Об одной модели ТВЧ-нагрева многослойных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.317.313

В.Г. Резинов, В.В. Иванайский, С.Ф. Дмитриев, А.В. Ишков Об одной модели ТВЧ-нагрева многослойных материалов

V.G. Rezinov, V.V. Ivanaisky, S.F. Dmitriev, A.V. Ishkov About one Model of RFC-heating of Multilayer Laminates Materials

На основе двухстадийного рассмотрения тепловых процессов в многослойном материале предложена математическая модель, описывающая пространственно-временное распределение температуры при его ТВЧ-нагреве. С ее помощью численным методом исследовано изменение температуры во времени на границах слоев в процессе получения биметаллического соединения «65Г-ПГ-С27», результаты сопоставлены с экспериментальными данными и исследована адекватность модели.

Ключевые слова: многослойные материалы, электромагнитное поле, ТВЧ-нагрев, математическая модель, численные методы.

On the basis of two-stage viewings of the thermal processes in a multilayer laminate material the scholars offer the mathematical model describing spartial-temporal allocation of temperature at the RFC-heating. With its help and using a numerical method they studied temperature change in time on layer boundaries in production of bimetallic compound «65r -nr-C27». The modeling results are compared to experimental data and adequacy of model is investigated.

Key words: multilayer laminates materials, electromagnetic field, the RFC-heating, mathematical model, numerical methods.

Введение. В машиностроении для осуществления процессов термообработки (закалка, отпуск, нормализация) широко используют прогрессивные способы нагрева материалов, сред и готовых изделий за счет их способности к взаимодействию с переменным электромагнитным полем высокой частоты [1, 2]. Высокочастотный бесконтактный нагрев также широко применяется при упрочнении готовых и ремонтируемых изделий индукционной наплавкой твердых сплавов [3], а в последнее время и для интенсификации процессов химико-термической обработки [4]. КВЧ-, ТВЧ- и СВЧ-нагрев материалов основан на возбуждении в их слоях замкнутых токов, при подведении энергии к которым извне происходит ее диссипация в виде тепла, разогревающего деталь, при этом, учитывая «непрозрачность» большинства электропроводящих материалов для электромагнитного поля, разогрев материала осуществляется путем распространения тепловой волны от относительно тонкого скин-слоя, в котором под воздействием внешнего переменного поля возникают вихревые токи [5].

Однако практическая реализация ТВЧ-нагрева многослойных материалов затруднена из-за различных коэффициентов поглощения переменного электромагнитного поля слоями материала, возникновения противополя и вторичного эффекта, что усложняет выбор оптимальных значений технологического процесса и делает такие способы нагрева во многом эмпирическими. В то же время методология

взаимодеиствия переменного электромагнитного поля с многослоИноИ средоИ хорошо известна [6], соответствующая задача в случае зависящих от температуры параметров материала решена в [7], а для расчета, например, параметров противополя -в [8].

Цель настоящей работы - разработка математической модели ТВЧ-нагрева многослойного материала при осуществлении фазового перехода (плавления) в одном из его слоев.

Общая постановка задачи. В качестве конкретного примера многослойного материала будем рассматривать образец (заготовку) для индукционной наплавки (упрочнения) твердым сплавом (шихтой) прямоугольной формы и конечной длины, помещенной в высокочастотное переменное электромагнитное поле (рис. 1).

Рис. 1. Схема многослойного материала:

1 - расплавляемый слой, 2 - слой основного упрочняемого материала, 3 - скин-слой

Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект № 11-08-98016-р_сибирь_а).

Наплавочная шихта 1 наносится на прямоугольную пластину 2 в месте ее максимального износа с краю одного торца детали длиной к (I > к), пластина помещается в высокочастотное переменное электромагнитное поле индуктора, после включения которого на внешних границах упрочняемой поверхности с окружающей средой в скин-слоях 3 с толщиной д за счет взаимодействия вихревых токов с материалом начинает выделяться тепловая энергия, которая нагревает ее до Т1 и расплавляет наплавочную шихту. Будем считать, что слой 1 прозрачен для переменного электромагнитного поля, поэтому его расплавление осуществляется от тепла нагреваемой пластины 2. Будем также считать, что конкретные числовые значения температур и других параметров в слоях распределены в интервалах Т - Т, хг - Х как непрерывные случайные величины [9].

Так как I > к, то можно предположить, что на открытых границах слоя 2 происходит теплообмен со средой, решение общей задачи распадается на два этапа: первый (тепловая задача нагрева пластины) -рассматривается только нагрев пластины сверху и снизу полем плоского источника (слой 3) до Тт. шихты; второй (тепло-массообменная задача) - рассматривается процесс фазового перехода в слое 1 и перемещение фронта расплава от границы 2-1 до границы 1 - окружающая среда. Феноменологически на первом этапе задача может быть решена как классическая задача Ньютона, а на втором - аналогично задаче о тепло-массообмене при фазовом переходе с движущейся границей (задача Стефана).

