CC BY
34
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 41
MSC 74F10
ИЗОТЕРМИЧЕСКАЯ АКУСТИКА: СЛУЧАЙ ЖИДКОСТЬ -
ПОРОУПРУГАЯ СРЕДА
А.А. Герус, С.А. Гриценко
Белгородский государственный университет,
ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]; [email protected]
Аннотация. Рассматриваются процессы изотермической акустики в композитной среде с двумя различивши компонентами: жидкая области и упругое тело, пронизанное системой пор, заполненнв1х жидкоствю. Исследуется разрешимоств началвно-краевой задачи и ввшодятся усредненные модели для различных случаев.
Ключевые слова: композитные среды, периодическая структура, уравнения Стокса, уравнения Ламе, уравнения акустики, пороупругость, усреднение периодических структур, двухмасштабная сходимости.
1. Введение и постановка задачи. В работе исследуется математическая модель акустики в гетерогенной среде с двумя компонентами, разделенными общей границей. Одна из компонент является некоторой жидкой областью О^\ другая - пороупругой средой О. Пороупругая среда представляет собой твердый скелет и поровое пространство, заполненное той же жидкостью. Дифференциальные уравнения модели, описывающие движение жидкости в области О(^ и совместное движение твердого скелета и жидкости в порах, базируются на классических законах механики сплошной среды. При выводе усредненных уравнений применяется метод двухмасштабной сходимости Г. Нгуетсенга [1] и результаты А.М. Мейрманова [2]- [6].
Рассматриваемая ограниченная область Q Е R3 представляет собой единичный куб: Q = (0,1) х (0,1) х (0,1), в котором пороупругая среда занимает область О = (0,1) х (0,1) х (0, а), 0 < а < 1, а область \ занятая жидкостью, есть открытое дополнение области О:
Q = О U О(/) U S(0), S(0) = дО П дО(/).
Движение жидкости в пороупругой области О описывается системой уравнений
(С + ^ir)p + v-w = 0, W д2 ) (1)
д 2w СQfX + (1 X )q^ dt2 = ^ P Q F, (2)
/ д w\ P = Х£а^[х,д^) + (1 - X£)axD(x, w) - P1, (3)
Исследование выполнено при поддержке гранта Российского научного фонда №14-17-00556 «Математическое моделирование флюидопотоков в нефтяных резервуарах с учётом разномасштабных свойств пласта-коллектора».
42
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
где х£(x) _ характеристическая функция порового пространства Qf Е О, cs и скорость звука в твердой и жидкой части соответственно, р - плотность среды, заданный вектор распределенных массовых сил.
Пусть
|F(x,t)|2 +
д F .
Ж (x,t)
2\
j dxdt = F2 < то
cf
F
и выполнены предположения о периодичности порового пространства и о существовании пределов при е ^ 0 коэффициентов аа\,..., описанные в работе [7].
При выполнении предположения о периодичности порового пространства
Xo(x) = X£(x) = ((x)x(X) ,
где Z(x) есть характеристическая функция области Q.
Движение жидкости в области Q(f) при t > 0 описывается системой уравнений Стокса
-4 p + V ■ w = 0 , c (4)
d2w (f) df dt2 = V ■ p(f) + dfF ’ (5)
P(f) = а^в(х,д-) - pI. (0)
На общей границе S(0) выполняются условия непрерывности для перемещений:
lim w(x,t) = lim w(x,t) , (7)
x — x0 x — x0
x e n(s) x e n
и для нормальных компонент моментов
lim P(f\x,t) ■ n(x°) = lim P(x, t) ■ n(x°).
x —— x
x e n(f)
x —— x
x e n
Завершают задачу однородные граничные условия
w(x,t) = 0, (x,t) Е ST = S x (0,T) на границе S = dQ, и однородные начальные условия
dw
w(x, °) = (x, 0) = 0 , x Е Q.
(8)
(9)
(10)
Пусть
e£f) = (i - С)df + C{dfx£ + (i - x£)es) ■
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 43
Определение 1. Пара функций {w£, p£} таких, что
◦ 1,1
w£ ew2 (Qt) ,р £ c HQt),
называется обобщенным решением задачи (1)-(3), (4)-(6), (7), (8), (9), (10), если эти функции удовлетворяют уравнению неразрывности
((1 — 0-д + С (д- + y^))p£ + V' w£ = 0 , (П)
\ cf cf cs /
почти всюду в Qt, и иитегралвиому тождеству
£ (dw£ e(f0 dt
д ф
~et
+ F ' ф) dxdt
Qt
((P + (1 — Z)P(f)) : D(x, ф)dxdt (12)
◦ 1,0
для всех функций ф таких, что ф GW2 (Qt)
ддфф G L2(Ot) и ф(х,Т)
0 для x G Q.
