Дискретизация в эталонных модовых элементах компьютерной оптики Текст научной статьи по специальности «Физика»

М.А. Голуб

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ В ЭТАЛОННЫХ МОДОВЫХ ЭЛЕМЕНТАХ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ

Свойства модовых оптических элементов компьютерной оптики [1-3] в определенной степени определяются операцией дискретизации их функции пропускания или отражения. Первые оценки погрешностей дискретизации в задаче анализа поперечно-модового состава когерентного излучения получены в работах [1, 2] .

В данной работе изучается структура световых пучков, восстановленных с дискретизированных модовых оптических элементов, выполнены оценки энергетической эффективности и точности формирования поперечно-модового состава при наличии дискретизации.

1. Преобразование светового пучка при наличии дискретизации функции пропускания

Эталонный световой пучок с комплексной амплитудой

^ (х) = 2 Еп1*^п1 (х) г х€С/

(р,1) 6 1 рХ р1

(1)

(2)

селективно содержащий Ь > 1 поперечных мод ф^(х)с номерами (р, 1) Є мощностями ц . и фазами Ь т может быть получен из освещающего пучка Е(х) с помощью рі р1

комплексного пространственного фильтра с функцией пропускания

Е(х)

(3)

где I - множество, содержащее Ь двойных индексов (р, 1 ) ; х = (х,у) - декартовы координаты в плоскости сечения С пучка. В компьютерной оптике рассматривают

(4)

(5)

функцию комплексного пропускания

Г(х) = , V),

шах

”шах “-Р®* '»<*>!»

х ес

удовлетворяющую условию |Г(х)| < 1 и получающуюся путем кодирования способом f Функции (3). Способ кодирования подбирается таким образом, чтобы в первом дифракционном порядке, идущем под наклоном, соответствующем пространственной частоте V, восстанавливалось поле у{1), пропорциональное £(х)

Y(1)(x) = сЕ(х)exp(i2nvx), c=const.

(6)

Для этого компонента г(1) функция пропускания Г(х), соответствующая первому по-

рядку, должна удовлетворять соотношению

Г (1) (х) = a exp (i2nv х) ,

шах

(7)

где

а = cW

шах

При V = 0 первый дифракционный порядок переходит в нулевой. Заметим, что коэффициент а определяется только способом кодирования £.

Например, для амплитудных и фазовых модовых оптических элементов с несущей

формулы, что и для

дифракционных

а - А ЛА

а “ Р ^

Ф

а _ т / шах о \

а = 1Л (—*— р) ,

(9)

(10)

ДА Є [0,1] и ~ Диапазоны амплитудного пропускания и фазового

среды

Ф = л.

шах

компьютерной оптики функцию пропускания Г(х) реализуют

мощью дискретного фотошаблона. Будем считать, что фотошаблон вычерчивается на фотопостроителе с дискретным позиционированием и строчной разверткой, обеспечивающим N<1 х N2 отсчетов с равномерно засвечиваемыми ячейками разрешения раз]

каждая

где

¿«і = N-16; 6.2 ~ N36

Соответствующая дискретизированная функция пропускания имеет кусочно-постоянный характер и описывается соотношением [4]

я N1 N2

Г(х) =2 2 Г(х )х (X) ,

пш тип' '

п—X Ш—1

где х = (х . у) - центр ячейки разрешения в номер (п, ш),

пт п ш пт

(її)

*пт(х)

х) = Iі'

х Є С

пт

(12)

0, х ЄЄ

пт

Из (7), (11) соответственно получаем

Р (1} (х) = а ехр і2тіС х ) ,

гаах

(13)

где

~ N-1 N2

1*(5) = £ £ м(хшгі)хШп(х)ехр[-і2п^(х - х )] . (14)

П=1 Ш=1

(15)

В силу соотношений (7), (13) функция ДО(х) аппроксимирует функцию комплексного пропускания Ю(х) (3).