Численное решение, результаты моделирования и их обсуждение. Первый этап. Будем считать слой 2 бесконечным с толщиной I, его нагрев осуществляется одновременно теплом двух плоских источников, направление теплопередачи от источников - антипараллельное, в начальный момент времени температура пластины равна температуре среды Тс. Выберем систему координат и введем обозначения (рис. 2).

дТ = j

dt dx

д2Т ч

і +f (x);

дТ

-£/ x=0 =а т t) - Тс ];

дТ

-£/ х==е =-а [т t) - Тс ],

(2)

(3)

А

где Т1 - температура пластины, С; а1 = —— - тем-

сРх

пературопроводность; Л1, с1, р1 - теплопроводность, удельная теплоемкость и плотность основного материала, соответственно; а1 - коэффициент теплообмена основного материала с воздухом; Тс - температура окружающей среды.

Для отыскания функции плоского теплового источника Ах) в системе проведем замену переменной: Т1(х, /) = 3 (х, 0 + Тс, тогда первая часть бинарной - тепловая задача - сводится к следующей:

дЗ 2 д2З ■ = а

St 1 дx2

где З /1=o = Ті/ t=o -Т = Тс - Тс = 0 ловия принимают вид:

+f (x); (4)

а граничные ус-

дЗ дЗ

З/■=0=°; *'-0=0; ь'-=°.

(5)

Для определения полной функции теплового источника fx), вначале определим соответствующую дифференциальную функцию H (x), с учетом сделанных ранее допущений (рис. 3).

Рис. 2. К решению задачи на первом этапе

Тогда изменение температуры слоя 1 может быть определено по формулам (1-3):

Рис. 3. Дифференциальная функция теплового источника в слое 1

0, при х < 0;

1, при 0 < х < д;

Н (х) = <) 0, при д < х << 1 - 5; (6)

1, при 1 - д < х < 1;

0, при х > 1.

Тогда Ах) = до х Н (х), где д0 - теплота, выделяющаяся в слое 2 (может быть рассчитана, например по [5]).

Для решения тепловой задачи на первом этапе разложим Ах) в гармонический ряд Фурье по косинусам:

(1)

г/ \ f0 г nnx

f (x) = ^ + Х fn cos —

2 n=1 ^

(7)

где

2 Г mTtx 2 г

fn = тJ QoH *(x)cos—^dx; fo = TJ QoH *(x)dx;

fo = 2 J QoH *(x)dx = 2 J Qodx + J Qodx

Л = - J Q0 H *(x)cos ^ dx =

J Q0cos — dx + J Qo

nnx 7 cos------dx

£

л s я і

I . nnx ? I . nnx r

sin----- +—sin-------

J nn £ J

nn

£ o nn

2Q0 £ f . nnS . nn(£ -S)

—I sin---------sin—-------

£ nn\ £ £

2Q0o . nn(2S -£) nn

-2sin

cos— = 2

nn 21

4Q0 nn(l - 2S nn

-sin-

nn

Тогда fx) будет: f (x) =

2£

cos

= Qo

2S і . nn(l - 2S) nn nnx

----4> — sin----------------cos—cos------

£ n-1 nn 2£ 2 £

(8)

Если теперь представить функцию З (x, t) в виде:

З( x, t) = To(t) + > Тп (t )cos

nnx

(9)

dx i ^ i nnx _

— = T0 + / Tn (t)cos----------;

dt 0 n=1 *

55 ^ f nnV nnx

— = / T I----------I sin------;

dx П=1 n I ^ J £

d25 f nn^2 nnx

—r- = -> T I — I cos------------,

dx2 n \ £ J £

то условие (5) выполнится автоматически, а температура слоя 2 может быть вычислена по формуле:

To1 + > Tn (t )cos П = -> тп

nna1

nnx

2SQ0 . „ ^ і . nn(£ - 2S) nn nnx

+—— - 4Q0 >—sin—------------cos—cos-

£

nn

2£

I

При подстановке (9) в уравнение (4) получим два уравнения относительно Т(/), исходя из следующего равенства:

1 2SQ0 ^

To1---------------^ + >

2 n=1

Т +(’na- I Т +

+4Qo — cos

nn(£ - 2S) nn

2£

cos

nnx

cos-------= 0; (10)

- первое:

Т1------S = 0; приТ0

= 0' Т =

t =0 10

2t; (11)

- второе:

ґ +f щщ I2 + 4S, cos "Ч( - US') cos nn = o. (12)

n У £ J n nn 2£ 2

Уравнения (іі, 12) легко преобразуются к виду:

ТІ + at, + B = 0; (13)

заменой

будет:

B

- z = Tn +—, а общее решение для 5 (x, t)

А

З( x, t) = S. t +

£

4Qo

і nn(£ - 2S)

—cos---------------

nn 2£

nn

exp

£

Y

t -1

nnx

’~r.

