Моданы новые элементы компьютерной оптики Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕМЕНТЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ

М.А. Голуб, И.И. Сисакян, В.А. Сойфер

МОДАНЫ - НОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ

1. Моды когерентного излучения

Концепция направляемых мод или просто мод естественным образом возникает при распространении пучков когерентного излучения в волноводных средах с характерным квантованием значений постоянной распространения. Моды определяются как устойчивые при распространении в волноводной среде световые пучки. Моды не расплываются и не изменяют пространственной структуры в процессе распространения в своей среде, а лишь приобретают фазовый набег, пропорциональный пройденному расстоянию и соответствующей постоянной распространения. В градиентных оптических волокнах фазовый набег приобретается модой непрерывно, а устойчивость мо-довых конфигураций имеет место при любом пройденном модой расстоянии при установившемся режиме [1-7]. В открытых резонаторах под направляемой модой понимается одна из бегущих волн, а сохранение пространственной структуры происходит при распространении моды на один проход [6-10], т.е. от второго зеркала резонатора к первому и обратно, а также на целое число проходов.

Введем декартовы координаты (х, у, г)=(х, г) в волноводной среде. Двумерный вектор х = (х, у) представляет поперечную координату; г дает продольную координату по оси волновода. Монохроматическое или квазимонохроматическое поле в волновой среде будем характеризовать комплексной амплитудой и(х, г) на длине волны Л Направляемым модам соответствует область х£б в поперечном сечении среды. Введем обозначения скалярного произведения

<«,, ы2) = и нормы в 1-2 (О Ни! |«[<ы,

/и, (х)н*(х)<1а

X

(1.1)

где д3х=Ьх6у, * - символ комплексного сопряжения. Квадрат нормы I |и||2 = /|ы(7)1аааТ

(1 .2)

пропорционален световому потоку через область в. Введем также линейный оператор распространения Р : 1.а (6)-1-3 (в) , связывающий комплексные амплитуды в двух сечениях волновода, отстоящих вдоль г на расстояние Т, соответствующее одному проходу (рис. 1), т.е.

Ри-Ы,

где

(1 .3)

(1 .4)

ы(х)=ы(х, г0); Ы(х)=ы(х, г0+Т),

где г„ - координата входного сечения волновода (см. рис. 1). Оператор распро-

л п *

странения на расстояние п0 проходов есть, очевидно, степень Р 0 оператора Р.

Распространение пучков света в противоположном направлении волновода описывает-

Л* *

ся, очевидно, сопряженным оператором Р , который должен коммутировать с Р для удовлетворения принципу обратимости в распространении света:

*.« Л

РР -Р Р=в (1.5)

(* - символ эрмитово сопряженного оператора) .

и ( X )

и(х ' )

Рис. I. Оператор волноводной среды за один проход

Моды ф^(х) волноводной среды не изменяют своей конфигурации при полном проходе и, следовательно, удовлетворяют уравнению на собственные значения

л

где р=(р, I) - двумерный мультииндекс, - комплексное число. Таким образом, направляемые моды есть собственные функции оператора распространения. Обладая математическим свойством нормальности (1.5) и компактности [п], оператор Р имеет комплексные собственные числа у- и счетное множество ортогональных собственных функций мод образующих базис в 1,а(6). Соответствующей нормировкой Ф^ могут быть выбраны ортонормированными

(1.7)

где

брр,=брр,б11' " (1.8) - символ Кронекера.

* п

Коммутирующие с Р операторы Р и Р 0 имеют те же собственные функции ф- и

Р

удовлетворяют уравнениям

р р р

Ь-=(у-р р р

Р^-у^;, (1.9)

р р р

рп°ф-=(у-)п°ф-. (1.10)

* п

с собственными числами у- и (у—) 0 соответственно. Оператор Б (1.5) также ком-

р р

мутирует с Р, имеет вещественные неотрицательные собственные числа

Х-=1у-12, (1.11)

р р

Эф-=Х—ф— (1.12)

р р р

и называется энергетическим оператором. Числа X— (1.11) характеризуют уменьше-

р

ние мощности моды ф- за один проход, числа агду- дают фазовый набег моды за

один проход. В силу (1.9)/ (1.10) уменьшение мощности моды ф— за п. проходов

, 2п р °

равно I у—I а фазовый набег равен п.агду—, что позволяет ввести постоянную

р ° р

распространения В— из уравнения:

поаг9*р=е-п0т, В; = ^згду-. (1.13)

Лишь в модовом состоянии светового пучка физическая величина постоянной распространения имеет определенное значение £5- (1.13), а световой пучок распространяется с определенным значением потерь, не изменяя конфигурации. Поскольку в пассивном волноводе энергия не подводится извне, то

0<Х-<1, (1.14)

а величина

а-=1-X— (1.15)

р р

характеризует потери моды ф-, в том чилсе дифракционные потери при распространении на один проход в волноводе, т.е. долю мощности моды, теряющуюся при распространении. Моду с максимальным X— называют основной и обычно помечают нулевым индексом 0 = (0, 0). Для нее

X—=та хХ—, (1.16)

о ? Р

а потери а-» меньше, чем у других мод.

о _ _

Моды ф—, ф—. , имеющие одинаковые Х-=Х-. при р^р', соответствуют вырожденным р р « р р

собственным числам X— оператора Б. Будем говорить, что мода ф— имеет более высокий порядок, чем мода ф^,, если ее дифракционные потери больше, т.е. а—>а— Потери р-й моды за п0 проходов определяются по формуле

сЛПо)-1-х"° (1.17)

р р

и упорядочены так же, как потери за проход.

При распространении в волноводе ортогональность мод сохраняется, так как (РФ-. ?Ф-,)=(У£Ф-, у-.ф-.^у-уЛ^ф-, ^,> = ,^1*6-,. <1.18)

Интересно отметить, что моды являются единственным набором двумерных базисных функций, сохраняющим ортогональность при распространении. Так, предположив, что некоторый другой ортогональный базис [е—(х)}, <ер/ е~*' ' ' сохраняет ор-

тогональность при распространении, т.е. при выполняются соотношения:

(Ре-, Ре-')=(Р*Ре-, е-,)=С. р р р р

В силу полноты {е-,(Т)} придется заключить, что ~ р

Р Ре—=Х—е—, р р р

т.е. {е-} являются собственными функциями оператора S (1.5). Но тогда а

Р

ер"^р' что Доказывает единственность.

Считая, что оператор распространения в рассматриваемых волноводах обладает математическим свойством компактности или непрерывности [ 11] , получаем, что набор собственных функций ф^ является базисом в l а (G) , т.е. любое поле в волноводе может быть единственным образом разложено по модам

Пусть поле w(T) представлено в виде разложения по модам

и(х)=Еи-ф~(х), x£G, (1.19)

р р р

где в силу ортогональности мод (1.7) модовые коэффициенты определяются интегралом

ы-=(ы, ф-)=/и(х)ф^(х)с12х. (1.20)

Р Р G Р

Набор чисел можно рассматривать как результат прямого модового преоб-

разования над функцией и(х). Этот набор можно назвать спектром мод. Соответственно обратное модовое преобразование ставит в соответствие спектру мод {w^} поле ы(х) (1.19).

Распространяясь на один проход в волноводной среде, "входной" пучок (1.19) согласно (1.6) преобразуется в "выходной" пучок

и(х)=Еи~ф-(х), (1.21)

где

W-=Y-W~. (1.22)

Р Р Р

Соотношение (1.22) позволяет назвать последовательность lY^} передаточной

функцией линейной системы Р при использовании модового базиса {ф-»3. Передаточ-

п0 Р

ная функция за п проходов согласно (1.10) есть {у-» }.

о р

Применяя равенство Парсеваля к ортогональным разложениям (1.19)/ (1.21), получаем:

I I w | |2-£|wH2; I IUI I2=£IW—I2. (1.23)

X р р

р р

Таким образом, световые потоки

Ф=1IwIl2=/lw(x)|2d2x (1.24)

6

Фу=1IWI |2=(Ры, Pu)=(P*Pu, и) = (Su, w) (1.25)

разделяются на независимые световые потоки Iw—I2, |W—I2 или мощности отдельных

Р Р

мод, удовлетворяющие согласно (1.22) уравнению

позволяющему назвать последовательность {Х-»} энергетической передаточной функцией.

Последовательности

у - Щ

(1 .27)

описывают распределение мощности световых пучков w, W по модам. Пучки и(х) и W(х)могут быть также достаточно полно представлены конечным множеством составляющих мод ф^, рек с относительными среднеквадратичными погрешностями Iw-rl2

6о " 1 " -£-Г (1.28)

рек ilui I2

|и-г!а

б2 = 1 - I -£- . (1 .29)

у рек I |Ы||2

8 пассивном волноводе, где нет подвода энергии, выполняется неравенство:

Ф = (Бы, и)£(и, и)=Ф. (1.30)

У

Дифракционные и иные потери за проход в относительных единицах равны: Ф

а - . 1 - и) . (1 .31)

I I « I I

Подставляя (1.19), (1.12) в (1.29), получаем удобную формулу: 1и-| 2

а = Еа--В- , (1 .32)

р

р ' I и I I 2

связывающую потери а пучка и с потерями а— каждой его моды и распределением

р

мощности по модам. При расчете потерь за п0 проходов пучка в волноводе следует

брать вместо а^ в (1.32). Моды высших порядков, для которых

а-=1, 1у-1:0, (1.33)

р р

практически не могут распространяться в волноводной среде. Если же в волновод

будет введено поле и, содержащее моды высших порядков (1,33), то они затухнут,

т.е. обобщенный спектр (Ир) будет в силу (1.26), (1.31) "обрезан" энергетиче-

ской передаточной функцией Х- (1.11). Потерянный на модах высших порядков (1.33)

световой поток дает основной вклад в общие потери (1.32) пучка.

Введем номер р моды самого низшего порядка, содержащейся в пучке и, т.е. о

Л- = та хХ— (1 .34)

р р

0 1ы-1*0 и р

а- < а-. (1.35)

ро р

Величина а (1.30) допускает оценку

а>а~ , (1 .36)

ро

выражающую согласно (1.31) известное экстремальное свойство собственных чисел

л

оператора Б [п]. Поскольку пучок и в формулах (1.31), (1.32), (1.36) берется

произвольным, а а-» - потери моды ф— , то неравенство (1.36) позволяет сформу-

о „ о

лировать замечательное свойство мод как особых конфигурации светового поля,

тесно связанных с волноводной средой: из всех световых пучков, содержащих моды

порядка не ниже, чем р0, наименьшие энергетические потери имеет одна селективно

возбужденная мода ф^ рассматриваемого волновода.

В частности, основная мода волновода имеет минимально возможные в данном

волноводе потери с величиной:

а-= 1 - Х-г. (1.37)

о о

Для минимизации потерь целесообразно стремиться согласно (1.32) сосредоточить мощность вводимого пучка на модах низшего порядка, имеющих наименьшие потери .

Рассмотренные инвариантные и экстремальные свойства мод, как собственных колебаний волноводной среды, делают удобным введение передаточной функции и объясняют широкое использование мод, а не других базисов для описания распространения света.

2. Проблем? селекции мод когерентного излучения

В этом разделе рассмотрим моды с точки зрения оптики.

Модовая структура когерентных полей характерна для различных волноводов, в том числе для пассивных и активных резонаторов лазеров, линзоподобных сред, волоконных световодов, которые иногда обобщенно называют волноводными средами [7]. Накопленный в оптике и квантовой электронике опыт говорит о том, что наблюдаются определенные совокупности или группы мод в различных "смесях" [12], с различным распределением мощности по модам. Возникает принципиальный для оптики вопрос: существуют ли моды физически по отдельности, либо они являются лишь плодом абстракции, т.е. одним из множества ортогональных математических базисов для представления многомодовых пучков когерентного излучения? В свое время такой же вопрос обсуждался по отношению к временному спектру цветов: существуют ли физически монохроматические составляющие света или они являются лишь удобной математической формой представления световых колебаний разложением по синусоидальным гармоникам. С современной точки зрения правомерен такой ответ: монохроматические гармоники существуют, так как:

A. - они распространяются в свободном пространстве, не размываясь по спектру и не теряя своей длины волны;

B. - имеются спектральные приборы, позволяющие селектировать, возбуждать, наблюдать и измерять их в виде спектра цветов.

Свойство 9. реализуется спектрографами, выполняющими спектральный анализ света, монохроматорами, светофильтрами и лазерными источниками, позволяющими выполнить спектральный синтез, т.е. селективно возбуждать отдельные монохроматические составляющие или их требуемые группы. Таким образом, физически существуют эталоны спектров цветов.

Работу классических спектральных гриборов можно интерпретировать и как разложение световых пучков на плоские (после решетки, призмы) или сферические (после линзы) гучки разного наклона, являющиеся модами в свободном пространстве, нумеруемыми параметрами наклона, аналогичными "поперечным" модовым индексам, и частотой излучения, т.е. "продольным" модовым индексом. При распространении в свободном пространстве плоские и сферические волны не размываются, не теряют своей индивидуальной Формы, а лишь приобретают фазовый набег. Как известно, разложения по плоским волнам порождают понятие пространственного спектра [13. и].

Моды когерентного излучения можно рассматривать как "обобщенные спектральные" компоненты, поскольку аналогично свойству А. обычного спектра они распространяются в своей волноводной среде, не расплываясь по пространству и не теряя своей индивидуальной формы, а лишь приобретая фазовый набег. Решение же проблемы физического существования мод мы предлагаем полностью связывать с возможностью создания приборов, формирующих эталоны модовых пучков, и приборов, измеряющих модовый состав имеющихся многомодовых пучков. Такие приборы смогут осуществить индивидуальное возбуждение, измерение и обнаружение мод когерентного излучения .

Классические спектральные приборы содержат сильно диспергирующий оптический элемент в виде призмы или дифракционной решегки, позволяющей разделить сеет на спектральные составляющие, выполняя спектральный анализ. Существенно, что клас-

сическому оптическому элементу - призме в спектральном анализе можно сопоставить дифракционный оптический элемент - эшеллетную решетку, являющуюся фактически "киноформом" [15] призмы с аналогичными или даже лучшими функциональными возможностями, чем сама призма.

Для разделения мод резонаторов и волоконных световодов, т.е. решения задачи спектрального анализа по модам, неизвестен какой-либо классический элемент. Неизвестны также классические оптические элементы, позволяющие сформировать эталоны отдельных мод и требуемых групп мод когерентного излучения.

В силу этого представляется особенно актуальным создание моданов - дифракционных оптических элементов, селектирующих моды когерентного излучения. Моданы должны также обеспечивать спектральный синтез, возбуждая пучки, содержащие требуемые моды, т.е. имеющие требуемый модовый состав по мощности мод и их фазовым сдвигам. Первые такие оптические элементы - диафрагма, решетки Литтроу - используются для в нутрирезонаторной селекции мод [II, 7]. Однако они хорошо селектируют лишь основную моду или "продольные" моды, являющиеся фактически монохроматическими составляющими обычного цветового спектрального разложения. Внерезонатор-ная селекция некоторых типов мод лазерного излучения может производиться высокоразрешающим спектральным прибором с дифракционной решеткой с использованием различия продольных индексов мод, определяющих длину волны. Однако вырожденные по длине волны модовые конфигурации не будут разделены с помощью обычных спектральных приборов. В волоконных световодах все моды могут быть монохроматическими, т.е. вообще не разделяемыми е классических спектральных приборах.

Значительно более гибким и эффективным путем селекции мод является использование существенных различий структуры в сечении мод различных порядков. Классические оптические элементы для этих целей не изготовлялись.

Основная мода иногда хорошо селектируется обычной диафрагмой, но со значительными потерями мощности. Для селекции мод более высокого порядка предлагались сложные диафрагмы в сочетании с газовыми линзами ['6] , довольно трудоемкими а изготовлении.

Некоторое влияние на возбуждение мод в оптических волокнах оказывают состыковка волокон и микроизгибы волокна [17-20]. Однако такие методы имеют ограниченную селективность и возбуждают сразу группы мод.

Предлагались также цифровые методы исследования комплексной амплитуды или интенсивности многомодового пучка в ближней или дальней зоне [21-2'«], требующие высококачественного сканирования, оцифровки и трудоемкой цифровой обработки дифракционных изображений. В упомянутых цифровых методах эталон моды задается фактически в цифровом виде в недрах компьютера.

Заманчиво было бы изъять этот цифровой эталон и превратить его в физический объект в виде оптического элемента, синтезируемого с помощью ЭВМ методами компьютерной оптики [25-29] и цифровой голографии [30]. Соответствующие элементы компьютерной оптики (ЭК0) - моданы - осуществляют непосредственную связь математической концепции мод с реальными оптическими системами, позволяя компьютеру непосредственно участвовать в работе оптической системы. Моданы рассчитываются вначале на компьютере путем решения уравнения на собственные значения (1.6), введения моделей требуемого модового пучка, а также комплексной и кодированной функции пропускания. Далее генерируются фотошаблоны моданов по подготовленным цифровым данным и производится перенос информации с фотошаблонов на

фазовую регистрирующую среду в виде отражающего или пропускающего дифракциоммо-го микрорельефа.

Фактически моданы представляют собой дифракционные оптические элементы, имеющие аналогии с дифракционными решетками, но позволяющие разделять излучение не по длинам волн, т.е. "продольным" модам, а по "поперечным" модам волновод-ной среды. В то время как обычной дифракционной решетке соответствует изготовляемая по традиционной оптической технологии призма, с моданом не представляется возможным сопоставить какой-либо известный оптический элемент. Моданы обеспечивают возможность создания принципиально новых оптических приборов для анализа и формирования модового состава световых пучков.

