CC BY
146
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 004.942
М. В. Хамутова, В. А. Кушников
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПОСЛЕДСТВИЙ НАВОДНЕНИЙ
Разработана математическая модель системной динамики для прогнозирования характеристик наводнений, влияющих на величину ущерба. Построен граф причинно-следственных связей, существующих между моделируемыми характеристиками наводнений. Математическая модель для прогнозирования характеристик наводнений описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Численное решение системы уравнений получено с помощью метода Рунге - Кутты 4-го порядка точности. Проведены вычислительные эксперименты, позволяющие на различных временных интервалах определить моделируемые характеристики. Сравнение характеристик, рассчитанных по модели, с их реальными значениями подтверждает адекватность математической модели. Полученные результаты могут быть использованы при разработке информационных систем прогнозирования последствий наводнения для оперативно-диспетчерского персонала МЧС.
Ключевые слова: математическая модель, системная динамика, прогнозирование последствий наводнений.
Введение
Согласно докладу комиссии Организации Объединенных Наций [1], ущерб от стихийных бедствий природного характера, в частности наводнений, с годами только растет, а экономические потери от последствий наводнений приводят к снижению объема валового внутреннего продукта. Для выбора комплекса мероприятий по минимизации ущерба целесообразно осуществить прогноз основных характеристик наводнений, влияющих на величину ущерба. Данные характеристики выбраны согласно ГОСТ [2], и их величина влияет на степень тяжести последствий наводнений для населения, экономики, сельского хозяйства и т. д.
Существующие модели прогнозирования не позволяют определить совокупность характеристик наводнения [2], влияющих на величину ущерба, ввиду большого количества нелинейных обратных связей между ними. Все это проводит к уменьшению точности прогнозирования, что негативно влияет на процессы ликвидации последствий наводнений в условиях чрезвычайной ситуации. В связи с этим целью нашего исследования стала разработка математической модели прогнозирования последствий наводнений, основанной на формальном аппарате системной динамики, который учитывает причинно-следственные связи между моделируемыми характеристиками.
Математическая модель
При разработке математической модели в качестве прогнозируемых характеристик были выбраны: Х1 - численность группировки сил, участвующих в аварийно-спасательных работах; X2 - количество жилых домов, разрушенных и поврежденных в результате наводнения; Х3 -численность населения, эвакуированного из зоны затопления; X 4 - количество погибших; Х5 -протяженность железных и автомобильных дорог, оказавшихся в зоне затопления; Х6 - количество промышленных предприятий в зоне наводнения; Х7 - количество транспортных средств, участвующих в аварийно-спасательных работах; Х8 - численность населения в зоне затопления; Х9 - площадь сельскохозяйственных угодий, охваченных наводнением; Х10 - количество погибших сельскохозяйственных животных.
Графически модель системной динамики представляется ориентированным графом, вершины которого - моделируемые переменные и управляющие воздействия, а исходящие и входящие дуги характеризуют функциональные связи между ними (рис. 1).
О
Температура Площадь зоны — - - . воды затопления
1
^корост] течения
ь
I_JvK 1-1 --
Скорость Глубина
ть насел
иг+
Плотность населения
Глубина воды
Площадь транспортных сетей
Г
Площадь зоны затопления
течения
Г
o^HjSM^O
L
Продолжительность
Глубина воды
Скорость течения
Площадь зоны затопления
{
Температура воды
оля ~
До:
ельскохозяйствен-
_J t_
Рис. 1. Ориентированный граф причинно-следственных связей
В описании объекта моделирования используется система нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка, описывающих моделируемые характеристики:
dXl (Г)
■ = f (X,(t),X2(t),...,Xn(t)), i = 1,n ,
(1)
где £ , i = 1,п - непрерывные или кусочно-непрерывные функции. Учитывая ориентированный граф причинно-следственных связей между моделируемыми характеристиками и возмущениями внешней среды, а также исследования, представленные в работах [3-6], общий вид математической модели, используемой для прогнозирования характеристик последствий наводнений, можно записать следующим образом:
dX1(t)
dt dX 2(t)
dt
dt dX 4(t)
dt
dt dX 6(t)
dt dX 7(t)
dt dX ,(t)
dt dX 9(t)
dt dXw(t)
dt
= fi (S(t), X,(t)), = f2 (F(t), G(t), S(t), X,(t), t),
= f3 (X,(t), Xi(t), X7 (t)),
= f4 (F(t), G(t),T(t), X8 (t), X7 (t), Xi (t)), = f (A(t), S(t)), = f6 (S(t), X,(t)),
= f7( Xi(t)),
= f8 (D(t),S(t)), = f9 (/ (t), S (t)),
fio (F(t), G(t), T(t), S(t), Xi (t), X7 (t)),
dX 3(t)
dX 5(t)
где А(0 - плотность транспортных сетей в зоне затопления; D(i) - плотность населения; F(t), G(t), ДО - средняя скорость течения, глубина и температура воды соответственно; ДО - доля площади сельскохозяйственных угодий; S(i) - площадь зоны затопления. Функции / , I = 1,п представляют собой полиномы невысоких степеней, коэффициенты которых определяются по статистическим данным на этапе адаптации разработанного математического обеспечения к особенностям функционирования моделируемого объекта. При отсутствии статистически значимой информации, необходимой для расчета fi, предлагается пользоваться соответствующими зависимостями из нижеприведенной таблицы, а по мере накопления статистики перейти (при необходимости) к выражению / в виде полинома.