Формируемое модовым оптическим элементом компьютерной оптики поле в перво: порядке может быть представлено в виде

у(1)(х) =Е(х)Г(1)(х) = ст! (х)ехр(12п^ х) , функция

я(х) = г Ев1фо1(X)

(р,1) ехь Р1 Р1

согласно (1), (14) представляется в виде

Т1(х)~= Е 5,4) 1 (х)

(р,1) 61 р-1 Р1

(16)

(17)

и отличается от эталонного пучка £(х) заменой ортонормированных модовых функций Фр^(*)» (р#1) € на "возмущение" модовые функции

^ N1 N2 ф (х )

:р , (х) = Е (х) 2 2 —^------— X

п=1 ш=1 Е(х )

ГШГ

хпт(*)ехрІ“і2т™(* ' хпш^г (р,1) ЄІь-

• • »

2. Возмущения модовых функций при дискретизации

Будем интерпретировать [5] функции Фр-^х) (рД) £ 1^ как результат воздейст

возмущений

Ирі (X) = <рр1 (эс) - Фр1 (х) , рД Є 1Ь

(19)

на ор то нормированные модовые функции ф^(х), (р Д )61ь. Возмущения обусловлены дискретизацией и зависят от способа кодирования модовых элементов компьютерной

оптики. Для исследования структуры модового пучка при наличии дискретизации

введем матричные элементы

нр1 Р-1- = І ^(ХІФ -і/хМ»?

(20)

С

(* - символ комплексного сопряжения).

Возмущенные модовые функции представляются через ортонормированные по формуле

★

V (X) - фр1(х) +р. Д. Нр1 р'1' *р'1'(х)»

(21)

где суммирование производится по всем р1 = ОД,2...; 1* = ОД, 2... . Соответственно поле л (х) (17) может быть представлено в виде

Л (х) = 2 пр1 Фр1 (х) ,

РД Р Р

где

*

(22)

Л

1+ Е Но'1'о1 £р’1' ПРИ(Р'1)ЄІ

рХ (р',1') ЄІЬ Р Х рі Р х

р1 1 Е ^п'і'оі ^гз'І' при(Р/1) Є 1^.

I (р',1') Є хь р 1 рі Т* 1

(23)

Нужные для компоненту

моды Фр]_ (х) , (рД) ЄІ^ составляют лишь

Лт (х) = Р Л (х) = 2 лп1 Ф , (х)

Ь Ь (р,1 ) ЄІ рх р1

(24)

поля л (х) (Р^ - оператор проектор на базисные функции Фр^/ (рД) • Для

удобства дальнейших выкладок удобно ввести Ь-мерные

5Ь * (Ер1 : (рД) = <Лр1 5 (РД)

а также матрицы Ь х ь

ЕI, = [^рр1 * ' 5 (рД) е 1ь? (р'Д ^ '

= [Нр1р»1» : (РД) €1х/ (р Д )

фь ? Еь + н1/

(25)

где 6 , - символ Кронекера.

шгЯг

В векторных обозначениях формула (23) дает

= <3Ь = (Еь + Н£)5Ь' где * - символ Эрмитова сопряжения матрицы. Ниже будем употреблять обозначения (• , •) и |-| для евклидова скалярного произведения и нормы векторов.

(26)

3, Энергетическая эффективность при наличии дискретизации

световым

є я / IE(х)I2d2 х над

в первом дифракционном порядке формируется пучок у (1) (х), содержащий как тре-

буемые моды

А *+

Y^1) (х) = Ply(1) (х) = стіт (x)exp(i2nv х),

(28)

моды других порядков. Световой поток є1тт, идущий на формиро

е требуемых мод Фр2г (р^1) 61^ определяется по формуле

Г = / lYTm (х)I2d2x = с2/ lnT (х)l2daJ *

1д G L G L

= С»<W = c2(EL - W BL)'

(29)

где

(ЗО)

~ А Еь ъ ье А‘

1д

Энергетическую эффективность г----------модовых оптических элементов будем оценивать

пад

по отношению к световому потоку освещающего пучка (29)

г2- - ё21- <<ЕЬ - •

пад пад

В случае Ь=*1, когда эталон £ содержит лишь одну поперечную отношение (31) принимает вид

(31)

Е1д |Cpl|2|Spl|2

II + Н_, ,I2,

є „ plpl

пад пад

(32)

где индексом 'р!' помечаются ранее введенные величины, относящиеся к одномодовому пучку. Наоборот, в случае, когда рассматривается класс всевозможных эталонов | (1), содержащих ровно Ь мод, можно пользуясь теорией квадратичных форм [б] получить оценку

с2

є

. wvjKT * *£- [і - wv]kh 1331

где Л. . (IL) и X ^ (R_ ) - минимальное и максимальное собственные числа самосо-

mm ъ шах Ъ

пряженной матрицы R^. Заметим, что при варьировании SL границы оценки (33) будут достигаться.