(14)

Тогда Т1(х, /) = 3 (х, /) + Тс есть общее решение задачи на первом этапе.

Второй этап. Здесь рассматриваем нагрев и фазовый переход в слое 1 в следующей системе координат (рис. 4). Считаем, что в начальный момент плавления (х = 0) температура на границе раздела пластины и шихты 1 равна Т2(х, /) = Т0 = Т1(х, /), начальная температура шихты Тс, а в момент полного расправления она равна температуре шихты Т3(х, /) и температуре ее плавления Тр (условие равенства температур на границе раздела фаз при х = #(0).

Тогда температура расплава и шихты может быть определена по известным формулам (15, 16):

дТ2

і/

дТ

х2^-

2 dx2

д 2Т

- расплав (0 < x <£(t)); (15)

—1 = а32 —^3 - расплав (#/) < х < х>); (16)

д/ дх

в которых к условиям, обозначенным выше, добавится условие теплового баланса на границе раздела фаз:

(17)

где Т2(х, /) - температура расплава; Т3(х, /) - темпе-

2 2

ратура шихты; а , а - температуропроводность расплава и шихты соответственно; Х2, Х3 -

теплопроводность расплава и шихты соответственно; Т0 - температура пластины (она получается из решения задачи первого этапа); Тс - начальная температура шихты; Тр - температура плавления шихты; £(/) - закон перемещения границы расплава; X -скрытая теплота плавления шихты.

n=1

n=1

Рис. 4. К решению задачи на втором этапе: 1 - расплав;

2 - расплавленная шихта; 3 - граница расплава

Будем искать решение уравнений (15, 16), преобразовав их в форму (13), а, учитывая сделанные на первом этапе выкладки, в качестве функции теплового источника Ф(х) возьмем функцию Лапласа:

=

Тогда решением задачи на втором этапе будет:

( .. \

Т2( х, і) = А2 + В2Ф

2а, V/

"2

(

Т3( х, і) = А3 + В3Ф

У 2а3у[і

(19)

Легко заметить, что условие равенства температур на границе раздела фаз при х = #(/) будет соблюдаться, если х = а41, т.е.:

А2 + В2Ф

у 2а2 у

= А3 + В3Ф

у 2а3 у

=Тр ;

(20)

Учитывая остальные граничные условия второго этапа, значения коэффициентов А, Б, можно найти, подставив в (20) выражения для А3:

ТФ

А3 =

а

2а3

- т„

Ф

а

2а3

(21)

-1

полученное из следующей сводки формул:

А =Т0

А3 +В =Тс ^А = Тс -В3

Аї +В>*

а

( а а

а т „ Тр -Т0

2а2

=Тр =

А3 + ~Тр ^7 -В3+В3

2а,

=Тр

Решая полученное трансцендентное уравнение, находим а, а значит и закон изменения движения

границы, так как £(/) = а**!/ .

Так как номенклатурные поля температур задаются выражением:

Т2( х, і) = А2 + В2Ф

Ф

2а

( \ х

v2а2^/7 у

(

х

у 2а24і у

(23)

то решением задачи на втором этапе будет:

Тр - Т0 Тї(х, і) = 70 + р Ф

(18) Т3( х, і) =-

а

2а

Ф

а

2а

(24)

Т - Т

р с

Фа1 ФІ2а1-1

Ф

2а3>/7

.(25)

(22)

1-3 у 1^-3

Итак, мы получили общее решение (уравнения 14, 24 и 25) задачи изменения температуры многослойного материала при ТВЧ-нагреве. Расчет по полученным уравнениям позволяет получить математическую модель процесса ТВЧ-нагрева многослойного материала, например, для рассмотренного случая индукционной наплавки. Так как функции тепловых источников Ах) и Ф(х) заданы таблично, то исследуем поведение полученной математической модели численными методами.

На рисунке 5 приведены результаты расчетов нормализованной температуры на границах слоев 2-1 и 1 - окружающая среда для стационарного процесса ТВЧ-нагрева заготовки 17x100x5 мм из стали 65Г, покрытой слоем наплавочной шихты, толщиной 3 мм, состоящей из 85 мас. % твердого сплава ПГ-С27 и плавленого боратного флюса для индукционной наплавки П-0,66 [4] на частоте 66 кГц (00 = 0,5-1,0 кВт), выполненные на ПК в среде MаthCаd V. 11.0 по уравнениям (14, 24, 25) [10], а также экспериментальные результаты измерения температуры на указанных границах многослойного материала, выполненные хромель-алюмелевой микротермопарой при его нагреве в медном петлевом водоохлаждаемом индукторе 0 20 мм, подключенном к ВЧ-генератору ВЧГЗ-160/0,066 (1ан. = 10 А, 1се„. = 2,5 А, Пан. = 10-12 кВ, деъа. = 160 кВт) из [11].