Аналитический вид функций /{
Функция Вид функции
/1 5 (0X8,5 Ц) >е |о,5^) < 8
/2 1 к^(гр (0Х8,5^) > 8 |о,5(0 < 8
/з к3 Х8 Х1 3 Х7
/4 к F^(0Г(0Х8 4 Х7Х1
/5 Гк5Л^^), 5^) >8 |0,5(0 < 8
/б \к68(i)0,5Х80,1,5(i) >8 |0,5(i) < 8
/7 к7 Х1
/8 \кр(^(i),5(i) >8 |0,5 (i) <8
/9 Гк9/(i ^), 5 (i) >8 |0,5 (i) < 8
/10 F(i)0(Г)Г(i)S(i) е , > к10 „ „ ,5 (i) >8 Х1Х 7 0,5^) < 8
В таблице зависимости определены исходя из анализа опыта специалистов [7] и физического смысла решаемой задачи. Коэффициенты ki, i = 1,14, определяются посредством вычислительного эксперимента на этапе адаптации модели к объекту исследования.
Вычислительный эксперимент
В качестве входных сведений использовались данные по наводнению в Приморье, произошедшем в августе 2001 г. Реальные характеристики последствий этого наводнения сравнивались с результатами вычислительного эксперимента.
Для проведения вычислительного эксперимента использовался пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений Ма1ЬАВ, система (2) решалась с использованием
метода Рунге - Кутты 4-го и 5-го порядка, при начальных условиях i0 = 1, Х1 (^) = Х{0, i = 1,10 .
На рис. 2 представлено решение системы уравнений (2), нормированное относительно максимальных значений моделируемых характеристик, наблюдавшихся за прошлые годы в данном регионе. В частности, анализ зависимости X ) позволил сделать вывод, подтвержденный экспертами, что максимальные потери среди населения приходятся на первые сутки наводнения
и в дальнейшем рост данной характеристики незначителен. Увеличение остальных прогнозируемых характеристик обусловлено возрастанием площади зоны затопления при наводнении, пик которого приходится на его 4-й день.
Рис. 2. Результаты решения системы дифференциальных уравнений (2)
Для оценки достоверности математической модели было проведено сравнение характеристик, определенных по модели (2), с реальными значениями этих характеристик. Для этого характеристика X 4 ), определенная по модели (2), сравнивалась с построенным на основе реальных данных интерполяционным многочленом Лагранжа У4 ^). Анализ графиков, представленных на рис. 3, позволяет утверждать, что значения Х4^), определенные по модели (2), не суще__^4 X ( 1) — У ( 1 )|
ственно отличаются от реальных данных при ? = 1,4 Дх" =—V —4-4-400 % « 3 % .
СР 4 X 4 (])
х4
Рис. 3. Сравнение значений моделируемой характеристики X ) с реальными данными
При сравнении остальных моделируемых характеристик, рассчитанных по модели, с их реальными значениями, средние значения относительных погрешностей не превышают 10 %, что подтверждает адекватность разработанной математической модели.
