Модель акустики в конфигурации упругое тело пороупругая среда Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 74F10

МОДЕЛЬ АКУСТИКИ В КОНФИГУРАЦИИ УПРУГОЕ ТЕЛО -

ПОРОУПРУГАЯ СРЕДА

A.A. Герус, С.А. Гриценко

Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, г.Белгород, 308007, Россия, e-mail: [email protected],

[email protected]

Аннотация. Рассматривается акустика в композитных средах с двумя различными компонентами. Композитная среда Q состоит из некоторого упругого тела и пороупругои среды Q. Доказывается существование и единственность обобщенного решения. Выполняется усреднение модели.

Ключевые слова: композитные среды, периодическая структура, уравнения Ламе, уравнения акустики, пороупругоеть, усреднение периодических структур, двухмасштабная сходимость.

1. Постановка задачи. Пусть рассматриваемая область Q представляет собой единичный куб: Q = (0,1) х (0,1) х (0,1), пороупругая среда занимает область О = (0,1) х (0,1) х (0,а), 0 < а < 1 и область О(а) (О(^, ил и О0) есть открытое дополнение области О:

Q = О и О(в) и 5(0), 5(0) = дО п дО(з). Движение смеси в области О при £ > 0 описывается системой уравнений

1 - Xе

(F2+—iL)p + V-w = 0, (1)

\cf cs /

(е/Хе + (1 - Xе) Qs) = V • P + q£F , (2)

/ dw \

= \ n/;— J + (1 -х6)й\Щх,w)-pi, (3)

Движение упругого тела Q(s) при t > 0 описывается уравнениями Ламе

1

cs

2P + V-w = 0, (4)

;(0Г 2

Исследование выполнено при поддержке гранта Российского научного фонда № 14-17-00556 «Математическое моделирование флюидопотоков в нефтяных резервуарах с учётом разномасштабных свойств пласта-коллектора »

д2 w

V

(5)

(6)

Рм = w) - р I,

где и есть безразмерные постоянные Ламе для упругого тела в области П(5), Упругие свойства твердого материала в П(а) и П могут различаться. На общей границе 5(0) выполняются обычные условия непрерывности перемещений:

X — х0

х е о

Иш w(x, ¿) = Иш w(x, ¿)

X — х0

х е

и нормальных компонент моментов

Иш Рм(х,г) • п(х°)

X —У X0 X —У X'

х е x е о

Иш Р(х,г) • п(х°).

(7)

(8)

Дня завершения задачи задаются однородные граничные условия

w(x, г) = о, (х, г) е Бт = 5 х (0, т),

на границе Б = дQ, и однородные начальные условия

дw

Пусть

'<5 т

w(x, 0)

Г(х,г)

дг

(х, 0) = 0, х е Q.

(9)

(10)

йхйг = ^ < то

и выполнены следующие предположения:

Предположение 1.

1) Пусть х(у) есть 1-периодическая фупкция, У, = {у е У : х(у) = 0} есть твердая часть единичного куба У = (0,1)3 С К3, и пусть жидкая часть Уf = {у е У : х(у) = 1} есть открытое дополнение твердой части. Пусть 7 = дУf П дУ8 и 7 есть непрерывная липшицева поверхность;

2) Область Е^ есть периодическое повторение в К3 элементарной ячейки У^ = eУf и область Е| есть периодическое повто рение в К3 элементарной яч ейки У/ = еУ8]

3) Поровое пространство Пf С П = ППЕ^ есть периодическое повторение в П элементарной ячейки еУf, и твердый скелет П С П = П П Е| есть периодическое повторение в П элементарной яч ейки еУ. Липшицева гра ница Г = дП^ П дПf есть периодическое повторение в П границы £7;

4) У и Уf связные множества.

Предположение 2.

Твердый скелет П есть связная область.

Предположение 3.

Поровое пространство Щ есть связная область.