Теорема 1. Для всех е > 0 на ироизволвиом интервале времени [0,Т] существует единственное обобщенное решение {w£,p£} задачи (1)-(3), (4)-(6), (7), (8), (9), (10) н для него справедлива оценка
max
0<t<T
/ d~^w£ 2 \
(|p £(x,t)\2 + -df(x,t) +(1 — X£)ax\D(x, w£)\2) dx+
+ max [ (\p£(x,t)\2 + dw(x,t) )dx +
0<t<TJn(.f) ^ dt W
r-T
X
_ dw£,
D(x ST >
+ max
0<t<T
+ max / 0<t<T Jn(f)
dp
dt 7 Jo Jn(f)
£ 2 d2w£ 2 (
~dtr(x,t) +(1 — X£)aAD(x,—
dxdt+
dp'
dt
dt
(x,t)
-(x,t)
+
d w£
2
d2
w°
dt2
(x,t)
dx + / / x£®t
Jo Jn(f)
r dx+ d2w£ ) 2
/ d w°\
D( xidtr)
dxdt+
i у у d~^^^£ \ 2 / (d^*\ 2\
+ y X£^(D^x,^)f) + D(x>d^) ) dxdt ^ CoF2, (13)
d2
где постоянная C0 не зависит от малого параметра е н коэффициентов ад, сед0'1, а^. □ Доказательство теоремы основано на энергетических тождествах
о
2
2
2
1 d
2 dt
в
dw£
dt
1 d
2 dt Jq(s)
+ I (es
+ (1 — X£)<CaD(x, w£) : D(x, w£) + — \p£\0dx+
}
dw£ 2 _s (o)_, , 1
dt
+ (1 — X)ai°)D(x,w£) : D(x,w£) + /_(0))2 \p£\2) dx+
+ /„ 0И -ж)-А -ж))* = £ e£ F ■
d w£
d w£
dt Г \} dt )) Jq dt
dx
2
о
44 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
1 d_ Г
2 dt Jn
( £ д2w£ 2 £._ / дwc\ / -wc\
(Q I^H + (1 - Х )аНх’~т): Кх’~т) +
+ 1 d [
2 dt Jn(s)
-t2
(Qs
д w£
dt
-w£
д 2w£
-t2
-ь
■л at
д2w£ \ / д2w£
<T£
-p£
-ь
+ (1 - Х^Дx,-^) : D(x,-^) +
jdx+ 1
A°))2
c-s
/ £/_ T^/ - w°\ / -w°\\ £-F
+ iХ (a>D(x>--tr): Чх^^))dx = JQQ -t
-p£ 2
~8t -F -2 w£
-t -t2
dx+ dx.
1
2
Эти тождества получаются подстановкой в уравнение (2) явного выражения для тен-
д w£ (x,t)
зора P го уравнения состояния (3), умножением (2) на ---^--и интегрированием по
частям по области Q.
Для вывода априорных оценок применяется следующее неравенство Корна для периодических структур.
Пусть w Е W^O). Тогда
\Vw\2dx Д С \D(x, (w)|2dx
nf
для связного множества Of, и
(14)
\Vw\2dx Д С \D(x, (w)\2dx
п
п
(15)
для связного множества 0Д Константа С те зависит от е.
Используя это неравенство, а также неравенства Гёльдера и Фридрихса-Пуанкаре, получаем требуемые априорные оценки. Далее существование обобщенного решения доказывается методом Галеркина.
2. Усредненные модели.
Теорема 2. Пусть {w£, p£} - обобщенное решение задачи (1)-(3), (4)-(6), (7), (8), (9), (10) и
р1 = Ai = то .
- w -w£
--t (скорость жидкости) и p (давление) последовательностей { }
Тогда пределы v and {p £ } удовлетворяют системе уравнений акустики
-v
Qf -t + V Р = QfF ’
1 -Р
Щ Tt + V•v = 0
в области 0(f) при t > 0, и системе уравнений акустики в области 0 при t > 0:
(16)
(17)
Q—- + V p = QF
(18)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 45
/т 1 — dp „
(f + ~) Tt + v'
at v v = 0'
(19)
где
m = J x(y)dy.
Соотношения (16)-(19) замыкаются однородным граничным условием
v(x,t) • n(x) = 0 ,
но> грвнидв St j однородными ннчнлънымн условиями
p(x, 0) = 0, v(x, 0) = 0 , x G Q ,
(20)
(21)
и условиями непрерывности
lim v(x,t) • n(x0)
x x0
x G nO)
lim v(x, t) • n(x0) ,
x x0
x G П
(22)
lim p(x, t)
x x0
x G n(f)
lim p(x,t)
x x0
x G П
(23)
на общей границе S^.
Здесь
Q = m Qf + (1 - m) Qs,
n(x) есть норм^ьный вектор к S в точке x G S, н n(x0) - нормальный вектор к S(0) в точке x0 Е S(0).
Теорема 3. Пусть {w£ (9), (10) и
p£} ............ обобщенное решение задачи (1)-(3), (4)-(6), (7), (8),
0 Д ц1, Ai < то .
Тогда пределы v
dw d w£
(скорость жидкости) и p (давление) последовательностей { }
( f )
и {p£} удовлетворяют в области Qy системе уравнений акустики (16), (17), и системе уравнений акустики в области QT, состоящей из уравнения баланса моментов в форме
v(x,t)
■t
B(a\pi, Ai; t
0
- т) •Vp (x, т)dr + f (x, t),
(24)
и уравнения неразрывности (19).
Дифференциальные уравнения замыкаются граничным и начальным условиями
(20), (21), и условиями непрерывности (22), (23).
Матрица B(a)(^1; A1; t) и функция f (x,t) задаются формулами (61), (62).
Теорема 4. Пусть {w£, p£} - обобщенное решение задачи (1)-(3), (4)-(6), (7), (8),
(9), (Ю),
р1 = то , 0 Д А1 < то ,
46 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
и wf = EUf (w£^ - продолжение из Qf в Q.
Тогда пределы v = (скорость жидкости) и p (давление) последовательностей
d ws
{~дГ^ И ^Р£}’ Ще
dwf dw(s)
v =(1 - С)v + + (-gf-
(1 — C)v + (mvf + C v
(s)
(25)
и w
(s)
и wf - пределы последовательностей {(1 — x£)w£} и {wf}, удовлетворяют в
области Qf) системе уравнений акустики (16), (17), и системе уравнений акустики в области Щт, состоящей из уравнения баланса моментов
mQf vf + gs v(s) + (—qF + V p) (x,r )dr = 0
J 0
для жидкой компоненты, уравнения баланса моментов
* ( (d v f
(26)
v(s) — (1 — m)v, = — B(s)(^,Ai;t — r) • (vp + Д-Д — f))(x,r)dr (27)
J0 \ \ dr
для твердой компоненты, и уравнения неразрывности
(m Ж + V (m v, + v(s0 =0.