Результаты вычислительного эксперимента подтверждают адекватность полученной математической модели, которая ориентирована на использование в составе информационных систем служб МЧС объектового уровня. Адаптация разработанной модели к требованиям информационных систем МЧС выполняется в соответствии с рекомендациями, предложенными в работах [8-10].
Заключение
Таким образом, в ходе исследований были получены следующие результаты.
1. Разработана математическая модель для прогнозирования характеристик последствий наводнений, влияющих на величину ущерба.
2. Проведены вычислительные эксперименты, результаты которых подтверждают адекватность разработанной математической модели.
Полученные результаты могут быть использованы при разработке информационной системы для оперативно-диспетчерского персонала МЧС. Адаптация модели к требованиям информационных систем МЧС выполняется в соответствии с разработанными ранее рекомендациями.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. The United Nations ESCAP. URL: http://www.unescap.org.
2. Безопасность в чрезвычайных ситуациях. Источники природных чрезвычайных ситуаций. Поражающие факторы. Номенклатура параметров поражающих воздействий: ГОСТ 22.0.06-97/ГОСТ Р 22.0.06-95 (принят Постановлением Госстандарта РФ от 20.06.1995 N 308).
3. Садовничий В. А., Акаев А. А., Коротаев А. В., Малков С. Ю. Моделирование и прогнозирование мировой динамики. М.: ИСПИ РАН, 2012. 360 с.
4. Хамутова М. В., Кушников В. А. Математическое моделирование характеристик наводнения, влияющих на величину ущерба // Проблемы управления в социально-экономических и технических системах: сб. науч. ст. по материалам XI Междунар. науч.-практ. конф. Саратов: СГТУ, 2015. С. 41-44.
5. ХамутоваМ. В., Кушников В. А. Модель для прогнозирования основных характеристик последствий наводнений // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ. Саратов: СГТУ, 2015. № 6 (76). С. 119-123.
6. Яндыбаева Н. В., Кушников В. А. Математическая модель для прогнозирования показателей экономической безопасности Российской Федерации // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2014. № 3. С. 93-101.
7. Федянин В. И., Проскурников Ю. Е. Организация и ведение аварийно-спасательных и других неотложных работ при ликвидации чрезвычайных ситуаций природного характера: учеб. пособие. Воронеж: ВГТУ, 2006. Ч. 1. 469 с.
8. Резчиков А. Ф., Кушников В. А., Евсеев П. Л., Кабанов И. А. Задачи и модели оперативного управления компрессорным хозяйством промышленного предприятия // Мехатроника, автоматизация, управление. 2004. № 3. С. 45-50.
9. Саютин А. В., Кушников В. А. Особенности применения метода анализа главных компонент для обеспечения эффективной работы энергосбытовой организации // Вестн. Саратов. гос. техн. ун-та. 2009. Т. 1, № 1 (37). С. 99-104.
10. Соляник Н. А., Кушников В. А. Математическое моделирование процесса загрязнения атмосферного воздуха в зоне влияния промышленных предприятий // Вестн. Саратов. гос. техн. ун-та. 2009. Т. 1, № 1 (37). С. 104-109.
Статья поступила в редакцию 22.04.2016
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Хамутова Мария Васильевна — Россия, 410012, Саратов; Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского; аспирант кафедры математической кибернетики и компьютерных наук; mariuka7d@rambler.ru.
Кушников Вадим Алексеевич - Россия, 410028, Саратов; Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук; д-р техн. наук, профессор; директор; kushnikoff @yandex.ru.
M. V. Khamutova, V. A. Kushnikov
MATHEMATICAL MODEL FOR FORECASTING OF FLOOD EFFECTS
Abstract. The mathematical model of the system dynamics to forecast the effects of the floods affecting the amount of damage is developed. The graph of cause-effect relations existing between the modeled characteristics of floods is designed. A mathematical model to forecast the characteristics
of floods is described with the system of nonlinear differential equations of the first order. Numerical solution of the system of equations is obtained by using the Runge - Kutta method of the 4th order. Computational experiments, allowing for different time intervals to determine the modeled characteristics, are made. The comparison of the characteristics calculated by the model, with their real values confirms the adequacy of the mathematical model. The results can be used in the development of the information systems of forecasting the flood effects for operating and dispatching personnel of the EMERCOM.