Кроме того предполагается, что все безразмерные параметры зависят от малого параметра e и существуют (конечные или бесконечные) пределы:

lim ö„(e) = ^о, lim c((e) = А0 , lim ö(0)(e) = Л10) , £—0 £—^0 £—^0 Л

- - -(0)

lim —^ = Iii, lim —^ = Ai , lim —= A1,0^ . £—0 e2 £—0 e2 £—0 e2 1

Предполагается, что

^0 = 0.

Определим обобщенное решение задачи (1)-(10),

Пусть ( (x) есть характеристическая функция области П и

Q£S) = (1 - Z )QS0) + ((Qf х£ + (1 - X£)Q*)

Определение 1. Назовем пару функций {w£, p£} таких, что

◦ 1,1

w£ GW2 (Qt) ,p£ е L2(Qt),

обобщенным решением задачи (1)-(10), если они удовлетворяют уравнению неразрывности

1 Г\_ 1 \

й""

почти всюду в Qt, и интегральному тождеству ' Öw£ дф

/ £ /ÖW Оф ^ \ , ,

(P + (1 - ()P(s)) : D(x, (12)

<т

о 1,° дф

для всех функций ф, таких что ф (Ят), -7^7 £ И^Пу) 11 ф(х, Т) = 0 для хё О.

Здесь и далее в работе используется обозначение:

В : С = 1г(ВСт) ,

где B, C - тензоры второго ранга.

2. Теорема существования и единственности обобщенного решения. Теорема 1. При всех £ > 0 на произвольном интервале времени [0,Т] существует единственное обобщенное решение ре} задачи (1)-(10) и

тах

о<г<т

р е(х,Ь)

тах /

°<*<т./ пм

дw£

дЬ ре(х,Ь)

(х,Ь) 2 + (1 - х£)ал wе) 2)1х+ т (М) 2 + (1 - Х£)®{х]

2 дwе

тах

°<г<т

тах /

°<*<т ]пм

дре

дь др

(х,Ь)

+

(х,*) + (1 - х£)а\ )<1х+

дь2 д21

дь

+ ^(х,^ + (1 - хе)40)|и>(^ ^ )|2)^+

I / дwе 2 д" 2 \

^ \ пД — ) + ухм^с0р2, (13)

(0)

где постоянная С° не зависит от £ и от параметров ал, а Л , ам.

Доказательство этой теоремы основывается па энергетических тождествах

1 1 I

дwе

дь

1 24

+ (1 - хЛй'аООг, : В(х, w£) + — р£ )сЫ-

аР '

дwе 2

Г

2 1ь ]п(*)

дь

+ (1 - Хе)аЛ0)0(х, wе) : Р(х, wе) +

е / ™ / д^. _ . д^.

дwе

С0)

(х

р

'Я

1х+

дwе ат • -^—ах,

дь

1(

д2

w

Г

2 1ь Упм

дь2

дwе

дw£

1

дре

дь

1х+

дь2

^ (0)™, дwе, . дwе, 1

+ (1 + _ 2

ев

дре

1х+

дь2

дь2

дь

'Я

дь дь2

1х.

п

2

2

о

в

2

п

2

2

2

п

3. Усреднение модели.

Теорема 2. Пусть ре} обобщенное решение задачи (1) - (10) и

0 < Л00) < то, = Л1 = то

Тогда пределы ^ и р последовательностей и {р £} удовлетворяют уравнению динамики в форме интегрального тождества

'Qt

(1 - Z)A00)D(x, w) - p I) : D(x,

'Qt

d2w \

q8 ( F - -Qp) ■ <pdxdt (14)

1,0

для любой функции ф е¥2 (QT), и уравнению неразрывности в форме интегрального тождества

ДЛЯ любой ГЛвДКОЙ функции ф е Ж^^т)■ Здесь

& = - С(х))^ + С(х)& & = т^ +(1 - т) &.

Соотношения (14)-(15) завершаются однородными граничными условиями

w(x,t) = 0, (16)

на. границе 5т\дПт, я однородными начальными условиями

дw

0) = -^-(х, 0) = 0, х € <5 . (17)

Будем называть задачу (14) - (17) усредненной моделью I.