(28)
t
Задача замыкается граничным и начальными условиями (20), (21), и условиями непрерывности (22), (23).
В (26)-(27)
q = m q, + (1 — m) q s,
и матрица B(s)(to, A1; t) задается формулой (72).
В теореме используется обозначение:
wf = EQf(w£^ ,
ГД 6
Enf : Wl(0f) ^ W1(0)
- оператор продолжения из Of в Щ, такой, что w£ = w£ в Qf х (0,Т), и
\wf\2dx Д C0 \w£\2dx
uf
x, w
f)12
dx Д C0
x, w£)\2dx. (29)
u
u
f
Корректность такого продолжения обоснована в работе С.Сопса [8].
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е»Я Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 47
Теорема 5. Пусть {w£, p£} - обобщенное решение задачи (1)-(3), (4)-(6), (7), (8),
(9), (10),
Ai = то , 0 Д р1 < то , н w£s = Eq| (w£) - продолжение из Q£s в Q.
Тогда пределы v = (скорость жидкости) и p (давление) последовательностей d w£
} и {Р£}} ще
г) (f) г)
v = (1 - С)v + С + С (1 - m) = (1 - С)v + С v(f) + С vs,
dt
dt
(30)
и w(ff и ws являются пределами последовательностей {x£w£} и |w£}, удовлетворяют в области ) системе уравнений акустики (16), (17), и системе уравнений акустики в области состоящей из уравнения неразрывности
m + ) dp + v ,(v(f) + v,) = o
c) c) ! dt
уравнения баланса моментов
Qf v(f) + (1 - m)Qs vs = J (gF - Vp) (x, т)di
для твердой компоненты и и уравнения баланса моментов
(31)
(32)
v(f) - m vs = -
dv
B(f)(^i, то; t - т) ■ (vp + q^- f)) (x,T)dT (33)
ДЛЯ ШОИДКОИ КОМПОН6НТЫ.
Задача замыкается граничным и начальными условиями (20), (21), и условиями непрерывности (22), (23).
В (32)-(33)
Q = m Qf + (1 - m) Qs,
и матрица B(f) (р1, то; t) задается формулой (81).
Здесь как и в предыдущей теореме w£s = Eq£ (w£), где
Eq| : W\(Q£) ^ W)(Q)
оператор продолжения из Q£ в Q, такой что w£ = w£ в Q£s x (0,T), и
\w£\ dx Д Co \w£\ dx, / \D(x, w£)\ dx Д C0 \D(x, w£)\ dx. (34)
o
n
n
n
n
48 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
Теорема 6. Пусть {w£, p£} - обобщенное решение задачи (1)-(3), (4)-(6), (7), (8),
(9), (W),
pi = то , 0 < Ло < то ,
и w£s = Жщ (w£).
Тогда пределы v = -df (скорость жидкости), p (давление), н ws (перемещение твер-
d w£
дои части) последовательностей { }, {р£}, и |w£}, где
г\
v =(1 - <)v + Z-dw = (1 - Z)v + Z v
(35)
( f)
удовлетворяют в области Qy системе уравнений акустики (16), (17), и уравнению Ламе
,d2w«
V ' (Ло N3 : В(х, ws)) + pF
(36)
в области Qy, с однородным граничным условием
v(x,t) ■ n(x) = 0 , (37)
на границе dQ(f^S(0) при t > 0, с однородными начальными условиями
p(x, 0) = 0, v(x, 0) = 0 (38)
для скорости жидкости и давления в области Q(f \ с однородным граничным условием
ws(x,t) = 0 ,
на границе dQ\S(0) при t > 0, и однородными начальными условиями
. . d ws .
ws(x, 0) = -7— (x, 0) = 0
dt
(39)
(40)
для перемещения твердой части в Q.
(о)
На общей границе Sy; выполняются условия непрерывности
dw
lim v(x,t) ■ п(ж°) = lim ——-(x,t) ■ n(x0)
x —— x
x e n(r>
x — x- dt
x G П
И
— lim p (x,t) n(x0) = lim Гл0 N3 : D(x, ws(x,t))^ ■ n(x0).
x — x0 x — x0 V J
(41)
(42)
x —— x
x G n(f)
x —— x
x G П
Здесь n(x0) - нормаль к S(0) в точке x0 E S(0). В (36)
s )
ё = mgf + (1 — m) Qs,
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 49
и симметричный положительно определенный постоянный тензор 4 ранга N3 задается формулой (98).
Теорема 7. Пусть (ws, p£} - обобщенное решение задачи (1) - (3), (4)-(6), (7), (8),
(9), (Ю),
0 < р1 < то, 0 <Ао < то ,
и w£s = Жщ (ws).
Тогда пределы v = (скорость жидкости) и p (давление) последовательностей d ws
} и {РS}} ще
dw(f ) dw
v = (1 - C)v + z z (1 - m)
dt
dt
(1 - Z)v + Z v(f) + Z vs ,
(43)
удовлетворяют системе уравнений акустики (16), (17) в области \ граничному и начальным условиям(37)-(38).
В области предельные функции pf (давление жидкости), wf (перемещение жид-
кости), и ws (перемещение твердой части) последовательиостей (С Xs Р s} (С Xs ws}, и (С wS} удовлетворяют системе усредненных уравнений, состоящей из уравнения неразрывности
1 „s
(44)
1
AyPf + V • w(f) = C0 : D(x, Ws) +
f
уравнения баланса моментов
d2w(f) d 2w
А
Pf
Qf
+ Qs-xiy1 = V • (Ао N2 : D(x, ws) - pf C1) + £F ,
dt2 * dt2
для твердой компоненты, и уравнению баланса моментов
( д2 w \
B(f)(^i, то;t - т) • (v pf + Qf (^г2Г - F))(x,T )dT
d w(f)
~dt
dw*
— m -
dt
(45)
(46)
для жидком компоненты.