Первые оптические элементы для анализа и формирования поперечно-модового состава излучения созданы авторами в 1982 г. [31, 32] в виде амплитудных пространственных фильтров и топографических фильтров и успешно экспериментально тестированы в 1983, 198^ г. и позднее [33"37] . В 1983-1981» гг. опубликованы работы и других исследователей [38], в которых метод ячеек Ломана, известный в цифровой голографии, применен для создания модовых пространственных фильтров. В последнее время нами разработаны фазовые моданы [37], имеющие повышенную энергетическую эффективность и многоканальный характер работы, позволяющий сформировать одновременно несколько модовых пучков.

Резюмируя проблемы селекции мод, можно сгруппировать их по трем основным задачам:

- модовый анализ, т.е. разделение многомодового светового пучка на отдельные модовые составляющие с наблюдением образов отдельных групп мод и измерением распределения мощности по модам, межмодовых фазовых сдвигов (рис. 2);

- модовое формирование (синтез), т.е. возбуждение эталонов, требуемых мод или многомодовых пучков с требуемым распределением мощности и фаз по модам (рис. 3);

- модовая фильтрация на основе модовых обобщенно-спектральных преобразований (см. рис. 1).

При модовом анализе ставится задача изучения лишь некоторых, может быть одного модового коэффициента исследуемого поля (см. рис. 2), т.е. измерение не является полным по обобщенному спектральному составу, хотя может быть полным по отношению к какой-либо иной физической величине, скажем, параметру профиля показателя преломления в градиентном волокне или параметру взаимной тестировки зеркал резонатора.

и

Рис. 2. Модовый анализ

Рис. 3. Модовый синтез

Полное измерение поля по представительному набору его модовых коэффициентов, т.е. обобщенный спектральный анализ, есть прямое модовое преобразование,

т.е. переход поля в сечении пучка (1.19) к модовым коэффициентам (1.20), упорядоченным, пространственно разделенным и отображаемым комплексной амплитудой в соответствующих точках выходной плоскости (рис. '(). При этом набор измеряемых модовых коэффициентов р€К} должен быть полным для описания поля и(х), на-

пример, в смысле точности аппроксимации:

ы(х)= £ ы-ф-(х) (2.1)

рек Р Р

по критерию относительной погрешности б2 (1.28). Отметим, что величина ба существенно зависит от распределения мощности по модам

в анализируемом пучке к(х) (1.19).

Рис. Ц . Оптический каскад прямого модового преобразования

При модовом синтезе также ставится задача возбуждения лишь отдельных мод, в частности одной моды (см. рис. 3). Наоборот , осуществление модового преобразования (обратного), т.е. возбуждение поля У(х) (1.21) по заданному набору коэффициентов {Ы~, рСК) предполагает возбуждение такого полного набора мод (ф-г, р£К} ,

р р

что результат суперпозиции мод

Е У-ф-(х)ГЦ|(х) (2.2)

РСК Р Р

аппроксимировал бы поле И(х) по критерию б2 (1.29).

Задача модового формирования может быть решена в Фурье-каскаде с моданом М2

на выходе (рис. 5)* имеющим функцию пропускания, соответствующую требуемой труп

пе мод ф—.

р

Здесь многоканальный модан моделирует Фурье - голограмму матрицы мод и позволяет селективно возбуждать параллельно несколько волноводов или подключать один волновод к любому из каналов модана.

Задача модового анализа параллельно пс нескольким модам или группам мод может быть решена в оптической системе Фурье-каскада (см. рис. 4). Содержащийся

Рис. 5- Оптический каскад обратного модового преобразования

, *

на ее входе модан М, согласован с сопряженными модами ф- и формирует параллельно набор модовых пучков, разделяющихся по углам вблизи плоскости М1 и по координатам в Фурье - сопряженной плоскости , Vy) . Для разделения поперечных мод может использоваться соотношение ортогональности мод (1.7). Пропуская поле ы(х) (1.19) через транспарант с комплексным пропусканием ф-(х), получим поле

к(х)ф^(х)=£ и-,Ф-,(х)ф^(х). (2.3)

р р р р

В силу (1.7) взаимодействие мод происходит так, что при интегрировании комплексной амплитуды (2.3)в точке V»!) Фу р ь е - плос кости получим значение поля:

/ы(х)ф^(х)с12х = и-. (2.4)

р р

Задача модовой фильтрации может быть решена в двухкаскадной системе, содержащей каскады прямого и обратного модового преобразований (рис. 6). Общая плоскость выхода прямого и входа обратного модовых преобразований аналогична Фурье-плоскости когерентно-оптического коррелятора и может быть названа по аналогии модовой плоскостью. Каждая точка модовой плоскости, расположенная на дискретной сетке р€К, соответствует одной моде. При установке в модовую плоскость транспаранта с функцией комплексного пропускания ДГ(\>) модовые коэффициенты ы— входного поля м(х) преобразуются в модовые коэффициенты и— выход-р 0

ного поля Ы(х) в соответствии с уравнением

где

у- = йГ(^р)). (2.6)

Построение оптических каскадов, реализующих прямое или обратное модовое преобразование, является сложной задачей даже при использовании методов компьютерной оптики в синтезе необходимых комплексных пространственных фильтров. Однако для ряда частных случаев можно сразу предложить оптические схемы. Так, для тригонометрических модовых Функций плоскопараллельного резонатора [А] модовый анализ осуществляется каскадом прямого преобразования Фурье, а модовый синтез -каскадом обратного преобразования Фурье, отличающимся от прямого лишь противоположным направлением осей координат в выходной плоскости. Задача модовой фильтрации решается для этого случая в обычном корреляторе, состоящем из прямого и обратного Фурье-каскадов. Каждой тригонометрической моде соответствует одна из

X

X '

точек в Фурье-плоскости, расположенная на прямоугольной сетке с постоянным шагом .

Возникает естественный вопрос: является преобразование Фурье уникальным или же имеются и другие каскады оптических модовых преобразователей?

В разделе 11 мы приведем важный пример бесселевых мод, имеющих каскады прямого и обратного модового преобразования для пучков, имеющих априорно известный тип аксиальной симметрии, в частности, для радикально-симметричных пучков

[39, 40].

В случае произвольных модовых функций не удается столь просто определить оптическую схему для прямого и обратного модового преобразований. Однако здесь можно использовать каскад модового анализа с кратными несущими частотами для прямого преобразования и аналогичный каскад модового формирования для обратного преобразования. При этом нетрудно видеть наличие энергетических потерь, так как используемый многоканальный модан обеспечивает суммирование (1.21) в каждом из своих каналов с соответствующим разделением светового потока на части.

Таким образом, для решения задач модового анализа, формирования и преобразования требуется рассчитать многоканальный модан, формирующий заданные группы мод в каждом из каналов из имеющегося освещающего пучка.

Простейший, но практически неудобный подход состоит в создании набора сменных одноканальных моданов по числу каналов. Проблема сочетания нескольких каналов в одном "многоканальном" модане решается разработкой методов разделения каналов. В разделах 4, 5 данной работы исследуется угловое разделение каналов, являющееся с точки зрения компьютерной оптики моделированием на компьютере голограмм с многократной экспозицией или голограмм матрицы объектов.

3, Проблемы возмущений и дискретизации моданов

Рассчитанный на нужное модоеое преобразование модан характеризуется непрерывной функцией комплексного пропускания. При реализации модана в виде оптического элемента по технологии компьютерной оптики возникают различные возмущения функции комплексного пропускания, вызванные ее кодированием в фазовую форму, дискретизацией при компьютерных расчетах, жестко заданной формой растрового пятна генератора фотошаблонов, а также многочисленными погрешностями технологии

формирования дифракционного микрорельефа. Таким образом, вместо кодированной функции пропускания модана Г(х) реализуется возмущенная функция пропускания

Г(х)=[>Г(х), (3-1)

А

где 0 - оператор, описывающий вышеперечисленные возмущения.

8 результате возмущений функции комплексного пропускания модана в к-ом канале вместо мод ф-(х) возбуждаются близкие к ним "возмущенные" базисные функции

(Г) .. р .

(х), которые будем интерпретировать как результат воздействия возмущении

Ь^к)(х)=сДк)(^)-ф-(х) (3.2)

р р Р

на ортонормированные модовые функции Ф^(х) (рис. 7, 8). Возмущения удобно характеризовать матричными элементами

„ ( к) ,.(к)*,-.. ,-ч.2~ , и < к) . .* Н —».»/Ь— (х)ф—. (х)с) х = (п— , ф».) рр' г Р Р Р Р

(3.3)

рр

(к)*,-, I—

Р

х = (п-> р

V )

(к)

Возмущенные функции ф-* связаны

-Р

Ф£к)<7)=ф.<7> +

с ортонормированными модами формулой

(3.4) (3-5)

Су м-

однако уже становятся неортогональными и содержат смесь ортогональных мод

мирование в (3.5) осуществляется по всем целым значениям р'. Таким образом, возмущения приводят к снижению селективных свойств моданов, оцениваемому ниже

—(1Г)

в разделе 6, и следует^ отметить, что из-за различия несущих V в каналах па-(?) (к) (к)

раметры возмущения , Н , Ч могут быть различными по каналам.

Всегда присутствующим и не устранимым до конца является один из типов возмущений, обусл.овленный дискретной структурой синтезированных по компьютерной технологии моданов. В рамках модели дискретной структуры область в плоскости х=(х, у), занимаемая моданом, разбивается на непересекающиеся ячейки разрешения 6-г, нумеруемые парой индексов С;,, )=1, так что условие х£6 соотвутствует 3 » где J - множество двумерных индексов, т.е.

и 6Т=6; 6ТП6Т,=0, Т'"Т. (3.6)

7eJ -1 1 1

Рис. 7. Кусочная аппроксимация при дискретизации

функции

Рис. 8. Возмущение модовой функции при дискретизации

Каждая ячейка соответствует положению пятна сканирующего устройства генерации фотошаблонов. Форма пятна описывается функциями ху(х)* Т^Л• Однородное растровое пятно порождает

Х|(х)=х(П(х-хт) ) , (3.7)

где х(") " Функция формы пятна в нормированных координатах,

Х(0)=1, (3.8)

х-г - центр ячейки в-г, Я - матрица пространственных частот, собственные числа которой обратны шагам дискретизации. В частности, при использовании растрового генератора фотошаблонов с равномерным прямоугольным пятном размером б1*62 и полем 2а*2Ь (рис. 9) можно пользоваться более конкретной моделью, в которой:

6=[-а, а]*[-Ь, Ь], (3.9)

(3.10)

где числа х венно и

. , х. образуют арифметическую прогрессию с шагом 6., 6, соответст-

' 1 ' 3.

б, б1 ба

^[х; - Г-' Х1 + - —' Х] + И

1 ' 1 1 2 '2

(3.11)

х - символ прямого произведения множеств,

6.

й

О

_1_

б,

(3.12)

6т

/

?

Рис. 9- Ортогональный растр дискретизации модана в рабочей области й

Х(Т)=гесК11)гес1(12), 7=а,, 12), (3.13)

и.

гесК^) = л ,

2 (З.К)

О, I г, I >-1,

Х|(х) =

I1' Х£6Т (3.15)

Iо, хёс-г .

При этом в пределах области й имеется возможных позиций пятна, где:

N1б1=2а; М262 = 2Ь. (3.16)

Дискретизация функции Г(х), хЕв характеризуется линейным оператором 0 вида Г(х)50Г(х)= ЕГ(*т)х-|'(*), (3.17)

Те 0 1 1

заменяющим непрерывную функцию Г(х) , 7 в матрицей ее отсчетов Г(х-г) на сетке )Г-»еб с последующей интерполяцией пятном с формой ху(х)-

Определим возмущенные базисные функции при дискретизации по удобной в даль-

нейшем формуле:

_ Лф~(х)

(к) — — * <р— (х) =ехр(-1 2тп>х) Е( х) Р Р

ехрП 2тгчх)

(3.18)

Е ( х ) хбб,

где пространственная частота V зависит от номера канала к. Функции (3.18) являются кусочными функциями, имеющими различные параметры в различных ячейках разрешения 6-г, Т^ • Полагая для медленно меняющегося освещающего пучка

Е(х)£Е(х-г), хСв-г, ^ У

получаем из (3.17), (3.18):

(]<) — ^ ^ ^ Ф- (х) = ехр [ — 1 2тс\> ] ф— (?■*■) ; "хСбу. (3.19)

В силу малости 6Л, ба модовая функция Ф-(х) может быть представлена в каждой ячейке в-г разложением в ряд Тейлора до линейных членов

ф£(х)«ф-(х-г)+(?-7-г)Уф£(х^); Тббу, (3.20)

Эх Эу

Подставляя (3.19), (3.20) в (3.2), получаем представление для функций возмущений

(£) _

Ьр {ехр[-12^(х-х-г)]-1}-(;-х|)Уф-(х^), Те.) . (3.21)

Представление (3.21) позволят оценить матричные элементы возмущений дискретизации (3.3), (3.4):

нЙ'"'Ь£(*)фР,(*)<1а*%Е 1 . (3.22)

1

Подставим (3.21), (3.20) в (3.3) и учтем соотношения

I <7-^**7.0, (3>23)

)

б,5, б б3 / (х-х. )2б27 - ■ 1 / (у_„ )2наТ - 12

е^ ), '2 ' } а х ■ ~ТГ' (3.24)

6-г ]

/{exp[i2nv(T-T-!-)]-l}dax=-6162[l-sinc(l-)sinc(- )], (3.25)

CT J Ñv

I (x-x-r) {exp[i2iiv(x-x-r)]-1}d2T=i6162n-1T(Nv/ Nv) , (3.26)

G-r J 1

J

где

?<ы , Ñ ) = (;o<gv, Ñv)\ V v \F0(Nv/ Nv>/ '

(3.27)

sinc(-¿—) - COs(2—)

v----

(3.29)

, . sin(rit) (3 30)

sinc(t) = ---. U,3U'

nt

Величины Nv, Ñv показывают, сколько элементов разрешения б,, б2 укладывается на периоде несущей по осям х, у соответственно. С использованием (3.22)-(3.30) полу чаем:

HÜi^=6 6 2 {-ф*(х-г)ф~, (x-r) [l-sinc(i-)sinc(4-)] + РР' i P J Р' ) V Nv

63+63

+ i ф-«( х-г) Уф—, ( x-r) С1-1 í ( Nv, Ñ ) -Уф-(1<-г) Уф—, (7-у) а) . (3.31)

PJPJ vv pjpjlZ

Аппроксимируя интегральную сумму (3.31) интегралом, учитывая ортонормирован-

ность функций ф—, получаем: Р

— 6a ба

Н^5, ------ /Уф|(х)Уф£, (7)dax - [1 -s i nc(I-) si пс (4—) ] +

+ iQ-1?(N,,, Ñ )/ф^(7)Уф-,(x)dax. (3.32)

(l<)

Для вычисления матричных элементов Q—-, (3.4), (3.2) представим их в виде:

^ „ РР

„(к) -(к) . u(к) „(к)* ,, Q—,=Q—. - 6—, - Н— - Н—., (3.33)

РР РР РР РР РР

где __

QÜ),-/<í^k)*(7)V*l;>(7)d3í. (3.34)

РР G Р р'

В силу_(3.19)

- (IT) * -» ..

=6,6, 2 ф—(хт)ф—, (x-r) . (3.35)

РР 1 afeJ Р ] P' 1

В то же время условие ортонормированности модовых функций (1.7) с учетом (3.20), (3.23), (3.24) принимает вид:

6ро,=/ф£(*)фп'(*)d2*= 2 f Ф^(х)ф-,(х)dax=

с р Jej G- р р

j

6а+6а

= (3.36)

Подставляя (3.35), (3.36) в (3.33) и аппроксимируя сумму интегралом, получаем:

(?) (1Г) 6а+6а

- -ТГ^ (3.37)

G

а в силу (3.32)

(3.38)

В частности

Р РР 12 с Р "V ^

(3.39)

Формулы (3.32), (3.38), (3.39) позволяют оценивать матричные элементы возмущений, встречающиеся при изучении дискретизации.

Предложенные в работах [31-37] оптические элементы для анализа и формирования поперечно-модового состава когерентного света - моданы - позволяют селективно работать лишь с одной наперед заданной модой или группой мод, т.е. являются одноканальными. В то же время рассмотренные в разделе 2 задачи селекции мод приводят к необходимости создания многоканального модана, т.е. оптического элемента, разветвляющего освещающий его световой пучок на Мс каналов и позволяющего селективно возбуждать или анализировать несколько мод или групп мод параллельно и одномоментно. Многоканальные моданы эффективны в таких задачах волоконной и лазерной оптики, как анализ модового состава параллельно по нескольким группам мод (рис. 10), селективное возбуждение различных групп мод волокна с переключением их дефлектором (рис. 11) или параллельным вводом излучения в набор волокон (рис. 12), разветвление излучения волокна с селекцией мод (рис. 13)/ смешение с преобразованием модового состава (рис. 1^).

Работа всех представленных оптических схем базируется на эффекте углового разделения нескольких модовых пучков света, выходящих из многоканального модана. Таким образом, синтезированные с помощью ЭВМ многоканальные моданы должны быть аналогами голограмм с многократной экспозицией или голограмм матрицы объектов, в то время как моданы [37] - аналоги обычной голограммы.

Многоканальные моданы могут быть получены из ранее синтезированных обычных моданов путем совмещения каналов методами оптической голографии и интерферометрии. Такие моданы назовем оптико-цифровыми. Так, изготавливая набор моданов

4, Многоканальные моданы

м

Рис. 10. Оптическая схема многоканального анализа поперечно-модового состава в волоконных световодах

м о

Рис. 11. Оптическая схема селективного возбуждения волокна с переключением

м l

Рис. 12. Оптическая схема параллельного возбуждения набора волокон различным модовым составом

в виде синтезированных голограмм групп мод с одинаковой небольшой (~10 линий/мм) несущей пространственной частотой и помещая их последовательно в оптическую схе му переналожения несущей пространственной частоты [*<3] с соответствующими после довательными положениями опорного источника, можно получить тонкую голограмму. Голографирование во встречных пучках 45] позволяет аналогично получить оп-

тико-цифровой многоканальный модан в виде объемной голограммы с высокой дифракционной эффективностью. В [30] дан обзор также и других методов получения гибридных оптико-цифровых голограмм.