В отсутствие дискретизации Н^ » = о, формула (32) принимает вид

2

е е р1I '

пад пад' у

а неравенство (33) превращается в равенство

(34)

є є

пад пад

SL

(35)

Таким образом, при наличии дискретизации модовых оптических элементов энергетическая эффективность снижается в £1 - ^ш1п (^| 1 * [1 - ^шах^]'1 раз эа счет дифракционного рассеяния светового потока в высшие дифракционные порядки, в том числе в (1 + ^КеНр1р1 * I112)"1 раз при Ь=1.

Через моды высших порядков, входящих в пучок у1, уходит световой поток е1высш = I 1’^ (1’ (Х) ' >1^1Мх)|аааг = / |у<1) (X) - е^.

В силу формул (15), (17), (29) получаем

2 л2^

Є1внспі - с2 / П(х) X - є1д = с2((1^ _ 0Ь)НЬ5Ь), (36)

С

где

Оь - ^рір'ї* : (Р'1) Є хь '

^ір’1’ =- / Ф^(х)<ррІ1І<х)аах + брр-бп-

(37)

Й, Влияние дискретизации на поперечно-модовый состав

Дискретный модовый оптический элемент, синтезируемый методами компьютерной оптики, несколько изменяет распределение мощности между формируемыми модами Фр1 (х) , (рД) а также фазы мод в пучке у£1) (х) по сравнению с требуемым

пучком V(1) (х) (6). В силу снижения энергетической эффективности при дискрети-

зации, сравнению по модовому составу подлежит пучок ут(1) (х) с пучком 0у<1> (х) ,

ь

где О < 0 < 1.

Представим виртуальный интерферометр, выведенный на нулевую полосу, в плечи которого подаются пучки 0у<1) (х) и -ут(1) (х) . Тогда интенсивность в интерферо-грамме будет описываться формулой •

!©У<1> (х) - у^1> (х) I2,

а световой поток разностной интерферограммы

Л2 = / 0у (1) (х) - ут(1) (х)

С 1 Ь

2а2 х

(38)

может рассматриваться как критерий точности формирования модового состава.

Используя (б), (24) и ортонормированность модовых функций нетрудно преобра-

зовать формулу (38) к виду

Д2 = с2|05т - к I2.

Критерий Л2 (39) принимает минимальное значение

(39)

2 —

= С*[(НЬ, Н ) - ®2(5Ь, нь)] = С2([ (і - 02)Еьаь]нь, Нь)

(40)

при оптимальном значении

нь+нь

_ ке(8ь> яь) _ (-У^ аь,аь)

(41)

Оценивая значения квадратичных форм (40) , (41) с самосопряженными матрицами

получаем следующие оценки Л2 и 0:

са[! - 02 _ X (Л^)] 13ь12 < Д2 < с2[1 - 02 - Ят1п(\)]|НЬ|2 (42)

НТ+н* н +н*

1 + Л ( - ■ *— ) < 0 < 1 + X . (—.

шах 2 тій 2

(43)

Относительная погрешность формирования поперечно-модового состава при наличии

дискретизации равна

да ((ЕЬ-КЪ)НЬ,НЬ)

о-5 = ------------------ -----------------—

/I0у(1> (х)I2а2 х 02(н ,2 )

■ - 1.

(44)

Є

Другим критерием точности является среднеквадратичная ошибка формирования

модового пучка

д2 = / |У (1) (х) - 7(1) (х) |232

Є

с соответствующей относительной погрешностью

2 / IЕ(х) - n(x)I2d2 х

2 _ ______ _____ Ф G

д

6* =

/ I у <1> (х) I2йа(х) / |Е(х)I2й2 X

в с

формул (17), (1)/ (37), (19) можно получить оценку

(От 5Т гат )

5ба = ~Г~

'аь'нь)

(47)

где

Ql - (Qj^ + Н + Н^)

(48)

Для случая формирования эталона одной моды ф , (Ь=1) оценки принимают вид

©Р1 = 1 + кенр1р1,

(49)

Др1 = cjlt1 - 02 + 2 ReHplpl + IHplpl,2]lEpl' = lcpl£pl,2(IInHplpl)a'

2

(50)

.... IMW

2

(51)

(52)

Р1 (1+КеНр1р1)3 б£р1 = "(0р1р1 + 2КеНр1р1)’

Заметим, что при вещественных значениях Нр^р1 имеет место равенство

= °р!1£р11а . 0* епад епад р1

показывающее, что множитель 02 характеризует непосредственно уменьшение энергетической эффективности из-за дискретизации.