Эти дифференциальные уравнения замыкаются условиями непрерывности
x —— x
x е п(Г)
x —— x
x е п
lim v(x,t) • n(x0) = lim (v(f\x,t) + (1 - m)(x, t)) • n(x0) ,
(47)
и
- lim p (x,t) n(x0) = lim (A0 N2 : D(x, ws(x,t) - pf C1)^ • n(x0) (48)
x — x0 x — x0 V J
x —— x
x е n(f)
x —— x
x е п
на общей границе S^\ однородными граничными и начальными условиями (39) и (40) для 11 ерем еп {С 11 и я твердой чнсги. и однородными граничными и нвчэлвными условиями
r(f)
ww 'lx,
(x, t) • n(x) = 0 , x E dQ\S(0) , t E (0, T)
(49)
s
50 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
w(f\x, 0) = 0 , x Е Q (50)
ДЛЯ 11 срсм л цл i и я жидкости.
В (44)-(49) n(x0) - нормальный вектор к S(0) в точке х0 Е S (0), n(x) - нормальны и вектор к dQ в точке х Е dQ,
q = m Qf + (1 — m) Qs,
симметричный положительно определенный постоянный тензор 4 ранга N2, матрицы C0 и C1, постоянная с0 заданы формулами (90), (91) и (92), а матрица B(f\ц1, то; t) описана формулой (81).
3. Доказательство теорем 2-5. Главная проблема в доказательстве этих теорем состоит в условиях непрерывности на общей границе S(0) между областями Q(f) и Q. Эти условия следуют из предельного интегрального тождества
Р (V • Ф) dxdt = I I Q(f)(x, y^F — (x,t, y) j • p(x,t)dy dx dt, (51)
Iqt
'QtJ Y
1,0
для любой гладкой функции ф EW2 (QT), и интегрального тождества
' Qt
((. 1 vm 1— m\\dp , „ , dw\ , ,
(((1 — z>щ + Д + —))Tt Д — VД• -w)dxdt = 0
(52)
для любой гладкой функции Д Е W(QT).
Здесь W(x,t, у) - двухмасштабный предел последовательности {w£}, и
Q(f) (x> У) = (1 — С(x)) Qf + ((x)(Qf Х(У) + (1 — хЫ) Qs')) .
Для всех случаев (51) и (52) влекут систему уравнений акустики (16) и (17) в области \ условия непрерывности (22) и (23) на об щей границе S(0), и уравнение неразрывности
(m 1 — m\dp „ dw
(Щ + -ЩГ )dt + V'd
0
(53)
в области QT.
Все различия сконцентрированы в уравнении динамики в области QT и в представ-d w
лении скорости смеси .
dt
Доказательство теоремы 2. Для этого случая W(x,t, у) = w(x,t) и интегральное тождество (51) влечет уравнение динамики
Д 2w
q Tt2
V p + q F
(54)
в области QT.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е»Я Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 51
Доказательство теоремы 3. Уравнение неразрывности в этом случае имеет вид / 1 1 ч dp „ dw ^
Д + ДTt + v' IF = 0' xEa t>0'
dp
Используя вложение V p E L2(C^ x Y), то есть Vp E L2(C^), V (—) E L2(0^), выводим микроскопическое уравнение моментов баланса:
dW
) + АД 1 - x(>
-V p + Q(y)F , y E Y, t> 0 , (55)
d 2W ( (
ё(у)дг = Vy' (^ix(y)D(у’
dt ,+ Ai( 1 - x(y)) D(y, W) - П l)-
где
Q(y) = Qf x(y) + Qs (1 - xM) , и микроскопическое уравнение неразрывности
Vy ■ W = 0 , y E Y.
Эти уравнения замыкаются однородными начальными условиями
dW
W (x, y, 0) = —(ъ y, 0) = 0 , y E Y. Мы рассматриваем периодическое решение задачи как сумму
(56)
W(x,t,y) = W(i)(y,t - r)^(x,r)dr + ^ / W^(y,t - r)Fi(x,r)d
i=iJo dXi i=iJo
dp
' dXi
3 ,t
3 ,t
n(x,t, уН£/ n(i)(y,t - r) dX.(x,r)dr + ^ I п?(УД - r)Fi(x,r)dr,
3 ,t
i=1
dxi
i=1
где
F(x,t) = (F1(x,t) F2(x,t),F3(x,t))
В свою очередь, пары {W(i), n(i)}, и {W^, П^))} для i = 1,2, 3 есть решения периодических начально-краевых задач в области Y дая t > 0
Q(y)
д2W(i) _ ( (дW(i))
= Vy ■ \VixWyi-^-} +
+ Ai(1 - x(y))VyW(i) - n(i) l), Vy ■ W(i) = 0 , (57)
,Л д W(i)
W(i)(y, 0) = 0, Q(y) dt (У’0) = ei) у E Y
(58)
52 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
, ,52W^ ^
= v.
/ dW(i)
s*2 •»-(^ix(y)v4 ~wr)+
+ A1 ( 1 - x(y)) VwF - nF l), V • W^ = 0 , (59)
d~W(i)
w?(y, 0) = 0 > —qF(y, 0) = ei} y e Y
(60)
соответственно. Таким образом,
d W А Г * dW(i)
dt
Y
i=1
dt
. ,dp, . , А Г * d WF) , . . ,
(y,t - T)dX(x,r')^т + ^y dtF (j)t - T)Fi(x,T)dT
d w
dt
r /dW(iv ,dp, ,,
Hi (t(t- T)Щ(xT)dT+
_ 3 _ r* , d^^(i) \
+ Д/ (^)r<y3 - T)Fi(x-T)d
a\pi,Ai, t - t) • Vp (x, t)dT + f(x,t)
где
B(a)(^i,Ai; t) = ^ )y(t) ® ei,
i=1
3 f * , ЯЛ! 7'(i)
'd W
jo ' dt
i=1 J0
Полученные соотношения дают следующее представление для скорости смеси:
f (x,t) = Y {~д^)г (у’*- T)Fi(x<T)dT-
(61)
(62)
d w [ * , .