Использование оптико-цифровых голограмм позволяет существенно снизить требования к разрешению устройств регистрации фотошаблонов, используемых в компьютерной оптике. Однако процесс получения многоканального модана становится сложным и многоступенчатым. Целесообразно ввести этап моделирования многократной экспозиции непосредственно в алгоритм компьютерной оптики.

Введем нумерацию каналов двойным индексом к, пробегающим множество К, содержащее N с = IКI пар индексов. (IKI обозначает число элементов в конечном множестве К). В каждом канале требуется селективно сформировать одну моду или, более обще, группу мод {ф—, p£L } с индексами из множества Задается относитель

ное направление распространения в канале с помощью двумерного вектора несущей пространственной частоты v^', k£K. Задается доля светового потока к^^, kGK, которую нужно направить в каждый канал,

Z к(к=1, (4.1)

кек

а также межканальные фазовые сдвиги а , к£К. Для каждого канала задан требу-

(к) с(к) емыи модовыи состав, т.е. набор е коэффициентов £— при модовых функциях

Рис. 13. Оптическая схема разветвления волокна с селекцией ответвляемых мод

Рис. I1». Оптическая схема взвешенного смешения излучения набора волокон

в пучке к-го канала:

;еи(к)>, <Гек.

Коэффициенты (4.2) задают распределение мощности по модам:

(4.2)

- ( к ) -, реи4 , кек

(4.3)

реи м

и межмодовые фазовые сдвиги:

згд^к>, £еи(к\ кек.

Модан м будем считать тонким оптическим элементом, расположенным на плоскости (рис. 15)/ в которой введены двумерные декартовы координаты (х, у)=х. Де-картову ось г проведем из центра 0 модана в сторону распространения света. Модо-вые преобразования осуществляются в области хС6. Освещающий пучок создает непосредственно перед плоскостью модана М комплексную амплитуду Е(х). Задачей модана является создание непосредственно за плоскостью М другого распределения комплексной амплитуды I(х), соответствующего одновременному появлению Ис многоходовых световых пучков „ Лк)

5 (х)хео; кек, реи р р

(4.4)

—(к) /(к) (к) наложенных на несущие V с заданными амплитудами \/к и фазами а . Требуемый световой пучок_^на выходе модана записывается в виде суперпозиции:

— (к 1 — -

1<Т>- г ..(к)Е (х) г., ~(к)~,

кек ехр[12™ х]

11Е(к) 11

(4.5)

Е ( х )

N0 пучков (4.4), идущих в разных направлениях, характеризуемых единичными векторами

Канал (1,0)

-(к) ,,-(к) N = (Xv

Л-х2[С(к)]2),

где

(к)

, (к) г. (к)т

/и е х р [ 1 a J .

(4.6)

(4.7)

Канал (-1,0)

Рис. 15. Работа многоканального модана с угловым разделением каналов

Е(х)

T(x)=ct(x), c=const.

Заметим, что при разделении всех каналов пучок t(x) имеет единичный световой поток ||tll2«l.

Требуемая функция пропускания модана

Т(х)=|Т(х)Iexp[i®(x)], xCG, (4.8)

|Т(х)|<1, и-9)

соответствующая пучкам t(x) и Е(х), удовлетворяет уравнению

(4.10)

I IEI

Константа с согласно (4.9) определяется из соотношения t(x)

-ma х XÊG

Е(х)/| I El I

Веря квадраты норм обеих частей (4.10), получаем: .2 II ETI |2

(4.11)

(4.12)

НЕМ3

т.е. с3 дает интегральное поглощение при комплексной функции пропускания Т(х). Поскольку пучки Е(х) и t(x) являются амплитудно-фазовыми, то Т(х) является в общем случае комплексной.

Реализация комплексной функции пропускания является сложной задачей и обычно решается путем применения одного из методов кодирования комплексной величины Т(х) в чисто фазовую или чисто амплитудную кодированную функцию пропускания Г(х), |Г(х)|<1. Не останавливаясь здесь на известных в цифровой голографии методах кодирования [46, 47], отметим лишь, что их общим свойством является возможность представления кодированной функции г(х) суммой

Г(х)=Г (7)+ДГ(х) ' (4.13)

п

вспомогательной составляющей ДГ(х) и рабочей составляющей вида

Г (x)=g T(x)exp(i2nv„x), (4.14)

n J П п

разделяющихся между собой. Константа gn отражает специфику метода кодирования.

Величина несущей пространственной частоты vn характеризует направление рабочего порядка, при получим нулевой дифракционный порядок. Заметим, что по входному Е(х) и требуемому выходному t(x) пучкам в плоскости модана строятся две функции пропускания: требуемая комплексная Т(х) и кодированная Г(х).

При освещении модана Г(х) пучком Е(х) в рабочем дифракционном порядке восстанавливается световое поле

Yn(x)=E(x)rn(x)=gnE(x)T(x)exp(i2rcvnx), (4.15)

а в других дифракционных порядках появляются вспомогательные элементы, формируемые составляющей ДГ(х).

При выполнении уравнения (4.10) получаем, что в рабочем порядке многоканального модана восстанавливается пучок с комплексной амплитудой

уп(х) = | |Е| |дпс1(Т)ехр(т2пСпх). (4.16)

Запись (4.16), (4.5) в форме

V (х) = | |Е| |д с £ ехР[12п^)х], С4.17)

"кек ,,|<к>м

где

-(к) - -(к) (4 18)

V , 4 4 • °

п п '

позволяет заклочить, что каждый канал на выходе модана с п-ым рабочим дифракционным порядком имеет определенное направление, характеризуемое вектором про--(!<)

странственных частот V (4.18) и единичным трехмерным вектором

п

/-Х2[С<к)]2). (4.19)

-»(!<) —

Система векторов N , кек повернута как целое по отношению к требуемым -(к) п

векторам каналов N (4.6).

Назовем энергетической эффективностью долю ИуИ2

Еп=_Л_, (4.20)

НЕМ2

которую световой поток МупМ2 в п-ом рабочем порядке составляет по отношению к световому потоку ||Е||2 освещающего пучка. Из уравнения (4.16) получаем:

еп=д2с2ИШ2. (4.21)

Согласно (4.5), (4.7)

, а_ ^ (к) /(к) (к') г. (к) . (к')-,

I = Е х + £ Ун к ехр[та -та

кек. к*к'

---!--- /Е(к>(х)^(к')*(х)ехр[12тг(<;<к)-С(1Г')х]С)2х. (4.22)

,|£(к) , , ! |^(к')|| 6

^Для того, чтобы перекрестные интегралы были пренебрежимо малы, период .—(к) -(к')

IV I осциллирующего множителя должен быть мал по сравнению с мини-

йГ} - йГп

мальным расстоянием Д1 между нулями функции £ <х), £ (х), к£К, к'СК, т.е. по сравнению с расстоянием Д1, на котором пучки каналов, а значит и их моды заметно меняются. Таким образом, при выполнении условия разделения всех каналов

М-гИп |С(к)-7(к,) |»1 (4 23)

к*К ' к£К,к'СК

получаем:

1Ш|а= £ Ч(к).1

кек

(4.24)

с- - V 2 2

кек "9п ' (4-25)

где

(к) а , (к)

Еп ^пс * (4.26)

доля светового потока освещающего пучка, идущая в к-ый канал. При выполнении условия _«х)

Е(Х)/||Е|| (4.27)

модан вырождается в периодическую структуру типа дифракционной решетки, соответствующей выбранному методу кодирования, а согласно (4.11), (4.27) с = 1,

и, следовательно, величина

еп ,=д2 (4.28)

дает энергетическую эффективность дифракционной решетки в п-ом порядке. Таким образом, из (4.12), (4.23) следует, что при условии (4.23) разделения каналов энергетическая эффективность модана равна произведению эффективности соответствующей решетки на интегральное поглощение незакодированной комплексной функции пропускания. Отсюда можно также сделать вывод, что соотношение эффектив-ностей моданов с различными способами кодирования такое же, как у соответствующих дифракционных решеток. В частности, фазовые моданы дадут тот же выигрыш в энергии по сравнению с амплитудными в первом дифракционном порядке, что обеспечивают фазовые решетки относительно амплитудных.

Для фазовой синусоидальной дифракционной решетки дифракционная эффективность в п-ом порядке, как известно, дается формулой [48]

д2 = и2(^6), (4.29)

где .1п - функция Бесселя целого 'порядка, Фтах " максимальный набег фаз на штрихе решетки, & - глубина модуляции, &б[0,1]. Для амплитудной синусоидальной дифракционной решетки п-1,

где ДА - ширина интервала используемого амплитудного пропускания, ДАЕ[0,1];

За - глубина модуляции, 0ае[О,1].

Поскольку энергетическая эффективность пропорциональна с2, то целесообразно

(к)

подобрать межканальные фазы а так, чтобы с—тах, т.е.

{аСк)Дек}

Г ( X )

Е(х)/ I I Е1 I

(4.31)

(к) -

Практически следует выбирать а , к£К так, чтобы моды, имеющие близкие амплитуды в некоторых точках, вычитались, а не складывались между собой.

Сформулированная обобщенная постановка включает, в частности, задачу селективного возбуждения одной изолированной моды в каждом канале, т.е. построения одномодового многоканального модана. В силу взаимооднозначного соответствия между модами и каналами коэффициенты модового состава имеют вид

(4.32)

и можно использовать в качестве номера канала номер р той моды Ф—, которая в

р

нем присутствует. Множество I. состоит из одного индекса р. Индекс р пробегает множество К, состоящее из N номеров мод. Распределение мощности и фаз по

(р) (р) „

модам в разных каналах задается соответственно величинами к , а , рСК. В

каждбм канале формируется одномодовый пучок

Е(р)(7)=ф-(х), ||£Ср)||=1. (4.33) Р

Требуемый световой пучок на выходе одномодового модана записывается в виде:

I (х) = 2 и(р)ф-(х)ехр[12т™Ср>х] , (4.34)

рек р

/P^ü.xptia1^]. U-35)

5. Метод производящих функций в создании моданов

Создание моданов, формирующих группы мод и (или) несколько каналов, существенно затрудняется операциями суммирования вида (4.4), (4.5) соответственно, особенно при большом числе каналов или значительном числе мод в каждом канале. Кроме того, суммирование с близкими фазами может привести к скачкообразному росту значений функции пропускания Т модана в отдельных точках, что слишком расширяет диапазон вариации амплитудного пропускания и согласно (4.11), (4.25) ведет к снижению энергетической эффективности.

Удобные методы суммирования, обеспечивающие гладкие комплексные функции пропускания моданов при большом числе каналов и мод, дают производящие функции.

Назовем производящей для набора мод ф-(х) аналитическую функцию комплексных переменных Г|/ заданную разложением в ряд Тейлора

П(х, л)=£тг-ф-(х)£РП1 (5.1)

р р

с неотрицательными значениями индексов (р, 1)=р. В силу ортонормированности мод

ф— из (5.1) получаем соотношение Р

/П(х, п)Ф^(х)<13х=п-СРП1 (5-2)

6

и равенство Парсеваля

11П1 |3Н/|П(7, с, п) 12а21Г=г|тг-|31С12Р|п121. (5.3)

6 р Р

Выберем комплексные переменные Г) в виде

С=1С1ехр(12тгС(1о)х + 1а(10)), (5.4)

, , , . _ -(о 1 ) — . ( О 1 ) П= I т) i е х р (12тги х +1 а ) . (5.5)

Тогда производящая функция (5.1) порождает разложение

1(х)--1— П(хЖ1ехР(,-2™<10)7+<а(10), I л | ехр(1 1} хНа(°1>)) =

ИПМ

=1^/и^")ехр(1а(р))ф-(х)ехр(12пС(р)х) (5 6)

Р р

вида (4.34), (4.35), где

*Ср)=(|т1-| 1С1р1п1 1/1 1П1 I)2, р=(р, О, (5.7)

a(p)=pa(l0)+la<01\

(5.8)

r (5.9)

причем в силу (5.3) для чисел и р выполнено (4.1). Как показано в разделе k,

разложение (5.6) описывает нормированное поле непосредственно за плоскостью многоканального одномодового модана с распределением н(р) для светового потока и a р для фаз между каналами. В каждом р-ом канале формируется одномодовый Ьучок

Е(р)(х)^(х), „Е<г>м.,.

Счетная последовательность несущих пространственных частот каналов v<p)

(5.9) образует эквидистантную дискретную сетку, косоугольную в общем случае и прямоугольную при

V<10>V<01)=0

(5.11)

При необходимости введения симметричных каналов с отрицательными частотами (5.9) р, 1=-1, -2,... - можно использовать модифицированную производящую функцию

п(х, с, п>=п(х, п>+п(х, £*, л*). (5.12)

Модан с 1(х) (5.6) с кратными несущими частотами (5.8), (5.9) особенно удобен при реализации обратного модового преобразования, т.е. перехода от коэффициентов к суммам мод (раздел 2). Интересно отметить, что при V^1°'^°1^=7 получится одноканальный модан на группу мод, составляющую многомодовый пучок

г(х)(5.13) Р Р

с коэффициентами

^)ехР(1а(р))=и(Р). (5.14)

Если производящая функция записана в конечном виде, то (5.1) или (5.6) можно рассматривать как удобную формулу суммирования, что и определяет важнейшую роль производящей функции.

Важно отметить, что гамма производящих функций довольно широка. Так, начиная с фиксированной производящей функции П (5.1), выполняя операции умножения на степенные функции по г|, дифференцирования и интегрирования по Г|, можно получить бесконечное множество производящих функций, отличающихся характером изменения коэффициентов Дифференцирование (5.1) по п, очевидно, "раз-

мывает" энергию по модам, а интегрирование (5.1) по Л, наоборот, концентрирует энергию в ограниченном числе мод, улучшая сходимость ряда (5.1) по Т|. Например, при операции, включающей умножение обеих частей разложения (5.1) на Ст1П] 1 , дифференцирование по С и ц ло р( и раз соответственно, затем снова умножение на £таГ|^а и интегрирование результата р2 и I раз по С и п соответственно, коэффициенты те ^ преобразуются по формуле:

А.1;. Ар1 1+), р+п,

те , =П . —-- , (5.15)

Р1 Р1 Да дРа

Ат=п(п-1)...(п-т+1). п

Если же дифференцирование и интегрирование поменять местами, то будет другое преобразование:

А11 д Р1

1 + )1+Ь + 13 р + т1+т2 + ра

Vе V —-^-• С5-16)

1+)2+12 Р+т2+Р2

Комбинируя преобразования (5.15) и (5.16) с различными параметрами, можно получить очень широкий круг распределений мощностей (5.7) по модам в различных каналах. Более того, суммируя разные варианты производящих функций, можно получить группу из более чем одной моды в каждом канале модана.

Для построения же исходной производящей функции целесообразно воспользоваться табличными производящими функциями классических ортогональных полиномов и специальных функций. Так, для мод Гаусса-Лагерра [6] производящая функция легко строится на основе соотношения [49]:

ехр(-£*-) <» .

-= z 1-1(н)£р. (5.17)

(1-£) р°° р

В табл. 1 приведено распределение еСр' 0) мощности по каналам модана для мод Гаусса-Лагерра с 1=0 и различными р при использовании (5.17). Величина I£I использована как параметр. Видно, что с ростом параметра I £ I мощность расплывается по все большему числу мод и, наоборот, с уменьшением I £ I - концентрируется в основной моде.

(Р/ 0)

Значения к

Таблица 1

1с! р ! 1 \ | 0 1 1 1 1 1 | 2 1 1 1 1 3 i 4 ! 1 1 5 1 i 6 !

0 25 0,937 0 058 0 004 <10_3 <10_3 <1 о"3 оо"3

о 33 0 ,888 0 098 0 0 1 1 0 00 1 <10_3 <1 о"3 <10"3

о 5 0,750 0 оо 0 ,046 0 0 1 1 0,003 0,001 <1 о-3

0 75 0,^38 0 246 0 ,138 0 078 0,044 0 ,025 0,014

Для мод Гаусса-Эрмита можно аналогично построить производящую функцию на основе формулы [49] •

оо Гт

ехр(2г£-£2)= £ Н (г)Ц-, (5.18)

т т!

т = о

где Нт - полиномы Эрмита.

Для бесселевых мод основой построения производящей функции сразу вида (5.12) является формула [49]

ехр[|(£ - 1)]=а (2) + £ [£1 + (-£)"1]J.(г) .

1 = 1 1

(5.19)

6, Влияние возмущений на селективные свойства моданов

При наличии возмущающих воздействий (3.1) происходит как перераспределение светового потока и фаз между каналами, так и перераспределение мощности и фаз между модами в канале. Производя исследование влияния возмущений, будем сразу использовать предискаженный световой пучок 1(х) при построении кодированной функции пропускания. Пучок 1(7) определяется формулой,аналогичной (А.5), но с

-(7) -(7)

предискаженными значениями к , а ,

-(к) ,с(к) - (к). -<► е =(£- г Р01 ), кСК,

так, что

1(х)= £ ц(1Г) ехр[12™(к)7],

кек

где

-(к) /7?) г"(к)1

ц =\/и е х р [ 1 а \ ,

|<к) (х)= £ £<к)ф-(7) Р Р

(6.1)

(6.2)

(6.3)

Выбор_предискаженных параметров ЙШ, а(к>, ё<к), близких к требуемым зна-(к) (к) (к)

чениям н , а , е , пока оставим свободным, а в дальнейшем произведем так, чтобы восстановленные с возмущенного модана пучки в каждом канале были близки

к требуемым модовым пучкам £ ^к ^ С х) , т.е. чтобы пучок на выходе кодированного и возмущенного модана был близок к Кх) (А.5). Количественные числовые характеристики близости модовых пучков будут введены в разделе 8 как характеристики точности моданов.