(53)

5. Коррекция возмущений дискретизации в эталонных модовых оптических элементах

Поскольку операция дискретизации порождает серию "паразитных" мод, то формируемый модовый состав отличается от требуемого, что описывается критерием (44) В то время как "паразитные" моды высших порядков принципиально не устранимы, есть возможность влиять на распределение мощности и фаз по первым Ь > 2 модам. Для этой цели при синтезе модовых оптических элементов с помощью ЭВМ вместо эта-

лонных коэффициентов SL в (17)

предыск аже нные

5^ [5]. Тогда при модах Фр1/ (рД) € 1^ в представлении (24) вместо коэффициен-

тов Н (26) фигурируют коэффициенты

к - Кн-

характеризующие модовый состав, формируемый элементами компьютерной оптики. Если выбрать предыскажение согласно [5]

= ф 1 м

то получим

Й1=НТ р1 Ь ,

(54)

т.е. модовый состав по первым Ь модам будет в точности требуемым, хотя ; высших порядков сохранятся. Пользуясь рядом Неймана при

I I Нь I I < 1

операцию (55) с большой степенью точности можно представить в виде ряда

вт(р) = ат + £ (-н*)гнт

ь ь х=0 Ь Ь

или рекуррентными соотношениями [5]

5^°) = СТ . — (-Н*) ^ 1) Ц.С7 . г —

X/ Хі ыт 9

(57)

При выполнении операции коррекции порядка р

я Р

Т. '*"Т. "“Т.' Т. '“Т. ' ~Т.'

г=0

Равенство (58) заменяет (26). Соответственно формула (44) для критерия 62 при-

ЧР) “ (ЕЬ + НЬ)§^Р> = (ЕЬ + Н£> I <-Н£)Г НЬ = К + (-1)Р НЬ+1]‘ 2Ь* <58)

нимает вид

6(Р)3 и ((ЕІ

[е(р)]2(нт,ат)

(59)

где

-Й^Р} = (-і)р[нр+1 + н*Р+1] + (Ньн*)р+1,

нР+1 + н*Р+1

( ^ ~ о о )

е<р) = 1 + (-1)Р -__________2---------

(60)

(61)

Заметим, что при р=0 формулы (57)-(61) переходят соответственно в формулы (41)-(44), (30).

• • •

6, Дискретизация в оптических элементах/ согласованных с модами Гаусса-Эрмита

Для ортонормированных мод Гаусса—Эрмита [7], имеющих комплексную амплитуду

Ф 1(х,у) =Фр(х)Ф1(у)/ (62)

где _

фр(х) = Е0рнр(_:?2 >ехр(- I?),

(63)

Е. = х/ ^ах ф = і

°Р V 2Рр, тах 6 производная может быть представлена выражением

*; ш - і

(64)

(65)

следующим ИЗ рекуррентных соотношений ПОЛИНОМОВ Эрмита Нр(•) [8]. Соотношение

(65) и свойство ортонормированности функций (62) позволяют получить простые вы ражения для матричных элементов возмущений. В случае плоской освещающей волны (Е (х) = 1) Формулы (пЮ) , (п14) приложения дают

Qplp'1’

_1___

12N?

О

je^e'pp* + Лр+l) (p'+l))брр, -

- да1 6 , - /етт?- бр+2>р1

+ б

pp

,+ /(l+i)d'-i) 6llt - /гпт+ту s1_2 х,

1+2

Hpip'i' -Qpip

Д']} '

,1, + Sine (jp)

L \ !

1

sine (—)

V N

Sinc (if") ■ cos(SL)

. - v - V , 1 x

iT ------------—-------------- sinc

a I 2n/N v

v

v

6

[/p7

б

ll’l^ ~p+l,p’ _ /p41 6p-l,p’] +

- l

6 » 6-, | + pp* ll1

sinc (-—-) - cos (-?-)

+ sin (jj-)

V

N

u

N

V

6

2tx/N,

PP *

/1» 6

1+1Д'

- /37+1 6

где sinc(g) =

sin ti £ Tt g

N = f,

a 6'

(67)

(68)

Nv = l/vx 6, Nv = 1/v 6 .

