Исследование поперечно-модового состава бездисперсионных многомодовых пучков с помощью корреляционных фильтров Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНО-МОДОВОГО СОСТАВА БЕЗДИСПЕРСИОННЫХ МНОГОМОДОВЫХ ПУЧКОВ С ПОМОЩЬЮ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФИЛЬТРОВ

В. С. Павельев, С.В. Карпеев, М. Дюпарре1, Б. Людге1, К. Рокштул1, З. Шротер2 Институт систем обработки изображений РАН Самарский государственный аэрокосмический университет 1Институт прикладной оптики Фридрих-Шиллер Университета (Йена, Германия)

2Институт физических высоких технологий (Йена, Германия)

Аннотация

Моды лазерного излучения - пучки, амплитудно-фазовые распределения, в поперечном сечении которых описываются собственными функциями оператора распространения света в волноводной среде. Двумерный характер сечения реальных волноводов допускает существование пучков, амплитудно-фазовое распределение в поперечном сечении которых описывается суперпозицией нескольких мод, обладающих одинаковым значением постоянной распространения. Такие пучки ранее были названы «бездисперсионными» [1] из-за их способности распространяться с нулевой межмодовой дисперсией, подобно отдельным модам. Распространение такого пучка в волноводе происходит без возникновения уширения импульса, вызываемого межмодовой дисперсией. Такие пучки могут найти интересные практические применения, например, для построения высокоэффективных линий оптической связи. Отметим, что пучки такого вида сохраняют амплитудно-фазовую структуру при распространении в среде, подобно отдельным модам. Произвол выбора коэффициентов при разных модах в пучке дает дополнительную степень свободы при построении итерационной процедуры расчета дифракционных оптических элементов - формирователей таких пучков. Данная статья содержит результаты натурного исследования бездисперсионных пучков, формируемых дифракционнооптическими элементами, в частности, результаты измерения поперечно-модового состава бездисперсионных пучков с помощью специальных модовых корреляционных фильтров, реализованных как амплитудные голограммы.

Введение

Фундаментальными свойствами мод являются свойства сохранения поперечной амплитудно-фазовой структуры отдельных мод и взаимной ортогональности при распространении в соответствующих волноводных средах (например, в свободном пространстве или волноводе) [1-3]. В работах [3, 4] рассмотрены МОДАНы - дифракционные оптические элементы, позволяющие формировать и селектировать моды лазерного излучения. Как будет показано ниже, двумерный характер сечения реальных волноводов допускает существование пучков, амплитудно-фазовое распределение в поперечном сечении которых описывается суперпозицией нескольких мод, обладающих одинаковым значением постоянной распространения. Такие пучки ранее были названы «бездисперсионными» [1] из-за их способности распространяться с нулевой межмодовой дисперсией. В данной статье ограничимся рассмотрением Гауссовых мод, характерных для градиентных волокон с параболическим профилем.

Основной формализм

Для градиентного волоконного световода с поперечно-неоднородным показателем преломления п(х) волновые фронты направляемых мод являются плоскими [2]. В этом случае оператор распространения Р связывает решение Р(х,г) уравнения Гельмгольца

Р(х,/) +-а2 ’ ) + п2 (х)к2Р(х,г) = 0 (1)

с граничным значением комплексной амплитуды р|г=0 = Р(х,0), где У±=(д/дх, д/ду) - поперечный дифференциальный оператор Гамильтона (рис. 1).

в градиентном волокне

При учете конечного диаметра волновода появятся дополнительные граничные условия на границе сердечника. Моды градиентного волокна имеют плоский волновой фронт и удовлетворяют уравнению [3]

(х)+[к 2 п' (х)- в ] у () =0. (2)

Для произвольного значения г имеем Р(х, г) =Ур у (х), (3)

Гр = ехр(і^рг), (4)

К =вр + Ч , (5)

где вР — константа распространения, др — коэффициент затухания моды ц/р, р = (р,1).

В [3] показано, что в случае параболического профиля

( (х2 + у2 )

п2 (х,у) = П 1 - 2Д----------------------------5- , (6)

где a -радиус сердечника волокна, Yp (z) = exP(z)

где

вр =

(7)

(8)

к - волновое число, а - радиус основной моды, гр = гр (Р,1).

Решения уравнения (2) в этом случае могут быть записаны через полиномы Эрмита [3]:

Ур(x) = Ep,Hp

Epl =-

( yflx ' H, fV2у Ї

G \ / G \ /

1 2

n2 p+' p!

ехр

(9)

где Нр (•) — полином Эрмитар-го порядка.

Причем [3],

Гр = р +1. (10)

Отметим интересную особенность пучков, состоящих из гауссовых мод с одинаковым значением постоянной распространения . Комплексная амплитуда в сечение таких пучков имеет следующий вид:

Хр (x) = S CiVivo(x).

(ll)

Распространение пучков вида (11) будет напоминать распространение отдельных мод ^р(х). В самом деле, пучок когерентного света с поперечным сечением вида (11) будет обладать свойством самовоспроизведения амплитудно-фазовой структуры в ходе распространения в соответствующей среде. Пучки такого вида называют инвариантными модо-выми пакетами (точнее, они являются разновидностью инвариантных модовых пакетов, о которых подробнее можно прочитать в [5]) или многомодовыми бездисперсионными импульсами.