-df (x,t) = J B(a) (^1’Ai; t - T) • V p (x,T )dT + f (x,t) Доказательство теоремы 4. Для этого случая скорость смеси задана формулой:
(63)
d W
~дГ
d w dwf dw(s)
d w
dW
dt
(x,t’ y) = X(y)(x,t) + (1 - X(y)) (x,t’ y) ’
[ (1 - X(y))W(x,t’ y)dV-
m—-+
dt dt
dt
w(s)(x,t)
0
*
0
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 53
Интегральное тождество (51) влечет уравнение динамики (26) для жидкой компо-
Н6НТЫ.
Получим представление (27).
Если W(s) = (1 — x(y))W, то пара {W(s), n(s)} удовлетворяет микроскопическому уравнению динамики для твердой компоненты
d2W(s) Ai ( ) ( )
Qs п 2 = у-\W(s) — Vyn(s) — V p,
dt2 2 y
микроскопическому уравнению неразрывности
V • W(s) = 0
в области Ys, и начальным условиям
(64)
, ч дW(s)
W(s)(x, 0, y) = dt (x, 0, y) = 0 , y e Ys.
(65)
В силу теоремы Нгуетсенга W(s),d2W(s)/dt2 VyW(s) e L2(QT x Ys). Эти условия вместе с формулой (58) обеспечивают граничное условие
W(s)(x,t, y)= wf(x,t), (y,t) e s(0) x (0,T) (66)
Решения {W(s), n(s)} периодических начально-краевых задач (64)-(66) имеют вид
W(s) = wf(x,t) + 1 W(s)(y,t — т^JX(x,T) + Qs^dtf(x,T0dT}
d2Wf
n(s)(x,t, y) = ^j n(s)(y,t — TXJx(x,T) + Q^~dt^(x,T0dT
д 2w f
где {W( , П( )} , i = 1,2,3, в свою очередь являются решениями периодических начально-краевых задач
Qs~
d2W(s) Ai
dt2
2△yWT> — Vynr;, (y, t) e Ys x (0, T)
Vy • W(s)(y, t) = 0 , (y,t) e Ys x (0, T)
W(s)(y, 0) = 0, Qs m
T(s)
dW;
(s)
■(y,0) = e,, y e Y,
W<”(y,i)=0, (y,t) e S(0) x (0,T),
(67)
(68)
(69)
(70)
Однозначная разрешимость задач (67)-(70) следует из энергетического тождества
2) (1 — т)
'Ys
( dW(s) 2 Ал < \ 2ч
(^Qs| W (y,t)| + -2-|VW(s)(y,t)| )dV
s
54 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
Задача (67)-(70) для соленоидальных функций W( , равных нулю на S(0) и при t = 0, понимается как интегральное тождество
Г /
'о Jys
dw(s) дф
Q dt ‘ dt A1
AiVW(s) : dydt = ei • ф(у, 0)dy
J Ys
для любой соленоидальной 1-периодической гладкой функции ф, равной нулю на S(0) и при t = T. По определению
дw(s) Г дW(s)
ST{xJ) = L ST<xJ'y)dy =
(1 — m)
д wf dt
r(s)
l (E (/. ДГ“{уЛ — T)dy) 0e) • (Vp(xT)+ + C’Yf (x,T))dT = (1 — m) ДТ
nt
/" / d2w \
— / B(s)(^,Ai; t — Г) • {V p (x,T) + Qs ~дг2~(x,T V dT, (71)
где
(~,Ai; t) = tijY ‘W-(yJ)dil
0 ei.
(72)
Доказательство теоремы 5. Здесь скорость смеси задана формулой
д W
д W
д ws
dt (x,t, У) = Х(У)~д£-(x,t, У) + (1 — Х(У)) -д^(x,t)
д w д w(f ) . dw
it = — + (1 — m)
— , w(f)(x,t) = J x(y)W(x,t, y)dy.
Интегральное тождество (51) влечет уравнение динамики (32) для твердой компоненты. Докажем представление (33)
Если мы положим W(f) = x(y)W, то предельное интегральное тождество для пары |W(f), n(f)} эквивалентно дифференциальному уравнению
Qf~
d2W(f) pi ( д W(f)
д
dt2 2 Ч dt
в области Yf х (0,T), начальным условиям
Пт) — v n(f) — v
Р
(f) д W(f)
W(f)(x,0,y) = dt (x’0 У) = 0 ’ У е Yf
и граничному условию
W'J)(x,t,y) = w,(x,t), (y,t) е 5,(0) х (0,T).
