Модель деформирования пластинки Кирхгофа без применения гипотезы о ненадавливаении слоев с учетом изменения температуры Текст научной статьи по специальности «Физика»

Секция «Модели и методы анализа прочности динамики и надежности конструкций КА»

Эта зависимость подтверждает, что учет сдвига «тянет» балку против действия нагрузки, уменьшая прогиб. Неравенство

13q0l4 /(180EJy ) - aq0l2 /(12GS) > 0 дает, что при соотношении l < 0,6h балка будет прогибаться по направлению действия нагрузки.

Изобразим прогибы стальной балки, если E = 2-1011 Па ; ц = 0,25; b = 0,03м ; h = 0,5 м ;

S = bh . На рисунке б представлены три эпюры прогибов: верхняя от изгиба; нижняя - от сдвига; центральная (жирный кривая) - от совместного учета изгиба и сдвига.

Учет поперечного сдвига уменьшает прогиб в балках, кроме случая l < 0,6h . Это является парадоксаль-

ной особенностью полученной модели учета сдвига при изгибе балки.

Библиографические ссылки

1. Доннел Л. Г. Балки, пластины и оболочки. М. : Наука, 1982.

2. Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела: Современные концепции, ошибки и парадоксы. М. : Наука, 1985.

3. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Т. 1. ОГИЗ ; Гостехиздат, 1945.

© Кистанова О. А., Борзова К., Копытов И., Тулин И., Радионова К., Сабиров Р. А., 2011

УДК 539.3

А. А. Козырева, Д. А. Литвяков, А. В. Старицын Научный руководитель - Р. А. Сабиров Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПЛАСТИНКИ КИРХГОФА БЕЗ ПРИМЕНЕНИЯ ГИПОТЕЗЫ О НЕНАДАВЛИВАЕНИИ СЛОЕВ С УЧЕТОМ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ

Получены уравнения, описывающие модель деформирования пластинки Кирхгофа, отличающиеся тем, что в законе Гука нормальное к базисной поверхности напряжение не принимается равным нулю. Такая пластинка находится в условиях плоской деформации, ее прогибы отличаются от прогибов изгибаемой пластинки, находящейся в условиях плоского напряженного состояния в зависимости от коэффициента Пуассона.

В классической модели изгиба тонких пластин Кирхгофа, в законе Гука, одновременно принимают гипотезы, что напряжение стг, нормальное к базисной поверхности, равно нулю, потому что оно значительно меньше нормальных напряжений стx и сту , и гипотезу о неизменности длины прямолинейного элемента е z (x, у, z) = 0 . В выполненной работе не принимается гипотеза стz = 0 .

Запишем закон Гука для изотропного материала:

е x = -1 [ст -Ц(ст у +ст z )] + а Т (^ У, ^

E

еУ = т[стУ -ИСТ: +стz)]+аT(^у,z),

E

е z = -1 [ст ^-И(ст x +ст у )]+а T (^ у, z) = 0, E

У yz

G

=0,

т

Y xz = 0, xz G

У xy

G

(1)

Из третьего уравнения (1) выразим напряжение стг = и(ст x +ст у) -а ET (x, у, z) и подставим его во все

оставшиеся уравнения (1). Обратная форма получившегося закона связывает напряжения с деформациями:

E(1 -ц)

(1 + ц)(1 - 2ц)

ц

1 -ц

E

1 - 2ц

aT(x,y,z).

E

2(1 + ц)

Y x

E (1 -ц) I ц CTy = /i wi О J 8y +

(1 + ц)(1 - 2ц)

E

1 -ц ) 1 - 2ц

a T (x, y, z), (2)

Зададим распределение температуры по координате z линейным

T ++ T - z

T (x, y, z) =-+ - (T +- T "),

2 h

(3)

где T += T + (x, у) и T = T (x, у) температура на верхней поверхности пластины и нижней поверхности пластины.