Свяжем возмущения (3.1) кодированной функции пропускания модана с возмущениями мод (3.2). Для этого рассмотрим работу модана Г(х), построенного по пред-

А

искаженному пучку. При линейном операторе возмущений 0 возмущенное пропускание кодированного модана Г(х) равно в силу (4.13)

?(х)=0Г(х)=0Гп(х)+0ДГ(х). (6.4)

Таким образом, согласно (4.14), (4.10) в рабочем дифракционном порядке действует функция пропускания

Вгп(х)=дп0[т(х)ехР(12пСпх)]=дпс||Е||В

1 ехр(12пСп7)

Е (х)

(6.5)

и восстанавливается световой пучок

гг(х)

уп(х)=дпс| | Е I |Е(х)0

:9пс

Е I | Е ( х ) Е

кек

Е (х)

-(к) и_

||(к)||

ехр( 1 2т^пх)

2 гТ-1

реи р

ф-(х)

ехр [т 2ц (■Зп+'З^ ) )Г]

Е ( х )

где

I (х)

х ее

Е ( х) / I I Е I I

Введем возмущенные базисные функции

, (к)

(Г) гГ1» Ф- (х)=Е(х)ехР[-12тх(С К )х]6 -2-

р П Е(х)

ехр[т2п(\;п+\1(к))х] .

(6.6)

(6.7)

Здесь возмущения (3.2) учитывают как вид мод ф—, так и наличие несущих про-

- -(к) р с т ра нет в енных частот \<п+\>

и согласуются с (3.18).

Введем также возмущенные модовые пучки

(к),-, „ =(к) П (х)= Е Е-

(к) р

р ( X ) .

(6.8)

Тогда поле, восстановленное в рабочем порядке модана при наличии возмущений, можно записать в форме

-упСх) =дпсI |Е11 ?(х)ехр(т 2Спх), (6.9)

аналогичной не возмущенному случаю (4.16), где -(к)

I(х)= Е

кек

||(к)||

(к),-, г., —(к) —|

П (х)ехр[т2тгу х]

(6.10)

Формулы (6.9), (6.10) означают, что и при наличии возмущений модана, под

каналом, мы подразумеваем по-прежнему определенное направление в пространетве^

-(к) -»(к) характеризуемое пространственной частотой \>п (4.18) и единичным вектором

(4Д19). Влияние возмущений свелось, согласно (6.10), к замене модовых пучков

£Ск)(х) (4.4) в (4.5) на соответствующие модовые пучки г| *к (х) (6.8) в (6.10)

. -(к) -(к) -(к) и выбору предискаженных значении к , а , Ц

Снижение селектирующих свойств моданов из-за возмущений проявляется в возбуждении дополнительных "паразитных" мод с р£1-^к\ кроме требуемых мод с рС1. к а также в некотором изменении распределения мощности и фазовых сдвигов между требуемыми модами. Согласно (3.5), (6.8)

к ПР

(к) „ (к) , (6.11) П (х)=Еп- ф~(х), к£К.

о р р

Возмущенные модовые коэффициенты определяются по формулам

* н^?, peL(k>, кек

Р _ (k) р р р Р 1 е L

£ кек. (6.12)

(k) р р р

p'tL

Суммирование в (6.11) идет по всем р. Требуемые моды соответствуют коэффи-(к) -„, (к)

циентам т)— , p£L и составляют лишь компоненту

П,(к)(х)= 2 г1Г,п-к)ф-(х), (6.13)

p£L р р

имеющую несколько меньшую мощность, т.е. масштаб значений амплитуды, а также,

(к) —

возможно, фазовый сдвиг относительно требуемой группы мод i (х) (4.4), регулируемый коэффициентами за счет выбора фаз . Паразитные моды соответ-

(к)р — (к)

ствуют коэффициентам п- , p£L и составляют компоненту ^ Р

nfk)(x)=j: сГ1Ч-к)Ф*Сж), (6.14)

pCL р Р

где ___

n<k>(i)+nik)(i)=n(k>(x). (6.15)

(к)

В дальнейших выкладках удобно пользоваться векторными обозначениями е (4.2), ё(к) (6.1) и

„(к) , (к) (к), Zov (6.16)

н = (п- Г PCL кек,

р

(к) , .. (к) .

а также ввести квадратные матрицы размера IL I * I L I:

Е(1Г) = Гб— ,»'р, p'eL(k)], кек (6.17)

1 рр '

- единичная матрица,

Н

(к>-[н~,, р, p'eL(k)], кек (6.18)

рр

- матрица возмущений,

в(к) = [в~„ р, p'eL(k)], кек, (6.19)

ф(к)=Е(1Г)+н(к)/ (б>20)

- - (V)

_ Заметим, что коэффициенты определены и при p'CU , т.е.

за пределами

(к) рр Н . В этих обозначениях

МЕ(1Г)| 1-1 s<*>,, llník)M-IH(k5,, (6.21)

а первая строка равенства (6.12) принимает вид

„(к) (к)*~(к)

Н =ф Н ' (6.22) где * - символ эрмитова сопряжения матрицы. Ниже будем употреблять обозначения (•,•) и (- I для евклидова скалярного произведения и нормы векторов (5.16) в каждом канале .

сТГ) -» (Г) —

Отличия модового состава формируемого пучка л (х) от требуемого £ (х) проявляется, как уже отмечалось, в изменении модовых коэффициентов при требуемых модах ф-^(х), p€L и в появлении паразитных мод , pCL^k\ В то время как "паразитные" моды высших порядков принципиально не устранимы, есть возмож-

ность влиять на распределение мощности и фаз по требуемым модам. Для этой цели

- (к)

при синтезе моданов вводились неизвестные предискаженные коэффициенты а подлежащие теперь определению.

Если выбрать предискажение согласно уравнению

|(к),[Ф<к)*]"12('Г) = [Е<'Г)+Н(1Г)*]"12(1Г), Сб.23)

то получим

н(к)=5(к) (6.24) т.е. модоеый состав по первым I. модам будет в точности требуемым, хотя моды высших порядков сохранятся. Пользуясь рядом Неймана [12] при выполнении условия малости возмущений

||Н(к)||<1, (6.25)

операцию (6.23) с большой степенью точности можно представить в виде ряда, первые г членов которого дают

£ (-н<1Г)*)г,н(к), Сб.26)

г ' =0

или рекуррентными соотношениями [41, 50, 51]

Е^-а^; в^с-н^^Х*'- (6.27)

Соотношения (6.26), (6.27) назовем коррекцией г-го порядка. При ее выполнении получим вектор возмущенных модовых коэффициентов в виде

Н(к) = (Е(к)+НС1Г)М(1Г) = (ЕСк)*Н<1Г)*) 2 (-Н(1Г>*)ГЕ(к>. (6.28)

г'=о

Производя суммирование матричного ряда, получаем:

н(к)=[Е(к)+н(к)]н(к)^ (6>29)

где

н(к)= _с_„сГ>(6>30)

Существенно, что введение операции коррекции произвольного г-го порядка позволяет охватить едиными соотношениями предельный случай полной коррекции Сб.23), Сб.24), соответствующий г-*», и предельный случай отсутствия коррекции, соответствующий г=0, когда сразу полагается:

¿<1Г)=а(к), в^-В«* (6.31)

и получается в силу (4.11), (6.6), (6.28), (6.30):

„(к) ГсСк) Ск)*1оСк) иСк) иСк)* - ,, ,,,

Н =[Е +Н JH ; Н о =Н ; с = с. Сб.32)

7. Энергетическая эффективность моданов

При освещении модана с возмущениями световым пучком Е световой поток ||Е||а

частично идет в рабочий дифракционный порядок, состоящий из Мс каналов. В каж-(к) »

дом канале пучок Г) (х) состоит, согласно равенству Сб.11), из всех мод ф-»,

мп^м'-гт^-мп^м^мл^и», (7.1)

р и I-

р

включая мощность группы требуемых мод Л ^ (6.13) с мощностью

НП^И3--* Щ^5 !а-1Н(ТГ> (7.2)

р€1-(к) р

и мощность паразитных мод П^ (6.14)

NnpM^ciTjInfV. (7.3)

pet

л

Назовем энергетической эффективностью модана с возмущениями долю еп освеща-

* .._ (?)

ющего пучка, идущую на возбуждение требуемых мод ф—, r£L , k?K во всех каналах.

(1Г) (£)

Поскольку требуемым модам соответствует компонента л. пучка Л , то в

л

пучке уп (6.9), (6.10), восстановленном от модана, им соответствует компонента Yп L(x)»|IЕ||gnctL(x)exp(i2iivnx), (7.4)

где

(к)(~)

? (7)= Е ¡¡<">J:- exP[i2Tiv(k)x] . (7.5)

кек

А

Энергетическая эффективность еп определяется по формуле

1 , I I3

гп--= 9n°a ' ' ' ' 2 " (7-6)

МЕ||а

При выполнении условия разделения каналов (4.23) « * ClT)

Е = Е е„ , (7.7)

п 1Гек п

где в силу (7.5), ^6.3), (6.21)

.а, ;«!>.,¡ф! J<t>

" " I ||<k)I|g(k>,a

- доля светового потока, идущая на требуемые моды k-ro канала. Равенство

(£) —

также показывает, что для обеспечения требуемого распределения {к , kеК} для светового потока по каналам в виде -(к) (к) а а (к)

En =qEn =qgnc и С7-9)

-(к)

предискаженные значения к должны определяться по формуле

-(k) 1 iij(k)ii2 u(k)_ 1 ii(k)ia п(к)^ (7-10) 02 Ил^м2 62 |н(к))а

где

q = Si 1_ (7.11)

с2 в2

- коэффициент пропорциональности, определяемый из аналогичного (4.1) условия

Е к<к)=1 (7.12)

кСК

по формулам (7.11) и

, ISCk)I2 (к)

в = Е ^-!_ х . (7.13)

кСК |н(к)|а

при этом в силу (7.10) соотношения (7.5), (6.10) и (6.2) принимают вид:

п(к)(-)

ЧСх) = ^ц(к)ехр[1Да(к)] -L—— exp[i2TLV(k)7], (7.14)

= ¿.Е иШехр[1даСк)] ехР[12™(к)Г|

Г V 1 J

кек

1(7) = 1 2 Ц(к)ехР[1Ла(к)] вк£К J

1Н(к>|

Б(к)(х) г -с7)—1

ех р [ 1 2пу х] ,

1Н

(к)

(7.15)

(7.16)

-(к) (к) 1 2~г,,(к)

е = ае =— д с*Н 92

1

е = рЕ =_ д 2 с 2 . п в2

(7.17)

(7.18)

Таким образом, снижение энергетической эффективности модана е /е из-за

п п

возмущений характеризуется коэффициентом включающим (7.11) коэффициент —

в2

(7.13) использования энергии в требуемые моды и коэффициент с2/с2 изменения интегрального поглощения модана. При^_г = 0, очевидно, с2/с2=1. Используя (6.28), (6.29), (6.26), можно записать |Н |2 в виде эрмитовых неотрицательно

определенных квадратичных форм:

|Н(к)|2 = ([Е(к)+^к)]ё(к\ §<к)),

.(к)

Г

,(к)

|а а , £

где

1н(к)12=([Е(к)+р;к)]н(к),

|5(к)|2=(с(к)3(к)

с<к>= е [-н(к)]г" £ [-н(к)*]г", г'=о г"=о

р(к)=н(к)+н(к)*+н(к)н(к)*_ г г г г г

(7.19)

(.7.20)

(7.21)

(7.22)

(7.23)

Значения эрмитовых неотрицательно определенных квадратичных форм, как известно [52], допускают оценки через собственные числа:

[ 1+Х . (!?(к>)] пи п о 1

ё(к)|2<|н(к),2

<[1+Х (Р<к))]|Н(к)

1- т я у о ■>

(7.24)

,(к).

(7.25)

(к) V

где , Х|пах(Р^'4') - минимальное и максимальное собственное число матри-

цы I?

(к)

Пользуясь (7.19), (7.21), (7.11), (7.13), получаем два представления:

Р-

£ н

кек

£ к

кек

(к) |Н(к)|2

1Н

(к)

(к)

(С

(к)„(к) „(к)1

((Е(к)+К(к))Н(к), =<к>)

(7.26)

(7.27)

.(к)

Формула (7.27) выражает о через вектора Н требуемых модовых коэффициентов и параметры возмущений С(к), Формула (7.26) и неравенство (7.24) позволя-

ют получить оценку:

с

(к)

£

кек

1+х . («<к))

т 1 п о

<р<(|)2

(к)

£ к£К

их (Р<к))

та х о

(7.28)

дающую границы изменения для коэффициента р снижения энергетической эффективности при произвольном модовом составе требуемых модовых пучков. Заметим, что границы оценки (7.28) достигаются, когда вектора модового состава Н являются

(к)

собственными векторами для матрицы (?0 (7.23), (6 .32).

8, Характеристики точности моданов

При изготовлении моданов желательно минимизировать число отсчетов, непосредственно определяющее время синтеза, а также брать не слишком прецизионное разрешение б,, ба, исходя из имеющейся аппаратуры. С другой стороны, для передачи сложных базисных функций, соответствующих модовым конфигурациям высоких порядков, требуется значительное число отсчетов и хорошее разрешение.

Для удовлетворения указанным противоречивым требованиям необходимо исследовать связь характеристик точности моданов с числом отсчетов М,, N3, разрешением б,/ б2, количеством мод параметрами измеряемого поля и выбрать соответ-

ствующие параметры, исходя из обеспечения заданной точности. С математической точки зрения задача состоит в изучении устойчивости ортогональных разложений к малым возмущениям.

Исследование погрешностей представления функций ортогональными разложениями с неточно заданными коэффициентами проведено А.Н. Тихоновым и В.Я. Арсениным [53]. При реализации моданов в виде синтезированных оптических элементов возникает специфический тип погрешностей измеряемых коэффициентов, отражающий физику задачи и тип возмущенных базисных функций вследствие дискретизации и других возмущений моданов. Целью данного раздела является установление связи между возмущениями модовых функций и введенными ниже характеристиками точности. Связь устанавливается путем построения оценок характеристик точности методами [41,50,

51]-

Введем удобные усредненные числовые характеристики точности модана, предполагая, что, как и в разделе 3, на закодированную функцию пропускания Г (4.13) модана действуют возмущения.

В отсутствие возмущений модан формирует сразу за собой поле у (4 .1 6) , (4.5),

а п

а при наличии возмущений - другое поле Уп (6.9), (7.15), компонента требуемых

мод в котором равна у гу /•> (7 ч/ч „ а

пд ■ К (7-14)- *пя сравнения у^ и уп рассмотрим

виртуальный двухлучевой интерферометр, выведенный на нулевую полосу для разности фаз п в плечах. В одно из плеч подадим пучок у . Вследствие ослабления светового потока в д раз и изменения начальной фазы в полезной части у пучка у

^ п,1 п

целесообразно в опорное плечо подавать пучок , где Ч - константа, опреде-

УсГ

ленная формулой (7.27). Разностное световое поле описывается выражением ' А - -

^гугд(1|) " упСх) = 1 |Е| 1 9пс [е 1и(х) - 1(х)]ехр(12яСпх) =

(к),-ч .(к),- .

ехр [1 2т1^к) х ] . (8.1)

I 9Пс г ц(к) | гхр

к С К

.. (к) 1 да

Ли (х) £^(х)'

|К(к)| .(к)

Интенсивност ь

Y„ !(х)

r.

Yn(x>

разностного поля может служить характеристикой точности формирования модового пучка в каждой точке х. Световой поток-разностного поля У,

п , L

~ Y.

Vq

С8.2)

является интегральной характеристикой точности формирования модового пучка мо-даном с возмущениями, а величина . 2

2 2 2 о

(8.3)

б = -2—- ; I lYnl I

s I I Y_ I I

2 2 2 НЕМ gnc

- относительной погрешностью формирования модового состава моданом. Используя свойство ортонормированности (1.7) модовых функций и условие разделения каналов (4.23), получаем из (8.2), (8.1), (4.25):

Дз = IIE|I46S '

(8.4)

где

б2 = Е s

к е к

а величина

. (к ) 2

(к)

ехр

,(к)

.(к)

1н(к)I 1н(к) ,(к)

(8.5)

(8.6)

характеризует различие модовых составов

H

, (к )

.(к )

|н<к>|

с подстройкой их к

1Н-1 одинаковой фазе.

Произведя тождественные преобразования, получаем с учетом (4.1):

6=2 s

, о г <k> Î-Л (к>1 (Н(к). Н(к))

1 - Re_ Е к ех р L1 Да J J——-1

кек |н(к)| |3(к)| (к)

(8.7)

Выбор пока произвольных фаз Да произведем, исходя из минимума характеристики б2 на основании легко доказываемой теоремы; максимум величины

» ( „ Г-л (к)

йе _ Е ехр [1 Да

\ к е К к

(к)

по переменным Да , к £ К достигается при

(8.8)

(к)

ехр р Да и равен

14

к е К 1 к1

Таким образом, для минимизации (8.7) следует выбрать

(8.9)

(8.10)

(к)

<к) х Л <к)

а + Да

(8.11 )

ехр

т Да

(к)

сн<к>, з(кУ <н(к\ Н(к))1

а минимальное значение б2 равно

2(1 - СОБ 3) =

к е к

*<к>2(1

СОЭ р ) ,

(8.12)

(8.13)

где

сое & =

(к) „(к) Е к соэ в

к е К

соэ @

(к)

(Н(к). а

<к))1

,(к)

.(к)

(8.14)

(8.15)

В другой форме

б2 = Б

2 51п | ,(к)

К

к е к

(к)

2 эт п

3

(к)

(8.16)

Здесь 3 имеет смысл угла между векторами требуемого и реально полученного модовых составов к-го канала, отсчитанный в ||_(к)| мерном комплексном евклидовом пространстве;

В - усредненный по каналам угол.