(73)
(74)
(75)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е»Я Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 55
Таким образом, решение {W(/), П(/)} периодической начально-краевой задачи (73)-(75) имеет вид
w(/) = ws(x, t) + w(/\y,t - трdp(х,т) + Q/d?(x,T^dT ,
i=1 3 Л*
n(f)(x,t, y) = n(f)(уЗ - тКdx(x,T) + Q/^T?(x,T0dT’
( / ) ( / )
где {W( , П/)} , i = 1, 2, 3, в свою очередь, есть решения следующих периодических
i J i
начально-краевых задач:
d2wl]f) ^ . дw;
(/)
dt2
—Л (
2 ^( dt
У ” i
w'/)(y, 0)=0, f
-) -Vyn(/), (y,t) € Y/ x (0,T), (76)
0 , (y,t) € Y/ X (0,T) , (77)
dW/ .
dt (y, 0) = ei, y € Y/ , (78)
(y,t) € S<0> X (0,T). (79)
По определению
dw(/) dt
(x,t)
д Ws
'Yf
rt 3
d W(/) dt
(x,t, y)dy
m-
dt
/0
/■Д ( f dW(/) , . \ \ , , . 52w_ Л
dt (y,t-T)dV 0ev ' vp(x,T) + 6/lT2'(x,T^dT =
i=i • JYf
d w s
/ d 2w \
B(/)(^1, to; t - T) • (v p (x,T) + Q/~dT2~(x,T \ldT , (80)
m-
dt
где
В(/Дь to; t)^^(yl -~di~(y,t)dy^ 0 ei'
(/)
(81)
i=i JYf
Доказательство теорем б и 7. Для этих случаев двухмасштабный предел P(x,t, y) последовательности {p£} задается формулой
(1 - с) p+^mx(y) p/(x,t)+z (1 - x(y))Ps(x,t’ y) ■
Для p1 = to двухмасштабный предел W последовательности {w£} есть
i
t
0
W(x,t, y) = w(x,t)
56 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
И ДЛЯ Ц1 оо
w(x,i, y) = x(y)W(x,7, y) + (1 - x(y))ws(x,i).
Двухмасштабный предел {w£} равен {ws(x,t)}, и двухмасштабный предел последовательности {D(x, w£)} есть
D(t, ws(x,t)) + B(y, U(x,t, y)) .
Интегральное тождество (51) заменяется на
'Qt
((Ao(mD(x, w) + (D(y, U))Ys) — p l) : D(x, <p)dxdt
/ d2W \
Q(/)(x, уДf — -QfT(x,t’ y) J ‘ V(x’ t)dy dx dt (82)
>QtJ y
с любыми гладкими функциями ф, равными нулю на границе 0Q, а интегральное тождество (52) заменяется на
(• Y № + (X + 1—Й<)ж*-ъ-ж)
дР
д w'
' Qt
'Y 4 c/
Г2
Л
——dy — Vn • —— Idxdt = 0
(83)
с любыми гладкими ц.
В (82)
Q(/)(x> У) = (1 — С(x)) Q/ + С(x)(Q/Х(У) + (1 — х(уД qJ .
Для р1 = то
W(x,t, У) = ws(x,t) ,
И ДЛЯ Ц1 < то
W(x,t, У) = X(y)W(x,t, У) + (1 — Х(уД ws(x,t).
Соотношения (82) и (83) дают систему уравнений акустики (16), (17) в ОД, усредненные уравнения баланса моментов (36) и (44), уравнение неразрывности (45) в От, условия непрерывности (41), (42), (47), и (48) на общей границе Sj°\ и граничные условия (37) и (49).
Предельные функции ws и р/ удовлетворяют в области От макроскопическому уравнению неразрывности для жидкой компоненты
m
~2 Р/ + mV • ws = (Vy • U)ys
(84)
Действительно, мы можем записать уравнение неразрывности в виде
' Qt
[ (\Х£Р££(x,t) — w ■VC(x,t))dxdt = [ (1 — X£)C(x,t)V • w£dxdt. J Qt c/
Переход к пределу при е ^ 0 дает 1
Qt с/
(~2 Х£Р £С (x,t)—w£ ■V£(x,t)) dxdt ^ U~2p/ — ws •V%)
Ус/ 7 Iqt y c/ 7
\dxdt
/
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е»Я Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 57
d™Pf + V • wj dxdt,
\Gf /
J&T cf
/ (1 - X£)V • w£C(x,t)dxdt ^ £((1 — m)V • ws + (Vy • U)y)dxdt.
JQt JQt
Используя теорему Нгуетсенга, получаем требуемое уравнение (84).
Запишем теперь уравнение неразрывности в области Q£s в следующей форме
(1 — X£)P£ = —c2s(1 — X£)V • w£ , и интегральное тождество в следующей форме
где
if +1!
££F • ф dxdt
' Qt
if = / x£a^D(x, v£) : D(x, ф)dxdt + / x£ P£V • фdxdt
' Qt
' Qt
(85)
' Qt
(1 — X£)(AqD(x, w£) : D(x, ф) + cS(V • w£)(V • ф))dxdt
= Aq (1 — x£) (N(q) : D(x, w£)) : D(x^)dxdt
J Qt
И
N(q) = V J3 0 J3 + I 0 I.
4-1 Aq
1,3 = 1
Здесь использовано обозначение:
1
2'
тензор четвертого ранга A 0 B определяется следующим образом:
J3 = -(e. 0 ej + ej 0 e.),
(A 0 B) : C = A(B : C) для любого тензора второго ранга C.
Перейдем к пределу при е ^ 0 в интегральном тождестве (85) с двумя различными типами пробных функций. Вначале используем пробную функцию ф = ф(х,{), а затем
x
пробную функцию ф = ек(хА)ф0( — ). Получим макроскопическое уравнение баланса моментов е
(86)
V • (Ao N(q) : ((1 — m) D(x, ws) + (D(y, U))yJ^ — m Vp + £F = 0 и микроскопическое уравнение баланса моментов
Vy • ((1 — x) (N(o) : (D(x, Ws) + D(y, U)) + A-p I)) = 0
(87)
£
s
58 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
Чтобы вычислить и C1 мы должны решить (87) и найти (D(y, U))Ys как оператор
от D(t, w,) и p.
Пусть U2*J) (у) и U20) (y) есть решения периодических задач
V, • ((1 - х) (^(0) : (J(j) + D(y, Uj)^ = 0 , (88)
и
V, • ((1 - х) (N(0) : D(y, U20)) + I)) =0 (89)
в Y.