Введем геометрические уравнения

d w(x, y)

cx 2

K y =-

d w( x, y)

dy2

X xy

d w(x, y)

dx2

(6)

Здесь кx и к,,, кривизны, % - кривизна кручения. Сдвиговые напряжения тХ1 и ту1, принятые в

(1), определяются из дифференциальных уравнений равновесия проекций сил на оси, лежащие в базисном слое, а проекция сил по направлению z дает:

az(z) = (q+ - q-)/2 +

+ ((q+ + q-)/2)(3z/h - 4z3/h3).

(7)

x =

xy

T

т

yz

xy

x

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Технические науки

Здесь д+(х, у) и д-(х, у) - нагрузки на лицевых поверхностях. Заметим, что ст2 зависит от напряжений тх2 и туг, а эти напряжения, в свою очередь, зависят от напряжений стх и сту. Эпюру ст2 изобразим на рис. 1, где для определенности зададим д+ = 10МПа , д- = 5 МПа .

Усилия, действующие в базисном слое, равны:

N (X, у) = -

Еа Н

Т + + Т -

N (х, у) = -

Еа Н

(1 - 2ц)

(1 - 2ц)

Т + + Т-

(х, у) = 0. (8)

Найдем изгибающие моменты и крутящий момент:

Мх(х,у) = Б (1 ~ц) |кх + -^ку |-

(14)

(1 -2ц) ^ 1 -ц

- Б а Т + Т

(1 - 2ц) Н

Му (х, у) = Б (1 ~Ц) | к „ + -^к х |-

(1 -2ц) ^ 1 -ц

_ б а Т + Т

(1 - 2ц) Н

Нху (х,у) = Нух(х,у) = Б(1 -ц)Xху.

(15)

(16)

Получим выражения поперечных сил и касательных напряжений:

Е (1 -ц) д V 2 ( ) 1 Н3

О =---V м>(х,у)---

(1 + ц)(1 - 2ц) дх 2 6

Еа 1 (1 - 2ц) 1

дТ + дТ

-Л

дх дх

Н2

(18)

Еа

1

6бх _

—;—|---

Н3 (1 - 2ц) 2Н

(

дТ+ дТ"

дх

дх

IН!

4

- - 2

Еа 1 (1 - 2ц) 2

дТ+ дТ

- V

дх дх

Н 2 4 Н

2

(19)

Аналогичные формулы для значений и ту2.

Искомое дифференциальное уравнение равновесия элемента пластинки, выраженное последовательно

через поперечные силы, изгибающие моменты и функции прогиба, получается таким:

kDV2 V2м>(х, у) = д(х, у) -

- kD(а / Н^ ^ 2(Т + - Т -).

(20)

Здесь k = (1 - ц)2(1 - 2ц), V2 - оператор Лапласа.

Оценим дополнительный к цилиндрической жесткости коэффициент k, построив график изменения k в зависимости от значения коэффициента Пуассона (рис. 2).

ст 2 = 2,5 МПА

д+ (х, у )= 10 МПа

ст 2 = 10 МПа

ст 2 =-5 МПА

Шч дг(х, у ) = 5 МПа

Рис. 1

Рис. 2

Из графика следует, что чем более несжимаемым будет материал пластинки, тем ее прогиб будет меньшим (конечно, при одном и том же модуле упругости). К примеру, у стали ц = 0,25. Тогда

k = (1 - ц2)(1 - 2ц) = 1,125 . Отсюда видно, что прогиб

по разработанной модели будет на 12,5 % меньше, чем прогиб, найденный по классической модели.

Таким образом, рассмотренная модель деформирования изотропной пластинки, в которой отступились от гипотезы о «не надавливании слоев» в модели Кирхгофа, оказалась более жесткой по отношению к ее прогибам.

© Козырева А. А., Литвяков Д. А., Старицын А. В., Сабиров Р. А., 2011

2

2

6

Т х2 =