Модель для прогнозирования последствий наводнений, вызванных половодьями и паводками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.942

В.А. Кушников, М.В. Хамутова

МОДЕЛЬ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПОСЛЕДСТВИЙ НАВОДНЕНИЙ, ВЫЗВАННЫХ ПОЛОВОДЬЯМИ И ПАВОДКАМИ

Разработана математическая модель системной динамики для прогнозирования последствий наводнений, вызванных половодьями и паводками. Модель построена на основе графа причинно-следственных связей, существующих между моделируемыми переменными, и представлена в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений. Численное решение системы уравнений получено с помощью метода Рунге-Кутты 4-го порядка точности. Проведены вычислительные эксперименты, позволяющие на различных временных интервалах определить величины моделируемых переменных, влияющих на ущерб, причиняемый наводнением.

Математическая модель, системная динамика, прогнозирование последствий наводнений

V.A. Kushnikov, M.V. Khamutova

A MODEL FOR FORECASTING FLOOD EFFECTS CAUSED BY SNOWMELT AND RAIN FLOODS

A mathematical model of system dynamics is developed to forecast effects of floods caused by the snowmelt and rain floods. The model is based on the graph of cause-effect relations that exist between the modeled variables, and represented by a system of nonlinear differential equations. A numerical solution to the system of equations is obtained using the Runge-Kutta fourth-order method. Computational experiments were carried out, which allow for different time intervals to determine the values of modeled variables that affect the damage caused by flooding.

Mathematical model, system dynamics, forecasting the effects of floods

1. Введение

Наводнения, вызванные половодьями и паводками, могут привести к затоплениям обширных территорий, к гибели людей, сельскохозяйственных животных, разрушению или повреждению зданий, сооружений и коммуникаций, к увеличению сил и средств, используемых при ликвидации последствий. Предотвратить наступление наводнения нельзя, но прогноз возможных последствий позволит впоследствии минимизировать ущерб.

Для прогнозирования последствий наводнений в статье используется математический аппарат системной динамики, который позволяет моделировать поведение сложных динамических систем с большим количеством нелинейных обратных связей. Основными элементами модели системной динамики являются системные уровни, накапливающие значение величины моделируемой переменной. В качестве переменных в модели были выбраны параметры наводнений, влияющие на величину причиняемого ущерба [1].

2. Математическая модель

При построении математической модели для прогнозирования наводнений, вызванных половодьями и паводками, используются обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка, описывающие моделируемые переменные

^ = x?-xr,i = T^. (1)

Правая часть уравнения (1)включает разнообразные факторы, влияющие на возрастание или убывание переменной Xi. Делается допущение, что слагаемые правой части могут быть представлены в виде произведения функций, зависящих только от факторов F, которые, в свою очередь, сами являются функциями от основных переменных Xi [2]. Отсюда следует

= g^r/~(F1,F2.....Fm) = ...

Fj = Vi(Xji,Xj2, ...,Xjk), i = l,m, m<n, k<n. (2)

Количество факторов должно быть меньше, чем количество основных переменных, и каждый фактор не может зависеть от всех основных переменных. Для решения этой системы (1) при ограничениях (2) задаются начальные условия t = t0, Xi(t0) = Xi0, i = 1, т.

Взаимосвязи между моделируемыми переменными определяются с помощью ориентированного графа причинно-следственных связей (рис. 1), матрица смежности данного графа приведена в табл. 1 [3, 4].

Рис. 1. Ориентированный граф причинно-следственных связей между моделируемыми переменными: А - количество осадков; В - величина среднесуточного стока; С - коэффициент инфильтрации; Е - количество жителей, самостоятельно покинувших зону затопления; Р, О, Т - средняя скорость течения, глубина воды и ее температура, соответственно; О - плотность населения в зоне затопления; I - доля площади затопленных сельскохозяйственных угодий

Таблица 1

Матрица смежности ориентированного графа

Х1 Х2 Хз Х4 Х5 Хб Ху Ха Х9 Х10

Х1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0

Х2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

Хз 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0

ХЛ 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0

Х5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Хб 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0

Ху 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0

Ха 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0

Х9 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

Х10 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1

В качестве моделируемых переменных выбраны: Хх - численность группировки сил, участвующих в аварийно-спасательных работах; Х2 - количество разрушенных и пострадавших домов; Х3 -количество эвакуированных; Х4 - количество погибших; Х5 - площадь зоны затопления, км2; Х6 - количество объектов отрасли экономики в зоне наводнения; Х7 - количество транспортных средств, участвующих в аварийно-спасательных работах; Х8 - численность населения, находящегося в зоне затопления; Х9 - площадь сельскохозяйственных угодий в зоне подтопления, га; Х10 - количество погибших сельскохозяйственных животных.