Разрешимость задач (88) и (89) следует из энергетических тождеств
'Ys
(N(0) : D(y, U2tj)^ : D(y, Uj)dy = - (n(0) : : D(y, Uj)dy
J Ys
’Ys
(n(0) : D(y, U<0)4 : D(y, U<0))dy = - / I: D(y, Uf )dy{= -(V • U<0))y,)
J Ys
и соответствующих энергетических оценок.
Таким образом,решение U задачи (87) имеет вид
U(xT У) = U23){y)Dv{x,t) + Д-P{x,t) U20){y) •
i,j=1
Д0
Поэтому
(D{y, U))Ys =52 (D{y, 44),'. Dj + - p (D{y, U™)),.,
Д0
i,j=1
3 1
( £(D(y, U^)),, S J"») : B{;r, w,) + j-p (D{y, U<0)))
i,j=1
u20)))Ys
N2 = ЭТ<0) : ({1 - m)52 J S Г + J] (D{y, U^Xy, S J№))
i,j=1 i,j=1
C = mI -(D{y, U.2,)))y, •
Выразим правую часть (84) используя (90):
(90)
(91)
(V, • U)y, = £ (V, • UfVsD.j + у- q(V, • u20))
До
i,j=1
У • U2 )Ys
(52 (V, • uYy, Г) : B(*, w,) + (-(V,, • U'0))yJ P•
, До
%J=1
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
59
Таким образом,
C< = Д (Vy • U<f)r, J , c< = (Vy • U0’),,.
i,j=l
Очевидно, c< < 0.
Если p1 = то, то ws = w, и
1
Pf = в (I + C0) : D(x, Ws) = C : D(x, Ws) V • (Aq N' : D(x, ws) — pf Ci) + pF = 0 ,
где
в = m — (< > 0.
L Aq
Два последних уравнения можно привести к виду
V' ((Ao Nj + Ci 0 C) : D(x, Ws^ + pF = 0 .
Теперь необходимо показать, что тензор N3 записанный в форме
N3 = Aq Nj + Ci 0 C
(92)
(93)
является симметричным и положительно определенным.
Используя макроскопическое уравнение неразрывности (84) для жидкой компоненты, перепишем микро- и макроскопические уравнения баланса моментов (86) и (87) как
Vy
/ / c2 c2
((1 — х)(ю(у, U) + ^ (Vy • U)I + f (Vy • u)y,i+
Cl
л (V y A0
,(2- c2
+ D(x, ws)^-±YL) (V- Ws) I)) =0 . (94)
A0
V
2 2
(({1 — m)D(x, Ws) + (D(y, U),,)) + (ДД) (Vy • U)y,I+
(C2 Cfw \ 1
(1 — m) + m\) I (V • Ws) I) + — pF = 0 . (95)
Ao Ao ' ' ' Ao
1
Ao
U =Yy UP(y)Dij + u3<,,(y)(V • Ws)
i,j=1
Подставляя в (94)
60 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЕЯ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
мы приходим к следующим периодическим краевым задачам в Ys\
Vy
,U'W) + Jij + A.V, ■ + f (V, ■ и®0l)) = 0, (96)
A0
Aq
V.
u(q) , U3
) + ()* + AVy ■ U3Q)I + a(Vy ■ U3Q)h,l)) = 0. (97)
Ct (q) _ c
Aq J Aq У 6 Aq
Однозначная разрешимость этих задач при условиях
(u3jV. = (СУ, = о
следует из энергетических тождеств
т тСЛ , т3
: D(y, Uj + A(Vy ■ 00)dy + f
V • U(ij)
\ y U3
Ys
Jy (D(y, U,3>)) : D(y, 00 + A(Vy ■ Uf )2
A-)/ Vy ■ Uf)d^ + (^
+(V, ■U 0dy=0-
Таким образом,
N3 = (1 - m) V Jij 0 Jj + f(1 - m) ^ + m f) I 0 I+
ГтД ' Aq Aq /
ij=1
3 ( c2 _ c2 .
)T>(y,U30V, 0 Jij + (-L—iy^r(V^ U0K,10 Jij+
i,j=1
i,j=1
„2 „2 ,
(C" _ cr \
-LAX) (V ■ U3°V,10 I. (98)
Пусть ( = ((ij) и П = (Vij) _ произвольные симметричные матрицы
Y( =J2 U3ij)(ij, Yn =<T U30j, Y0 = U30) tr ( , YJ = Uf tr n
i,j=1
i,j=1
Тогда
(N3 : 0 : n = (1 - m)( : n + ((1 - m) ^ + mf
A0 A02
/C2 — c2f )
+ (-Y-t) (V ■ Yz)y,H n + (D(y, Yz))Y' : v+
/Cf - C2\
+ (D(y, YQq))Ys : n + ( JLYf) (V ■ YJ)y. tr ( . (99)
A0
2
0
2
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 61
Симметричность тензора N3 в форме
(N3 : <) : п = (N3 : у) : <
следует из равенств
((D(y, Uif) : D(y, U3“> ))y, + (D(y, U^)),, : Jj +
Akl) 13
(hlb
+ T- (Vy • Uj Vy • urV. +
T(hl)\
A0
c2
f(Vy • UfV, (Vy • U^h. = 0, (100)
A0
(D(y, U'q)) : D(y, U<q)))„ + A((Vy • U3Q))2)r. +
A0
„2 „2 .
(-Д'-) (Vy • CV + f ((Vy • UV)2 = 0 , (101)
A0
Aq
((D(y. СД : D(y, U™)),, + (D(y, U30))),, : J«) +
+ Y(Vy • Uj) Vy • U30))y, + f (Vy • U'^y, (Vy • U<0))y, = 0 , (102) A0 Aq
/r2 _ c2 .
