Особенности преобразования дифференциальной формулировки задачи об изгибе пластинки в формулировку интегральную Текст научной статьи по специальности «Физика»

переменные в е можно переименовать как: д1, д2,

При первоначальном изучении МКЭ лучше рассматривать формирование глобальной матрицы жесткости приёмом расширения локальных матриц жесткости элементов. Рассмотрим пример изгибаемой конструкции (рис. 2). «Разобьём» конструкцию на

конечные треугольные элементы, изображенные на рис. 2, где в кружочках обозначим номера элементов, а номера узлов (в глобальной системе координат) переименованы 1, 2, ..., 6. Приведём уравнения, имеющие смысл отсутствия реакций в узлах от сме-

щений и реакций от внешних нагрузок Я_

р.

4 + ¿3 ¿12 0

4 + 4

ь 1 ¿21

¿11 + ¿11 Ь 2

¿21 0

¿3 + 4

0

ь 2

¿12 Ь 2

Л22

0

Ь 2

32 0

31 0 0

¿11 + ¿11 ^ + ^

¿13 + 4 ¿;3 + ¿2,

4 + 4

¿33 + ¿33 + ¿22 + ¿22

0 0 0

¿13

д1 К

д2 яР 0

д3 + яр 0

> = <

д4 яР 0

д5 яр 0

д6 яр

(5)

2а

'' / / / / \6

/ / /

/ '' / 4 \ 5

, 1 ' / / / / ' г ' У

1 а 2 а

х

а

3

Рис. 1

Учёт граничных условий д1 = д4 = д6 = 0 , приводит систему (5) к системе уравнений третьего порядка. Если принять Яр = яр = яр = 1, то получим сле-

Рис. 2

дующие прогибы узлов: д2 = 0,128а2/ В; д3 = 0,211а2/В ; д5 = 0,109а2/В .

© Баляков Д., Герус А., Ильяшевич С., Мироненко Е., Снытко А., 2012

УДК 539.3

Е. А. Грачева, Г. С. Дмитриев, А. Г. Булдаков, В. И. Сайбель, Е. В. Ёжикова Научный руководитель - Р. А. Сабиров Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ОСОБЕННОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ПЛАСТИНКИ В ФОРМУЛИРОВКУ ИНТЕГРАЛЬНУЮ

Из дифференциального уравнения равновесия изгибаемой пластинки в прямоугольной декартовой системе координат получено вариационное уравнение. Особенности преобразования связаны с вычислением «интегралов по частям» скалярных произведений.

Пусть плоскость базисной поверхности пластинки поверхности. Напомним, что в классической модели

совпадает с плоскостью Оху; примем правую систе- изгиба тонких пластин Кирхгофа, в законе Гука, од-

му координат и покажем внутренние усилия, дейст- новременно принимают гипотезу, что шпр^етте стг,

вующие на бесконечно малый элемент пластинки нормальное к базисной поверхности равно нулю и

(рис. 1) со стороны отброшенной части пластинки. гипотезу о неизменности длины прямолинейного эле-

Распределенная нагрузка - нормальная к базисной мента е г (х, у, г) = 0 .

Секция «Модели и методы анализа прочности динамики и надежности конструкций КА»

1>

дНху ы„ +—хх-ёх

ху дх

п дПу , Пу ёу

ду

Мг +

Пх + пёх дх

Му + У ду

-ёу

Рис. 1. Бесконечно малый элемент пластинки с приложенными к нему внутренними усилиями

Пусть 5*(х, у) - возможное перемещение базисной поверхности. Составим выражение возможной работы внутренних сил бесконечно-малого элемента пластинки, как произведение проекций всех сил по направлению оси г на возможное перемещение

[дПх / дх + дПу / ду + (х, у)] • 5*(х,у) = 0. (1)

Для всей пластинки справедливо

\\[дпх /дх + дпу /ду + (х,у)] • 5*(х,у)ёБ = 0. (2)

х

Здесь ёБ = ёхёу - прямоугольная площадка. Размеры пластинки 0 < х < а , 0 < у < Ь .

К (2) добавим значения перерезывающих сил (это уравнения равновесия):

Пх =дМх / дх + дНух / ду,

пу = дм у / ду+дНху / ах.

(3)

И [д2мх / дх2 + д2Нух / дхду + д2Му / ду2 + б

+д2Нху / дхду + д2 (х, у)] х 5*(х, у) ёБ = 0.

(4)

У=Ь дМх 5 ( ) ё ^ —^ ^ х, у) ёу

у=0

дх

7 7 дМ д5^ л - I I ^ —;—ёхёу;

х=0 у=0^

дх дх

х=а у=Ь д2Н

| | ^ У х, у) ёхёу =

х=0 у=0

дх дх

У=Ь дН

^ —х, у) ёу

у= 0 дУ

7 У=Ь дНух ^ ё - I I ^^—"—ёхёу ;

х=0 у=0.