Заметим, что в силу (4.1) и неравенства Коши-Буняковского

|(н(к)/ 3(к)}| < |нСк)||8(к)| (8.17)

выполняется неравенство

, (к)

О < сов В

<1, 0 5 сов 0 5 1,

По-

т.е. углы &£к)', Г е К и 3 вещественные и все лежат в интервале у > у скольку знак равенства в (8.17) достигается только при коллинеарных векторах

Н

(к)

С к ) 2

3 , то характеристика б оценивает степень неколлинеарности векторов

реально сформированного и требуемого модовых составов. Сам угол В» 1В1 2 может также служить характеристикой точности формирования модового состава мода-ном. Значения ДВ = 0, = 0 соответствуют формированию требуемого модового состава. Значения 131 = б* = 1 характеризуют, наоборот, полное отсутствие требуемых мод в сформированном пучке.

Реально работоспособные моданы соответствуют выбору достаточной дискретиза-

ции и качественной технологии, при которых возмущения малы, т.е. ||Н

(к)

« 1 .

При ||Н(к)|1 - 0 согласно (6.29), (6.30) |НСк)| - 1Е(к>|, а |Н(^)-Н(к)| - 0.

(1с)

Следовательно, в первом приближении по малому параметру ИН , (к)

можно записать:

В

н(к)_а(к)|

.(к)

(8.18)

2 2

б5 = В =

.(к)

к С к

Поскольку по (6.29)

[в(к)]\

(8.19)

„(к) _ _(к) , (к ) „(к ) л — л т п а г

, ( к)

-(-н(к)*)г+1

(8.20)

|н;к)5(к)г

1н<к>Г

(ЛСк)Я(к), н(к))

,(к)

(8.21)

(к)

н(к)*н(к) г г

(8.22)

Формулы (8.21), (8.19) показывают, что погрешность б2 зависит от конкретно-

„(к) г в го вида а , требуемого модового состава. Выясним границы значений б при

(к) 5 варьировании векторов В . Оценивая эрмитову неотрицательно определенную квадратичную форму в (8.21) через собственные числа ее матрицы Л£к), получаем по [52]:

где

тах

ш, = [

Л (Н(к)Н(к)*) тах

I г+1

Таким образом,

(8.23)

А . (Н(к)Н(к)*) I пт

г+1

[з<1Г>]%

(к)н(к)*5

тах

(к)Г.

и [Хт1п

(н(к)н(к)*)

г+1

5 б3 *

(к) [

Е н

Ге к 1

я (н

тах

(к)

нСк)*)]

Г + 1

(8.24)

(8.25)

к £ К

Если речь идет о получении лишь заданного распределения мощности по модам

без учета межмодовых фазовых сдвигов, то характеристику точности поперечно-мо-

2

дового состава целесообразно модифицировать, выбрав вместо 65 (8.6) другую величину

а2 V (к>

б = £ н

к е к

е хр

М-

, (к)

.(к)

н(к)| |Е(к)|

(8.26)

характеризующую различие распределении мощности по модам .- 2 .-. , 2

I ( к) I |н(к)Г

1„(к)I2

(к)

.(к)

операцией

|нСк>|, |в(кЧ векто-

( к ) ( к)

где Н , В - вектора, полученные соответственно из Н + +

взятия модуля от каждой компоненты, не изменяющей длины ров, но отбрасывающей информацию о фазах мод. в этом случае оптимальные значения

(1Г)

сдвигов фаз ДаЛ определяются уравнением ,(к) „(к),

ехр

1 Да

(к)

(Н'

)

|н(к)11в(к)|

(8.27)

а минимальное значение характеристики б+ равно:

В.12

б = 2(1 - соэ В ) = + +

2 э п п

• ч

1п —] ,

(8.28)

(к) я(к> cos В = - Е к cos В + к € К +

(8.29)

cos В

(к)

(Н+(к\ 2<к))

к е к.

(8.30)

!нСк)11

,(к)

9, Анализ модового состава

Модан с закодированной функцией пропускания Г(х), построенной по t(x) (4.16), (4.5), полностью решает задачу модового формирования при любом исходном освещающем пучке.

Аналогичный многоканальный модан, но рассчитанный на t*(x) вместо t(x) и

на плоский освещающий пучок с Е(х) = const, при помещении в оптическую схему

модового анализатора (рис. 16) решает задачу модового анализа. Действительно,

("к)

при выполнении условия разделения каналов (4.23) в точках Xf v Фурье-плоско-

о п

сти (см. рис. 16), соответствующих пространственным частотам ~(к) -(к)

(9.1)

сформируются комплексные амплитуды, пропорциональные

(k) t ,-». *,-». у = / ы(х)у (х)ехр

G

—(к)—

12nv х п

2_

d х =

(к1 )*

= g с II Е|| -й- / w(x)|(k,)*(x)exp[i2Tx(v(k) - Zik">)7

к'ек |„(k')| G L

2-» d x =

(9.2)

= II E || v/T u(k)* f w(x) ^Hiliil G |2(k)|

или в компактных обозначениях

d х,

(k)

.(k)

|2(k)b

(9.3)

w (x)

Рис. 16. Модовый анализ с помощью многоканального модана

(к) - ■•'"А, •«.Л,

к(к)*

,(к)| р е р

Таким образом, для получения модового коэффициента (2.4) достаточно выбрать

= 6г* , (9.5)

Р кр

*

т.е. при наличии ровно одной моды ф^- в каждом канале получим

У(к) " "к = 1"^1ехр(тд>^)/

т.е. для измерения модовых коэффициентов достаточно измерить комплексную амплитуду в дискретном наборе (9-1) точек Фурье-плоскости. В частности, квадратичный фотоприемник даст распределение мощности по модам

1т<*Г -

Для измерения фазы мод агды-» можно зарегистрировать квадратурные микроин-• Р /Т^ч

терферограммы полей вблизи точки У^ и обработать их по формулам [54]. Другой

вариант состоит во введении - 2) вспомогательных "квадратурных" каналов,

кроме Мс основных каналов, и применении формул обработки квадратурных интер-ферограмм [54] к интерференции модовых коэффициентов. При этом выделяется опорный канал к0 из Мс каналов, и наряду с измерением

3 2

1мг I и |и~| о к

для каждого канала к (9.5) делаются еще два измерения во вспомогательных квад-

— — (7)

ратурных каналах кл, ка. Формулы для коэффициентов Н выбираются не в диагональном, как в (9-5), а в двухдиагональном виде:

= 6 + б__, (9.6)

Р к р к0р

= + ехр (т Дф)

Р к р 70р

где 0 £ Дф < п. Тогда __

К"»'! - |ы I к.

(9.7)

о

(к) I 3

2

I — I - I ы_| к

.СМ*- и * « 12 -1 |2 ■1 |а

_ 12 = 1ы I + I ы I + 2 | ы II (сов Ф - ф

к к к„ к к к к -I

о 0 0

|у(кзЧ ~ | ы +ехр(тДф)ы I = 1ы I + I и | + 2 I ы Мы I соб ф -ф +Дф =

к0 к к к0 к ко I к к0 -I

= М + |и_ I + г|ы_||ы_ I с о в (ф_^ - Ф ) [соэ ДФ - I д (ф - ф ) в т п Дф| , к к ко к к„ I к к J

О

(ф_ - ф_ ) =

1

ЭТП Дф

(к )|2 2

с о б ДФ

- IV

Ск ) о

Ск)

- IV

Ск )

1

-

Ск0),2

Ск) I 2

- 1У

С9.9)

Для случая Дф = ^ метод совпадает с предложенным в работе [55] • В общем же случае многоканальный модан позволяет оптически вычислять параллельно несколько скалярных произведений (9.3) анализируемого пучка на нормированные многомодовые пучки £ (к) Сх) / II £ II, к СК, заложенные в каналы. Оценим, как влияют возмущения модана на точность вычисления коэффициентов С9-3).

При наличии возмущения восстановленный с модана пу^ок (6.9), (6.10) изменяется так, что в него вместо требуемых пучков Е<к)/|1 Е(к>11, к£к входят возмущенные пучки у/д / II . Тогда в точках (9.1) Фурье-плоскости модового анализатора сформируются комплексные амплитуды

*<к) =

Е II /Г^и<к)*

Ск)

ехр Да

Ск)

Ск)

н

Ск)

С9.10)

аппроксимирующие у с точностью до коэффициента пропорциональности . Погрешность в к-ом канале определим по формуле

кк>г

1 *Ск) _ уСк)I»

(9.11)

а относительную погрешность положим -. 2

„ С к) о

а

[Л<к)Г к) 2 J

ск) |2

(9.12)

Общую погрешность анализа модового состава по набору каналов £ е К определим как сумму канальных погрешностей

_ 2

Ла =

а к е к

кк)],

(9.13)

а относительную погрешность в виде 2 Ла

б = -^- .

а

I - • (9.К)

Ск) I

Г I к е к

Величина Д2. согласно С9.13), С9.11), (9.3), (9.16), может быть представле-на в виде

2

д =

а

I2 е 2 к(к) п к е к

,(к>' 1г(к)1

и в силу Сб.15), С8.4)-С8.6) допускает оценку

С 9.1 5 )

2

д <

а

€ППУ

2 к к е к

Ск)

ехр

Ск)

.Ск)

. Ск)

„Ск)

г(к>

- л;1М|% НЕ 11% 1М12 £ н(к) —

кек |н(к>

где, согласно (7.1), (7.2), (6.8), (3.2)-(3.4), (7.19), (7.23),

(к)

(к) II2

, (к)

(9.16)

к) (к) п р' р р1 р р' р'р р р1

р е..(к> р-е1.(к> р = ([н<*> + н(к)*^(к) =(к)

|н(Г)Г

) + (0

(к)-(к) х(к)

) - (Н

(к)-(к) -(к)

) =

(9.17)

= (А(к)8(к),ё(к>),

д(к) = „(к) + н(к)* + 0(к)

- = о(к) - н(к)нСк)*-

- ( к)

Подставляя выражения для Н (6.26), получим

(9.18)

(к) П_

2 = (А(к)Н(к) Н(к))

(9.19)

где

(к)

Г (-Н(к>)Г'д(к) £ (-Н(к)*)Г'

г'=0 г"=0

В другой форме с учетом выражения

(9.20)

ёС1Г) ж (Е(к) + н(Г)*,^Н(к>

с9 . 2 1 )

получаем:

(к) || 2 П_ и

= (В(к)н(к\н(к)),

(9.22)

где

(к) ~ 1 -(к) (к) (к)* -1 В'"' = (Е + Н К ) А (Е + Н1 ) .

, (к)

(к)

(9.23)

Характеристикой точности является относительная погрешность (9.14) анализа модового состава, которая в силу (9.3), (9.16), (9.19), (8.4) представляется в виде :

2

6а =

2 2 6+6. э И

(9.24)

£ и

к € к

(к)

^ Е(к)

iii н ii

1н(к)1

Величина 65 введена выше (8.13)-(8. 1 6) как характеристика точности формирования, а величина

Ч = I *(к) н к е к

(А

(к)с(к ) =(к))

£(к) + К(к)1„(к) п(кУ

о

(9.25)

характеризует воздействие паразитных мод на оптическое вычисление модовых коэффициентов. При использовании формы записи (9.22) вместо (9-19) можно получить оценку

е х(1г)л . <В(к>> 5 6* нск)хтах(В(к)). (9.26)

кСК т1П ь к£к тах

10, Обобщенно-спектральные преобразования по модам

Каскады обобщенных спектральных преобразований по функциям Уолша, Карунена-Лоэва предлагались в [56-58]. Предложенные в разделе 4 многоканальные моданы позволяют реализовать оптические каскады модовых преобразований. При этом будет использован лишь подкласс одномодовых многоканальных моданов, рассчитанных на формирование в каждом канале одномодового пучка

Е(?,Сх> = ф.<?>, IIЕ^5 II - 1, = 1 (10.1)

р Р _ _ ^ ^

при плоском освещающем пучке Е(х) = 1. Матрицы Н^ , для воз-

мущений одномодового модана вырождаются в числа

ЕФ = 1; Н(Р) = н<р> . фСр) = , + (10.2)

Р Р

н;р) = -(-нс?)*)г+1; «¡^ -+ + (ю.з)

где

„Ср> = ; ь<Р)*(7)ф^(?)<1аТ , (Ю.4)

р р 6 р р

в<р> - , (10.5)

Р Р

где

0<?> . г к (Р > * <Р> Л,2

" 1 <х)Ь/ (х)с) х. (10.6)

Р Р 6 р р

векторы Н^р) в силу (6.26), (6.28), (6.29) также вырождаются в

(10.7)

Е(р) = = 1, |з(р>| = 1,

Р

1 ♦ нСр)

£<Р> = |(р) = [ с-Н(р)*)Г' = -' (10.8)

Р г' =0 1 + нСр)*

Н<р) = = 1 ♦ Н^р) = (1 ♦ Н<р)*)3<р). (10.9)

Р

При учете возмущений в р-ом канале

1<р)(Т) = §(р)ф^(х), (10.10)

р

а вместо (10.1) формируется возмущенный пучок (6.8)

п<р)(х) =. 3<р)ф (?),

р (10.11)

где введены обозначения гТ-. = <Р>^

Ф^(х) = ф^.р)(Т); Ь^(х) = »/р)(Т).

(10.12)

Имеем также тождество

1 ♦ н(р)

Г> I J п

♦ ^ - Н(р)*ф.,

т.е.

-- = ф +

1 + н(р)* р и, следовательно,

И - Н _Р_

(р)<

♦ н(р)*

1 + н

<10.13)

1 + н

—--ф„

(р) * р

И - Н(р>*ф

1 + н(р)*

о(р) - 1н(р)Г I, ♦ н(р)|а

СЮ.14)

Требуемая мода ф соответствует компоненте Р

п<р>(-) = §(р)ф .<?>. и Р

(10.15)

Требуемый световой пучок 1(х) на выходе одномодового модана описывается формулой

I (х) = Е и(р)Ф^(х)ехр 12п^(р)х р£К р

Предискаженный перед воздействием возмущений пучок имеет параметр

ехр

♦ н(р)*

1 + н

I, + н(р>|

(10.16)

(10.17)

и записывается в виде

,(Р>

Йх) = 5 Е —-- ф (х)ехр

р£К 1 ♦

(р)<

-(р)-т2т^ х

где

(10.18)

в = _ Е

рек (1 + н(?)|3

Восстановленный при наличии возмущений пучок имеет вид

(10.19)

?<?> = | .я

--— ( х ) е х р [ 1

р е к 1 + Н(Р)* р

и его полезная компонента равна

Ьгп^;],

(10.20)

= г(7).

(10.21)

Коэффициент снижения энергетической эффективности из-за возмущений вычисляется по несложной формуле

<Р>

О - (*>

рек

1 +

н(р)Г

(10.22)

тахII(х)

1 _

(10.23)

глах

х£6

причем при г=0, когда коррекция не производится, и Н = с. Погрешность Форми-

рования модового состава здесь равна нулю: б2 = 0, Д0 = 0.

Относительная погрешность модового анализа определяется только влиянием паразитных мод и оценивается по формуле

<Р>

а рек И + н(р) а "

о(Р> - |н(р)Г

£ и

рек

| («, ф_)|» _р_

(10.24)

Относительная погрешность формирования мод, вызванная действием паразитных

мод, может быть определена здесь в виде

Ч>

б2 = Е к

т рек

(р)

Е ч рек

(Р)

- н _Е_

1 + н (р) *

—--ф^

(р)* р

р

(10.25)

|1 ♦ НСр)| и оценивается по формуле

б* = Е -^- 0(р) - |н(р)|2 . (10.26)

Р^ И + н(?) |2 1

Рассмотрим реализацию прямого модового преобразования над полем к(х) на основе Фурье-каскада и установленного в его входной плоскости одномодового многоканального модана (см. рис. 4), рассчитанного на пучок 1*(х), где I (?) определяется формулой (4.34) при

(р) _ 1

, мс = |К|.

(10.27)

•Ун

с

С. пространственными частотами, расположенными на прямоугольной сетке

постоянными шагами по осям, т.е.

(I)

= (V««0, р,1 = 0, ±1, 12 с

v(p) = Pv<1,

X к X

= iv

(1)

(10.28)

В выходной плоскости установлен экран с точечными отверстиями с центрами в С(р), вместо которых могут быть применены специальные диффузоры [59].

Одномодовые многоканальные моданы с такими несущими частотами особенно эффективно рассчитываются с помощью производящих функций (раздел 5).

Рассматривая оптическую систему (см. рис. 4) как частный случай анализа модового состава из формул (9.4), (9.5), (10.27), получаем, что модан без возмущений обеспечивает в дискретных точках (10.28) Фурье-плоскости, вырезанных диафрагмами, вычисление модовых коэффициентов

Y<P) = II El

N - '

с p

= (w, ф_), p GK. P P

(10.29)

(10.30)

Воздействие возмущений приводит к вычислению вместо (10.29), (10.30) соответствующих возмущенных коэффициентов

Vp) = ИЕН

/IZ

1

+ н(р) Р

где

= (и, , р £ К. Р Р

(10.31)

(10.32)

По результатам прямого преобразования судят о поле ы(х), составляя вместо бесконечного ряда

w (х) = Е и^ ф_^(х)

PDP

конечную сумму £(Т) = —— Е Y^P^ ф ,

vT р CK р

записываемую в виде ü

(10.33)

£(х) = Е

Р £К 1 + н(р)

— ф^(х )

(10.34)

и отражающую ту информацию, которая получена о функции ы(х) как по числу обобщенно-спектральных компонент, так и по точности получения каждого коэффициента. Погрешность замены

и(Т) = £(х) (10.35)

может быть определена как

А = II С - wir m

Е

рек

♦ н(р) wp

_ Е

рек

ф_

(W,

1 ♦ НСр)'

1 + н

2

Ф^) P

< II w II Е рек

—2--Ф^

1 ♦ н(р)* р

+ llul

+ Е Iw I Р Ё К р

Е I ы J £ рек р

Е |и I

рек ?