(D(y, U0)) : D(y, Uf)))Y, + ( -LYf) (Vy • Uf')Y +
Aq
C2 c2
+ Y(Vy • u30) Vy • U'hl))y. + f (Vy • u30))y, (Vy • UU))Y, , (103)
Aq Aq
которые получаются умножением (96) и (97) на Uhl) и U(0), и интегрированием по частям.
Действительно, перепишем эти соотношения в форме
(D(y, Yz) : D(y, Y,))y, + (D(y, Y,))„ : < +
C2 C2
+ Y (Vy • Yz Vy • Yn)y, + f (Vy • Yz)y, (Vy • Y,)y. = 0 , (104)
Aq Aq
(D(y, YQ) : D(y, Yn,))Y, +-f (Vy • YQ Vy • Y0)y, +
+ (
л \ ' y * n V y A0
C2 - C2
Cs Cf
A0
C2
Cf
Y0)y, tr п + f (Vy • YQ}Y, (Vy • YQy, = 0 , (105)
A0
2
2
62 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЕЯ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
(Щу, Ус) : D(y, YП))Y. + ((D(y, УП))Ys : Z+
+ V- (V, • Yс V, • Y0)y. + — (Vy • Yc)y. (Vy • Y0)y. =0 , (106)
Ao
Ao
/Q1 — c2.
(D(y, YO) : D(y, Y,,))n + ((Vy • Y,)y, tr Z+
Ao
Q2 c?f
+ У (Vy • Y0 Vy • У,)y. + — (Vy • Y0)y, (Vy • Y,,)y. , (107)
Ao Ao
и просуммируем равенства (99) и (104)-(107):
(N3 : Z) : п = (1 - m)Z : п + (D(y, Yz))r, : п + (D(y, Y,,))r, : Z+
+ (D(y, Yz) : D(y, Y„))y. + (D(y, Yo) : D(y, YZ))r, + (D(y, Y^ : Z + + D(y, Yo))y. : п + (Щу, Yz) : D(y, Y°))r. + (D(y, Yo) : D(y, Y„))y, + c2 (
+ у ((1 - m)tiZ U п + (V • yz)y. tr п + (Vy • Yn)Ys trZ+
+ (Vy • Yz Vy • Yn)r. + (Vy • Y°4 Vy • Yo)n + (Vy • Yo)n tr 4+ + (V • Yj)r. ti■< + (Vy • Yz Vy • Y%)r. + (Vy • Yo Vy • Y,,)r.) +
+ — (m2 tr Ztvy - m (Vy • Y z) ys tr п - m (Vy • Y n)r.s tr Z+
Ao V
y *
(Vy • Y z )r. (Vy • Y„)y. + (Vy • Yz )r. (Vy • Уи„)г. - m (Vy • Yz )r,ti;t-
— m
(Vy • YoZr^rC + (Vy • Уz)y. (Vy • YDy. + (Vy • yo)r. (Vy • У„)y.) .
Таким образом,
(N3 : Z) : п = ((D(y, Zz) + Z) : D(y, Zv) + y)^ +
C2
+ ((Vy ' +tr Z)(Vy ■ Zn + tr y^Y. +
Ao
c2
+ — dVy ■ ZZ)ra - mrO ((Vy • Zn)ra - , (108)
Ao
где Zz = У z + У o.
Последнее соотношение показывает симметричность тензора N3 и положительную определенность. В частности, для Z = п
(N3 : Z) : Z = ((D(y, Zz) + Z) : D(y, Zz) + Z))r. +
c2 Q2
+ У ((Vy • Zz Mr Z)2),-, + — ((Vy • Zz)r. - m trZ) ■ (Ю9)
Ao Ao
2
2
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 63
Поэтому,
(N3 : D(t, ws)) : D(x, ws) Д a0 D(x, ws) : D(x, ws), a0
const > 0.
Литература
1. Lukkassen D., Nguetseng G., Wall P. Two-scale convergence // Int. J. Pure and Appl. Math. -2002. - 2, №1. - C.35-86.
2. Meirmanov A. Nguetseng’s two-scale convergence method for filtration and seismic acoustic problems in elastic porous media // Siberian Mathematical Journal. - 2007. - 48. - C.519-538.
3. Meirmanov A. Homogenized models for filtration and for acoustic wave propagation in thermoelastic porous media // Euro. Jnl. of Applied Mathematics. - 2008. - 19. - C.259-284.
4. Meirmanov A. A description of seismic acoustic wave propagation in porous media via homogenization // SIAM J. Math. Anal. - 2008. - 40. - №3. - C. 1272-1289.
5. Meirmanov A. Double porosity models in incompressible poroelastic media // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2010. - 20, №4. - C.635-659.
6. Meirmanov A. Derivation of equations of seismic and acoustic wave propagation and equations of filtration via homogenization of periodic structures // Journal of Mathematical Sciences. -2009. - 163, №2. - C.111-172.
7. Герус А.А., Гриценко C.A. Модель акустики в конфигурации упругое тело - пороупругая среда // Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. - 2014. - №25 (196); Вып.37. - С.68-75.
8. Conca С. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics // Math. Pures et Appl. - 1985. - 64. - C.31-75.
THE ISOTHERMAL ACOUSTICS: CASE LIQUID - POROELASTIC MEDIUM
A.A. Gerus, S.A. Gritsenko Belgorod State University,
Pobedy Str., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]; [email protected]
Abstract. Processes of isothermal acoustics in composite medium with two different components are under consideration. Composite medium consists of liquid and poroelastic medium. Poroelastic medium is filled with a fluid. Solvability of initial-boundary problem in generalized form is investigated. Homogenized models are derived in various cases.
Key words: composite medium, periodic structure, Stokes’ equations, Lame’s equations, acoustics equations, poroelastic, homogenization of periodic structures, two-scale convergence.