ду дх

(5)

(6)

Теперь выражение возможной работы внутренних сил и внешней нагрузки такое

В (4) вторые производные функций Нху и Нух не

объединяем (это можно назвать первой особенностью вывода уравнения), хотя известно, что в пластинках Кирхгофа Нху = Нух. Выполним процедуру понижения порядка производных д2Мх / дх2, д2Нху / дхёу , д2Н / дхёу, д2М / ду2 в (4), выполняя интегриро-

Заметим, что производная дНух / ду на рис. 1 действует на кромке у = ёу, а в (6) эта производная появилась на границах х = 0 и х = а . На границах х = 0 и х = а действует момент Нху , а не момент Нух . Эта

вторая особенность будет учтена, далее, при объединении дМх / дх и дНух / ду, что даст поперечную силу на этих границах; то есть, получим первую формулу (3). Производная дНху / дх симметрична производной дНух / ду , а дМх / дх симметрична дМу / ду. Выполним дальнейшее интегрирование в (5)-(8) подчеркнутых членов:

7 У= дмх дв*. ,

I I —ёхёу =

х=0 у=0

У=Ь

дх дх

вание по частям:

х=а У=Ь д2М„

д5*х дх

I =

х=0 у=0

дх2

•5*( х, у) ёхёу =

у= 0

х=а У=Ь

-I I м

х= 0 у=0

-ёу

д25* х дх2

ёхёу;

(7)

V Г ( дНух дОт л л I I ""^—^— ах ау =

-(Нху + Нух )^От| а = 0.

\ ху ух / 1в углаха

(9)

х=0 у=0

ду дх

| Нух ^Хт •(х у) ах

дх

х=о

х=а у=Ь

-I К

у=ь

у=0

д 2От дх дх

ах ау .

Я,, д 2От / .. \дот Мх~дХТ + (Нху + Нух )) +

д 2От

дх

д 2От

дхду йхйу +

+Му—^ + Ч (х, у ) От (х, у)

ду

и и

+|(Н От - Мх о— ))С + |(( От - Му, о—) ах|уу=0 -

Уравнение (9) получено безотносительно закона Гука. На контуре в (9) обозначены вариации углов поворота

ОЭх = дОт / дх, 09 у = дОт / ду

(10)

(8)

х=0 у=0

Здесь усилие Нух «вышло» на границы: у = 0 и

у = Ь .

Учёт (5)-(8) и симметричных членов Му и Нху в

(4) даёт вариационное уравнение (или интегральное тождество) пригодное для решения краевой задачи об изгибе пластинки

и объединены перерезывающие силы с крутящими моментами:

К = вх + дНух / ду , К = ву + дНху / дх, (11)

Поперечные силы вх и ву при преобразовании

получаются точно такими же такими же, какими они представлены в (3). Вторые производные в (9) есть кривизны.

К уравнению (9) следует добавить главные граничные условия:

т = т , -Эх = Эх , 9у = 9у .

(12)

Звездочкой обозначены заданные (известные) на контуре перемещения и углы поворота.

© Грачева Е. А., Дмитриев Г. С., Булдаков А. Г., Сайбель В. И., Ёжикова Е. В., 2012

УДК 62-2

П. А. Зайцев, А. Ю. Бакулин Научный руководитель - Н. А. Смирнов Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ОСОБЕННОСТИ КОНТАКТНОГО И КИНЕМАТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ШАРНИРНЫХ УЗЛОВ

Рассмотрены кинематические схемы основных типов шарниров. Рассмотрены проблемы контактного взаимодействия элементов основных типов шарниров.

К работе трансформируемых механических системам КА (штанги приборов, рефлектора антенн, панели БС) предъявляются достаточно жесткие требования по точности раскрытия и надежности срабатывания системы. Что, в свою очередь, заставляет обратить особое внимание на проблему взаимодействия элементов шарнирных узлов, отвечающих непосредственно за корректную работу системы.

В предыдущей работе была приведена математическая модель работы шарнира. Рассмотрим более подробно основные кинематические схемы существующих шарниров, а также механику контактных взаимодействий элементов шарнирных узлов, чаще всего применяемых при разработке механических систем КА [1]. В зависимости от степеней свободы кинематические пары разделяют на пять родов. К первому относят пару, в результате образования которой уничтожаются пять степеней свободы, и к пятому роду - если уничтожается одна степень свободы [2].

Цилиндрический шарнир относится к кинематическим парам первого рода. Имеет следующие кинематические схемы (рис. 1).

Шаровой или сферический шарнир может относиться к кинематическим парам второго (рис. 2) и третьего рода [3]:

л-

Рис. 1. Кинематическая схема цилиндрического шарнира

Рис. 2. Сферический двухподвижный шарнир