Относительная погрешность прямого модового преобразования равна: II £ - и|

2

6 = Ш

= + 6П '

о п

(10.36)

(10.37)

где в силу (10.14)

0(р>-|н(р)|

рек (1 + нср)|-

а б* определяется формулой (1.28).

(10.38)

Величина б <40. 38) характеризует погрешность из-за нетомности вычисления

ч

коэффициентов и растет с увеличением числа спектральных компонент р СК. Величина б2 отражает обычную среднеквадратичную погрешность представления функции о

конечным числом спектральных компонент и уменьшается с увеличением их числа. Реализацию обратного модового преобразования вида

) = Е (х*) (10.39)

р Р Р

будем производить в Фурье-каскаде (см. рис. 5). в выходной плоскости которого установлен одномодовый многоканальный модан, рассчитанный на пучок 1(х) (4.34). Во входной плоскости установлен экран с системой отверстий с центрами При создании в точках комплексной амплитуды, пропорциональной модовым коэф-

фициентам и , получим матрицу точечных источников £

Е U б(С - v(p)),

(10.40)

рек р

где б(-) - дельта функции Дирака на плоскости. Непосредственно перед плоскостью модана сформируется пучок

^ U^ exp(i2nv(p)x'), (10.41)

р е к р

умножающийся на комплексную функцию пропускания модана, определяемую при заложенном в расчет Е(х) = const формулой

Г (х ') = п

Nc р'е к

ф^ (x)exp(i2Tiv(p')f-'^-

(x')-exp(i2Tiv *').

n

(10.42)

Поле сразу за плоскостью модана равно: II Е

W_U<x'> + ^Е ф (7')ехрГ12п(С(р,) - v(p)b] С Р е к р| р р'гр р- L v JJ

• exp|i2n(vn + v(p))~x'

= ,IE " N

С

ф (x ' ) +

+ ^ 2 U__ф^(х')exp

рек p p•

Рек p p i2n(C(p,) - v(p); '

(10.43)

exp

i2n(v + v(p))x'

Поскольку V - V р * 0 при р' #р, то члены второй суммы имеют частоты,

отличающиеся по крайней мере на х^1' по оси х и(или) на х,(1> по оси у от частоты первой суммы, т.е. пространственно разделяются, если У

<i> 1

v 2

х

(1)

1

2а ' " 2Ь '

где 2а * 2Ь - размеры области в модана.

Световой поток от поля (10.43) при разделении порядков равен

, е

с р е к

IU

(10.44)

(10.45)

т.е. делится на частей с полезным использованием лишь части светового

При наличии возмущений модан вместо (10.42) обеспечит функцию

д _ II Е II /Е q

Г ( х 1 ) = ——

ы S

N -»i ~

Ф (х* ) р'

С рек , + н(р.,*

ехр

i2n(v(p,) + vn)x'

пропускания

(10.46)

т.е. восстановит поле

ii е ii

• е хр

Ф^(х')

—£- + г и

ср с X ' ) р'

рек р 1 + н<р)* рек р р"р + н(р,ь

ехр

12п(v + v<р5 х п

(10.47)

Если разнесение дифракционных порядков (10.28)(10.44) достаточно для взаимного непересечения ф-.(х'), то первая сумма в (10.47) соответствует реально по-

р'

лученному полю. Среднеквадратичная погрешность обратного модового преобразования равна:

не ii у ¡р с

£ и рек р

- и

1 + н

(р)>

и и ( -;--- и^ф^

рек р 1+н(р}* р рр

N

и н

Ср)'

рек

1 +н

(р)* р рек

1+н

—— - и^ф^ (р)* р р е к р р

(10.48)

Относительная погрешность обратного модового преобразования равна:

и

2

6г =

1

рек

1+н

и н

(р)* р р е к 1+н

—— ф^ - £

(р)* р р ё к р р

= (б{1 + (6» +

(10.49)

где

t2

_ £ рек

1+н

(р)* р

_ £

рек

* (р) *

и и

р о' рр'

ыг[1+н<р)*][1+нср'>]

1М 1и<р>1'

1+Н

(р) |:

(10.50)

б^ определяется формулой (1.29).

Наличие каскадов прямого и обратного модовых спектральных преобразований позволяет построить систему модовой фильтрации, содержащую каскад прямого модового преобразования, комплексный пространственный фильтр Ф в обобщенно-час тот ной плоскости и каскад обратного модового преобразования (см. рис. 6).

11. Моданы, согласованные с пассивными резонаторами и волоконными световодами

Расчет моданов требует знания в явном виде математически заданных модовых функций или их комбинаций в виде производящих функций. Математически моды есть собственные функции оператора распространения света на один проход в волновод-

ной среде (раздел 1). Следовательно, нахождение их функциональной зависимости -» *

от координат х = (х,у) сводится к определению вида оператора Р распространения за полный проход, решению соответствующего уравнения на собственные значения, интегрального или дифференциального.

Определение вида оператора Р и типа соответствующих ему мод является в общем случае довольно сложной задачей.

Моды открытого пассивного резонатора, взятые на выходном зеркале, удовлетворяют интегральному уравнению типа Фокса-Ли [4,7] (рис. 17):

f К(хаи)фр1 (u,L + fa(u))d2u = Yp^pL(xa,L + (11.1)

D2

где (p,l) = p,

. 2 exp[ik(L12 + L21)](1 + cos a12)(1 + cos a )

K(5T ,u) = / -;-;--5--5- ■

2 2m D L12Lal 2 2

1

2n

cos aJ( d k = yi (11.2)

2 = f1Cxt)> x, ED,; z = L + fa(x2), 72 CDa

- уравнения поверхностей зеркал резонатора, со световым отверстием D1, Da, отстоящих на расстояние L, а + ' ~ комплексная амплитуда на вто-

ром зеркале, L12, а12 - длина и угол наклона к оптической оси отрезка, соединяющего точку (х ,f (IT )) первого зеркала с точкой ("х ,L + f (х )) второго зеркала 111 222

(см. рис. 17) соответственно; L21, а21 - аналогичные величины для точек с координатами (x,,f (х,)) и (и , L + fa(u)). Например, в параксиальном приближении можно положить

5 L + тг *2 - fv,

cos а1а = I,

где

а, = 1 " h' 92 = 1 " ' <11-4>

R1' R2 " Радиусы кривизны в вершинах зеркал. Уравнению (11.1) соответствует интегральный оператор А, описывающий прохождение света "туда и обратно" в резонаторе.

Для градиентного волоконного световода с поперечно-неоднородным показателем

А

преломления п(х) (рис. 18) оператор Р строится путем решения дифференциального уравнения [5,6]

v2HU,z) + 92w Cx,z) + п2(7)к2н(х/2) = 0, (11-5)

3z2

w I = w(T0,z0),

1 о

где V = ^^ , -^j - поперечный оператор Гамильтона,

w(xQ) = w(x0,zQ); W(x) = w(x,z). (11.7)

При учете конечного диаметра волновода появляются дополнительные граничные условия на границе сердцевины.

Рис. 17. Геометрия расчета мод пассивного открытого резонатора

П

Рис. 18. К расчету мод волоконного световода

Моды поперечно-неоднородного волоконного световода определяют распределения комплексной амплитуды, устойчивые при распространении на любое расстояние, т.е.. удовлетворяют уравнению (1.6) при любом расстоянии прохода г, причем

ур1(г) = в*р<1ер11).

(11.8)

Согласно (11.5), (1.6) комплексные амплитуды мод волокна удовлетворяют уравнению

Уафр1(7) + [|<2п2(х) - е^]фр1(х) = 0. (11.9)

Перечислим некоторые часто встречающиеся функциональные зависимости для комплексной амплитуды модовых функций. Синусоидальные моды, представляющие ор-тонормированные на прямоугольнике 6 тригонометрические базисные функции

фр1(х) =

1

•У |С| р,1 = 0,±1,+2,

е хр (1 2тп>р ^ х) , х £ в

= (v , v, ) , v = pv (•v. = iv , к рх' 1у ' рх 1х' 1у 1у'

1 1

= 7Т ; ^ = 5Т

(11.10)

(11.11)

(11.12)

6 = {х : |х| < а; |у| < Ь}, |61 = 2а2Ь, (11.13)

описывают, например, моды не слишком высоких порядков для плоскопараллельного резонатора с прямоугольными зеркалами размера 2а * 2Ь и моды оптического волокна с прямоугольной сердцевиной размера 2а * 2Ь.

Замечательным свойством синусоидальных мод является, как уже отмечалось в разделе 2, наличие оптического каскада их прямого и обратного модового преобразования, совпадающего с обычным Фурье-каскадом при дискретизации его Фурье-плоскости. Для доказательства запишем обратное и прямое модовые преобразования

в виде двойного тригонометрического ряда Фурье ■ ш _

ы(х) = (2а2Ь) £ ы ехр(т2™ х) (11.14)

р,1 = -<=° Р р

и интегральной формулы вычисления его коэффициентов

-А а Ь - - - а-

ы . = (2а2Ь) 1 I I ы (х) ехр (-1 2пу ,х)(1 х. (11.15)

р1 -а-Ь р1

В то же время Фурье-каскад прямого преобразования при наличии во входной

плоскости экрана с прямоугольным отверстием описывается формулой

а Ь

И(^) = 11 и(Т)ехр(-т2пС х) Л3 х . (11.16)

-а -Ь

Сравнение (11.15) с (11.16) дает решение задачи прямого модового преобразования в виде

ыр1 = (2а2ЬГ*«(Ср1), (11.17)

т.е. модовые коэффициенты {и ,} равны значениям комплексной амплитуды Фурье-

Р I

образа на дискретной сетке эквидистантных точек, а мощности мод равны отсчетам интенсивности в тех же точках (см. рис. 4). Решение задачи обратного модового преобразования дается помещением во входную плоскость Фурье-каскада (см. рис. 5) растра отверстий по сетке 7р^, вырезающих и формирующих комплексную ампли-

туду

и(С) = Е .Ы(С .)б(^ - V .). (11.13)

р/ i

Тогда в выходной плоскости Фурье-каскада (рис. 5) получим поле

й(х') = £ .)ехр(т .7') = (11.19)

Р,1 Р1 Р1

= (2а2Ь)* £ м 1ехр(т2пСр1х'), р/ i

совпадающее с точностью до постоянного множителя с модовым пучком ы(х') (1.19).

Бесселееы моды описываются формулой [2]

(О ) I V |

фр1Сх) = Фр1 Ч(ор1 а } ехрС1Иа) ' 1x1 ^ 3' р,1 = 0,11,12,... (11.20) где а - полярный угол вектора х,

(О ) 1

Ф , = -т=- , (11.21)

Р а/^;(рр1)

- функция Бесселя целого порядка,

р .-р-ый ноль функции J., а - радиус круга, РI- 1

6 = [х,\х\ 5 а], (11.22)

где моды определены. Базисные функции (11.20) ортонормированы в круге 6. Бесселееы моды описывают комплексную амплитуду внутри сердцевины круглого оптическо-

го волокна с радиусом сердцевины а, а также моды на выходном зеркале плоскопараллельного резонатора с круглыми зеркалами радиуса а. Оптические модовые каскады здесь можно построить лишь для серий мод с фиксированным азимутальным номером I и изменяющимся радиальным номером р, основываясь на соотношении

а0+2ч

I ехр C-i t cos а) ехр(-ila)da = 2rci" J.(t), (11.23)

ao

известном из теории функций Бесселя [60,61].

8 силу полноты функций exp(ila) а £ [0,2п] любую функцию w(x), представленную в полярных координатах г, a

х = г cos а, у = г sin а, х = (x,y)j (11.24)

можно записать в виде суперпозиции радиально симметричных функций с фазовыми аксиальными множителями [62]

w(x) = £ w (r)exp(ila), (11.25)

l = -ao

где в силу ортогональности функций exp(ila) . 2u

w. (г) = -4- f tt(x)exp(-i la)da. (11.26)

I ¿it о

Двумерное преобразование Фурье-Функции (11.25)

«о

W(v) = ff w(x)exp(-i2Tiv x)da x,

— oo

представляется в виде 1

W(v) = Z -7 U.(v)exp(Ue), (11.27)

l = -=> i 1 1

где в - полярный угол вектора v = (v ,v ); v = Ivl, и в силу (11.23)

х у

со

WL(v) = / wL(г)JL(2nvr)2nrdr/ (11.28)

. 00 2n

W. (v) = f f w(x)J. (2rcvr)exp(-ila)rdrda. (11.29)

l ZJl 0 0 l

В силу ортогональности exp(il6) также имеем из (11.27):

I 2п

W,(v) = I W(v)exp(-iie)de. (11.30)

I ¿п О

В силу обратимости преобразования Ганкеля (11.28) [62]

ОО

ы,(г) = ; W,(v)J.(2nvr)2nvdv. (11.31)

L О I I

Подадим функцию w(x) на вход оптического Фурье-каскада. Прямое Бессель-мо* Доеое преобразование имеет вид:

(О а - Pot

wpl = Фр1 { { w(x)Va r)exp(;ila)rdrda (11.32)

I = 0,1,2,...

и. согласно (11.29). представляет отсчет функции W^(v)e точках на кольцах радиусов

PdI <11.33)

v = м = ^— vpl 2тга

при наличии экрана с круглым отверстием G (11.22) на входе.

Таким образом, прямое Бессель-модовое преобразование может быть реализовано в оптико-цифровом Фурье-каскаде. Сначала по значениям Фурье-образа W(v), зарегистрированным, например, в виде интерферограммы, находят:

. I 2п

W. (v ,) = f W(v . cos в, v . sin в) exp (-i le) de, (11.34)

I p I Л o pl PI

т.е. усредняют Фурье-образ по углу, суммируя комплексные амплитуды по кольцам

Ivl = V , с весами exp(-il6) последовательно для разных значений I. Затем по-Р I

ла гают и . - W. (v , ) .

Pi I Pi _

В частности, для полей ы(х), про которые априорно известно, что они имеют лишь серию мод с фиксированным одним значением I, коэффициенты wp^с точностью до постоянного множителя совпадают со значениями комплексной амплитуды W, взятыми на кольцах Ivl = v ^ в Фу р ье - плоскости с искажающим множителем exp(+il6), т.е. прямое Бессель-модовое преобразование может быть выполнено оптическим каскадом, представляющим Фурье-каскад, в выходной плоскости которого установлен корректирующий фазовый пространственный фильтр с функцией пропускания exp(+116).

Для радиально симметричного поля и(г), не имеющего в своем составе углового множителя, прямое Бессель-модовое преобразование осуществляется предложенной в работах [ЗЭ.^О] парой фазовых пространственных фильтров, один из которых exp(íila) установлен на входе Фурье-каскада , а другой exp(íile) - на выходе Фурье-каскада.

Обратное Бессель-модовое преобразование в этом случае, согласно (11.20), имеет вид

. со (О) р

w(x> = exp(íila) Е^ wpl фр1 JL(PpL -> (11.35)

и может быть реализовано каскадом обратного Фурье-преобразования с фильтром exp(iile) и кольцевым растром 00 (о)

W.(v) = £ w J ф i 6(v - v ) (11.36)

I р=0 pi pi pl

на входе. Действительно, в этом случае разложение (11.25) содержит одно слагае-

w (х) = uL (r)exp(ilcO, (11 -37)

где, согласно (11.31) (11.36) и (11.33), 00

W.(г) = / W,(v)J (2nvr)2nvdv = L о I

oo (о) 00 (о) г

= £ ы , ф , J.(2nv , г) = £ w . ф . J . (р . —) . р=0 pl pL 1 Pl р=0 pl pL 1 pl a

Соотношение (11.37) и последнее равенство показывают, что для и(х) реализуется представление (11.35).

Гауссовские моды [6] включают моды Гаусса-Лаrepра и Гаусса-Эрмита . Для мод Гаусса-Лагерра

„а

° ° (11.38)

ехр

2 R

ехр(±ila).

- SO -

В свободном пространстве

(о) (о) г. л

фр1 (г) = фр1 (О)ехр р к г + 1 (2р + I + 1)п(г)],

Где г го

П(г) = а г с1д — ; Я = г(1 + —) ,

2 7

а (1 + т">;

О

\Z-fn.

(11.39)

(11.40)

(11.41)

Значение 2 = 0 соответствует перетяжке. Далее а - полярный угол вектора х; 2г0 - конфокальный параметр Гауссова пучка; I- ^ (•) - обобщенный полином Лагерра

(о)

Фр1 (0) =

о/ГГс1

р+1

2т,

Для волокна с квадратичным показателем преломления вида

(11 .42)

2

П2(г) = Па(1 - 2Л ~ >/ 2

(о) (о)

V = V «»ехР^Вр^

величина ад находится по формуле [2]

(11.43)

(11.44)

°о =(^г) (А) = 2

сопвг; I? = 00 , i

= |кЧ " 7(2р + 1 + 1>

(11.45)

(11.46)

Моды Гаусса-Лагерра соответствуют зеркалам круглой формы диаметра с1 или оптическому волокну с круглым сечением. Моды Гаусса-Эрмита соответствуют зеркалам прямоугольной формы размера 2а х2Ь или оптическому волокну прямоугольного сечения. При этом должно выполняться условие параксиального приближения 2а2Ь

я 13 1 2

« 1

(11 .47)

« 1.

1*11*2

Для мод Гаусса-Эрмита

(11.48)

• i ~2

1 к х

29.