Подобно отдельным гауссовым модам, пучки вида (11) не изменяют своей амплитудно -фазовой структуры при распространении в линзоподобных средах, свободном пространстве, при прохождении через Фурье-каскад, изменяя лишь фундаментальный модовый радиус.

Исследование поперечной амплитудно-фазовой структуры бездисперсионных пучков

Для исследований фундаментальных свойств бездисперсионных многомодовых пучков был изготовлен МОДАН, предназначенный для преобразования гауссова пучка с поперечным распределением интенсивности в плоскости установки ДОЭ

10( X, У) = exp

G 01

(l5)

и постоянной фазой в сумму мод Гаусса-Эрмита с номерами (4,0) и (2,2) с единичными весами:

X (Х) = X Ci ^(4-i) (Х)

(l6)

C=

l, i = 4 l, i = 2 .

0, иначе

Таким образом, функция комплексного пропускания изготовленного ДОЭ может быть записана в виде:

X (^ У)

T (X, у) =

(l7)

На рис. 2 и 3 представлены, соответственно, рассчитанные амплитудное распределение в сечении пучка |х(х,у)\ и фазовое а^(х,(х,у)).

Рис. 2. Теоретическая оценка амплитудного распределения в сечении бездисперсионного пучка Амплитудно-фазовая функция пропускания элемента кодировалась в чисто фазовую с помощью введения прямоугольно-импульсной несущей 33,3 линий/мм в фазу элемента (обобщенный метод Кирка-Джонса, [3]). Маска элемента имела 1024*1024 пиксела, размер одного пиксела 3 мкм.

i=0

i =0

ll

Рис. 3. Теоретическая оценка фазового распределения в сечении бездисперсионного пучка (черный цвет соответствует нулевому значению фазы, белый цвет соответствует значению фазы п) Элемент рассчитывался как добавка к внешней Фурье-линзе для следующих физических параметров: длина волны освещающего пучка Я =632,8 нм, радиус освещающего гауссова пучка а00=0,525 мм, фундаментальный радиус мод в формируемом без-дисперсионном пучке а = 0,5 мм, фокусное расстояние линзы Л= 452 мм.

Рассчитанный элемент был изготовлен путем многоуровневой электронно-лучевой прямой записи в резисте ПММА с последующей химической обработкой. Исследование способности изготовленного элемента формировать бездисперсионный пучок проверялось с помощью серии натурных экспериментов. Экспериментальная установка, представленная на рис. 4, использовалась для измерения интенсивности в фокусе Фурье-линзы. Типичный результат представлен на рис. 5.

■ А.

модан

линза

НеИе-лазер

ПЗС-камера

Рис. 4. Экспериментальная установка для исследования МОДАНа

Сравнительный анализ теоретических оценок с экспериментальными результатами (рис. 2 и 5) демонстрирует хорошее взаимное соответствие.

Для экспериментального подтверждения «инвариантного» характера сформированного пучка исследовалась устойчивость амплитудно-фазовой структуры к оптическому аналогу Фурье-преобразования. Комплексная амплитуда в сечении бездисперсионного пучка должна сохранять свою структуру при прохождении через Фурье-каскад.

интенсивности в выходной плоскости МОДАНа Схема экспериментальной установки, использовавшейся в данном эксперименте, представлена на рис. 6. Типичное распределение, полученное в ходе эксперимента, представлено на рис. 7.

модан линза 1 линза 2

НеЫе-лазер

ПЗС-камера

Рис. 6. Схема экспериментальной установки для исследования прохождения бездисперсионного пучка через Фурье-каскад

бездисперсионного пучка как результат измерения интенсивности в фокальной плоскости линзы 2

По результатам измерений интенсивности в ближней и дальней зонах восстанавливалась фаза пучка. Фаза восстанавливалась в ходе 26 итераций хорошо известного итерационного алгоритма Фье-напа [6].

После завершения 26 итерации, среднеквадратичное отклонение оценки амплитуды от амплитуды, восстановленной по результатам измерения интенсивности, было менее 16%. Восстановленные фа-

зовые распределения во входной и выходной плоскостях Фурье-каскада представлены на рис. S.

ш

а) б)

Рис. S. Результаты восстановления фазы бездисперсионного многомодового пучка по результатам измерения интенсивности a) оценка фаза пучка в ближней зоне, b) оценка фаза пучка в дальней зоне

Таким образом, устойчивость сформированного двухмодового бездисперсионного пучка к прохождению через Фурье-каскад, была исследована методом оптического эксперимента и результаты находятся в хорошем соответствии с теоретическими результатами.

