. О решении задач диффузионного типа для расширяющихся или сжимающихся областей. - ПММ, т. 33, 1969.
8. Карташов Э.М., Любов Б.Я. Метод решения краевых задач теплопроводности для области с границей, движущейся по параболическому закону. - ЖТФ, т. 41, № 1, 1971.
9. Гольдман Н.Л. Классическое и обобщенное решения двухфазной граничной обратной задачи Стефана. - Вычислительные методы и программирование, т. 3, 2002, с.133-143.