С учетом вышеизложенного общий вид математической модели, используемой для прогнозирования последствий наводнений, вызванных половодьями и паводками, имеет следующий вид:

( ¿х,(г) -м

-10(Х5)-11(Х8)

- рХ2СХ2Г18(х5)-19(х8)" = А^ШХвШХу)

^ - РХаСх;Гх^{Х1ШХ*ШХ7)

¿Х5(")

вх3(1) вх&(ь)

вх вХь(1)

вь ах7{")

вь вХа(1)

вь вХ+(р)

¿ХюУ)

м

= {АХ5Ю + ВХ5Ю-СХ5Ю)-1в(Х5)

= -17(Х5)-22(Х8) = -1&(Хв)-15(Х5)

- О/МХ') - Ехв(РШХ3ШХ4)

= 1Х9-12(Х5)

= Рх,пСхтТх,Лз {Х1)Г2#{Х7)Г21{Х')Г2%{Х*).

(3)

Вспомогательные функциональные зависимости /¡, /2, ...,/23 определяются в процессе адаптации модели к конкретному процессу развития наводнения и строятся на основе экспертных данных [5]. При решении задачи делается допущение, что вспомогательные функциональные зависимости аналитически могут быть представлены в виде кусочно-постоянных функций, приведенных в табл. 2. Подкоренные выражения функций данной таблицы представляют собой полиномы или произведения степенных и экспоненциальных функций.

Зависимости АХ5(Ь), ВХб("), СХ5("), ЕХ<(") системы уравнений (3) представляют собой таблично заданные функции среднесуточных значений количества осадков, величины стока, коэффициента инфильтрации и количества самостоятельно эвакуировавшихся, соответственно. Влияние факторов G,T, В, I на моделируемые переменные системы (3) определяется функциональными зависимостя-

ми //, СХп, ТХп, /V,, , ОХп, 1Х

• 1Х

Вспомогательные функции математической модели

Таблица 2

Общий вид вспомогательных функций Х)), 1 - - 1,1.0 Аналитический вид функций - 1.23,] - 1.10

Л№) Е50Х1О2Х1-°1

-г(Хв) ЕзХв0,6 - 1,5Х*#•'

ГзХ) 1/Х1

-&(ХВ) 0,5ХВ1,5

Ш)) 3 20Х7О,6ехр(Х-) У! Х)

-б(Х)) 1/Х7

-7(Х5) 0,4Х5

-в(Х3) 0,4Х%

-+(Х&) 0,4Х&

Окончание табл. 2

Общий вид вспомогательных функций -¡(Ху), ; = 1,23,/ = 1,10 Аналитический вид функций -¡(Ху),; = 1,21= 1Д0

/ю№) МЕ5Х5 0,4 — 200А'5~1 + 200, при|Х°+1 — >£ ( 0, при|Х°+1 — < £

/"и (А8) Е2А80,3 + 2Х80'2 + 15

Л2№) Г2Х5°'8 — А50'7 + 0,5Х50'6 — 0,5, при|Х°+1 — > £ | 0, при|Х°+1 — < £

/13 №) 1/Х1

/14 (А8) Е0,01А805 + 4А80,4

-15 (Х) П2Х50'5 + 1,5А'0'4 , при|Х5°+1 — > £ ( 0, при|А°+1 — < £

-16 (Х ) «(Х)^41'667^ где а - коэффициент, зависящий от показателя формы долины реки, коэффициента шероховатости русла, длины участка реки, ширины бытового потока и расхода бытового потока, ак - показатель формы долины реки

-17 (Х) Гехр(1/Х5) А5а6, при|А°+1 — > £ | 0, лри|Х°+1 — < £

-18 (Х) Е0,05Х50'7+5Х50'2 — 2

/19(Х8) 5ехр(1,6Х80'2) - ' 8 +20 \ А8

-2 0 (А7 ) 1/А7

-21(Х ) А'

-2 2 (А8 ) 0,06А80'1

-2 3 (А8 ) *8

3. Вычислительный эксперимент

При решении системы (3) примем, что наводнение, вызванное половодьем (паводком), протекает в течение двух недель. Решим систему (3) методом Рунге - Кутты 4-го порядка точности при начальных условиях ¿0 = 1, ^¡(¿о) = ^ = 1Д0. Константы математической модели определены как: ^ = 1,5 м/с, О = 5 м, Т = 10°С, В = 8,4, I = 3%. На рис. 2 представлено изменение площади зоны затопления Х5 в период развития половодья (паводка).