Исследование поперечной модовой структуры

бездисперсионных пучков

В качестве верификации результатов исследования поперечной амплитудно-фазовой структуры в данной работе проводилось исследование поперечномодового спектра, сформированного бездисперсионно-го пучка. Измерение поперечно-модовой структуры пучка было решено произвести с помощью МОДАНа -корреляционного фильтра, согласованного с модами лазерного излучения. Удобнее всего реализовать такой МОДАН в виде амплитудной бинарной голограммы, соответствующей комплексной функции

Nmod

T(x) = £ ¥п (x) exp(i2пnx), (1б)

n=0

где x = (x, У), vn = (vnx, Vny) - вектор, определяющий координаты центра дифракционного порядка, соответствующего модовой функции ц/п (х). В [З] показано, что корреляционные пики, амплитуда которых

HeNe-лазер

пропорциональна содержанию в пучке соответствующей моды будут наблюдаться в выходной плоскости Фурье-каскада в точках с координатами xn=vnA/. Соответствующий МОДАН для мод Гаусса-Эрмита низших порядков был реализован в виде бинарной амплитудной голограммы по методу Ли с числом ячеек 5l2 х 5l2 по технологии электронной микролитографии. В нашем случае выбиралось ^0С=1б. Измерялось содержание мод Гаусса-Эрмита со следующими порядковыми номерами: (0,0), (0,1), (1,0), (2,0), (0,2), (1,1), (З,0), (0,З), (1,2), (2,1), (4,0), (0,4), (1,З), (З,1), (2,2), (0,5).

Для исследования поперечно-модового состава сформированного бездисперсионного многомодового пучка была собрана схема, представленная на рис. 9.

Модан 1 - фазовый дифракционный элемент, формирующий пучок, состоящий из мод Гаусса-Эрмита с номерами (4,0) и (2,2). Модан 2 -амплитудный оптический элемент с функцией пропускания (1б). Линза 1 имела фокусное расстояние ^=452 мм, линза 2 — /2=З00 мм. Расстояния zl, z2, гЗ, z4 выбирались, исходя из значений f1, f2.

На рис. 10 представлено корреляционное поле модана 2 при освещении модана 1 пучком лазера. На рис. 11 представлено замеренное распределение интенсивности в центрах корреляционных пиков, соответствующих различным модам Гаусса-Эрмита, в выходной плоскости анализирующего элемента.

Измерение интенсивности в центрах корреляционных пиков, соответствующих различным модам лазерного излучения, показало (как видно из таблицы 1), что значение интенсивности в центрах пиков, соответствующих модам (2,2) и (4,0), минимум в 9,5 раз превышает значение интенсивности, замеренное в центрах корреляционных пиков нерасчетных мод.

Именно высокое содержание таким образом заданных мод с одинаковым значением постоянной распространения и определяет «инвариантный» характер исследованного пучка, продемонстрированный в ходе исследования устойчивости амплитудно-фазовой структуры к преобразованию Фурье (рис. 2-рис. S).

модан 1 линза 1 модан 2 линза 2

Рис.9. Оптическая схема, использованная для исследования поперечно-модового спектра бездисперсионного пучка

в корреляционной плоскости анализирующего модана

Таблица 1

(4,0) (2,0) (0,4) (3,1)

74,5% 3,7% 1,б% 2,5%

(1,0) (0,1) (0,0) (1,3)

5,8% 0,4% 3,3% 0%

(0,2) (5,0) (1,1) (2,2)

2,5% 3,3% 1,2% 77,8%

(3,0) (2,1) (1,2) (0,3)

7,8% 0% 7% 0%

Замеренное распределение интенсивности в центрах корреляционных пиков, соответствующих различным модам Гаусса-Эрмита, в выходной плоскости анализирующего элемента (в круглых скобках - порядковые номера мод, рядом, замеренная интенсивность в центре корреляционного пика в процентах от максимального замеренного значения интенсивности в выходной плоскости)

Заключение

Таким образом, результаты измерения амплитудно-фазовой структуры бездисперсионного многомодового пучка, сформированного фазовым дифракционным оптическим элементом, находятся в хорошем соответствии с результатами компьютерного моделирования и результатами измерения поперечномодовой структуры пучка, что подтверждает перспективность формирования бездисперсионных многомодовых пучков с помощью фазовых дифракционных оптических элементов.

Литература

1. Павельев В. С., Сойфер В. А. Селекция мод лазерного излучения // Методы компьютерной оптики. Под ред. В.А. Сойфера, Физматлит, М., 2000. Глава 6.

2. Ярив А. Квантовая электроника // М.: Сов. Радио,

1980.

3. V.A. Soifer, M.A. Golub Laser Beam Mode Selection by Computer Generated Holograms // CRC Press, 1994.

4. M. Duparre, V. Pavelyev, B. Luedge, B. Kley, V. Soifer, R. Kowarschik Generation, Superposition And Separation Of Gauss-Hermite-Modes By Means Of DOEs // Proceedings SPIE, 1998. V. 3291, Р. 104-114,

5. Котляр В.В., Сойфер В.А., Хонина С.Н. Световые

пучки с периодическими свойствами // Методы компьютерной оптики. Под ред. В. А. Сойфера, Физматлит, М., 2000. Глава 7

6. J.R. Fienup Applied optics 21 (15), 2758 (1982)