(69)

Величины N показывают, сколько элементов разрешения укладываются соот-

ветственно на радиусе о основной моды, на периоде несущей по оси х и по оси у. Рассмотрим пример. Пусть изготавливается оптический элемент размера =3,

формирующий лишь одну моду Гаусса-Эрмита с параметром оиз плоской освещающей

волны. Используется способ фазового кодирования с несущей = V, V дано разрешение б.

Учитывая, что

= 0. За-

W

шах

р1

< ф

= 1Д

шах о п

(70)

по формулам (49)—(52), (32), (34) и (66)—(69) получаем следующие расчетные

соотношения (3 = 1)

6Jpi ■

- sinc

1

N

V

+1+1

3N2

v

6N

о

] +

+ 1+1

N

a

(71)

пад

пад

smc

1

N

v

где

пад

(72)

(73)

• энергетическая эффективность модовых оптических элементов в отсутствие дис-

кретизации.

При б-* имеем -*► °°, «♦ 0. При конкретном б > 0 первые слагаемые в (71)

и (72) описывают погрешность дискретной передачи несущей, а вторые слагаемые -погрешность дискретного представления модовой функции в табл. 1, 2 приведены значения критериев (72), (71).

Таблица 1

Коэффициент снижения энергетической эффективности

из-за дискретизации (Ы =4)

Е1р1 v

Р+1 } 0 о ! і 5 } 10 {50 ! ! і 100

5 0,797 0,740 0,684 0,318 0,053

10 0,807 0,792 0,778 0,664 0,536

20 0,810 0,806 0,804 0,785 0,762

30 0,810 0,808 0,807 0,794 0,776

Таблица 2

Зависимость характеристик модового элемента от несущей пространственной частоты (N^=10, р+1=10)

N { 2 ___ V { і 4 і і 6 | 8 10 ! 20

е1др1 є1р1 0,374 0,777 0,868 0,913 0,924 0,954

6!Рі 0,758 0,218 • 0,118 1 0,070 0,058 0,028

С ростом порядка (р+1) моды фр1 энергетическая эффективность єідр]/єпад

__ _____________________ _____ С 2___Г-ПЗ ТТ

допустимым

х = |єідрі ^рі1

є1р1

энергетической эффективности и максимальным значением среднеквадратичного укло

получим оценку максимального порядка моды

изготавливаемый оптичєсї

(Р+1) „ = шіп(р1, р2)г

шах

(74)

где

рі = 6^[біпс (|--) - /1 - х] “

V

Ра = б1Я2[б* - 2(1 - біпс і-)] - 1

* о1 Фшах N

(75)

(76)

моды ~а/р+0,5 * а /1+0,5 раз-

мером оптического элемента, порождающее оценку

4 / <ї X 2 1

Р £ Рз? 1 ^ Рз? Рз * 4'2о' “ 2*

Так, при х=0,2, Nv=6^=0,2/ d = 5 мкм, б = 25 мкм получим Р + 1 < 21 при

N = 26 и р+1 < 2 при N = 10.

о * о

С ростом несущей пространст

v

тическая эффективность (72) падает, а среднеквадратичный критерий увели-

чивается, т.е. одновременно происходит улучшение качества формируемого распределения комплексной амплитуды и растет доля падающего на него светового потока.

Таким образом, при наличии дискретизации следует минимизировать пространственную частоту V. Следует однако иметь в виду, что нижняя граница V определяется условиями разделения нулевого и первого порядков.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Оценка матричных элементов возмущений

Оценим матричные элементы HplpI1,, QplpI1, (20), (37) для Е(х) = const (плос

кая освещающая волна). Для v = 0 элемент Н оценивался в работе [4]. Обоб-

щим предложенный в [4] метод.