Как следует из рисунка 5, в исследованной системе экспериментально наблюдаются как минимум две временных стадии, отличающиеся интенсивностью нагрева для основного металла, и три стадии -для нагрева шихты.

На стадии I (0-30 с) на границе основной металл-шихта происходит интенсивный рост температуры до 0,6Тпл., которая для сплава ПГ-С27 достигает 650-700 оС, а на границе шихта-воздух температура достигает лишь 100-150 оС. По времени эта стадия занимает порядка 25-30%. Вторая стадия процесса (30-85 с) характеризуется снижением ин-

тенсивности нагрева основного металла в 3-4 раза, но при этом увеличивается скорость нагрева наплавочной шихты. Продолжительность стадии составляет 40-50% общего времени ТВЧ-нагрева. На стадии III (85-125 с) интенсивность нагрева несколько понижается. На контактирующих поверхностях между зернами твердого сплава и основного металла образуется легкоплавкая эвтектика, имеющая для системы ПГ-С27 - флюс П-0,66, температуру плавления ~1100 оС.

30 S5 125 і с

Рис. 5. Расчетное (—) и экспериментальное (—) изменение температуры во времени на границе металл-шихта - 1 и границе шихта-воздух - 2 в процессе получения биметаллического соединения «65Г-ПГ-С27» при стационарном ТВЧ-нагреве

Полученная же нами модель вполне удовлетворительно предсказывает все три стадии плавления шихты, при этом ошибка расчета температуры (занижение) не превышает 6-8%. Нагрев поверхности основного металла хорошо описывается моделью лишь на первой стадии, в интервале температур Тс - 0,6Тпл., здесь ошибка (завышение) расчета температуры составляет 2,5-5%. Расхождение расчетных и экспериментальных точек при Т > 0,6ТШ, возможно, связано с началом усиленного плавления толстого слоя шихты (II стадия) и неучтенного в модели дополнительного отвода тепла от слоя 2 при этом.

Выводы. Для описания процесса ТВЧ-нагрева многослойных материалов, при плавлении одного из слоев, предложена математическая модель, основанная на двухстадийном рассмотрении тепловых процессов в материале.

На первой стадии рассматривается нагрев только неплавящегося слоя сверху и снизу полем плоского источника (скин-слой) до Тпк шихты, на второй стадии рассматривается процесс фазового перехода в плавящемся слое и движение фронта расплава к границе окружающей среды.

С помощью предложенной модели численным методом исследовано изменение температуры во времени на границах слоев в процессе получения биметаллического соединения «65Г-ПГ-С27» в стационарном режиме. Модель показала адекватные эксперименту результаты, расхождение расчетных значений температуры с экспериментальными составило 5-8%.

Библиографический список

1. Бодажков В. А. Объемный индукционный нагрев / под ред. А.Н. Шамова. - СПб., 1992.

2. Царевский В.А. Индукционный нагрев кольцевых стыков труб большого диаметра // Силовая электроника. -2009. - №2.

3. Ткачев В.Н., Фиштейн Б.М., Казинцев Н.В., Алды-рев Д.А. Индукционная наплавка. - М., 1970.

4. Ишков А.В., Кривочуров Н.Т., Мишустин Н.М., Иванайский В.В., Максимов А.А. Износостойкие борид-ные покрытия для рабочих органов сельхозтехники // Вестник АГАУ. - 2010. - №9 (71).

5. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. - М., 1983.

6. Vemon S.N. // Mater. Eval. - 1988. - V. 46, №12.

7. Бурак Я.И., Огирко И.В. Оптимальный нагрев цилиндрической оболочки с зависящими от температуры

характеристиками материала // Математические методы и физико-механические поля. - 1977. - Вып. 5.

8. Сагалаков А.М., Дмитриев С.Ф., Тарусин Д.Ю., Ишков А.В. Расчет напряжения, вносимого в измерительную обмотку вихретокового преобразователя, в случае малого обобщенного параметра для одной модели композитной среды // Вестник ТГУ: бюлл. опер. науч. инф. -2006. - №64.

9. Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М., 1972.

10. Дьяконов В.П. MathCad 11/12/13 в математике: справочник. - М., 2007.

11. Иванайский В.В. Физико-химические и технологические основы управления структурой и свойствами защитного покрытия на рабочих органах сельхозмашин: монография. - Барнаул, 2010.