Key words: mathematical model, system dynamics, forecasting the effects of floods.
REFERENCES
1. The United Nations ESCAP. Available at: http://www.unescap.org.
2. Bezopasnost' v chrezvychainykh situatsiiakh. Istochniki prirodnykh chrezvychainykh situatsii. Pora-zhaiushchie faktory. Nomenklatura parametrov porazhaiushchikh vozdeistvii [Emergency safety. Sources of na tural emergency situations. Destructive factors. Nomenclature of the parameters of destructive effects]. GOST 22.0.06-97/GOST R 22.0.06-95 (priniat Postanovleniem Gosstandarta RF ot 20.06.1995 N 308).
3. Sadovnichii V. A., Akaev A. A., Korotaev A. V., Malkov S. Iu. Modelirovanie iprognozirovanie miro-voi dinamiki [Modeling and forecasting of the world dynamics]. Moscow, ISPI RAN, 2012. 360 p.
4. Khamutova M. V., Kushnikov V. A. Matematicheskoe modelirovanie kharakteristik navodneniia, vliiai-ushchikh na velichinu ushcherba [Mathematical modeling of the characteristics of floods affecting the scale of damage]. Problemy upravleniia v sotsial'no-ekonomicheskikh i tekhnicheskikh sistemakh. Sbornik nauchnykh stateipo materialam XIMezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii. Saratov, 2015. P. 41-44.
5. Khamutova M. V., Kushnikov V. A. Model' dlia prognozirovaniia osnovnykh kharakteristik posledstvii navodnenii [Model for forecasting of the main characteristics of flood effects]. Matematicheskie metody v tekhnike i tekhnologiiakh -MMTT. Saratov, 2015, no. 6 (76), pp. 119-123.
6. Iandybaeva N. V., Kushnikov V. A. Matematicheskaia model' dlia prognozirovaniia pokazatelei eko-nomicheskoi bezopasnosti Rossiiskoi Federatsii [Mathematical model for forecasting of economic safety parameters in the Russian Federation]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Upravlenie, vychislitel'naia tekhnika i informatika, 2014, no. 3, pp. 93-101.
7. Fedianin V. I., Proskurnikov Iu. E. Organizatsiia i vedenie avariino-spasatel'nykh i drugikh ne-otlozhnykh rabot pri likvidatsii chrezvychainykh situatsii prirodnogo kharaktera [Organization and imple-mentation of rescue and other emergency operations when liquidating the emergent situations of natural origin]. Voronezh, VGTU, 2006. Part 1. 469 p.
8. Rezchikov A. F., Kushnikov V. A., Evseev P. L., Kabanov I. A. Zadachi i modeli operativnogo upravleniia kompressornym khoziaistvom promyshlennogo predpriiatiia [Tasks and models of operational control of the compressor at the industrial enterprise]. Mekhatronika, avtomatizatsiia, upravlenie, 2004, no. 3, pp. 45-50.
9. Saiutin A. V., Kushnikov V. A. Osobennosti primeneniia metoda analiza glavnykh komponent dlia ob-especheniia effektivnoi raboty energosbytovoi organizatsii [Peculiarities of using the method of analysis of the major components to provide an effective operation of energy sales organization]. Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2009, vol. 1, no. 1 (37), pp. 99-104.
10. Solianik N. A., Kushnikov V. A. Matematicheskoe modelirovanie protsessa zagriazneniia atmosfernogo vozdukha v zone vliianiia promyshlennykh predpriiatii [Mathematical modeling of the process of atmosphere pollution in the zone of industrial enterprise impact]. Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2009, vol. 1, no. 1 (37), pp. 104-109.
The article submitted to the editors 22.04.2016
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Khamutova Maria Vasilievna - Russia, 410012, Saratov; Saratov National State Research University named after N. G. Chernyshevskiy; Postgraduate Student of the Department of Mathematical Cybernetics and Computer Sciences; mariuka7d@rambler.ru.
Kushnikov Vadim Alekseevich - Russia, 410028, Saratov; Institute of Precision Mechanics and Control, Russian Academy of Sciences; Doctor of Technical Sciences, Professor; Director; kushnikoff@yandex.ru.