Возмущения дискретизации (19), (18) являются кусочными функциями, имеющими

различные параметры в различных ячейках разрешения G . В силу малости разме-

_♦ пт

ра 6 ячейки можно разложить ф ,(х) в ряд Тейлора с центром х и ограничиться

pi. nm

линейными членами:

фр1(х) =фр1(3пщ) + а-^тт>7фР1 (xnm) ' x€Gnm' (п1)

Подставляя (nl), (18) в (19) получаем

hPl(5) = ,|'pl(*nm){exp[-i2l^(*-*nm)i ‘ 1} " (*-*шп)7фР1 *пт <п2)

при х 6 G

пт

Теперь можно оценить матричные элементы (20)

Hplp’l’ = f hDl х = S / h*. (x) Ф ,I , (x)d2 x . (n3)

G p n,m G pi p 1

nm

Подставляя (nl), (п2) в (пЗ) и учитывая, что

/ (х-х )d2(x)=0,

G пш

nm

/ (х-х )2d2 х = / (У*"У_) 2d2 х = ,

G G 12

nm nm

Sin Tit

где smc(t) = ---------r—

Tit

F (V , v ,6) = (^°|Vx,Vy'c|)/

x' у \Fo (v r,v ,o)/'

У x

sine (v 6) - COS (Tty 6)

Fo (v ,v ,6) = --------------------------------sine (v 6)

x y 2rcv y

X

(n4)

(n5)

/

Gnm fexp[+i2nv(x-xnm)] - l}d2x =62[sinc(vv6) sine (v 6) - ;] , (n6)

/ (x-xnm) fexP[+ib(Hm)] - ijd2 X = i62F(v V ,6), (n7)

G X

nm

(n8)

Hplp'1' - &2п*т фр1(хпш)фр'1і(хпш)[sinc(vx6)sinc(vy6) ~ ^ +

У

+ 7фр'1-<хгт)Р^у'б) - ^^пт^р'Г^шп* Т2 *

Аппроксимируя интегральную сумму интегралом и учитывая ортонормированность функций Фр^(х) получаем

Нр1р111 Л I 7^р1 (х)^Ф ,Х1 (х)<12х

+ [sine(vx6)sine(vy6) - 1]брр»б11»

(пІО)

+ rf^xivyf6) / ФрЗ^Сх) ^Фр11» (X)d2x

Для вычисления матричных элементов Qpip»j_i (37) воспользуемся формулой (18)

(Е(х) = const). Производя интегрирование имеем

Qpl р'11 = 6рр• ^111 ” 62n2m Фр1(хпт)фр'1’^пт* # (п11)

С другой стороны, условие ортонормированности модовых функций с учетом (п1) и (п4) , (п5) принимает вид

б__ ,6ц, = / Ф* (х)фI ,,, (x)d2x = 2 / ф*(х)ф ,,,(x)d2x =

РР х G р у п.га G у F

пга

■ “Л <г™1ФР'1' <гш"’ + П Ч10 5 V1' (Sn»1 • 1п121

(п13)

Подставляя (п12) в (п11) получаем

От л , = ^ Уф*, (х )7ф (1 . (х )

р1р 1 12 ^р1 пт ^р*1,% пт *

г п, т

Аппроксимируя сумму в (п13) интегралом окончательно записываем результат

°р1рч' = Т2 ц уфр1(х) 7Фрч<(х)й2х. (п14)

Формулы (п10), (п14) позволяют оценивать матричные элементы возмущений, встречающиеся при изучении дискретизации в основной части работы.

Литература

1. Голуб М.А., Прохоров А.М., С и с а к я н И.H.,

С о й ф е р В.А. Квантовая электроника, № 9, 1866(1982).

2. Голуб М.А., Кривошлыков С.Г., Прохоров А.М., И.Н. Сисакян, Сойфер В.А. Пространственные фильтры для анализа и формирования поперечно-модовой структуры когерентного электромагнитного излучения. М.: Препринт. ФИАН СССР, 1983, № 21.

3. Sissakian I.N., S о і f е г V.A. Fine opties. Synthe-tized by a computer. V International Conference on Lasers and their Applications. Abstracts. Dresden, GDR, 1985. November. P. 23-25.

4. Голуб M.A., Сойфер В.А. Устойчивость разложения Карунена-Лоэва и машинный синтез оптимальных пространственных фильтров // Спектральные методы обработки информации в научных исследованиях. Пущино.

НИВЦ, 1980. С. 108-134.

5. Голуб М.А., Сойфер В.А. Алгоритм восстановления поля по конечному набору коэффициентов ортогонального разложения с возмущенным базисом // Тр. МФТИ, Долгопрудный, 1978. С. 50-55.

6. Гель фа нд И.М. Лекции по линейной алгебре. М*: Наука, 1971.

7. Справочник по лазерам / Под ред. А.М. Прохорова. Т.2, М.: Сов. радио, 1978. С. 20.

8.Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977.