Заметим, что интегральные тождества (14), (15) эквивалентны системе Ламе

(С0))

-p + V ■ w = 0

в области П^, и системе акустики

. д2w ^ _ . ,.„

3t2

-f -s2 / dt

dt

в области Пт,

Эти дифферендиа.иьные уравнения завершаются условиями непрерывности

lim w(x, t) ■ n(x°) = — - lim w(x, t) ■ n(x°) ,

Q

x —У x

x e g

x— x

x e о

(18)

(19)

(20)

lim (A0O)d(x, w(x,t)) - p (x,t) l) ■ n(x0)= lim p (x,t) n(x0) (22)

x x0 V V / / x x0

x e g x e о

на общей границе граничным и начальным условием (16), (17), граничным условием

w(x,t) ■ n(x) = 0 (23)

на границе STи начальными условиями

dw

р(х, 0) = 0, w(х, 0) = —(х, 0) = 0 , х G П. (24)

Основная трудность здесь заключается в граничных условиях на общей rpaH^eS(0), Эти условия следуют из продольного интегрального тождества (15) и интегрального тождества

/ ((! - Z)A00)D(x, w) - pl) : D(x, =

jqt^ J

ff i d2W \

где W(x, t, y) есть двухмасштабный предел последовательности |w£}, и

Q(s)(x, y) = (1 - Z(x)) qS0) + Z(x)(Qf x(y) + (l - x(y)) es)) .

Соотношение (25) влечет динамическое уравнение Ламе (18) и граничное условие (22) на общей границе S(0), Интегральное тождество (15) влечет уравнение неразрывности (19), уравнение неразрывности

/ш 1 - m\ d2 p „ d2w . .

% + —)äF + v-5F = 0' (26)

в области и граничное условие

„(*») = Шп ^(х, ().„(*») (27)

x e g x e о

на общей границе S(0).

В нашем случае W(x,t, y) = w(x,t) и из интегрального тождества (25) следует динамическое уравнение

d2w

£?^ = "Vp+i?F (28)

в области

Соотношения (26)-(28) дают уравнение акустики (20) в области и граничное условие (21) на границе S(0),

Литература

1. Meirmanov A. Nguetseng's two-scale convergence method for filtration and seismic acoustic problems in elastic porous media /7 Siberian Mathematical .Journal. 2007. 48. C.519-538.

2. Meirmanov A. Acoustic and filtration properties of a thermoelastic porous medium: Biot's equations of thermo poroelasticity /7 Sbornik Mathematics. 2008. 199, №3. P.l-24.

3. Meirmanov A. Homogenized models for filtration and for acoustic wave propagation in thermoelastic porous media /7 Euro. .Jnl. of Applied Mathematics. 2008. 19. P.259-284.

4. Meirmanov A. A description of seismic acoustic wave propagation in porous media via homogenization /7 SIAM .J. Math. Anal. 2008. 40, №3. P.1272-1289.

5. Meirmanov A. Double porositv models in incompressible poroelastic media // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2010. 20, №4. P.635-659.

6. Meirmanov A. Derivation of equations of seismic and acoustic wave propagation and equations of filtration via homogenization of periodic structures // .Journal of Mathematical Sciences. 2009. 163. №2. P.lll-172.

7. Meirmanov A.M. Derivation of equations of seismic and acoustic wave propagation and equations of filtration via homogenization of periodic structures / / Journal of Mathematical Sciences. 2009. 163, №2. P.lll-172.

ACOUSTIC MODEL IN THE CONFIGURATION OF ELASTIC BODY -

POROELASTIC MEDIUM

A.A. Gerus, S.A. Gritsenko

Belgorod State University, Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]

[email protected]

Abstract. Acoustics in composite medium with two different components is under consideration. The medium consists of some elastic body and poroelastic medium. Uniqueness and existence of generalized solution of evolution equations system is proved. It is done the homogenization of the model.

Key words: composite medium, periodic structure, Lame's equations, acoustics equations, poroelastic, homogenization of periodic structures, two-scale convergence.