(11.49)

В случае волоконных световодов

Ф . (г) = ф . (0)ехр РI р1

Р(

- 2 4 = к п - —

I = л2

(р + I + 1)

(11.50)

(11.51)

(11.52)

а а свободном пространстве

фр1<г> = Фр1(0)ехр[тк2 + 1(р + I + 1)л<г>], (11.53)

где и Р определяются формулами (11.40). Далее, Нр(•) - полином Эрмита

р-ой степени ['•Э] ,

(О) 1 / 2

Ф I = У-ГП- • (11.54)

pl ° п. 2р р! I !

Замечательным свойством Гауссовских мод является сохранение их вида при распространении в свободном пространстве и через линзы [6]. В волоконных световодах согласно (11.8) изменяется только фаза моды за счет набега фазы. Кроме того, при распространении в свободном пространстве изменяются параметры о, R, f5pl (11.39)-(11.41), (11.53). При прохождении Гауссовских мод через Фурье-каскад с фокусным расстоянием f0 параметры О, R = &р ^ изменяются на Rp, где

°F = ЪГ ' RF = + (11'55)

а фаза изменяется на klQ + arg(i2p + l') = klQ + (2р + I) у . В силу инвариантности прохождения Гауссовских мод через Фурье-каскад его можно использовать как проекционную оптическую систему, переносящую многомодовый пучок с увеличением с выходного торца волоконного световода на модан или, наоборот, с модана на волоконный световод с уменьшением и фокусировкой. Гауссовские моды описывают моды не слишком высоких порядков для открытого пассивного резонатора со сферическими

зеркалами радиусов кривизны R ,R , расположенными с расстоянием L между верши-

1 2

нами. Гауссовские моды являются также модами градиентного оптического волокна с квадратичным профилем показателя преломления и других линзоподобных волноводных сред. Параметр- о0 находится для резонатора по формуле fill

2

°° = п "R —R Г"2Т-. (11.56)

х [L < R ^ - L)(Ra - L)(R1 + R - L)]* = + Ra " 21

а сама перетяжка находится внутри резонатора на расстоянии L ( R - L)

** ' Ri + Ra " 2L (11.57)

от выходного зеркала.

Гауссовские моды ортонормированы, строго говоря, на бесконечной плоскости, однако вследствие быстрого убывания амплитуды могут считаться ортонормирован-ными в ограниченной области.

Пользуясь квазиклассическим приближением [63], нетрудно оценить диаметр области G:

d - 2а У <2р + I) *

max

для мод Гаусса-Лаrepра и размеры области G:

2а ~ 2а У Р +4-; 2 b " 2о V I (11.58)

max 2 ' max 2

для мод Гаусса-Эрмита, где (2р + L) , р ,1 - максимальные значения

max max ma х

чисел (2р + I), р, I соответственно для рассматриваемой группы мод.

Анализ Формул комплексной амплитуды мод Гаусса-Эрмита и Гаусса-Лагерра позволяет дать для них оценку сверху:

ma х

х EG

|ф (х) I < - Л . (11 .59)

- on

При синтезе одномодового одноканально го модана Гаусса-Лаrepра или Гаусса-Эрмита, работающего в плоском ос вещающем пучке Е = const, .. _ ,, = — , и из

•У 161

(11.59) значение константы с (4.11) оценивается неравенством

где - площадь области в.

Формулы (4.29), (4.30), (11.60), (4.25) позволяют оценить энергетическую эффективность гауссовских моданов выражением

е > о2 - (11.61)

Еп 2 9п 2 |С| •

В частности, для моданоэ Гаусса-Лагерра

е г д2 . (11.62) п ап с)2

а для моданов Гаусса-Эрмита

е > 2 (11.63)

п яп 8аЬ

Правые части оценок соответствуют основной моде, т.е. гауссовскому пучку, ограниченному областью в и формируемому из плоского пучка. При формировании мод более высоких порядков (р,1) е^ определяется скорректированными формулами

с(Р/1) _ , а гс О2 ...

Еп " V 9п 2 ТбТ (11.64)

где - коэффициент, больший единицы, определяемый исследованием максимумов

Функций (11.38), (11.49). Например, для мод Гаусса-Эрмита 1 , = г г., где чис-

р I Р I

ла ^ приведены в табл. 2.

Таблица 2

Р ! 0 1 ! 2 ! J ! * ! 5 ! 6 ! > ! 8 ! 9 ! lb ! 11

t Р 1 1,36 1,59 1 ,64 1,72 1 ,80 1 ,85 1 ,91 1 .93 1 .99 2 ,09 2,12

Перейдем к оценке погрешностей дискретизации для Гауссовских мод на примере мод Гаусса-Эрмита, формируемых из плоской волны моданом с несущей v = (v,0) так, что перетяжка находится в плоскости модана. Тогда в (11.49) R = 00, а производная может быть представлена выражением

фр(х> = £ [/рфр.^х) - /^Тфр+1(х)], (11.65)

следующим из рекуррентных соотношений полиномов Эрмита Н (•) Г491. Соотношение

Р

(11.65) и свойство ортонормированности функций (1.7) позволяют получить простые выражения для матричных элементов возмущений. В случае плоской освещающей волны (Е(х) = const) и квадратного сканирующего пятна размера 6 = 6, = 6а формулы (?.32), (3.38) из раздела 3 с учетом рекуррентных соотношений для полиномов Эрмита [49] дают

„(pl)__1_ Ja

vp'i- " 12м, 6u<

+ У <Р + 1>(р' + 1) )брр1 -

-Ур(р- ♦ 1) бр_2,р. " ^ <Р + 1)Р'6р+2/Р' + брр1[(/ГГ' + У а + 1)(1- + 1})б и, - У кг + »б^^, -

- ♦ 1)1- ®i+2,i']J +2[1 " sinc (rls1nc([)] 6pp'6ll" Нр • L • = "аХч- + f1 " Sinc Gfc)

l v

Ур • б

(11.66)

б , + pp

í sinc(J-) - cos(i)

1 I _V_V . . 1 . .

Ñ~ |-Г—- .ше(1Г)в111

o 2n/N v

p + 1,p

, - Ур ' +1

Vl,p'

+ siní^)

V

sinc(j^-) - eos (JM 1 . V Nv

2u/Ñ

PP

ч _ с i / с \ sin TlE

No - fi ' s1n'<£> = ng * ,

N = -- N = -г •

V V б ' V V б x у

(11.67)

(11.68) (11.69)

Величины N , N , ^ показывают, сколько элементов разрешения б укладывается соответственно на радиусе а основной моды, на периоде несущей по оси х и по оси у. В частности, диагональные элементы

„(р) = Q(pD = Р * I + 1 +

pipi

6 N

1 - sinc sinc (~—)

v nv

(11.70)

1 - sinc (.—) sinc (J-) % NXJ

(11 .71 )

н(р) _ н(р1) _ _ Р + I + 1

р1р1 " 6К2

О

являются вещественными.

Рассмотрим пример. Пусть изготавливается одноканальный одномодовый модан размера 2а = 2Ь = д, формирующий из плоской освещающей волны лишь одну моду Гаусса-Эрмита (11.49) с номером р = (р,1) и параметрами о, Я = Используется

способ фазового кодирования с несущей, \»х = v, v = 0. Задано разрешение б. Коррекция не производится, т.е. г = 0. Множество К здесь состоит из одного индекса р = (р,1). Требуется оценить характеристики:

коэффициент снижения энергетической эффективности 2

О = |1 ♦ нСр)

и относительная погрешность Формирования моды ф

pl

a Q(p> - |н(р)|2

6f " --а

♦ нСр)

(11.72)

(11.73)

1 ♦ Н

-s4-

Из ( 1 1 . 70)-( 1 1 . 73) полумаем расчетные формулы:

р + i * 1 , . , 1 ,

- с----+ япс(—)

- .2 N

бм V

(11.74)

-

-1 [

р + I + 1 бм2

+ 2

1 - этпсС—)

N

v

р + I + 1

бм2

+ 2

1 - 51ПС( —) N

v

(11.75)

При 6 0 имеем -* N » и> как следовало ожидать, д — 1, б^ -» 0.

При конкретном 6 > 0 первые слагаемые в (11.74) и (11.75) описывают погрешность дискретной передачи несущей,

|| а ■ и I и и л п ц и л ^ • пипоьиьпц! опачсппл ц п чу #

р1 f

а вторые слагаемые - погрешность дискретного представления модовой функции ф . . В таблицах 3, 4 приведены значения д и в за-

висимости от N

N

р + 1 .

Таблица 3

Коэффициент д снижения энергетической эффективности из-за дискретизации (N^=4)

"о р+1 ! ! 0 1 ! 5 ! ! 10 1 ! ! 50 ! 1 ! 100 I

5 0,797 0 ,740 0,684 0,318 0,053

10 0 ,807 0,792 0,778 0 ,664 0 ,536

20 0,810 0 ,806 0 ,804 0,785 0 ,762

30 0,810 0 ,808 0 ,807 0,794 0 ,776

Таблица 4

Зависимость характеристики точности модана от несущей пространственной частоты

(Мо=10, р+1=Ю)

N v 1 7 Т- 1 4 6 ! 8 ! '6 | ¿0

Р 0 . 374 0,778 0 ,868 0,913 0 ,924 0 ,954

0 ,758 0,218 0,118 0,070 0,058 0,028

С ростом порядка (р+1) моды фр ^ энергетическая эффективность падает, а погрешность формирования моды растет. Задаваясь спадом д энергетической эффективности и максимальным значением среднеквадратичного уклонения , получим оценку максимального порядка моды, оптический элемент.

(р + 1) х = Чп(Р1#Ра>,

шах

которую можно записать на изготавливаемый

(11.76)

где

Р = 6N

6Мо[51пс(?Г) " " ь

1 v

[б2 - 2 (1 - з1пс(г!-)) 1 [ fшах ^ N ' ]

(11.77)

Следует также учитывать ограничение ширины моды ~о Ур * С,5 * с 1 + 0,5 размером с) оптического элемента, порождающее оценку

Р <; Рз; I < Рз; Рз = 4(£)2

(11.78)

Так, при ц = 0,8, N = 4; 6. = 0,2, Ь = 5 мм, б = 25 мкм получим

V т та х

р + 1 < 21 при = 26 или р + 1 < 2 при N = 10.

С ростом несущей пространственно частоты v (т.е. с уменьшением N ) энергети-

2 ^

ческая эффективность падает, а среднеквадратичное уклонение б, увеличивается, • т

т.е. одновременно происходит улучшение качества формируемого распределения комплексной амплитуды и растет доля падающего на него светового потока. Таким образом, при наличии дискретизации следует минимизировать пространственную частоту v. Следует, однако, иметь в виду, что нижняя граница v определяется условиями разделения нулевого и первого дифракционных порядков.

В качестве другого примера оценим характеристики точности модового анализа полей, содержащего 1-о=10 поперечных мод Гау сса - Э рми т а (11.4д) с й = °° , одинаковой мощностью и номерами (р,1) = р, удовлетворяющими неравенству

0 < р + I < 3. (11.79)

Относительная погрешность модового анализа (10.24) дается здесь формулой

.2 = Q(P>* - Ih'pM2 II w i

h ♦ н'рЧ2 I(ы,Ф_)

(11.80)

где

_B_

= 17- (1 1 .81 ) II «Г Nc

Q „(P) ,.(P)

при равномёрном распределении мощности по модам в w. Значения Q , г

2

приведены в (11.70), (11.71). В табл. 5 приведены значения 6а для различных N^ при v = 0. Видно, что уже при о = 56 относительная погрешность не пре-

вышает одного процента.

Для сравнения в таблицах 6 и 7 приведены аналогичные числа для полей, содержащих по 10 мод Гаусса-Эрмита, но с номерами (р,1) более высокого порядка.

Значения б2

а

Табли на

(р, 1) N = О а! б! 1 ___1 2 3 _ 4 ! 1 ; 5 1 Г 1 1 1 1 0

(0,0) 0,035 0,007 0,002 0,001 10-"

(0,1), (1 ,0) 0,104 0,021 0,006 0,003 2 .10-"

(0,2), (2,0) 0,165 0,032 0,010 0,004 3 .10-"

(1,1) 0,1 56 0,031 0,009 0,004 1 .10-"

(0,3), (3,0) 0,304 С ,060 0,019 0,008 5 .10-"

| (1,2), (2,1) 0,287 0,057 0,013 0,007 5 •10-"

Значения 6?

Таблица 6

(р, 1) N = 2 6 т- 1 ; 2 1 Т-1- ! з | * ! ! 1 ! ; 5 ! ; ю

(0,4), (1,3), (2,2) (4.0), (3.1) 0,434 0,086 0,027 0,011 7.Ю-4

(0,5), (4.1), (3.2) (1,4), (2,3), 0,625 0,124 0,039 0,016 0,001

Таблица 7

Значения 6а а

(р, 1) N -я! о б ! 1 2 ! ! ! ! з ; * I ! I ! ! ' ; ! 10

(2,5), (4,3), (6,1), (3,4), (5,2), (7,0) 1,111 0,219 0,069 0,028 1,8-10" 3

(0,8), (2,6), (1,7), (3,5) 1,406 0,278 0,088 0,038 2,2-10-э

12,Реализация и экспериментальное исследование моданов

Исследовался реализованный по технологии компьютерной оптики [37,64,65] на бор фазовых и амплитудных мода нов Гаусса-Лагерра с номерами р = (р,0), где р = 0, 1, 2. Рабочая длина волны X - 0,63 мм, а « 5 мм, о = 0,65 мм; несущая пространственная частота = 10 линий/мм, V » 0; разрешение на элементе 6 = 25 мм; число отсчетов 256x256; Фтах = п; ДА - 0,7, А0 « 0,1. Рабочий поря док - первый (п = 1).

Быстрое убывание модовых функций Гаусса-Лагерра приводит к тому, что форми рование полезного светового поля в первом дифракционном порядке выполняется лишь центральной частью моданов, имеющей большую глубину модуляции штрихов синусоидальной дифракционной решетки. При этом моданы становятся чувствительными к таким факторам, как неравномерность освещающего пучка Е(х) и нелинейность передачи синусоидального амплитудного и фазового пропускания.

Пусть освещающий пучок круглой апертуры отличается от плоской волны тем,

— 2

что интенсивность I С х) = |Е(х)| имеет неравномерность от I . до со сред

_ т 1 п тп а х

ним значением I.

I = утр / 1<7)с12х. (12.1)

|Б| с

При попадании рабочей центральной части модана на область освещающего пучка с интенсивностью 1.1. < I < I , на первый дифракционный порядок будет

(п т п го а х

работать интенсивность I вместо интенсивности I в модели равномерного освещающего пучка. Таким образом, для учета неравномерности освещающего пучка следует добавить множитель 1/1,

I . .1

< I < -ЕИ* , (12.2)

I I I

в правые части теоретических формул для энергетической эффективности еп и рассматривать характеристики моданов вместе с конкретным освещающим пучком.

Заметим, что относительные эффективности фазовых и амплитудных моданов при этом не изменяются вследствие геометрического соответствия этих элементов. Если же освещающий пучок окажется равномерным (I ^ = I = то полоса теорети-

ческих значений стянется в одно конкретное число.

Измерение неравномерности освещающего пучка производилось [бб] линейкой ПЗС-фотоприемников и обрабатывалось на микроЭВМ. В результате получено, что неравномерность интенсивности по отношению к среднему значению I лежит в интервале

0,51 = <; I 5 ^ = 1,83. (12.3)

I I I

Таким образом, для данного освещающего пучка теоретические Формулы предскажут довольно широкую полосу значений, однако для равномерного освещающего пучка полоса станет узкой.

Влияние нелинейности передачи синусоидального амплитудного и фазового пропускания теоретически учесть трудно, однако качественно она приводит к увеличению рабочей области элементов с ненулевой глубиной модуляции, т.е. к фактическому увеличению радиуса основной моды о для модана по сравнению с используемым в расчетах значением.

Измерение энергетической эффективности моданов производилось [66] в оптической установке, схема которой поиведена на рис. 19. Лодан М, ограниченный диафрагмой 0 диаметра 5 мм, освещается плоской световой волной, выходящей из расширителя Р пучка лазера Л типа ЛГ-79. Полученный пучок изучается в плоскости 01 отстоящей от М на расстояние Iо = 800 мм, на котором нулевой и первые дифракционные порядки полностью разделяются.

Рис. '9. Оптическая схема измерения энергетической эффективности модовых оптических элементов

Световой поток, направляемый в первый порядок, измерялся фотоприемником с апертурой 01 диаметра 6 мм. Падающий световой поток измерялся фотоприемником Рв, помещенным вместо элемента М. Приведенные в табл. 8 и 9 результаты показывают, что в полезный первый порядок у фазовых моданов идет -1-2,51 светового потока, попадающего на диафрагму 0, в то время как у амплитудных моданов лишь -0,1+ 0,25% светового потока. У соответствующих фазовых и амплитудных дифракционных решеток эти цифры составят, согласно формулам (4,28)-(4.30), 32,3 и 3,1% соответственно, т.е. в -30 раз больше, поскольку решетки используют весь световой поток, падающий на диафрагму й диаметра 5 мм, а моданы - лишь часть, попадающую на размер "2о = 1,3 мм. При повторении эксперимента с преднамеренным сдвигом неравномерного освещающего пучка абсолютные значения энергетической эффективности незначительно менялись.

Таблица 8

Энергетическая эффективность амплитудных моданов

р 1 Ееп П П е1 , Ю"а

теор. э ксп. теор. эксп.

0 0 0,205 0, 197 0,05т0 ,19 0,15

1 0 0,210 0 ,26

2 0 0,222 0 ,30

Таблица 9 Энергетическая эффективность фазовых моданов

Р 1 2еп п п в,, 10"а

теор . эксп. теор . эксп .