Хб, кв. км

160

140 120 100 80 60 40 20

0

Х5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

^ сутки

Рис. 2. Изменение площади зоны затопления Х5 в период развития половодья (паводка)

Хб, кв.

350

300 250 200 150 100 50 0

км

299

Х5

^ сутки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Рис. 3. Изменение площади зоны затопления Х5 в период начала половодья (паводка)

На рис. 3 получено решение системы уравнений относительно той же переменной для периода начала половодья (паводка). На рис. 2 наблюдается уменьшение роста площади зоны затопления, вызванное сокращением объема талых или дождевых вод. Максимальная площадь зоны затопления достигается на 11-й день, затем рост прекращается.

Начало наводнения характеризуется увеличением роста площади зоны затопления Х5 (рис. 3). При этом на рост и уменьшение моделируемой переменной Х5 влияют величина стока, количество осадков и коэффициент инфильтрации. Результаты вычислительного эксперимента достаточно хорошо совпадают с экспериментальными данными, полученными при обработке параметров наводнений, регулярно происходящих в степной зоне Саратовской области.

Заключение

1. Разработана математическая модель для прогнозирования наводнений, вызванных половодьями и паводками.

2. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие адекватность математического обеспечения.

3. Полученные результаты могут быть использованы при разработке информационно-советующей системы для оперативно-диспетчерского персонала МЧС. Адаптация разработанной модели к требованиям информационных систем МЧС выполняется в соответствии с рекомендациями [6-9].

ЛИТЕРАТУРА

1. ГОСТ 22.0.06-97/ГОСТ Р 22.0.06-95. Безопасность в чрезвычайных ситуациях. Источники природных чрезвычайных ситуаций. Поражающие факторы. Номенклатура параметров поражающих воздействий (принят Постановлением Госстандарта РФ от 20.06.1995 № 308).

2. Моделирование и прогнозирование мировой динамики / В.А. Садовничий, А.А. Акаев, А.В. Коротаев, С.Ю. Малков // Научный совет по Программе фунд. исслед. Президиума Российской академии наук «Экономика и социология знания». М.: ИСПИ РАН, 2012. 360 с. (Экономика и социология знания)

3. Яндыбаева Н.В., Кушников В.А. Математическая модель для прогнозирования аккредитацион-ных показателей вуза // Управление большими системами. Вып. 41. М.: ИПУ РАН, 2013. С. 314-343.

4. Кушников В.А., Кушникова Е.В. Архитектура прикладного программного обеспечения для формального анализа свойств целей и синтеза критериев управления сложными социальными и экономическими системами // Вестник СГТУ. 2009. Т. 4. № 2 (43). С. 199-201.

5. Федянин В.И., Проскурников Ю.Е. Организация и ведение аварийно-спасательных и других неотложных работ при ликвидации чрезвычайных ситуаций природного характера: учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2006. Ч. 1. 469 с.

6. Математические модели и алгоритмы оперативного управления процессами ликвидации чрезвычайных ситуаций / Ю.А. Аветисян, В.А. Кушников, А.Ф. Резчиков, В.А. Родичев // Мехатро-ника, автоматизация, управление. 2009. № 11. С. 43-47.

7. Соляник Н.А., Кушников В.А. Математическое моделирование процесса загрязнения атмосферного воздуха в зоне влияния промышленных предприятий // Вестник СГТУ. 2009. Т. 1. № 1. С. 104-109.

8. Кушников В.А., Резчиков А.Ф., Цвиркун А.Д. Управление в человеко-машинных системах с автоматизированной процедурой коррекции целей // Автоматика и телемеханика. 1998. № 7. С. 168-172.

9. Анализ выполнимости планов мероприятий в системе автоматизированного управления мостостроительной организацией / И.С. Пшеничников, В.А. Кушников, Е.И. Шлычков, Д.Ф. Резчиков // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. № 11. С. 45-49.

Кушников Вадим Алексеевич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Прикладные информационные технологии» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А

Хамутова Мария Васильевна -

аспирант кафедры «Математическая кибернетика и компьютерные науки» Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского

Статья поступила

Vadim A. Kushnikov -

Dr. Sc., Professor

Department of Applied Information Technologies Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Maria V. Khamutova -

Postgraduate

Department of Mathematical Cybernetics and Computer Sciences Saratov State University

в редакцию 15.06.15, принята к опубликованию 10.11.15