0 0 1.0 0 ,65 0,6*2,1 1 ,4

1 0 0,67 2,1

2 0 0,62 2,6

Однако сравнительные характеристики амплитудных и фазовых моданов (табл. 10 оказались стабильными и не зависящими от случайности в реализации эксперимента. Значения энергетической эффективности для моды (0, 0) находятся посередине полосы теоретических значений (см. табл. 8, 9), рассчитанных с учетом неравномерности (12.3). Некоторое превышение экспериментальными значениями е., верхней границы теоретической полосы для мод (1,0) и (2,0) обусловлено нелинейностью передачи гауссовской формы модуляции штрихов решетки. Однако выигрыш в энергетической эффективности фазовых моданов по сравнению с амплитудными составляет 8-9 раз, что в среднем близко к теоретическому значению 11,1 (см. табл. 10).

Для экспериментальной проверки качества формирования отдельных мод Гаусса-Лагерра собиралась установка [66] по схеме, представленной на рис. 20. Плоский световой пучок, выходящий из расширителя через диафрагму й диаметра <1-5 мм, поступает на модан М. Полученный модоеый световой пучок преобразуется Фурье-

Таблица 1С

Сравнительные характеристики фазовых и амплитудных моданов

р 1 1 ампл . 1 и .12/1ы .121ампл. Р1 р(

теор. эксп. теор . эксп .

0 0 11,1 9,3 11,1 7,2

I 0 8,1 7,9

2 0 8,7 7,3

каскадом, собранным на базе объектива I. с фокусным расстоянием 10 = 300 мм. Поле в первом дифракционном порядке фокальной плоскости через диафрагму 0 диаметра 1 мм проходит на фотоприемник РЭ, выполненный в виде линейки ПЗС-ячеек размера 15*15 мм каждая. Сигнал с ПЗС-линейки поступает на измерительный электронный модуль V с цифровой илдикацией и отображается на экране осциллографа. Смена оптических элементов М осуществляется механически с помощью специальной кассеты.

и х

Рис. 20. Формирователь модового состава

Измеренные распределения интенсивности в фокальной плоскости для фазовых моданов, нормированные по суммарной интенсивности, приведены на рис. 21 а, б. Там же приведены соответствующие графики для амплитудных моданов, измеренные при ~7-10-кратном увеличении интенсивности освещающего пучка, а также теоретические распределения интенсивности ортонормированных мод Гаусса-Лагерра. Анализ рис.21 а, б показывает, что экспериментальные кривые хорошо согласуются с теоретическими, причем размер основной моды (0,0) (см. рис. 21а) на уровне ~2 - 0,1 составляет 12-14 элементов ПЗС-линейки, что близко к теоретическому

значению 2^— - 0,2 мм и достаточно для измерений распределения интенсивности.

Путем обработки измеренных распределений интенсивности для амплитудных и фазовых моданов были определены относительные среднеквадратичные погрешности б2 по критерию (10.25) (табл. 11).

Для измерения поперечно-модового состава на примере плоской волны использовалась также схема (см. рис. 20), но с точечным фотоприемником РЭ, выполненным в виде фотодиода с диафрагмой диаметра 20 мкм, установленного в центре первого дифракционного порядка. Юстировка модового элемента осуществлялась по максимуму

1Фоо1а

|ф 12 ьси

0,5

\ ^

N. ««Л4»

0,5

I ,0 б

1 ,5

Рис. 21. Распределение интенсивности |ф |а(г), г=Ух*

ро

ортонормироеанных

мод Гаусса-Лагерра, рассчитанное (---), экспериментально измеренное для фазовых моданов (х-*-х) и для амплитудных моданов (.-._.):

а) р=0; б) р=1

центрального типа распределения интенсивности. Для согласования диапазонов измеряемых значений мощности мод производилась нормировка путем деления результатов на интенсивность в центре нулевого порядка при отсутствии модового оптического элемента М. Измеренные значения мощности мод приведены в табл. 12 как для фазовых, так и для амплитудных моданов. Выигрыш в энергии при измерении распределения мощности по модам с помощью фазовых оптических элементов по сравнению с амплитудными составляет - 7-8 раз (см. табл. 10), что несколько меньше теоретического (-11,1). Расхождение обусловлено несовершенством технологии отбеливания .

Таблица 11

Таблица 12

Значения относительной погрешности формирования модового состава

Измеренные распределения мощности по модам в плоско-параллельном пучке

р 1 0> -к и ба1ампл .

0 0 0,028 0,017

1 0 0,118 0 ,069

2 0 0 , 155 0 ,084

Р - 1 '"р1'а/'к'00'а 1Ыр1 13/1ыоо1ампл-

0 0 1.0 1 .0

1 0 1.6 1 .<*

2 0 1.8 1,8

Для качественного подтверждения работоспособности многоканальных моданов синтезирован двухканальный одномодовый модан для одновременного выделения = 2 мод Гаусса-Лагерра с индексами (р,1) = (0,0) и (р,1) = (1,0), причем V110' = = N,0); v<01>= (0^) , где v = 10 лин./мм. Разрешение фотошаблона б « 25 мкм, о «= 0,65 мм. Одновременно синтезировались два одноканальных одномодовых модана с соответствующими пространственными частотами.

Исследование проводилось [67] в экспериментальной установке для анализа поперечно-модово го состава, собранной по схеме рис. 22, усовершенствующей одно-канальную схему [31] •

Рис. 22. Оптическая схема установки экспериментального исследования многоканального модана

При фокусном расстоянии объектива 1-з, равном Р0 = 750 мм, размер корреляционного типа составил 100-150 мкм, что соответствует 8-12 элементам линейного Фотоприемника РБ. Смена моданов осуществлялась механически, с последующей юстировкой. Двухканальный модан помещался в плоскость М,. При помещении в плоскость

М2 одноканального одномодового модана, синтезированного на моду (0,0), корреля-

( 1 ,0)

ционный пик наблюдался в точке А Ро V фокальной плоскости. При помещении же

модана, синтезированного на моду (1,0), корреляционный пик наблюдался в другой

-.{О, 1)

точке А Рс V . Таким образом, двухканальный модан действительно формирует

параллельно два модовых пучка с модами Ф00 и Ф1о соответственно, а одноканаль-ные моданы - по одному модовому пучку с Ф00 или ф соответственно. Таким образом, экспериментально подтверждена работоспособность многоканальных и однока-нальных моданов.

Литература

1 . М а

2. У н Мир, 1980.

3. К о связь. М. :

4

5

6 7

и

р к у з е Д. Оптические г е р Х.Г. Пленарные и

волноводы, М.: Мир, 1974. волоконные оптические волноводы.

М . :

Флере Ж., Мэтр Г., Руссо М.

Оптика и

и в л и м

ция

з а н н е А., : Мир, 1984.

ус X. Волны и поля в оптоэлектронике. М.: Мир, 1988. у э р Дж. Оптические системы связи. М.: Радио и связь

А. Оптическая электроника. М.: Советское радио, 1986. е н о С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. Дифрак-волноводное распространение оптического излучения. М.: Мир, 1989. й. Карлов Н.В. Лекции по квантовой электронике. М.: Наука, 1983-

9. 3 в е л т о 0. Принципы лазеров. М.: Мир

10. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы лазерного излучения. М.: Наука, 1979-

11. Р у д и н У. Функциональный анализ. М.:

12. Справочник по лазерам. Ч. II. (Под ред 1978.

ц Е.М. Теория в Фурье-оптику. М.: P., J о г d о п J.A. IBM

1989.

1984.

и проблема расходимости

Мир , . А .М

Сов

1975. Прохорова).

м.

поля

1973.

М . : Наука , Мир, 1970. The kino form: а J. Res. Develop., 1969, v. 13,

new

in op-

Mode division multiplexing 21, N 11, p. 1950-1955. J., F a c q P. Microbending effects fibers. Journ. Opt. Soc. Amer.,

радио,

13- Ландау Л.Д., Лифши

14. Г у д м е н Дж. Введение

15- L е s е m L.B., Н i г s с h wavefront reconstruction device, p. 150-155.

16. Berdague S., F а с q P. tical fibers. Appl. Optics, 1982, v.

17. D e F о г n e I F., A r n a u d on monomode light propagation in multimode 1983, v. 73, N 5, p. 661-668.

18. Krivoshlykov S.G., Si s a k у a n I.N. Mode coupling between two connected multimode parabolic-index optical waveguides. Optical and Quantum Electronics, 1979, v. 11, p. 393-405.

19. Krivoshlykov S.G., Si sakyan I.N. Optical beam and pulse propagation in inhomogeneous media. Application to multimode parabolic-index wavequides. - Opt. and Quant. Electr., 1980, v. 12, p. 463-475

20. Кривошлыков С.Г., С и с а к я н И.Н. Когерентные состояния и непараксиальное распространение света в градиентных средах // Квантовая электроника, 1983, т. 10, с. 735-741.

21. К a p a n у N.S. Fiber Optics: Principles and Applications. New York: Academic, 1967.

22. Determination of modal pover distribution in graded-index optical wave-guides from near-field patterns and its application to differential mode attennuation measurement. / Y. Diado, E. Miyauchi, T. Twa-ma, Г. Otsuka. Appl. Opt., 1979, v. 18, N 13, p. 2207-2213.

23. Determination of mode power distribution in a parabolic index optical fibers. Theory and application. /К.1. Kitayama, M. Tateda,

S. Seikai, N. Vchida. - IEEE J. Quantum El., 1979, v. QE-15, N 10, p. 1161-1165.

24. Shigezawa H., Mat s u о Т., Takiyama К. Measurement of exitation condition and quantitative mode analysis in optical fibers. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 1978, v. MTT-26,

N 12, p. 992-997.

25. С о й ф е р В.А. Цифровая голография. Достижения и проблемы // Матер. IX Всесоюзн. школы по голографии и когерентной оптике. Л.: ЛИЯФ, 1977, с. 199-228.

26. С о й ф е р В.А. Цифровые голографические фильтры для систем автоматизации научных исследований // Матер. IX Всесоюзной школы по автоматизации научных исследований. Л.: ЛИЯФ, 1977, с. 350-354.

27. Si sakyan I.N., S о i f е г V. A. Fine optics synthesized by a computer. Abstracts of Papers presented at Fifth Intern. Conf. on Lasers and Their Applications, Dresden, 1985, p. 23-25.

28. Си с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А. Компьютерная оптика, достижения и проблемы // Компьютерная оптика, вып. 1. М.: МЦНТИ, 1987, с. 5-19.

29- С и с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А. Моданы - оптические элементы для анализа и формирования поперечно-модового состава лазерного излучения // Компьютерная оптика, вып. 4. М.: МЦНТИ, 1989.

30. Ярославский Л.П., Мерзляков Н.С. Цифровая голография. М.: Наука, 1982.

31. Голуб М.А., Прохоров A.M., С и с а к я н И.Н., С о й -

ф е р В.А. Синтез пространственных фильтров для исследования поперечного модового состава когерентного излучения // Квантовая электроника, 1982 , т. 9, N1 9, с. 1 866-1868.

32. Голуб М.А., Кривошлыков С.Г., Прохоров А.М.^Си-сак я н И.Н., С о й ф е р В.А. Пространственные фильтры для анализа и формирования поперечно-модовой структуры когерентного электромагнитного излучения. Препринт И" 21, ФИАН СССР. М., 1 983.

33- Голуб М.А., К а р п е е в С.В., Кривошлыков С.Г., П р о-хоров A.M., С и с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А. Экспериментальное исследование пространственных фильтров, разделяющих поперечные моды оптических полей // Квантовая электроника, 1983, т. 10, N" 8, с. 1700-1701.

34. Голуб М.А., К а р п е е в С.В., Кривошлыков С.Г., Прохоров A.M., С и с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А. Экспериментальное исследование распределения мощности по поперечным модам в волоконном световоде с помощью пространственных фильтров // Квантовая электроника, 1984, т. 11, № 9, с. 1 869- 1 87 1 .

35-Garitchev V.P., G о I u b М.А., К а г р е е v S.V., К г i v о-s h I у k о v S.G., P e t г о v N.I., S i s a k у a n I.N., S о i f e r V.A., Haubenreisser W., Jahn J.U., U i I I s с h R. Experimental investigation of mode coupling in multimode graded index fiber caused by a periodic microbends using computer-generated spatial filters. -Opt. communs, 1985, v. 55, p. 403-405.

36. Г a p и ч e в В.П., Голуб М.А., К а р п е е в С.8., Кривошлыков С.Г., С и с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А., Уваров Г.В. Применение синтезированных голограмм для селективного возбуждения мод градиентного оптического волокна и исследования их чувствительности к радиальному смещению возбуждающего пучка // Компьютерная оптика, вып. 3. м.: МЦНТИ, 1988;

37. Голуб М.А., К а р n е е в С.В., Казанский Н., М и р -зов А.В., С и с а к я н И.Н., С о й ф е р 8.А., Уваров Г.В. Фазовые пространственные фильтры, согласованные с поперечными модами // Квантовая электроника, 1988, т. 15, * 3, с. 617-618.

38. В а г t е I t Н.О., L о h m а п п A.W., Freude Ы., Grau G.K. Mode analysis of optical fibres using computergenerated matched filters. Electronics letters, 1983, v. 19, N 7, p. 247-249.

39. Березный A.E., Прохоров A.M., С и с а к я н И.Н., С о й-фер В.А. Бессель-оптика II Доклады АН СССР, 1984, т. 274, If 4,

с. 802-805-

40. Б e p e 3 h ы й A.E., С и с a к я h И.H. Синтезированные фазовые элементы для интегральных преобразований когерентных оптических полей // Компьютерная оптика, вып. 4. М.: МЦНТИ, 1989, с. 9-37.

41. Голуб М.А., С о й ф e р В.А. Устойчивость разложения Карунена-Лоэва и машинный синтез оптимальных пространственных фильтров II Спектральные методы обработки информации в научных исследованиях: Труды Всесоюзного семинара. Пущино, 1980, с. 108-134.

42. Голуб М.А. Дискретизация в эталонных модовых элементах компью терной оптики II Компьютерная оптика, вып. 3- И.: МЦНТИ, 1988, с. 35"46.

43. Louenthal S., С h a v e I P. Reduction of the number of samples in computer holograms for image processing. Appl. Optics, 1974,

v. 13, N 4, p. 718-720.

44. Д e h и с ю к Ю.Н., Давыдова П.Н. Оптика и спектроскопия, 1986, т. 60, (Г 2, с. 365.

45. В a r t e I t H., Case S.K. High-effi с iency hybrid computer-generated holograms. Applied Optics, 1982, v. 21, N 16, p. 2886-2890.

46. Kirk J.P., Jones A.L. Phase - only complex - valued spatial filter. Journ. Opt. Soc. Amer., 1971, v. 61, N 8, p. 1023-1028.

47. Chu D.C., F i e n u p J.R. Recent approaches to computer generated holograms. Optical Engineering, 1974, v. 13, N 3, p. 189-195.

48. Б о p н M., Вольф Э. Основы оптики. M.: Наука, 1973.

49. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977 .

50. Голуб М.А., С о й ф e р В.А. Алгоритм восстановления поля по конечному набору коэффициентов ортогонального разложения с возмущенным базисом // Труды МФТИ, сер. Радиотехника и электроника. Долгопрудный, 1978, с. 50-55.

51 .* Г о л у б М.-Л.,С о й ф e р В.А. Конструктивный подход к использованию разложения Карунена-Лоэва в устройствах оптимальной обработки сигналов II Тез. докл. IV Международного симпозиума по теории информации. Ч. 1. М.-Л., 1976, с. 31-33.

52. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971.

53. Тихонов А.Н., А р с е н и н В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

54. Арефьев Е.Ю., Бамбулевич К.Э., Голуб М.А., К а р -п e е в C.B., С и с а к я н И.Н., С о й ф e р В.А. Сравнение двух методов измерения распределения мощности по модам // Квантовая электроника, 1988, т. 15, 12, с. 2467-2470.

55- К о'т л я р В.В. Разложение когерентного поля по ортогональному базису // Компьютерная оптика, вып. 5. М.: мцнти, 1989, с. 31-33.

56. Когерентно-оптические устройства для обобщенного спектрального анализа / Гибин И.С., Нежевенко Е.С., Потатуркин О.И., Твердохлеб П.Е. Автометрия, 1972 , N" 5, с. 3-10.

57. Островский A.C., P а л л е в И.Н., Почерняев И.М. Когерентный оптический ортогональный фильтр // Голография и обработка информации. Л.: Наука, 1976, с. 141-146.

58. Голуб М.А., К а p п e е в C.B., Нежевенко Е.С., С о й -ф e р В.А., X о ц к и н В.И. Исследование пространственных фильтров, синтезированных на ЭВМ // Вопросы кибернетики, в. 62. М.: 1979, с. 56-63

59- Lee S.H. Mathematical operations by optical processing. -Opt. Eng., 1974, v. 13, N 3, p. 196-207.

60. В a t с о н Г.H. Теория бесселевых функций. Т. 1. М.: ИЛ, 19^9-

61. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций, м.: Наука, 1974.

62.Папулие А. Теория систем преобразований в оптике. М. : Мир, 1977.

63. Ландау Л.Д., Л и ф ш и ц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1 974.

64. Государственный фонд алгоритмов и программ. Per. If П004582 от I.O9.I98O. В информационном бюллетене: Алгоритмы и программы 1980, (Г 6, 38, с. 42.

65. Пакет прикладных программ обработки изображений и цифровой голографии. Программы синтеза искусственных оптических элементов. /Под ред. Сойфера В.А. Куйбышев: КуАИ, 1984.

66. Голуб М.А., С и с а к я н И.Н., С о й ф e р В.А., Уваров Г.В. Оптические элементы для анализа и формирования поперечно-модового состава II Квантовая электроника, 1989, т. 16, N" 4, с. 832-840.

67. А д ж а л о в В.И., Голуб М.А., К a p п e е в C.B., С и с а -

к я н и.Н., С о й ф e р 8.А. Многоканальные элементы компьютерной оптики, согласованные с группами мод // Квантовая электроника, 1990, т. 17, N1 1.